Capitulo 1 1. MATRICES 1.1 Definición.- Una matriz es un arreglo rectangular de números reales ordenados en filas y columnas, se denota con las letras mayúsculas A,B,C,.... A,B,C,.... El conjunto de elementos o componentes componentes se denota por aij y una matriz por:
A = [aij]mxn = (aijmxn ! donde los subndices indican i! la fila en la "ue est# la componente y j la columna correspondiente. i.e.
A!$aij %m&n !
(( (' ..... ( .... ' '( '' :::::: ::: :::: ::::::::: ( ' :::: a
a
a
a
a
a
a
n
a
n
a
m
m
nm nxm
donde aij ocupa la intersecci)n de la i-*sima fila y la j-*sima columna. columna.
Aplicaciones Aplicaciones --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1." #$%en %e una mat$i& El orden de una matriz est# dado por el producto indicado m&n donde m y n son los sub ndices de la matriz matriz tales "ue "ue m indica indica el número de filas filas y n el número de columnas. Ejemplo:
El orden de la matriz
A!
( 0 ' / . - , +
es '&0.
El conjunto de matrices de orden m&n con coeficientes 1 se denota por 1 m&n, es decir:
' mxn=A)A=(aijmxn* Ejemplo: Escribir e&plcitamente e&plcitamente la matriz: a% A ! $aij%∈1 '&'2 aij ! 'i-j b% B !$bij% ∈1 &'2 bij ! min3i,j4 5olucion.
-------------------------------------------------------------------
'
Aplicaciones Aplicaciones -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Escribiremos Escribiremos las componente componente de cada matriz de acuerdo a lo "ue esta definido cada una de la matrices. a% 6enemos "ue A ! $aij%∈1 '&'2 aij ! 'i-j entonces la matriz
A!
a(( a(' a a '( '' ' ' x
7onde: a(( ! '-( ! ( 8 a(' ! '-' ! '$'%-( ! 8 a'' ! '&'-' ! '
∴
A!
8
a'( !
( . , '
b% Como la matriz B esta definido definido por B !$bij% ∈1 &'2 bij ! min3i,j4 entonces
-------------------------------------------------------------------
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
B!
b(( ! ( 8 b( ! ( 8
b(( b(' b b '( '' b,( b,' x, '
b(' ! ( 8 b' ! '
∴
B!
de donde tenemos "ue
b'( ! (
8
b'' ! '
8
( ( ( ' ( ' x, '
1.+. Tipos de Matrices: 1.+.1., Mat$i& Rectan-ula$.- 9a matriz de orden m&n con m≠ n, es una matriz rectangular.
-------------------------------------------------------------------
0
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
Ejemplo: Una matriz rectangular de orden '&0 es
B!
( 0 ' / . - , +
1.+."., Mat$i& Columna., 9a matriz de m filas y una sola columna se denomina matriz columna de orden m&(. Ejemplo:
A!
− ' 0
es una matriz columna de orden &(.
1.+.+., Mat$i& ila.- Es una matriz de orden (&n de una sola fila y n columnas. Ejemplo 9 a matriz fila A ! ( ' 0 +; es de orden (&0.
-------------------------------------------------------------------
+
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
1.+./., Mat$i& Ce$o o 0ulo.- Es una matriz cuyos elementos son todos nulos. i.e. A = (aij )mxn es una matriz nula si y solo si aij = 0 , ∀ i , j con i ! (,',...,m y j ! (,',...,n. Una matriz nula denotado por θ
Ejemplo :
θ
!
. . . . . . . . ' 0 x
1.+.., Mat$i& Cua%$a%a., Una matriz A de orden m&m es cuadrada si el número de filas es igual al número de columnas es decir m = n. El conjunto de matrices cuadradas se denota por < m&m!< m.
Ejemplo: Una matriz de orden & es
-------------------------------------------------------------------
/
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
A!
a(( a(' a(, a a a '( '' ', a,( a,' a,, x, ,
#23. En una matriz Cuadrada de orden n&n, la diagonal principal es una lnea formada por los elementos: a(( ,a'' , a ,..., ann y se denota por 7$a(( ,a'' , a ,..., ann%
T$a&a %e una Mat$i& ., 9a traza de una matriz cuadrada A de orden n&n denotado por 6r$A% es la suma de todo los elementos de la diagonal principal. i.e. 6r$A% ! a(( = a'' = a =...= ann ! ∑ aii
, i ! (,',...n
1.+.4., Mat$i& I%enti%a%.- Una matriz identidad denotado por >, es una matriz cuadrada donde los elementos de la diagonal principal son todos, la unidad y los dem#s elementos son ceros. i.e
-------------------------------------------------------------------
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
I = (aij )nxn us una matriz identidad si y solo sí aij !
( sí i = j sí i ≠ j Ejemplo: Una matriz identidad de orden & es
>!
