MATEMATIK
Limit LIMIT I. PENDAHULUAN 1. LIMIT DARI SUATU BARISAN
Suatu atu bari barisa sann dibe iberik rikan sebag bagai berik rikut : 1, 3/2, /2, 5/3, /3, 7/4, /4, 9/5 ..............2 –1/n, ................ Jika n→~ maka 1/n → 0, sehingga 2 ─ (1/n) → 2, dikatakan : Lim (2 ─ 1/n) = 2 n → ~
2. LIMIT DARI SUATU FUNGSI
Misalkan suatu fungsi f(x) =x 2 jika x→ 2, maka f(x) = x 2 → 4, seperti tabel berikut :
x
....
2, 1
....
2, 01
.....
2, 001
....
4, 41
....
4, 0401
.....
4, 004001
f(x) = x 2
Nampak Nampak bahwa jika x → 2, maka f(x) = x 2 → 4 ; dikatakan : lim x 2
4
=
x → 2 II. DEFINISI LIMIT
Jika c ε I dan fungsi fungsi f didefinisiksn didefinisiksn pada selang selang terbuka I (mungkin (mungkin kecuali di c), Limit fungsi fungsi f di c adalah L, ditulis ditulis : Lim f(x) = L x→c
Jika untuk setiap
Є > 0, ada δ > 0, sedemikian sehingga :
MATEMATIK
Limit 0< x - c
<δ
→ 0< f(x) ─ L
<Є
Sb-y y = f(x)
L+Є
L f(x)-L
Є
L-Є δ sb-x x
c x─c
Contoh : Jika f(x) = 5x 5x – 3, x ε R. Tentukan Tentukan bahwa bahwa Jawab: Anali Analisa sa : Untuk Untuk setia setiapp
Lim f(x) = 17 x→4
Є > 0, kita kita harus harus menem menemuka ukann δ > 0,
sedemikian sehingga :
•
0< (5x – 3) ─ 17
<Є
0< 0< 5
5x – 20
<Є
x–4 <Є
MATEMATIK
Limit 0<
•
x – 4 < Є/5
Karena berlaku ” jika dan hanya jika” berarti berlaku pula : 0< x – 4
< δ = Є/5
0< (5x – 3) – 17
<Є
Bukti : Untuk setiap
Є > 0, ada/ambil δ= Є/5 > 0, sedemikian sedemikian sehingga sehingga
0< x – 4
< δ = Є/5
0< (5(x – 4) 0<
<Є
5x – 20 < Є
0< (5x – 3) - 17 Jadi
Untuk setiap 0< x – 4
Ini berarti Contoh :
Jawab :
<Є
Є > 0, ada/ambil δ= Є/5 > 0, sedemikian sehingga sehingga
< Є/5
0< (5x – 3) - 17
<Є
Lim (5x – 3) = 17 x→4
Jika
Lim (3x + 2) = 14, x→4
Karena diketahui
untuk setiap
Є>0
0< (3x + 2) ─ 14
tentukan
2. Buktikan
jika Є = 0,1
Lim (3x + 2) = 14, x→4
: <Є
0<
3x – 12
maka berlaku
< 0,1
0< 3
x – 4 < 0,1
0<
x – 4 < 0,1/3
Jadi δ= 0,1/3 Soal :
1. Buktikan
δ
Lim (8x – 3) = 13 x→2 Lim x 2 – 25 = 10 x→5 x-5
MATEMATIK
Limit 3.
Lim (3x – 4) = 5, x→3
III.
tentukan tentukan
δ
jika Є = 0,2
SIFAT-SIFAT LIMIT
1. Jika f(x) f(x) = c dengan dengan c = konstanta, konstanta, maka maka Contoh :
Lim c = c x→a
Lim 3 = 3 x→2
2. Jika f(x) = x, maka Contoh :
Lim f(x) = x→a
Lim x x→3
Lim x x→a
=a
=3
3. Jika Lim f(x) = L x→a
Maka :
• • •
Lim x→ Lim x→
Lim f(x) f(x) / g(x) g(x) x→a
2.
M
Lim n x→a
Contoh :
1.
Lim g(x) = M x→a
(f(x) ± g(x)) = Lim f(x) ± Lim g(x) = L ± M a x→a x→a (f(x) . g(x)) = Lim f(x).Lim g(x) = L . M a x→a x→a
dengan
•
dan
≠ 0. (f(x)
= n
Lim f(x) x→a
=
n
L
Tentukan :
Lim (5x 2 + 2 ) x→2
Lim x→2
= Lim f(x) / Lim g(x) g(x) = L / M, x→a x→a
x2 - 4 x-2
3.
Li m x→3
x2 – x - 6 x-3
MATEMATIK
Limit Jawab : 1. Lim (5x 2 + 2) = 5.22 + 2 = 5.4 + 2 = 22 x→2 2. Lim x→2
3. Lim x→3
x2 - 4 x–2
x2 – x - 6 x–3
=
Lim x→2
(x – 2)(x + 2) = Lim (x + 2) x–2 x→2
=
2 + 2 = 4
=
Lim x→3
(x – 3)(x + 2) ( x – 3)
=
Lim (x + 2) = x→3
3+2=5
IV.LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI Rumus-rumus : 1. Lim Sin ax = 1 x→0 ax 2. Lim tg ax = 1 x→0 ax 3. Lim Sin x = 1 x→0 x 4. Lim tg x = 1 x→0 x Contoh :
Tentukan : 1. 2.
Lim x→0 Lim x→0
Sin 7x x 4x + tg 2x . Sin (5x) – 2x
Jawab : 1.
