MATEMATIKA HINDU
1. Perkembangan Sejarah Peradaban terdini anak benua India adalah Peradaban Lembah Indus yang mengemuka di antara tahun 2600 dan 1900 SM di daerah aliran Sungai Indus. Kota-kota mereka teratur secara geometris, tetapi dokumen matematika yang masih terawat dari peradaban ini belum ditemukan. Matematika Vedanta dimulakan di India sejak Zaman Besi. Shatapatha Brahmana (kira-kira abad ke-9 SM), menghampiri nilai π, dan Sulba Sutras (kirakira
800–500
SM)
yang
merupakan
tulisan-tulisan geometri yang
menggunakan bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik, menghitung akar kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan, memberikan metode konstruksi lingkaran yang luasnya menghampiri persegi yang diberikan, menyelesaikan persamaan
linear dan kuadrat,
mengembangkan tripel
Pythagoras secara aljabar, dan memberikan pernyataan dan bukti numerik untuk teorema Pythagoras. Semua
dasar-dasar
Phytagoras
menemukan
matematika teorema
adalah
Phytagoras
berasal juga
adalah
dari hasil
India. dari
pengembangan dasar-dasar matematika yang diperkenalkan oleh orang India. Termasuk teori algebra yang diperkenalkan oleh Aljabar kepada bangsa arab juga berasal dari india sebenarnya. Suatu kali Enstein pernah mengatakan bahwa dunia berutang budi pada India dalam hal science termasuk dalam hal ilmu hitunghitungan (matematika). Menurutnya orang barat tidak akan pernah mengenal science tanpa mempelajari naskah-naskah kuno India yang bicara banyak tentang science.
1
2. Tokoh-Tokoh Matematika Hindu a. Aryabhata, yang hidup pada tahun 476 – 520 A.D, adalah ahli matematika Hindu pertama yang dikenal dunia. Risalah atau tulisannya mengenai subyek ini adalah karya Hindu yang pertama mengenai matematika murni, dan terdiri dari tiga-puluh-tiga sloka. Ia menjelaskan mengenai sebab-sebab gerhana matahari dan bulan. Dia memberikan peraturan (rule) untuk pemecahan sederhana dari persamaan sederhana lanjutan (simple intermediate equations) dan penetapan yang tepat mengenai nilai (accurate determination of value). Aryabhata menyatakan hubungan keliling sebuah lingkaran pada diameternya (relation of the circumperence of a circle to its diameter) b. Brahma Gupta, hidup dari tahun 598 sampai 660 A.D. Karyanya dikenal sebagai Brahma-Siddhanta dan ini terdiri dari dalil dan peraturan (theorem and rules). Setelah Brahma Gupta, ahli matematika bessar berikutnya adalah Lalla yang dalam tahun 748 menulis buku tipis mengenai teori matematika. Mahawira, yang hidup dalam tahun 850 A.D, membahas persamaan kwadrat (quadratic equations). Informasi yang amat berharga mengenai matematika Hindu terdapat dalam manuskrip/prasasti Bakshali yang ditemukan di India Utara pada tahun 1881. Dalam manuskrip ini, sebuah tanda tambah kecil dipergunakan untuk mewakili jumlah negatif dan nol diwakili oleh sebuah titik. c. Seorang ahli matematika belakangan menjadi termashur adalah Bhaskara, yang hidup dari tahun 1114 sampai 1160 A.D. Dia adalah pengarang dari Bija-Ganita, satu karya mengenai matematika, Siddhanta-Siromani mengenai astronomi, dan Lilawati mengenai aljabar. Dalam komputasinya mengenai ukuran dari atom hidrogen ia menggunakan kalkulus diferensial.