( . . . ( . . . (, x,
1./. Igualdad de Matrices. Definición., 5ea las matrices A!$aij%m&n y B!$bij%m&n, 5e dice "ue la matriz A es igual a la matriz B s y solo si son del mismo orden y sus respecti?os componentes son tambi*n iguales. i.e. (aij )mxn = (bij )mxn si y solo si aij = bij
Ejemplo. 7adas las matrices A y B tales "ue
-------------------------------------------------------------------
@
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
x − y ( A ! $aij%∈1 '&'2 aij ! 'i- $-(% j y B !
x, − y ,
allar los ?alores de & e y s A ! B. 5oluci)n.
9a matriz A e&presado e&plcitamente es A !
, ( + ,
como A
!B entonces los respecti?os elementos de la matriz son iguales, es decir: &y! & y ! + de donde resol?iendo el sistema tenemos "ue: & ! ( 8 y ! -'
1. A%ición %e Mat$ice3.
-------------------------------------------------------------------
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
Definición., 7adas dos matrices A ! aij;m&n y B ! bij;m&n, se denomina suma de A y B a otra matriz C ! cij;m&n, tal "ue
cij = aij 5 2ij donde cij;m&n ! aij;m&n = bij;m&n ! aij= bij;m&n
9a adici)n de matrices es una ley de composici)n interna tales "ue un par de matrices del mismo orden Dace corresponder en otra matriz del mismo orden llamado matriz suma. i.e =: < m&n & < m&n → < m&n $aij;,bij;% →cij; ! aij; = bij; Ejemplo : 5ean las matrices
A!
, ( + 0 ' ' x
y B!
− ( - − ' . ' ' x
entonces la matriz suma C es
-------------------------------------------------------------------
(
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
C!
, + $−(% (+ - + + $−'% 0 + . ' ' x
∴ C !
' @ , 0 ' ' x
6$opie%a%e3 5 A , B y C∈ < m&n, entonces se cumple: i% $ A = B% ∈ < m&n ii% A = B ! B = A iii% A = $B = C% ! $A = B% = C
i?%
∃! θ∈ < m&n tales "ue
A = θ ! A , ∀ A∈ < m&n
-------------------------------------------------------------------
((
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
?%
∀ A∈ < m&n , ∃! B ! -A∈ < m&n tales "ue
A = B ! A = $-A% !
θ bs. i% ii%
7os matrices del mismo orden se llama confórmales o compatibles respecto de la suma algebraica. 9as matrices conformables respecto de la suma algebraica, siguen las misma propiedades y leyes de la adici)n "ue sujetan a los elementos "ue las componen.
1.4 .Producto de un Escalar por una Matriz. Definición., 7ado una matriz A!$aij%m&n y un λ∈F , λ≠ , el producto de λ por A esta definido por λA ! λ$aij%m&n ! $λaij%m&n donde cada componente de A se multiplica por λ. Ejemplo :
λA !
a(( a(' a(, λ a a a '( '' ', a,( a,' a,, x, ,
-------------------------------------------------------------------
('
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
λA !
λ a(( λ a(' λ a(, λ a λ a λ a '( '' ', λ a,( λ a,' λ a,, , x,
6$opie%a%e3. 5ea λ y β dos escalares $números reales % y A y B dos matrices de orden m&n, entonces se cumple: i% λ $A = B% ! λA = λB ii% $λ β%A ! λ $βA% ! β$λ A% iii% $λ = β%A ! λ A = βA Ejemplo. 5ean la matrices definidas por
A!
− , + − ' ' ' '
,
x
B!
' − , 0 + ' ' x
y
C!
− - , ' − ( ' ' x
Fesol?er las ecuaciones:
-------------------------------------------------------------------
(
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
a% $G 'A% ! +$B - C% = '$G A - B% b% $G A = B% ! '$G $B = C% $G = C%% 5oluci)n. Hara poder resol?er esta ecuaci)n matricial se procede de la misma forma "ue se realiza en una ecuaci)n lineal en F, para ello se aplica toda las propiedades de la adici)n y la multiplicaci)n es decir: a% $G 'A% ! +$B - C% = '$G A - B% G /A ! +B - +C = 'G 'A - 'B G ! 0A = B - +C
G!0
− , + − ' ' ' '
=
-+
− - , ' − ( ' ' x
x
x
G!
' − , 0 + ' '
−(' '. / − C − ,+ (+ −@ @ (' (+ (. − + ' ' ' ' ' ' =
x
− (' +
/ + ,+
− @ + (' − (.
-
x
x
'. − C − (+ @ + (+ + +
-------------------------------------------------------------------
(0
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
G!
∴
G!
'C − 0 − / '@ ' ' x
∴ b% 5e procede en forma similar "ue en la parte a% G ! A B - @C
∴
G!