Lim x→0
2. Lim
Sin 7x x
4x + tg 2x
=
Lim 7. Sin 7x = 7. Lim Sin 7x x→0 7x x→0 7x
=
7.1
=
= Lim
7 4 + tg 2x
MATEMATIK
Limit x→0
Sin (5x) – 2x
x→0
x Sin (5x) ─ x
= Lim x→0
2
4 + 2. tg 2x 2.x 5. Sin (5x) ─ 5x
=
4 + 2.1 5.1 - 2
=
2
6/3 = 2
V. LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN 1. LIMIT KIRI
Jika fungsi f terdefinisikan pada interval terbuka I dengan c ε I, maka Limit Kiri Kiri fungsi f di c adalah L, ditulis : Lim f(x) = L x → c ─
c
Jika untuk setiap
Є > 0, ada δ > 0, sedemikian sedemikian sehingga sehingga :
0< (c - x) < δ
→
0< f(x) ─ L
<Є
2. LIMIT KANAN
Jika fungsi f terdefinisikan pada interval terbuka I dengan c ε I, maka Limit Kiri Kiri fungsi f di c adalah L, ditulis : Lim f(x) = L + x→c
Jika untuk setiap
Є > 0, ada δ > 0, sedemikian sedemikian sehingga sehingga :
0< (x - c) < δ s b- y
c
→
0< f(x) ─ L
f ( x) ─ L
<Є f(x) - L
MATEMATIK
Limit L
Є
y =
f(x) f ( x)
Є
f ( x)
L- Є
L δ
δ
x
Sb-x
c
c
x (x – c)
G a m b . G r a f i k L i m i t Ki r i 3. TEOREMA :
G a m b . G r f i k Li mi t K a n a n
Lim f(x) = L x→a
Lim f(x) = Lim f(x) = L + x→a x → a ─
Contoh :
Ji ka f ( x) =
Tentukan : (a)
x+2 2
,
un tuk x > 0
0
,
un tuk
x=0
1 – x2 . 2
un tuk
x<0
Lim f(x) ; + x→0
(b) (b )
Lim f(x) ; (c) Lim f(x) ─ x→0 x→0
Jawab : (a) Lim Lim f(x) = Lim Lim ( x + 2)/2 2)/2 = (0 + 2)/2 2)/2 = 1 + + x→0 x→0
(b) Lim f(x) = Lim (1 – x 2 )/2 = (1 – 0)/2 = 1/2 x → 0+ x → 0 ─ ada .....? Silahkan di di cari ( c) Lim f(x) = tidak ada x→0
MATEMATIK
Limit Contoh : Tentukan konstanta p dan q agar Lim f(t) = 2, dengan dengan t →2 pt 2 – qt ,
un t uk t ≤ 2
f(t) = qt 2 + (p – 2)t + 2, untuk t > 2 Jawab : Diketahui
Lim f(t) = 2, berarti berarti t →2 Lim f(t) = 2 t →2 ─
Lim (pt2 – qt) = 2 t →2 ─ 4p – 2q = 2 ...........................(1)
Lim f(t) = 2 t →2 +
Lim (qt + (p – 2)t + 2) = 2 t →2 + 2q + (p – 2)2 + 2 = 2 2p + 2q = 4
......................(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh : 4p – 2q = 2 2p + 2q = 4 + 6p =6 p =1 jadi
p=1
u n t u k p = 1, m a k a 2 p – 2 q 4p – 2q = 2 4.1 – 2q = 2 - 2q = - 2 q= 1
dan da n q = 1
VI. LIMIT TAK HINGGA
Konsep dasar Limit Tak Hingga : (1) Lim ( 1/x ) = x → 0+
~
(2) Lim ( 1/x ) = ─ ~ x → 0 ─
VII. LIMIT DI TAK HINGGA
Konsep dasar Limit di Tak Hingga : (1) Lim ( c/x ) = 0
MATEMATIK
Limit x→
~
Contoh : Tentukan : ( 1) (3) Jawab : ( 1)
Li m 3 x 2 – 2x + 2 x → ~ 4x 2 + x – 1 Lim x+2 x → ~ x 2 + 2x – 1 Li m x→
(2) (2 ) Lim x3 – x + 1 x → ~ 2x 2 + x (4) Lim 2 x – 2- x x → ~ 2x + 2 -x
( 3x2 – 2 x + 2) = ~ ( 4x 2 + x – 1 ) = =
( 2)
Li m x→
( x 3 – x + 1) ~ ( 2x 2 + x )
= = =
( 3)
Li m x→
~
x+2 = 2 x + 2x – 1 =
1+0+0 ( 4)
Li m x→
~
2 x – 2-x 2 x + 2 -x
Li m ( 1/ x 2 )(3x2 – 2x + 2) x → ~ (1/x2 )( 4x 2 + x – 1) Li m 3 – 2 / x + 2 / x 2 x → ~ 4 + 1/x – 1/x 2 3–0+0 = 3 4+0–0 4 Li m ( 1/ x 2 ) (x 3 – x + 1) x → ~ (1/x2 ) ( 2x 2 + x) Li m x – 1 / x + 1/ x 2 x → ~ 2 + 1/x ~ – 0 + 0 = ~ 2+0 Li m ( 1/ x 2) (x + 2) x → ~ (1/x 2 )(x )( x2 + 2x – 1) Li m 1/ x + 2 / x 2 = 0 + 0 x → ~ 1 + 2 / x - 1 / x2
=
0
=
Li m 2 x (1 – 2 ─2 x ) x → ~ 2 x (1 + 2 ─2x ) Li m ( 1 – 2 ─2 x ) x → ~ (1 + 2 ─2x ) 1–0 = 1 1+0
= =
KONTINUITAS DEFINISI
Fungsi f kontinu pada x = a jika dan hanya jika memenuhi ketiga
syarat berikut :
MATEMATIK
Limit (1). (1).