2
3. Perhitungan Bilangan Pada mulanya bangsa India menjumlahkan bilangan dari kiri kekanan, tetapi kemudian berubah dari kanan kekiri. misalnya penjumlahan bilangan 276 dan 265 dengan cara sebagai berikut: 2+2 = 4 selanjutnya 7+6 = 13, sehingga 4 berubah jadi 5 dengan sisa 3 6+5 = 11, sehingga 3 berubah jadi 4 dengan sisa 1 Akhirnya didapatkan jumlah 541 cara praktisnya dari contoh soal tadi, 2+2=
7+6=
6+5=
+
4 3
1 + 1
Hasilnya 541 1
Atau dengan proses sebagai berikut : Jumlah bilangan satuan
: 6 + 5 = 11
Jumlah bilangan puluhan
: 7 + 6 = 13
Jumlah bilangan ratusan
:2+2=4
+
= 541 Demikian pula perkalian dua buah bilangan, misalnya 125 dengan 6. Prosesnya : 6 x 1 = 6 ditulis diatas bilangan 125, selanjutnya : 6 x 2 = 12 dengan menambahkan bilangan 6 dengan 1 : 6 x 5 = 30 dengan menambahkan bilangan 2 dengan 3 Jadi hasilnya adalah 750 Cara lain dapat dilakukan sebagai berikut, misalnya 125 x 6 dengan cara pertama 125 x 2 = 250, selanjutnya 250 x 3 = 750, yang nampaknya cara ini menggunakan sifat asosiatif atau cara lain yakni 125 x 2 = 250 dan dijumlahkan 3
dengan 125 x 4 = 500 sehingga hasilnya 750, nampaknya cara ini menggunakan sifat distributif. Prosesnya sebagai berikut : Cara asosiatif: 125 x 6 = (125 x 2) x 3
1
1
250
240 125 x 2
750
650 250 x 3
Cara distributif: 125 x 6 = 125 x ( 2 + 4)
1
2
250
240
480
125 x 2 250
+
500
125 x 4 500
=
750
4. Perbedaan Matematika Hindu dan Yunani Ada perbedaan antara matematika Yunani dan Hindu, yakni: a) Matematika Yunani dalam perkembangannya untuk matematika itu sendiri, tetapi matematika India untuk kepentingan pekerja (aplikasi) terutama bidang astronomi. b) Matematika Yunani dapat dipelajari oleh siapa saja, tetapi matematika Hindu hanya boleh dipelajari untuk kasta-kasta tertentu saja. c) Matematika Yunani lebih menitik beratkan pada geometri, sedangkan matematika Hindu pada perhitungan (Aritmatika). d) Matematika Yunani lebih menitik beratkan pada logika berpikir, tetapi Matematika Hindu pada bahasa. 4
MATEMATIKA ARAB
1. Perkembangan Sejarah Pada awal abad ketujuh kaum muslimin dibawah kepemimpinan Mohamed menguasai tanah dari India hingga ke Spanyol, termasuk bagian Afika Utara dan Italia Selatan. Ketika orang-orang arab menetap dikota-kota baru, mereka banyak yang terjangkit penyakit terutama sekali penyakit dalam kehidupanya dipadang pasir. Pada masa itu Dokter dibatasi terutama hanya untuk orang-orang Yunani dan Yahudi saja. Didorong oleh Khalifah (para Pemimpin Arab lokal), para Dokter diminta menetap di Baghdad, Dasmakus dan kota-kota lain. Situasi Sosial murni antar mereka menyebabkan kontak antara dua budaya yang berbeda yang pada akhirnya menyebabkan penyebaran pengetahuan matematika. Sekitar tahun 800, khalifah Harun Al Rasyid memerintahkan karya-karya dari Hippocrates, Aristoteles, dan Galen diterjemahkan ke dalam bahasa Arab. Pada abad kedua belas, terjemahan bahasa Arab selanjutnya diterjemahkan kembali ke dalam bahasa Latin sehingga dapat diakses oleh orang Eropa. Catatan yang penting saat ini, kita mengingat kembali orang-orang Arab dengan tradisi pelestarianya dalam perkembagan matematika dan sains, karena tanpa upaya mereka, banyak karya klasik akan hilang.