,C ' − 0/ −(- ' ' x
1.7. Multiplicación de Matrices.Definición.- 5ean las matrices A!aij;m&p y B!bij; p&n, dos matrices el producto de A y B denotado por A&B ! AB es otra matriz C !$cij%m&n cuyos elementos de encuentran de la siguiente manera:
-------------------------------------------------------------------
(+
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
C ij = ai1 b1j + ai bj + ... + aiP b Pj
es decir :
cij ! ai( ai'
b( j b ' j ...a ; & :::: b pj ip
cij es igual a la i-*sima fila de la matriz A por la j-*sima columna de la matriz B p
cij ! ∑ ai bj =(
6$opie%a%e3. 5 A , B y C son matrices de dimensiones compatibles$conformables% respecto de la suma y producto, entonces se tiene : i% ii% iii% i?%
$AB%C ! A$BC% A$B =C% ! AB = AC AB ≠ BA ∃! >∈< n&n tal "ue A> ! >A ! A 8 > es la matriz identidad
-------------------------------------------------------------------
(/
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
#23e$8ación 9 El producto de matrices AB esta definido si el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Ejemplo. 7eterminar la matriz E ! ABC donde:
A!
− , + 0 − ' ' . ' , x
,
B!
' − , + (. , − + x, '
y
C!
− - , ' − ( ' ' x
5oluci)n.
1.:., Mat$i& T$an3pue3ta. Definición., 7ada una matriz A de orden m&n, se llama matriz transpuesta de A ) traspuesta de la matriz A, a la matriz denotado por At, de orden n&m cuyos elementos se obtienen intercambiando las filas por las columnas en la matriz A. Ejemplo.
-------------------------------------------------------------------
(
Aplicaciones Aplicaciones --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9a transpuesta de la matriz A !
, + 0 ' ' . ' ,
de orden '& es
x
la matriz
At !
' , ' + . 0 x, '
de orden &'
6$opie%a%e3. 5 At y Bt son, respecti?amente, las transpuestas de las matrices de A y B las matrices, conf)rmales respecto a la adici)n y multiplicaci)n, multiplicaci)n, y $ un escalar cual"uiera8 entonces se cumple las siguientes propiedades: (.- $At%t ! A. A. '.- $λA%t ! λAt. .- $A = B%t ! At = Bt . 0.- $AB%t ! At = Bt +.- $AB%t ! BtAt
-------------------------------------------------------------------
(@
Aplicaciones Aplicaciones -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
/.- >t ! > .- $A-(% t ! $At%-( , A-( es la in?ersa de la matriz A Ejemplo
1.;. Matrices Cuadradas Especiales. 5on a"uellas matrices cuadradas "ue tienen ciertas caractersticas o propiedades propias "ue diferencian de las otras, entre ellos tenemos los siguiente:
1.;.1., Mat$i& Sim
9a matriz A !
( + C + 0 / C / ', x,
es una matriz sim*trica puesto "ue
! = !t
-------------------------------------------------------------------
(
Aplicaciones Aplicaciones --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6$opie%a% 1., 5i A es una matriz cuadrada entonces la matriz B definida por B ! A = At es una matriz sim*trica. '.- 5i A es una matriz sim*trica sim*trica entonces la la matriz matriz B definida definida por B ! λA , λ∈F es una matriz sim*trica. Ejemplo.
5ea la matriz A !
( + - @ 0 / . , ', x,
probar "ue la matriz matriz B ! A = At es
sim*trica. Hrueba.
-------------------------------------------------------------------
'
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
Como la matriz A !
( + - @ 0 / . , ', x,
entonces At !
( @ . + 0 , - / ', x, ( + - @ 0 / . , ', x,
donde la matriz definido por B ! A = At es B !
de
=
( @ . + 0 , - / ', x,
-------------------------------------------------------------------
'(
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
B!
' (, - (, @ C - C 0 , x,
es una matriz sim*trica puesto "ue B ! Bt
1.;."., Mat$i& Anti3im
∀ A∈ $
Ejemplo.
-------------------------------------------------------------------
''
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
7escomponer la matriz A !
( + - @ 0 / . , ', x,
como la suma
de una matriz sim*trica y otra matriz antisim*tica. 5oluci)n. 5abemos "ue A ! "ue:
( '
As ! ( '
( '
( + - @ 0 / . , ', x,
As =
=
( '
( '
Aa
entonces se tiene
( @ . + 0 , - / ', x,
-------------------------------------------------------------------
'
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
( '
As
(, - ( ' ' (, C 0 ! es una matriz sim*trica. ' ' - ' ' C' ,, x
( '
( '
( + - @ 0 / . , ', x, − ,' -' , , ' ' − -' − ,' ,,
Aa ! ! ( '
Aa ! !
-
( '
( @ . + 0 , - / ', x,
es una matriz antisim*trica
x
-------------------------------------------------------------------
'0
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
(, - ( ' ' (, C 0 ∴A ! = ' ' - ' ' C' ,, x
− ,' -' , , ' ' − -' − ,' ,,
!