f(a) f(a) = L (ad (adaa ata atauu did didef efin inis isik ikan an pada pada x = a)
(2. (2.). Lim f(x f(x) = L (ada (ada)) x→a ( 3)
L i m f ( x) = f ( a ) = L x→a
Contoh : Selidiki apakah apakah fungsi fungsi f kontinu kontinu pada x = 2, 2, jika : x2 – 4 x–2
; untuk unt uk x ≠ 2
4x – 4
; un tu k x = 2
f(x) =
Jawab : (1) (1)
Untu ntuk x = 2, 2,
f(2) f(2) = 4x 4x – 4 = 4.2 – 4 = 4 (a (ada), da), jad jadi sya syara ratt (1 (1 )
terpenuhi. (2)
Li m f ( x ) = Li m x 2 – 4 = Lim (x-2)(x+ 2) = Lim (x + 2) = 2 + 2 = 4 x→2 x→2 (x -2) x →2 (x – 2) x→2 Jadi syarat (2) terpenuhi
(3) (3)
Lim Lim f(x f(x)) = f(2) f(2) = 4, 4, sya syara ratt (3 (3) te terpe rpenuhi nuhi x→2
Jadi ke-3 syarat kontinuitas kontinuitas terpenuhi, terpenuhi, berarti f kontinu pada x = 2.
Contoh
: Tentukan Tentukan konsta konstanta nta a dan b, jika fungsi f kontinu kontinu pada t = 3; dan da n
f(t) =
at 2 + b t + 5
; un tuk t > 3
4t + 2
; un tuk t = 3
( b+4) t + a t - 1
; un tuk t < 3
MATEMATIK
Limit
Jawab : Fungsi f kontinu pada t = 3, berarti ke-3 syarat terpenuhi, dengan demikian : Lim f(t) = f(3). t→3 t→ 3
• f(3) = 4t + 2 = 4.3 + 2 = 14 • Lim f(t) = f(3), berarti : t→3 t→ 3 ( a) .
Li m f ( t) =14 t →3 ─
Li m ( b + 4 ) t + a t - 1 = 14 t →3 ─ (b + 4).3 + a.3 – 1 = 14 3a + 3b = 3 .......................... (1)
( b) .
Li m f ( t) =14 t →3 +
Li m ( a t 2 + bt + 5) = 14 t →3 +
a.3 a. 3 2 +b.3 + 5 = 14 9a + 3b = 9 ......................... (2) Dari pers. (1) dan (2) diperoleh : 3 a + 3b = 3 9a + 3b = 9 - 6a = - 6 a = 1
u n t u k a = 1 , ma k a 9a + 3b = 9
9.1 + 3b = 9 3b = 0 b=0
Contoh :
Selidiki apakah arus I kontinu pada t = ½π, Jika arus I dinyatakan sebagai fungsi dari waktu t (dalam detik) sbb : I ( t) =
e 2t . S in 2t Cos t
; untu un tukk t ≠ ½π
e 2t . S in 2t
; un tuk t = ½π
Jawab : ( 1) . (2)
I ( ½π ) = e2. ½π . Sin 2.½π = e π . Sin π = e π . 0 = 0 (ada) Li m I( t) = Li m e2t . S in 2t t → ½π t → ½π Cos t =
Lim e 2t . 2 Sin t.Cos t t → ½π Cos t
MATEMATIK
Limit
( 3)
=
Lim 2.e 2t . Sin t t → ½π
=
2 .e 2.
=
2 .e π .1
=
2.e π (ada)
J el a s n a m p a k,
½π
. Sin ½π
Li m I ( t ) ≠ I ( ½ π ) t → ½π
Jadi I diskontinu pada
t = ½π
Tes Formatif :
1. Tent Tentuk ukan an lim limit it fung fungsi si ber berik ikut ut : ( a)
Li m x→5
x 2 – 4x – 5 x–5
( b)
Li m x →0
5x – tg 3x 2x + Si n 2 x
2. Tentukan konstanta
p
dan da n
q,
( c)
Li m x+3 x → - 3 √ ( x 2 + 7) - 4
( d) Li m x → – ~
x 5 + 3x 2 – 4x
jika I kontinu pada t = – 4, dan I(t)
didefinisikan : qt + (p – 4)t – 16 I ( t) =
- 4t + 8 pt 2 + qt + 20
, untuk t > -4
, unt uk t = - 4 , u nt uk t < - 4
3. Arus I dinyat dinyatakan akan sebagai sebagai fungsi fungsi dari dari waktu waktu t (dalam (dalam detik) detik) sbb sbb : I ( t) =
I o + Sin 2t Cos t
; untu un tukk t ≠ ½π
I o + Co Cos 2 t
; un tuk t = ½π
a. Seli Selidi diki ki apak apakah ah I kon konti tinu nu pada pada t = ½π b. b. Jika tidak tidak kontin kontinu, u, tentuk tentukan an nilai nilai I(½π) agar konti kontinu nu pada pada t = ½π. ½π. 4. Tentu Tentukan kan kon konsta stanta nta c agar agar fungs fungsii f mempuny mempunyai ai limit limit di x = -1, dan f didefinisikan : f(x) =
3 – cx ; un t uk x < - 1 x 2 – c ; untuk x ≥ -1
5 . Car i l a h : a. Lim √(1+x) x → ~ 3 x
b. Lim (x – π/4).Sec 2x x → π/4
MATEMATIK
Limit c. Lim x → –
√(x 2 + x) ~ 2x – 1
6. Dibe Diberik rikan an f(x) f(x) = Jika x > -1/5.
d. Lim
5 x + 1 , tent tentuk ukan an
(x 2 – 3x) x→ – ~
lim li m
h→ 0
+x
f ( x + h) − f ( x) h
MATEMATIK
Limit
2. 2.1.