2. Tokoh-Tokoh Matematika Arab a. Abul Hakam Umar bin Abdurrahman bin Ahmad bin Ali Al-Kirmani adalah cendekiawan besar abad ke-12 dari Kordoba, Al-Andalus. Ia adalah murid dari Maslamah Al-Majriti. Ia mempelajari dan berkarya di bidang bidang geometri dan logika. Menurut muridnya Al-Husain bin Muhammad AlHusain bin Hayy Al-Tajibi, "tak ada yang sepandai Al-Kirmani dalam memahami geometri atau jawaban atas pertanyaan-pertanyaannya yang
5
tersulit, dan dalam mempertunjukkan seluruh bagian dan bentuknya." Ia lalu pindah ke Harran, Al-Jazirah (sekarang terletak di Turki). Disana ia mempelajari geometri dan kedokteran. Ia lalu kembali ke Al-Andalus dan tinggal di Sarqasta (Zaragoza). Ia diketahui menjalankan praktek bedah seperti amputasi dan kauterisasi. b. Abul Wafa Muhammad Ibn Muhammad Ibn Yahya Ibn Ismail Buzjani (Buzhgan, Nishapur, Iran, 940 – 997 / 998) adalah seorang ahli astronomi dan matematikawan dari Persia. Pada tahun 959, Abul Wafa pindah ke Irak, dan mempelajari matematika khususnya trigonometri di sana. Dia juga mempelajari pergerakan bulan; salah satu kawah di bulan dinamai Abul Wáfa sesuai dengan namanya.
Salah satu kontribusinya dalam trigonometri adalah mengembangkan fungsi tangen dan mengembangkan metode untuk menghitung tabel trigonometri. Abul Wafa menemukan relasi identitas trigonometri berikut ini:
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) cos(2a) = 1 − 2sin2(a) sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
dan menemukan rumus sinus untuk geometri sferik (yang tampak mirip dengan hukum sinus).
c. Ahmad ibnu Yusuf al-Misri (835 - 912) adalah seorang matematikawan, putra dari Yusuf ibnu Ibrahim yang juga seorang matematikawan. Ahmad ibnu Yusuf lahir di Baghdad, Irak dan kemudian pindah bersama bapaknya ke Damaskus pada tahun 839. Kemudian ia pindah lagi ke Kairo, dan dari sini lah namanya mendapat tambahan al-Misri (dari Mesir). Ahmad ibnu Yusuf
6
menulis buku tentang perbandingan dan pecahan. Buku ini diterjemahkan ke dalam Bahasa Latin oleh Gherard of Cremona dan merupakan penjelasan terhadap Elements karangan Euclid. Buku ini pula mengilhami beberapa matematikawan awal Eropa seperti Fibonacci dan Jordanus Nemorarius.
d. Al
Battani (sekitar
850-
923)
adalah
matematikawan dari Arab. Al Battani
seorang ahli
astronomi
dan
bernama lengkap Abu Abdullah
Muhammad ibn Jabir ibn Sinan ar-Raqqi al-Harrani as-Sabi al-Battani), lahir di Harran dekat Urfa. Salah satu pencapaiannya yang terkenal adalah tentang penentuan tahun matahari sebagai 365 hari, 5 jam, 46 menit dan 24 detik. Al Battani juga menemukan sejumlah persamaan trigonometri. Beliau juga memecahkan persamaan sin x = a cos x dan menggunakan gagasan al-Marwazi tentang
tangen
dalam
mengembangkan
persamaan-persamaan
untuk
menghitung tangen, cotangen dan menyusun tabel perhitungan tangen.Battani bekerja di Suriah, tepatnya di ar-Raqqah dan di Damaskus, yang juga merupakan tempat wafatnya. e. Abu Raihan Al-Biruni (juga, Biruni, Al Biruni) (15 September 973 - 13 Desember 1048) merupakan matematikawan Persia, astronom, fisikawan, sarjana, penulis ensiklopedia, filsuf, pengembara, sejarawan, ahli farmasi dan guru, yang banyak menyumbang kepada bidang matematika, filsafat, dan obatobatan. Abu Raihan Al-Biruni dilahirkan di Khawarazm di Asia Tengah yang pada masa itu terletak dalam kekaisaran Persia. Dia belajar matematika dan pengkajian bintang dari Abu Nashr Mansur.