( + - @ 0 / . , ', x,
x
1.;.+., Mat$i& Dia-onal.- Una matriz cuadrada A, se dice "ue es una matriz diagonal si los elementos de la diagonal son no todos iguales a cero y los dem#s son todos ceros. i.e. 7 ! $d ji%n&n es una matriz diagonal si i solo s d ji !
λ i sí i = j sí i ≠ j 7onde λi∈F y e&iste al menos un λi ≠ 9a matriz diagonal se denota por 7 ! diag$d(( d'' d ... dnn%
6$opo3ición. 5i 7 ! diag$d (( d'' d ... dnn% es una matriz diagonal entonces se cumple "ue
-------------------------------------------------------------------
'+
Aplicaciones --------------------------------------------------------------------------------------------r 7r ! diag$ $ d ((
r d ''
...
r d nn %%
Ejemplo
5ea la matriz 7 !
7 !
' 0 ,
entonces la matriz
@ /0 '-
1.;./.,Mat$i& E3cala$., Una matriz diagonal se dice "ue es escalar si todo los elementos de la diagonal principal son iguales. i.e. %a matriz & = (d i ) j nxn es escalar si i solo si & = λ I , λ∈ '"0 Ejemplo
-------------------------------------------------------------------
'/
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
5ea la matriz 7 !
' ' '
entonces la matriz 7 ! '
( ( (
! '>
1.;.., Mat$i& T$ian-ula$ Supe$io$., 9a matriz cuadrada A ! $aij%n&n cuyos elementos situados por debajo de la diagonal principal son todos ceros, se llama matriz triangular superior.
i.e. A = (aij )nxn es *rian+ular uperior si i solo si a ij = 0 , ∀ i - j
9a matriz A !
' - C 0 / ,
es una matriz *rian+ular
-------------------------------------------------------------------
'
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
uperior
1.;.4., Mat$i& T$ian-ula$ Infe$io$., 9a matriz cuadrada A ! $aij%n&n cuyos elementos situados por encima de la diagonal principal son todos ceros, se llama matriz triangular inferior.
i.e. A = (aij )nxn es *rian+ular Inferior si i solo si aij = 0 , ∀ i j
9a matriz A !
' + 0 C ( ,
es una matriz *rian+ular
inferior
1.;.7., Mat$i& 6e$ió%ica., 5ea la matriz cuadrada A ! $aij%n&n , s para un número entero y positi?o p se cumple "ue ! p+1 = ! , se dice "ue A es una matriz peri)dica de periodo p.
-------------------------------------------------------------------
'@
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
6$opie%a%. i A es una matriz periódica de periodo p y sea / = mp # entonces A es una matriz periódica de periodo mp. i.e. í A p# = A entonces Amp # = A
Ejemplo.
5 A es una matriz peri)dica de periodo igual a 0 . allar el periodo y calcular la matriz A((. 5oluci)n.
1.;.:., Mat$i& I%empotente., Una matriz cuadrada A, es idempotente si A es una matriz peri)dica de periodo igual a uno. i,e. 1na matriz A∈ $ nxn es Idempotente si i solo si A2 = A.
1.;.;.,Mat$i& 0ilpotente., Una matriz cuadrada A, es nilpotente si para algún 1 ≥ ' se cumple "ue !% = &
1.;.1., Mat$i& In8oluti8a., Una matriz A∈< n&n es In3oluti3a si i solo si A2 = I , con I ∈< n&n "ue es la matriz identidad
-------------------------------------------------------------------
'
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
Capitulo " . 'ETE(MI)!)TE* ".1., Definición., 7eterminante es un número real o escalar r asociado a una matriz cuadrada A y "ue se denota por A ! det$A% ! 7$A% i.e. %a determinante de una matriz cuadrada es una función definido por det4 'nxn → ' 5 r =A. 6or inducción se tiene4
-------------------------------------------------------------------
Aplicaciones --------------------------------------------------------------------------------------------i%
ii%
Hara n ! (, A ! $a((%(&( 8 entonces A ! a((
Hara n ! ', A !
a(( a(' a a '( ''
8 entonces A !
a(( a'' a'( a('
iii%
Hara n ! ,
A!
a(( a(' a(, a a a '( '' ', a,( a,' a,, x, ,
8 entonces
-------------------------------------------------------------------
(
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
a'( a',
a'' a', A ! a((
- a('
a,' a,,
= a(
a,( a,,
a'( a'' a,( a,' A ! $a(( a'' a = a(' a' a( = a'( a' a( % $ a( a'' a( = a'( a(' a = a' a' a((%
-------------------------------------------------------------------
'
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
En general se tiene si A !