LIMIT DEFENISI LIMIT
2.1.1. LIMIT DARI SUATU BARISAN
Suat Suatuu bari barisa sann dibe iberika rikann seba sebaggai beri beriku kutt : 1, 3/2, 3/2, 5/3, /3, 7/4, /4, 9/5 ..............2 –1/n, ................ dilet diletakk akkan an pada pada sebu sebuah ah garis garis bilang bilangan, an, nampak nampak bahwa bahwa merek merekaa semakin menggerombol ke titik 2 sedemikian rupa, sehingga ada titik dari barisan yang berjarak dari 2, lebih kecil dari sembarang bilangan bilangan positif terkecil, betapapun kecilnya.
Contoh : Titik 2001/1001 dan semua bagian barisan titik-titik yang berjarak <1/1000 dari titik 2, titik 20 000 001/10 000 001 dan semua bagian barisan titik-titik yang berjarak kurang dari 1/10 000 000 adri 2, dan seterusnya. Pernyataan tersebut dapat dikatakan bahwa limit dari barisan adalah 2 atau lim (2 − 1 / n) = 2 n→∼
Jika x merupakan variabel pada barisan (1), dikatakan bahwa x mendekati 2 sebagianlimit dan di tulis x → 2. Barisan (1) tidak memuat 2, sebagai limitnya.
MATEMATIK
Limit 2.1.2. LIMIT DARI SUATU FUNGSI
Misalkan x → 2 pada barisan (1), dimana x = (2 –1/n), kemudian f(x) = x 2 → 4 pada pada bari barisa sann 1, 9/4, 9/4, 25/9 25/9,, .... ...... .... .... ..,, (2 – 1/n) 1/n) 2 .......seperti tabel 2.1 berikut : n x = (2 - 1 / n )
1 1
F(x) = x 2
1
2 3/2 9/4
3 5/3 25/9
4 7/4 49/16
5 9/5
..... ......
81/25
.....
n 2-1/n 1 (2 -
.... .... )2
....
2
Tabel 2.1. Sekarang misalkan : x → 2 pada barisan 2, 1 ; 2,01 ; ...2 + (2) (2 )
1 , ... 10 n
kemudian x 2 → 4 pada barisan : 4, 41 ; 4,0401 ; 4,004001 4,004001 ; ........... 1
) 2 ; .... seperti tabel berikut :
(2 + 10n n x = (2 +
1 n
)
.... ....
10 2, 1
.... ....
100 2, 01
..... .....
1000 2, 001
..... .....
....
4, 41
....
4, 0401
.....
4 , 0 0 4 0 01
.....
2+
n 1 n
f(x) = x 2
Tabel 2.2. Namp Nampak ak bahw bahwaa f(x) f(x) mend mendek ekat atii 4 seba sebaga gaii limi limit, t, mesk meskip ipun un x mende mendekat katii 2 sebag sebagai ai limit. limit. Dibawa Dibawahh asums asumsii ini, ini, kita kita kataka katakann “limit”, untuk x mendekati 2, dari x 2 adalah 4” dan ditulis lim 1.3.
LIMIT lim x 2KIRI =4 DAN LIMIT KANAN
x → 2
Untuk x → 2 pada barisan (1), harganya selalu kurang dari 2, kita katakan katakan bahwa bahwa x mendek mendekari ari 2 dari kiri dan dirulis dirulis
lim f ( x ) +
2
Dengan x → 2. Dengan
lim f ( x ) x → a
..... ..... .....
MATEMATIK
Limit jalan serupa, untuk x → 2 pada barisan (2), harganya selalu lebih besar besar dari 2, kita katakan bahwa x mendekati mendekati 2 dari kanan dan ditulis x → 2 + . Jelasnya, pernyataan limit limit kiri :
dan limit kanan
, berarti bahwa kedua ................. ada ad a
dan sama. Tetapi adanya limit kiri (kanan), tidak berarti adanya limir kiri (kanan (kanan). ). Untuk Untuk lebih lebih jelasn jelasnya ya kita kita gunak gunakan an dua dua symbo symboll untuk untuk perbedaan perbedaan yang kecil ini (antara f(x) dan 4, serta x dan 2), yaitu ∈ dan da n δ . Kemudian kita nyatakan bahwa : f(x) – 4 akan menjadi lebih kecil dari sekarang pengambilan bilangan positif ∈ , ketika
x - 2 lebih kecil dari sembarang bilangan positif δ dan da n x - 2 ≠ 0 (untuk x ≠ 2). 2) . Itu penting untuk menyatakan bahwa harga δ tergantung pada harga ∈ . Denga Dengann kata kata lain, lain, penga pengambi mbilan lan semb sembara arang ng bilang bilangan an positif positif kita dapat membuat : f(x) - 4 < ∈ dengan mengambil x 2 cuku kecil, yaitu bahwa ada beberapa bilanga positif cukup kecil, sedemikian sehingga :
f(x) - 4 < ∈ untuk 0 < x - 1 < δ ............ .................. ............ ..................... ...........................(3) ............(3) nampak dari tabel 2.2. diatas bahwa f(x) - 4 = 0,0401 ketika
x - 2 = 0,01 jadi untuk ∈ = 0,0401, δ = 0,01, dan nyatakan bahwa f(x) - 4 <0,0401 dan δ = 0,01.
MATEMATIK
Limit Karena Karena untuk untuk semba sembaran rangg ∈ >0 >0,, dapa dapatt dica dicari ri sebu sebuah ah δ > 0 sedemikian hingga f(x) - 4 < ∈ untuk 0 < x - 2 < ∈ , kita nyatakan bahwa limit dari f(x) untuk x mendekati 2 adalah sama dengan 4, atau dinyatakan dengan lim f ( x) = 4 . x → 2 Definisi : lim f ( x ) = A x → a
, dapat ditetapkan dengan mengecek mengecek f(x)
untuk x → a pada sebuah bilangan dari barisan. Penemuan f(x) → A dalam setiap kejadian, kemudian disimpulkan bahwa hasil yang sama akan diperoleh untuk semua barisan lain yang memiliki limit a. Sekarang untuk x → a pada setiap macam barisan, x harus dapat terjad terjadii menu menutup tup a. Peng Pengert ertian ian penti penting ng dari dari konse konsepp limit limit ialah ialah bahw bahwaa keti ketika ka x maki makinn menu menutu tupp teta tetapi pi masi masihh berb berbed edaa dari dari a, kemudian f(x)
mendekati mendekati A.