Abu Raihan Al-Biruni merupakan teman filsuf dan ahli obat-obatan Abu Ali Al-Hussain Ibn Abdallah Ibn Sina/Ibnu Sina, sejarawan, filsuf, dan pakar etik Ibnu Miskawaih, di universitas dan pusat sains yang didirikan oleh putera Abu Al Abbas Ma'mun Khawarazmshah. Abu Raihan Al-Biruni juga mengembara 7
ke India dengan Mahmud dari Ghazni dan menemani beliau dalam ketenteraannya di sana, mempelajari bahasa, falsafah dan agama mereka dan menulis buku mengenainya. Dia juga mengetahui bahasa Yunani, bahasa Suriah, dan bahasa Berber. Dia menulis bukunya dalam bahasa Persia (bahasa ibunya) dan bahasa Arab. Sebahagian karyanya ialah:
Beliau membuat penelitian radius Bumi kepada 6.339,6 kilometer (hasil ini diulang di Barat pada abad ke 16). Hasil karya Al-Biruni melebihi 120 buah buku. Sumbangannya kepada matematika termasuk:
aritmatika teoritis and praktis
penjumlahan seri
analisis kombinatorial
kaidah angka 3
bilangan irasional
teori perbanalisis kombinatorial
kaidah angka 3
bilangan irasional andingan
definisi aljabar
metode pemecahan penjumlahan aljabar
geometri
teorema Archimedes
sudut segitiga
Peraturan Mas'udi merupakan sebuah buku tentang Astronomi, Geografi dan Keahlian Teknik. Buku ini diberi nama Mas'ud, sebagai dedikasinya kepada Mas'ud, putra Mahmud dari Ghazni.
8
f. 'Umar Khayyam (18 Mei 1048 – 4 Desember 1131), dilahirkan di Nishapur, Iran. Nama aslinya adalah Ghiyātsuddin Abulfatah 'Umar bin Ibrahim Khayyami Nisyaburi. Khayyam berarti "pembuat tenda" dalam bahasa Persia.
Pada masa hidupnya, ia terkenal sebagai seorang matematikawan dan astronom yang memperhitungkan bagaimana mengoreksi kalender Persia. Pada 15 Maret 1079, Sultan Jalaluddin Maliksyah Saljuqi (1072-1092) memberlakukan kalender yang telah diperbaiki Umar, seperti yang dilakukan oleh Julius Caesar di Eropa pada tahun 46 SM dengan koreksi terhadap Sosigenes, dan yang dilakukan oleh Paus Gregorius XIII pada Februari 1552 dengan kalender yang telah diperbaiki Aloysius Lilius (meskipun Britania Raya baru beralih dari Kalender Julian kepada kalender Gregorian pada 1751, dan Rusia baru melakukannya pada 1918). Dia pun terkenal karena menemukan metode memecahkan persamaan kubik dengan memotong sebuah parabola dengan sebuah lingkaran.
g. Muhammad
bin
Musa
al-Khawarizmi adalah
seorang
ahli matematika, astronomi, astrologi, dan geografi yang berasal dari Persia. Lahir sekitar tahun 780 di Khwarizm (sekarang Khiva, Uzbekistan) dan wafat sekitar tahun 850. Hampir sepanjang hidupnya, ia bekerja sebagai dosen di Sekolah Kehormatan di Baghdad Buku pertamanya, al-Jabar, adalah buku pertama yang membahas solusi sistematik dari linear dan notasi kuadrat. Sehingga ia disebut sebagai Bapak Aljabar. Translasi bahasa Latin dari Aritmatika beliau, yang memperkenalkan angka India,
kemudian
diperkenalkan
sebagai
Sistem
Penomoran
PosisiDesimal di dunia Barat pada abad ke 12. Ia merevisi dan menyesuaikan
9
Geografi Ptolemeus sebaik mengerjakan tulisan-tulisan tentang astronomi dan astrologi. Kontribusi beliau tak hanya berdampak besar pada matematika, tapi juga dalam kebahasaan. Kata Aljabar berasal dari kata al-Jabr, satu dari dua operasi dalam matematika untuk menyelesaikan notasi kuadrat, yang tercantum dalam buku beliau. Kata logarisme dan logaritma diambil dari kata Algorismi, Latinisasi dari nama beliau. Nama beliau juga di serap dalam bahasa Spanyol Guarismo dan dalam bahasa Portugis, Algarismo yang berarti digit.