(( (' ..... ( .... ' '( '' ::: ::: ::: ::: ::: ::: ( ' ::::: a
a
a
a
a
a
a
n
a
n
a
n
n
nn nxn
entonces n
(+ j A = ∑ $−(% a( j A$( 2 j %
formula de
i =(
9AH9ACE
donde A$(2j% es la sub-matriz "ue resulta de eliminar la primera fila y la j-*sima columna
a ,or"ula de epansión de aplace o "#todo de los "enores co"ple"entarios
Esta dada por n
i + j A = ∑ $−(% aij A$i 2 j % i =(
donde A$i2j% es la sub-matriz "ue resulta de eliminar la i*sima fila y la j-*sima columna de la matriz A
#23e$8ación.
-------------------------------------------------------------------
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
5i la matriz A es de orden & entonces se puede aplicar la regla de 5AFFU5.
a
(( a(' a(,
A =a
a
a
'( del''producto ', de los 5uma
5uma del producto de los elementos de la diagonal 5egundario
elementos de la diagonal primario
a
,( a,' a,,
=
, A
= $a(( a'' a = a(' a' a( = a'( a' a( % $ a( a'' a( = a'( a(' a = a' a' a((%
6$opie%a%e3 5ea A , B matrices cuadradas de orden n&n y cumple "ue :
λ∈F, entonces se
(.- det$A% ! , si y solo si una fila o columna tienen todo sus elemento iguales a cero '.- det$A% ! det$At% .- det$AB% ! det$A% det$B%
-------------------------------------------------------------------
0
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------(
0.- det$A % !
( det$ A%
+.- det$Am% ! $det$A%%m m∈I= /.- det$λA% ! λn det$A% .- 5i la matriz A posee dos filas $o dos columnas% iguales o proporcionales, entonces det!/ = & @.- 5 A ! $aij%n&n es una matriz triangular $superior o inferior%, entonces det!/ = a11 a a00 ... ann .- 5 se intercambian ' filas ) ' columnas el determinante cambia de signo. (.- 5i a una fila $o columna% se le multiplica por una constante y se le suma otra fila $o columna% , el determinante de la matriz no aria
-------------------------------------------------------------------
+
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
a(( + b(( a(' + b(' ... a(n b(n a '(
a ''
:::::::
:::::::::::: :::::::::
:::::::
:::::::::::: :::::::::
a n(
an '
... a'n
a(( a('
...
a(n
a(' a'(
...
a'n
!
=
::::::: :::::::: ::::
an( an'
... ann
b(( b('
...
b(n
a(' a'(
...
a'n
...
ann
::::::: :::::::: ::::
an( an'
...
ann
(.- det$>n% ! ( (0.- det$θ% ! (+.- 5i dos matrices son e"ui?alentes entonces sus determinantes de las matrices son iguales i.e.
-------------------------------------------------------------------
/
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
A≅ B entonces det$A% ! det$B%
ejemplo. si A ! Calcular A
' - -( + -' + ( - @ -' 0
5oluci)n. Hara calcular el determinante de la matriz A, obser?amos "ue el elemento a'0 ! ( se puede designar como el elemento pi?otal y la fila ' la fila pi?otal , esto con el objeto de transformar por medio de operaciones de fila , todos los elemento "ue se encuentren en la columna 0 , tengan ?alores iguales a cero, e&cepto el elemento pi?otal, para ello se procede como sigue: - En la fila (, se resta de la fila ( , + ?eces la fila ' - En la fila 0, se resta de la fila 0 , 0 ?eces la fila ' - en la fila no es necesario realizar la operaci)n de filas puesto "ue el elemento a0 !
A !
' - -( + -' + ( - @ -' 0
f (-+f '
! f 0-0f '
(' -'@ -( -' + ( ! =$(% - (/ -( -'
(' -'@ -( - (/ -( -'
A
! $('&&$-'% = $-(%$-(% = $-'@%$-%$(/%% - $$(/%$-(% = $-'@%$-'% = $-(%$-%$('%% ! $ =+( = (/% $ = '+' = (0'@ % -------------------------------------------------------------------
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
! (@ (+/
∴ A ! (+(
Hara asignar el elemento pi?otal se recomiendo a"uel elemento "ue tenga como ?alor igual a la unidad, en caso "ue no e&ista, se procede primero en determinar por medio de reducci)n de filas dicDo elemento. 9a fila pi?otal es la fila donde se encuentra el elemento pi?otal.
"."., Mat$ice3 E3calona%a3 Una matriz A ! $aij%m&n es una matriz escalonada , o se dice "ue esta en forma escalonada, si el numero de ceros anteriores a la primera componente distinta de cero de una fila crece fila por fila Dasta llegar a filas en las "ue todas sus componente sean iguales a cero8 esto es, si e&iste componentes distintas de cero. a(j(, a' j',...., ar jr , donde j(Jj'J...Jjr con la propiedad de "ue aij ! para i ≤ r , j Jji y para iKr. 9os elementos a(j(, a' j',...., ar jr , se denominan elementos distinguidos de la matriz escalonada A. Matriz escalonada reducida por ,ilas
Una matriz escalonada A ! $aij%m&n se denomina "atriz escalonada reducida por ,ilas si los elementos distinguidos son: i% ii%
9as únicas componentes distintos de cero en sus columnas respecti?as. 6odas iguales a uno.