Ini mungkin bisa dinyatakan dalam batasan yang tepat sebagai berikut : lim f ( x ) = A = A jika untuk sembarang pemilihan bilangan positif x → a
∈ , betapapun kecilnya, ada sebuah bilangan positif δ sedemikian
hingga jika 0 < x - a < δ , maka f(x) - A < ∈ . Dua ketetapan interval yang berbeda : Xo a-δ
a
X a+δ A -∈ Gambar 2.1
F(xo) A
f(x) A+∈
MATEMATIK
Limit Intisari dari definisi ialah bahwa sesudah ∈ terpilih (interval (ii) diatas), δ dapa dapatt dite ditent ntuk ukan an (int (inter erva vall (i) (i) dapa dapatt dite ditent ntuk ukan an)) sedemikian jika x ≠ a pada interval (i) katakan pada x o, maka f(x) pada interval (ii). Contoh : 1. Tentuka Tentukann limit limit dari dari setiap setiap barisa barisann berikut berikut : a) 1/2, 1/4 1/4 1/8, 1/8, 1/16, 1/16, 1/32, 1/32, ........ .............. ........... ........ ... b) b) 0,9 ; 0,99 0,99 ; 0,999 0,999 ; 0,9999 0,9999 ; 0,99999 0,99999 ; .......... ............. ... Penyelesaian Penyelesaian : a) Jela Jelasn snya ya,, kita kita pind pindah ahkkan bari barisa sann ters terseebut but keda kedala lam m garis aris bilangan 0 1
1
1
1
1
64 16 4 2 Nampak Nampak bahwa mereka makin menggerombol di/ke titik 0, dan kita katakan bahwa limit dari barisan barisan adalah adalah 0. Dalam bentuk bentuk tabel sebagai berikut : n F (n)
1 1/ 2
2 1/ 4
3 1/ 8
4 1/ 1 6
5 1/ 3 2
6 1/ 6 4
.... ....
n 1 / 2n
Sehig Sehigga ga kita kita dapa dapatt mene menent ntuk ukan an bant bantuk uk umu umu dari dari bari barisa sann tersebut yaitu ½ n .
∴
lim 1 / 2 n = lim (1 / 2) n = 0 n→
∼
n→∼
b) Dengan ngan meng menggu guna naka kann tabe tabell sepe sepert rtii pada pada (a), (a), kita kita dapa dapatt menentukan menentukan limit dari barsan (b) sebagai berikut :
.... ....
MATEMATIK
Limit n F (n)
1 0,9
2 0, 9 9
3 0,999
4 0, 9 9 9 9
5 0, 9 9 9 9 9
.... ....
n 1 - 1 / 10 n
Nampak bahwa rumus umum barisan tersebut adalah 1 – 1/10 n sehingga : lim f (n) = lim (1 − 1 / 10 n ) = 1 n→
∼
n→∼
2. f(x) = 4x – 1, 1, diketahui diketahui lim f(x) f(x) = 11, 11, tentukan tentukan δ untuk untuk x →3
∈ = 0,01. Penyelesaian Penyelesaian :
f(x) - 11 = (4x –1) – 11 = 4x - 12 = 4x - 3 karena karena kita inginkan inginkan 4 x - 3 < - 0,01 0,01 untuk 0 < x - 3 < δ = 0,0025, kita punyai (4x – 1) - 11 < 0,001 dimana 0 < x3 < 0,0025 sehingga δ = 0,0025. lim 5 x = 5.2 =10
3 . a)
x →2
b)
2.2.
lim ( x
2
−
4 x + 1) = 4 − δ + 1 = − 3
x → 2
CONTOH LIMIT GEOMETRI
sin sin x =1 x x →0
Y Rumus limit fungsiR trogonometri yang sangat penting lim lim P Adapun kejadiannya sebagai sebagai berikut : r
O
α
L
Q
A X
Sudut α radi radian an (0 < α < Π/2), dile ilet a kka n
Gambar 2.2
p a da
p os i s i
ba ku.
.... ....
MATEMATIK
Limit Lingkaran berjari-jari 1 satuan dan berpu rpusat sat
ditit ititik ik
0.
Ling ingkara karann
tersebut memotong sumbu x di A dan memotong kaki terminal sudut
α di P. PQ ⊥ sumbu x atau PQ ⊥ OA, demikian juga AR ⊥ OA. Dan ternyata : Luas ∆ OPA < luas sektor OPA < luas ∆ ORA. 1/2. PQ.OA < α/2 Π. Π. r 2 < ½.AR.OA. 1/2. r 2 .sin α. r 2 < ½ . r 2 . tg α sin si n α < α < tg α 1<
α sin si n α
<
1 cos α
...........................................................................( ..................................................................... ......(1) 1)
Jika pada (1), x → 0, maka
α sin si n α
, dan juga
sin si n α
α
α cos co s α
mendekati 1, demikian juga
, sehingga sehingga lim x →0
sin x x
Dan dengan cara yang sama terdefinisi juga lim x →0
Selanjutnya, lim
x
=1
= 1 dan juga lim
tg x
=1
x x
=1
MATEMATIK
Limit x →0
x →0
sin x
tg x
Contoh : Tentukan 1 – cos x
lim li m
x
Penyelesaian Penyelesaian : 2 sin 2 1/2x
lim x →0
= lim x →0
x sin 1/2x
= lim x →0
sin 2 1/2x 1/2x
. sin 1/2x = 1.0 = 0
1/2x
Jadi lim x →0
sin kx kx
kx
= 1, juga lim x → 0 tg kx
= 1,
Dimana k = adalah suatu konstanta 2.3.