3. Perhitungan Bilangan Cara lain metode perkalian bilangan diketahui dari arab yang diduga cara ini didapat dari Hindu (India) sebagai berikut : 126 x 13 = 1638
1
1
6
2
6
1
2
3
6 3
6 1
8
1
3
8
10
Aritmatika dan Aljabar Perkembangan
Aritmatika
memberikan
kontribusi
yang
signifikan
pada
perkembangan aljabar. Beberapa problema Aritmatika diselesaikan dengan cara kedudukan palsu. Cara yang lebih pavorit untuk menyelesaikan suatu problem denga metode inversi, yakni dimulai dari belakang (akhir) atas informasi yang diberikan. Ilustrasi : suatu bilangan dikalikan dengan 3, kemudian dinaikkan dengan kalinya, selanjutnya
dibagi
6,
dikurangi
selanjutnya
dikalikan dengan dirinya sendiri, dikurangi dengan 64, ditarik dengan akar kuadrat, selanjutnya dibagi 3, hasilnya 2. Berapa bilangan tersebut ?
Cara Manual dari Aritmatika dan Aljabar
√([
(
)])
=2
√(
(
√(* √(
+*
))
+)
)
=6
=6
=6
= 36 + 64 = 100 x 144 11
= 14400
= = 576 √ x = 24
Cara inversi dari Aritmatika dan Aljabar dengan metode inversi dimulai dari belakang sebagai berikut : {(2)(3)}2 + 64 = 62 + 64 = 36 + 64 = 100 √
= 10
(10) (2) (6) ( ) ( ) = 24 Keterangan : 1
= inversinya 2
1
= inversinya
12
Soal dan Jawaban
1. Sebutkan tokoh-tokoh Matematika Hindu ! Jawab : Tokoh-tokoh matematika Hindu antara lain : a. Aryabhata b. Brahma Gupta c. Bhaskara 2. Sebutkan tokoh-tokoh Matematika Arab ! Jawab : Tokoh-tokoh matematika arab antara lain : a. Abul Hakam Umar bin Abdurrahman bin Ahmad bin Ali Al-Kirmani b. Abul Wafa Muhammad Ibn Muhammad Ibn Yahya Ibn Ismail Buzjani c. Ahmad ibnu Yusuf al-Misri d. Al Battani e. Abu Raihan Al-Biruni f. 'Umar Khayyam g. Muhammad bin Musa al-Khawarizmi 3. Sebutkan perbedaan Matematika Yunani dan Hindu ! Jawab : Perbedaan antara matematika Yunani dan Hindu, yakni: e) Matematika Yunani dalam perkembangannya untuk matematika itu sendiri, tetapi matematika India untuk kepentingan pekerja (aplikasi) terutama bidang astronomi. f) Matematika Yunani dapat dipelajari oleh siapa saja, tetapi matematika Hindu hanya boleh dipelajari untuk kasta-kasta tertentu saja. g) Matematika Yunani lebih menitik beratkan pada geometri, sedangkan matematika Hindu pada perhitungan (Aritmatika). h) Matematika Yunani lebih menitik beratkan pada logika berpikir, tetapi Matematika Hindu pada bahasa.
13
4. Siapakah tokoh matematika Arab yang disebut sebagainya Bapak Aljabar ? Jawab : Muhammad bin Musa al-Khawarizmi
5. Siapakah Bapak Matematika sebenarnya dari India ? Jawab : Aryabhata 6. Hitunglah perkalian bilangan 275 dan 18 dengan cara Hindu ! Jawab : 275 x 18 = 275 x (9 x 2) (cara asosiatif) 64
11 4840
2475
1835 275 x 9
4950
2475 x 2
7. Hitunglah perkalian bilangan 127 dan 19 dengan cara Arab ! Jawab : 1 2 7 1
2 1
9 2
4
1
8
7 6
3
1
9
3
8. Suatu bilangan dikalikan 3, kemudian ditambahkan dengan
dari bilangan itu
kemudian dikalikan dengan dirinya sendiri dan ditambahkan dengan 2 hasilnya 6. Berapakah bilangan tersebut (kerjakan dengan cara invers) ! Jawab : 14
6–2=4;√ =2 2
= . =
9. Hitunglah penjumlahan 128 dan 312 dengan cara Hindu ! Jawab : 218 ditambahkan 312 dari kanan ke kiri 2+3=5 1+1=2 8 + 2 = 10 , 2 berubah menjadi 3 dengan sisa 0 Jadi, 218 dijumlahkan dengan 312 adalah 530
10. Kerjakan soal no.8 dengan cara manual ! Jawab : Misal bilangan tersebut adalah x ( 3x + )2 + 2 = 6 ( 3x + )2 = 4 3x +
=√
3x +
=2
3x = X
=
15