-------------------------------------------------------------------
@
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
Ejemplos. 9as matrices siguientes son escalonadas y los elementos distinguidos se Dan encerrado con un circulo: ' A!
'
( '
+ -
/ -0 0 @
( B!
0
(
+
(
' /
(
En el ejemplo la matriz B es una matriz escalonada reducida por filas mientras "ue la matriz A no lo es.
".+., T$an3fo$macione3 Elementale3. 5ea A ! $aij%m&n una matriz, la transformaciones elementales sobre la filas $o columnas% de la matriz A son: i% >ntercambio de dos filas. ii% Lultiplicar una fila por un escalar. iii% 5umar a una fila el múltiplo de otra fila. 5i combinamos estas tres operaciones elementales, se reduce la matriz A Dasta con?ertirla en otra matriz e"ui?alente de la forma: > p
> p&$n-p%
M.C.A !
, N$m-p%&p
N$m-p%&$n-p%
donde M.C.A :!
m&n
forma canonica de la matriz A
-------------------------------------------------------------------
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
"./., E>ui8alencia %e Mat$ice3.
5e dice "ue dos matrices A∈< m&n y B∈< m&n son e"ui?alentes denotado por A B ) A≅B, si B se puede obtener efectuando u numero finito de transformaciones elementales tales como: i% Lultiplicaci)n de una fila de A por un escalar c no nula. ii% Feemplazo de la r-*sima fila de A por la fila r m#s c ?eces la fila s, donde c es cual"uier escalar y r ≠s. iii% >ntercambio de dos filas de A. ~
".., Ran-o %e una Mat$i&. ".1.,Definición.- 5ea A∈< m&n una matriz, el rango de la matriz A es el número real r, si e&iste una sub matriz cuadrada de A ≠ y el determinante de de orden r&r tales "ue B cual"uier sub matriz cuadrada de A de orden mayor "ue al de B es cero. El rango de la matriz A se denota por ρ$A% ! r .
6$opie%a%e3.
(.- 5ea A∈< m&n una matriz entonces se cumple "ue: i% ρ$A% ≤ min3m,n4 ii% ρ$At% ! ρ$A% '.- si A es una matriz cuadrada de orden n&n entonces se tiene "ue: i% si ρ$A% ! n entonces A≠ . ii% si ρ$A% J n, si y solo si A! .
-------------------------------------------------------------------
0
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
Ejemplo.
-' 0 ' -' 5ea la matriz A ! -( -( ( -' ( ' -( &0 allar el rango de la matriz A. 5oluci)n Nuestro objeti?o principal es transformar A en otra matriz e"ui?alente cuyos elementos de la diagonal principal sea todos iguales a la unidad o alguno ceros y los "ue esten debajo o encima de los unos , sean ceros. -' 0 ' -' A ! -( -( ( -' ( ' -( &0 Efectuando reducci)n por filas se tiene la matriz B e"ui?alente a la matriz A. ( B!
-( (2 ( -(2 &0
∴ρ$A% ! ' ".4.,Mat$i& no Sin-ula$.
-------------------------------------------------------------------
0(
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
Una matriz A∈< n&n se dice "ue es no singular si y solo si A≠ ) ρ$A% ! n. 5 A! )
ρ$A% J n entonces la matriz A
es singular.
".7.,Mat$i& cofacto$ .- 5ea A∈< n&n una matriz, se llama matriz de cofactores de A , a la C ! $cij% de orden n&n , tales "ue
matriz
C ij = -1/i+j !i2j/
donde !i2j % es la sub matriz "ue se forma al suprimir la fila i y la columna j en la matriz A. 9a matriz de cofactores de a se denota tambi*n como C ! Cof$A% Ejemplo. allar la matriz Cof$A%. 5 ( A! 0 ' -( (
'
&
5oluci)n.
".:.,A%junta %e una mat$i&., 5ea A ! $aij%n&n una matriz cuadrada y C!$cij%m&m es la matriz de cofactores de A, se denomina matriz
-------------------------------------------------------------------
0'
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
Adjunta A, denotado por Adj$A% a la matriz transpusta de C. i.e !dj!/ = C t Propiedades.
5ea A, B matrices cuadradas de orden n&n entonces se cumple: (.- Adj$>% ! > '.- Adj$At% ! $adj$A%%t
≠ y B≠ .- Adj$AB% ! Adj$A% Adj$B% , con A 0.- Adj$An% ! $adj$A%%n +.- Adj$λA% ! λn-( Adj$A% , λ∈F /.-
Adj$A% ! An-(
".;.,MATRI? I0@ERSA ".;.1.,Definición., 5ea A una matriz cuadrada No 5ingular, la matriz in?ersa de A denotado por A-(, se dice "ue la matriz A es in?ersible si y solo si ∃ B ! A-(∈< n&n tales "ue AB ! BA ! > como :
#23e$8ación.