SIFAT-SIFAT LIMIT
Ada tiga teori umum tentang sifat-sifat limit, yaitu : Teorema 1 ,
jika lim f(x) = L dan lim g(x) = M, maka x →a x →a
lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) g(x) = L + M x →a x→a x →a Contoh : lim (x 3 + x 2 ) = lim x3 + lim x 2 = 27 + 9 = 36 x →3 x →3 x →3
MATEMATIK
Limit Teorema 2 ,
jika limit f(x) = L dan lim g(x) = M, maka maka : x →a x →a
lim [f(x) . g(x)] = lim f(x) . lim g(x) = L . M x →a
x →a
x →a
Contoh : lim (x 3 + x 2 ) = lim x2 (x + 1) = lim x2 . lim (x + 1) = 36 x →3 x →3 x →3 Teorema 3 ,
Maka :
jika lim f(x) = L dan lim g(x) = M, dan M ≠ 0. x →a
f(x)
lim x →a g(x)
Contoh : lim x →4
=
lim f(x) x →a lim g(x) x →a
x -7x + 1
x →a
=
L M
lim x x →4 = = lim (-7 + 1) x →4
4 =-27
4 27
Kita dapat membuktikan teorema 1, teorema 2 dan 3 buktikan sendiri berdasarkan bukti teorema 1. Kita gunakan defisnisi, yaitu bahwa untuk sembarang ∈ > 0, harus dibuktikan bahwa ada sebuah
δ > 0 sedemikian hingga : [f(x) + g(x)] – (L + M) < ∈ dimana 0 < x - a < δ .
MATEMATIK
Limit Karena lim f(x) = L, dari definisi, bahwa untuk 1/2 ∈ > 0, disana disana x →a ada sebuah δ 1 > 0 sedemikian hingga f(x) - L < 1/2 ∈ untuk mana 0 < x - a < δ 1. Demikian juga dari, lim g(x) = M, utnuk 1/2 ∈ > 0, ada sebuah δ 2 x →a > 0 sedemikian sedemikian hingga g(x) - M < 1/2 ∈ , dimana 0 < x - a < δ 2. Sekarang kita misalkan δ menjadi lebih kecil dari dua bilangan δ 1 dan da n δ 2, sehingga f(x) - L <1/2 ∈ untuk 0 < x - a < δ dan da n g(x) M < 1/2 ∈ untuk mana 0 < x - a < δ . Dari situ kita dapatkan :
[f(x) + g(x)] – (L + M) = (fx) – L + g(x) – M) ≤ f(x) - L + g(x) - M <
1/ 2 ∈ + 1/2 ∈ = ∈
dimana 0 < x - a < δ . Teorema-teorema Teorema-teorema : 1. Jika C adalah adalah suatu suatu konstan konstanta, ta, maka maka untuk semb sembarang arang bilang bilangan an a, lim C = C x → a
2. Jika Jika lim lim f(x f(x)) = L, L, maka maka lim n f ( x ) = [lim f ( x) ]1 / n = n L x →a x → a x → a Amatilah bahwa
n
L adalah sebuah bilangan real.
MATEMATIK
Limit
Contoh : 1.
2.
2.4.
lim 5 x 2 = lim 5 . lim x 2 = 5 lim x 2 = 5.4 = 2 = x → 2 x → 2 x → 2 x → 2 lim x x → 4 x = 3 lim x = lim 3 − 7 x + 1 − 7 x + 1 lim ( −7 x + 1) x → 4 x → 4 x → 4
LIMIT TAK HINGGA
Misalkan daerah variabel x adalah barisan S 1 , S2 , S 3, ......, maka : (i) (i)
x dek dekatk atkan me mende ndekati ati pos positif itif tak tak te terhin rhinggga [x → + ∼ ] jika ia mendekati benar dan sesudah itu tinggal berjarak lebih besa besarr dari dari semb sembar aran angg bila bilang ngan an posi positi tif, f, baga bagaim iman anap apun un besarnya. Misal : x → + ∼ pa da ba r i san 1, 2, 3 , 4 , .. .. . . . .. ..
(ii) (ii)
( 1)
x dek dekat atka kann men mende deka kati ti neg negat atif if tak tak terh terhig igga ga [x → - ∼ ], jika ia mend mendek ekat atii bena benarr dan dan berja berjara rakk kura kurang ng dari dari semb sembar aran angg bilangan bilangan negatif, betapapun kecilnya. Misal : x → - ∼ pa d a b ar i sa n – 2 , - 4, - 6, - 8, .. .. . . . .. ..
(iii (iii))
( 2)
x mend mendeekati ati tak tak terh terhin inggga [x → ∼ ], jika x → + ∼ yaitu, jika x→ + ∼ atau x → - ∼ .
MATEMATIK
Limit Suatu fungsi f(x) dikatakan mendekati positif tak terhingga untuk x →a, [lim f(x) = + ∼ ], jika x mendekati limitnya a (tanpa x→ a menduga menduga harga a). f(x) f(x) mende mendekat katii benar benar dan berjar berjarak ak lebih lebih besar besar dari dari semb sembara arang ng positif, betapapun besarnya. Sebu Sebuah ah fungs fungsii f(x) f(x) dikata dikatakan kan mende mendekat katii nega negatif tif tak terhin terhingg ggaa untuk x →a, [lim x→ a f(x) = - ∼ ]. Jika x mendekati limitnya a (tanpa menduga menduga harga a). f(x) mendekati benar dan berjarak kurang dari sembarang bilangan negatif, betapapun kecilnya. Sebuah fungsi f(x) dikatakan mendekati tak terhingga untuk x →a. [lim f(x) = ∼ ], jika lim f(x) = + ∼ . x→ a x→ a Contoh : (a)
Untuk x →2 pada barisan (1) ; f(x) = 1 → + ∼ pada barisan 2-x 1, 2, 3, 4 .... ...... ..se seca cara ra umum umum jika jika , maka maka x → 2 ................. .................dan dan kita tuliskan: 1 →+∼ 2−x lim
1
=+∼
2 − x
lim → 2
( b) Un t uk x →2 pada barisan (2), f ( x) = 1 → − ∼ pada barisan 2 − x –10, -100, -1000, ......... ........ . secara umum jika x → 2 +, maka : 1
→ − ∼ dan ditulis lim 1 = − ∼ 2 − x 2 − x f ( x )
lim
1
2 − x x → 2
=∼
= 1 → + ∼ 2 − x
MATEMATIK
Limit Un t uk x →2 pada (1) dan (2),
( c)
Catatan : Simbol-s Simbol-simbo imboll + ∼ , - ∼ , ∼ bukan bukan merupaka merupakann bilangan bilangan-bilan -bilangan gan baru baru yang yang akan akan dikate dikatego gorik rikan an sebag sebagai ai bilang bilanganan-bil bilang angan an real. real. Simbol-simbol itu menunjukkan sebuah type tertentu dari tingkah sebuah ariabel atau sebuah fungsi. Ketika sebuah variabel atau sebuah fungsi bertambah secara tetap harganya tetapi tak pernah melampaui suatu bilangan tertentu M, variabel atau fungsi mendekati M atau beberapa bilangan yang lebih kecil sebagai limit. Jika tidak ada bilangan M sedemikian rupa, variabel atau fungsi dikatakan menjadi tak hingga. Dalam bab terakhir ini, tidak ada limit, notasi limit digunakan hanya karena mudahnya saja.
TYPE-TYPE LIMIT LAINNYA
Didefinisikan : B.
Li m f ( x) = ∼ jika untuk sembarang bilangan positif M, betapapun x → a
besarnya, tentu ada sebuah bilangan positif δ sedemikian hingga jika 0 < x - a < δ , maka f(x) > M. lim f ( x ) = − ∼
lim f ( x x )→ = Aa x → ∼
+ ∼ f(x) <-M, lim f ( x) =Untuk x → a
MATEMATIK
Limit . Jika Jika untu untukk semb sembar aran angg bila bilang ngan an posi positi tif f ∈ , betapapun
C.
kecilnya, disana ada sebuah bilangan positif M sedemikian hingga jika x > M maka f(x) -A < ∈ .
D.
lim f ( x) =
∼
x → ∼
jika jika untuk ntuk semb sembar aran angg bila bilang ngan an M, bagai agaima mana napu punn
besarnya, tentu ada sebuah bilangan positf P sedemikian hingga ketika x > P, maka f(x) > M.
Jika lim g ( x ) dan lim it f ( x ) ada, teorema-teorema teorema-teorema tentang limit dari bab ini x → ∼
x →∼
berarti berarti benar. Mereka jangan digunakan tetapi, lim f ( x) = ∼ dan lim g ( x ) ∼ jika x → a
atau ketika lim f ( x ) = ∼ dan lim g ( x) = ∼ . sebagai contoh : x →∼
x →∼
= ∼ dan lim 1 2 = ∼ 1− 2 x →∼ 1 − x x → 1 lim
x
x 1 − 1
lim x→1
tetapi
1
= xlim x (1 + x ) = 2. Demikan juga → 1 1 − x 2
( x 2 + 5) = + ∼ dan lim ( 2 − x 2 ) = − ∼ , tetapi lim x → + ∼ x→+ ∼ { ( x 2 + 5) = + ( 2 − x 2 ) } = lim 7 = 7 lim x→ + ∼ x → + ∼
PEMECAHAN MASALAH
1. Tentuka Tentukann limit limit dari dari setiap setiap barisa barisann berikut berikut :
x → a
MATEMATIK
Limit a) 1, 1/2, 1/3, ¼, 1/5, .......... ............... ........ ... b) b) 1, 1/4, 1/4, 1/9, 1/9, 1/16, 1/16, 1/25, 1/25, ......... ............. .... c) 2, 5/2, 8/3, 11/4, 11/4, 14/5, 14/5, .......... .............. d) 5, 4, 11/3, 11/3, 7/2, 17/5, 17/5, .......... ............... ..... Penyelesaian Penyelesaian : a) Rumu umus umum umumny nyaa 1/12. /12. Untuk ntuk n meru merupa paka kann peru peruba baha hann pada pada harga-harga 1, 2, 3, 4 ............., 1/n berkurang tetapi ,asih positif. Limitnya adalah 0. b) Rumu Rumuss umum umumny nyaa (1/n) (1/n) 2 ; limitnya 0. c) Rumu Rumuss umum umumny nyaa 3-1/n 3-1/n ; limitn limitnya ya 3. 3. d) Rumu Rumuss umum umumny nyaa 3 + 2/n 2/n ; limitn limitnya ya 3. 3.