-------------------------------------------------------------------
0
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
5i la matriz de A es de orden '&', para Dallar la matriz in?ersa se cambia de posici)n, los elementos de la diagonal principal y cambiar de signo los elementos de la diagonal secundaria, la matriz as obtenida se di?ide por la det$A% i.e.
5i A !
a(( a(' a a '( '' ' '
a''
es no singular entonces A-( !
(
-a'(
A
x
Ejemplo.
allar la matriz in?ersa de A !
' ( . ( ' ' x
5olucion.
".;.".,Teo$ema. 5ea A una matriz cuadrada No 5ingular de orden n&n, entonces e&iste la matriz in?ersa de A tales "ue:
-------------------------------------------------------------------
00
a
- ('
a((
Aplicaciones --------------------------------------------------------------------------------------------(
-1
! =
A
!dj!/
Propiedades.
5ea A, B matrices cuadradas No 5ingulares de orden n&n , entonces se cumple "ue:
(.- $A-(%-( ! A '.- $AB%-( ! B-( A-( .- $At%-( ! $A-(%t 0.- Adj$A-(% ! $Adj$A%%-( +.- $An%-( ! $A-(%n /.- >-( ! > .- $λA%-( !
(
-( A , λ
λ ≠
Ejemplo. allar la matriz in?ersa de A s e&iste. 5oluci)n.
A!
( -( ' ( ' -( &
-------------------------------------------------------------------
0+
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
".1.,MET#D# DE EIMI0ACIB0 ASSIA0A El m*todo para determinar la in?ersa de una matriz A, "ue es cuadrada, no singular y de orden n&n , por el m*todo de eliminaci)n Oausiana se procede de la siguientes manera: (.- Hara encontrar la in?ersa de la matriz A se escribe la matriz aumentada de A en la forma $A| >%. '.- 9a matriz aumentada se transforma a tra?*s de transformaciones elementales de filas a la forma $>| B%. Hara lo cual se debe tener presente lo siguiente: i% 7i?idir la primera fila de la matriz por la entrada en su primer columna8 usar la fila resultante para obtener ceros en la primera columna de cada una de las otras filas. ii% 7i?idir la segunda fila por la entrada en su segunda columna8 usar la fila resultante para obtener ceros en la segunda columna de las dem#s filas. iii% 5e repite el procedimiento anterior Dasta llegar a la fila n. 7i?idir la n-*sima fila por la entrada en su n-*sima columna8 usar la fila resultante para obtener ceros en la n-*sima columna de las dem#s filas. -------------------------------------------------------------------
0/
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
.- B es la in?ersa de la matriz A. Ejemplo. -' - Encuentre la in?ersa, si esiste, de la matriz. A ! ( -( -' -' 5oluci)n. 5iguiendo el procedimiento trazado tenemos. -' - ( $A| >% ! ( -( -' -'
(
(
en la fila (, intercambio de la primera fila con la ( ( -' - ( -( -' -' (
en la fila , 5uma de la fila ( y la fila ( ( -' - ( ( ( ( ( en la fila ', se di?ide entre ' (
( ( 2' -(2' ( ( (
(
-------------------------------------------------------------------
0
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
en la fila (, f ( f ' (
-2' 2' ( ( 2' -(2' -(2' -( (
(
Continuando con el proceso tenemos (
(
(
-' ( -( -'
- -'
A6ICACI#0ES > Escribir e&plcitamente las siguientes matrices.
-------------------------------------------------------------------
0@
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
(.- A ! $aij%∈< 0&0 2 aij ! $-j%i-( '.- B ! $bij%∈< &0 2
'i + j sí $i + j %impar b ! j i sí $i + j % par ij
.- C ! $cij%∈< 0& 2
min3i, j4 sí i + j ≥ 0 c ! ma&3i , j4 sí i + j < 0 $−(% ij
0.- 7 ! $dij%∈< 0&0 2
i. j sí $i + j%impar d ! min3i, j4 sí $i + j% par ij
+.- E ! $eij%∈< 0&0 2
( + j sí i > j e ! ( − j sí i ≤ j ij
>> HEFAC>NE5 CN LA6F>CE5 .
-------------------------------------------------------------------
0
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
(- 5ean las matrices &-'y
&
A!
,B!
&-y
'&'
'
y=0
0
'&'
-' C!
-(
'&'
5 A ! B Dallar la matriz E ! A = C '.-allar la matriz G en : $G= 'A% '$ 'G = B% ! 0$ B- A =G%
donde A !
' , 0 (
y B ! '> - A
.- Fesol?er el sistema: $ 'G = P%t ! $ Pt = P%t = 'P $'P - At%t ! '$ G = B%
-------------------------------------------------------------------
+
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
5> A !