Evaluasikanlah : 4
x −
a)
x →4
c)
d)
4
1
−
27
=
lim x 2 − 9
x →3
lim
3 −+ h 2 (3 lim →2 →
=
h
4
−
( x − 3) ( x 2
+
3 x + 9)
lim
x 2
+
2 + 55 ) x +
=
= 6(3 −
x 2
+
3 x + 9
+
=
h
=
lim
+
5) (3 + x
5 +
2hx + h 2
=
h
2 x
(4 − x ) (3 + x 2
=
5)
9 2
h→0
( 4 − x 2 ) (3 + x
=
7
x+3
2hx + h 2 − x 2
h→0
x 2
x 2
( x − 3) ( x + 3)
x→3
( x + h) 2 − x 2
h→0
lim
lim
1
=
x →4 x + 3
x→4
x 3
b)
x −
lim x 2 − x − 12 = lim ( x + 3) ( x − 4) = lim
lim
4 − x2
x →2
x
x 2 + x − 2
e)
lim 2 x →1 ( x − 1)
lim
3 x − 2
x → ∼ 9 x + 7
=
=
lim
x→2
lim
x→∼
( x − 1) ( x + 2) ( x − 1) 2
( x − 1) ( x + 2)
x − 1
=
x + 2
lim x − 1
=∼
. Tak ada lim it
x →1
=
lim
3 − 2 / x
x →∼ 9 + 7 /
x
=
30 9+0
=
3 9
+
5
MATEMATIK
Limit 2. a) 6 x 2
b) lim
x→ ∼ 6 x
c) xlim →∼
d)
−
2 x + 1
=
x → ∼
2 x 3
x 2
lim
1 / x + 1 / x 2
1
−
2 / x 3
4 − 1/ x3
x→∼
=
+
lim 6 − 3 / x + 4 / x 2
=
x→∼
=
4 x 3 − 1
6 + 2 / x + 1 / x 2
=
3 x + 4
x 2 + x − 2
=
lim
2
+
2
lim
x →∼ 1 / x + 1 / x
3
3. Dibe iberika rikann f(x) f(x) = x – 3x, tentukan
=
6−0−0
=
0
=
4
1
0
= ∼
lim
2
6+0+0
f ( x + h) − f ( x)
h →0
h
Untuk f(x) = x 2 – 3x, f(x + h) = (x + h) 2 – 3(x + h), dan
lim
7( x + h) − f ( x ) h
h →0
= lim
( x 2 + 2hx + h 2 − 3 x − 3h) − ( x 2 − 3 x )
h →0
= lim
2h + h 2 − 3h h
h →0
4. = lim x →0
1 − cos x x 2
= lim
2 sin 2 1 / 2 x x 2
x→0
sin 1 / 2 x
= 1 lim 2 x→0 1 / 2 x
h
= lim (2 x + h − 3) = 2 x − 3 h →0
sin 2 1 / 2 x . lim (1 / 2 x) 2 .1 / 2 x →0
. = lim sin1 /12/x2 x = 12 x→0
5. = lim tg x −3sin x = lim tg ( 1 − 3cos x) x x x →0 x→0 tg x . 2 sin 2 1 / 2 x = lim x3 2 x →0 tg x . 2 sin 1 / 2 x
= lim → x
0
x3
tg x = lim tg x = 2 lim →0 x = 2 xlim = xlim →0 0 x 0
sin 2 1 / 2 x 1 . sin (1 /12/x2) x2 . 14lim sin 1 / 2 x . 1 1 / 2 x 2 0 1 / 2x 4
MATEMATIK
Limit
= 1 .2 =1 4
SOAL-SOAL
1. Evalu aluasik asikaanlah nlah : a)
2 ( x l i m − 4 x)
x→ 2
b)
3 2 x + 2 x − 3 x − 4) ( lim
x →
c)
1
(3 x − 1) 2
lim li m ( x + 1) 3
x → 1
3 x − 3 x −
d)
e)
lim li m
x
x → 0 3
+
3 x −
x − 1
lim li m x 2 − 1
x → 2
f)
x 2 − 4
lim li m x 2 − 5 x + 6
x → 2
g)
x 2 + 3 x + 2
lim li m x 2 + 4 x + 3
x → − 1
x − 2
lim li m x 2 − 4
x → 2
2
MATEMATIK
Limit h)
i)
j)
lim li m
x → 2
x − 2 x2 − 4 x − 2
lim li m x 2 − 4
x → 2
k)
l)
2. a)
lim li m
( x + h) 3 − x 3 h
h→ 0
lim li m
x → 1
x − 1 x2 + 3− 2
2 x + 3
lim li m 4 x − 5 ∼
x →
b)
2 x 2 + 1
lim li m 6 + x − 3 x 2 ∼
x →
c)
d)
e)
x
lim li m x 2 + 5 ∼
x →
lim li m
x →
∼
x 2 + 5 x + 6 x+1 x + 3
lim li m x 2 + 5 x + 6 ∼
x →
3 x − 3 x −
lim li m 3 x + 3 x
x → + ∼
−
3 x − 3 x −
lim li m 3 x + 3 x
x → − ∼
−
MATEMATIK
Limit f)
g)
3. Evalu aluasik asikaanlah nlah :
a)
lim li m
x → 0
s in a x x
4. Dibe Diberik rikan an f(x) f(x) =
b) lim li m t g 2 x . c o se c 3 x
c)
x → 0
5 x + 1 , tent tentuk ukan an
Jika x > 1/5.
lim li m
h→ 0
1 + c o s x
lim li m ( x − π ) 2
x → π
f ( x + h) − f ( x) h
Jawaban : (a) -4 ; (b) (b) 0 ; (c) (c) 1/2 1/2 ; (d) (d) 0 ; (e) (e) 1/3 1/3 ; (f) (f) –4 ; (g) (g) 1/2 1/2 ; (h) (h) 1/4 1/4 ; (i) (i) 0 ; (j) ∼ ; (k) 3x 2 ; (l) 2. (a) (a)
1/2 1/2 ; (b) (b) –2/ –2/33 ; (c (c) 0 ; (d (d) ∼ ; (e) 0 ; (f) 1 ; ( g) -1
(a) (a)
a ; (b) (b) 2/ 2/3 ; (c) (c) 1/2 1/2 ; da dan
5 2 5 x + 1