' , ( . ( . ' , ' ' ' ' ,B!
x
x
0.- Calcular la matriz G, s E ! 7, 7onde t t t t t E ! '$ CGt = ( A % = ' $B A % '
7 ! C $Gt = AB% = Bt Hara
Ct !
' . ( ' . ' . ( ' ' ' ' , At !
x
y
x
C ! At - B +.- Calcular la matriz G, s:
-------------------------------------------------------------------
+(
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
A!
( ' ( . ( , . . (, 7 ,
Bt !
' . . . ' . . . ' 7 , ,
C!
( . ' . ( ( , ' ., 7 ,
y
/.- Calcular G, en : -------------------------------------------------------------------
+'
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
A$G - B% ! $Bt = $ 'G - Bt% At %t 7onde
A!
' ( 0 , . , / C ' ' ' ' , B!
x
x
.- alar la matriz E ! AB' s:
A!
. ( . . . ( ( . ., 7 ,
y
-------------------------------------------------------------------
+
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
B!
@.- 5ea A !
− , ' −(+ @ ' '
,
− 0 ' −(+ - ' '
y
. . ( ( . . . ( ., 7 ,
x
B!
x
f$&,y% ! &' &y = y' a% ?erificar "ue A y B conmutan. -------------------------------------------------------------------
+0
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
b% E?aluar f$A,B%. .- 5ean las matrices:
A!
' ( , 0 ' '
, B!
x
C!
. , - ( @ C ' , x
, - ( ' / ( ( 0 ., 7 ,
5 E ! ABC, Dallar s ! e(( = e(' = e' (.- Un fabricante de zapatos los produce en color negro , gris y blanco para niQos, damas y caballeros. 9a capacidad de producci)n $en miles de pares % en la planta de Callao esta dada por la matriz siguiente: ombres Lujeres NiQos
Negro Oris Blanco -------------------------------------------------------------------
++
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
, 0+ (0
,0 ' '/
(/ '+ '
9a producci)n en la planta de ?illa el sal?ador esta dado por : ombres Lujeres NiQos
Negro Oris Blanco
,+ +' ',
, '+ '0
(@ ,' '/
a% 7etermine la representaci)n matricial de la producci)n total de cada tipo de zapatos a en ambas plantas b% 5i la producci)n en la planta del callao se incrementa en un +R y la de ?illa el sal?ador en un '+R, encuentre la matriz "ue representa la nue?a producci)n total de cada tipo de calzado.
-------------------------------------------------------------------
+/
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
c% S7e "ue color de calzado se produce en mayor cantidad para Dombres, mujeres y niQosT Hara el caso b%. d% S7e "ue color de calzado se produce en menor cantidad para Dombres, mujeres y niQosT Hara el caso b%. ((.- 5usana gana + en una Dora como institutriz, / la Dora como mecan)grafa y (.+ en una Dora como niQera. El número de Doras trabajadas en cada tipo de trabajo en un perodo de 0 semanas esta dado por la matriz A. > >nstitutriz Lecan)grafa NiQera
(+ A ! / '
5emana >> >>>
>V
( 0
(' 0
(/ '
a%
7etermine la matriz de ingreso total por semanas de 5usana.
b%
SCu#nto es el ingreso m#&imo de 5usana y a "ue semana le correspondeT
c%
SCu#nto es el ingreso mnimo de 5usana y a "ue semana le correspondeT
III. MATRICES CUADRADAS ESPECIALES
(.-E&presar las siguientes matrices como la suma de dos matrices una sim*trica y la otra antisimentrica. a% A ! $aij%∈< '&'2 aij ! i ='j .
-------------------------------------------------------------------
+
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
b% B ! $bij%∈< &2 bij ! 'i - j . c% C ! $aij%∈< &2 cij ! ma&3i,j4. d% 7 ! $dij%∈< 0&02 dij ! 'i $-(% j. e% E ! $eij%∈< &2
i+ j sí i < j ' e ! . i −' j ' sí i ≥ j ij
'.- probar "ue la siguientes matriz es idempotentes.
' 0 + + '' ( ' + +
a% A !
x
.- 5ea A una matriz cuadrada, s A es una matriz in?oluti?a entonces probar "ue la matriz B ! ( $> - A% , es ' indempotente. 0.- 7emostrar, s A = B ! > y AB ! θ, entonces A y B son matrices >dempotentes.
-------------------------------------------------------------------
+@
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
+.- 7emostrar "ue si la matriz A e sim*trica, entonces la matriz E ! BtAB es sim*trica, cual"uier "ue sea la matriz cuadrada B. /.- 5ea la matriz B ! $bij%∈< &2 bij ! 'i - j , probar "ue la matriz B ! AAt es una matriz sim*trica. .-5ea A una matriz triangular definido por
A!
( a b . ( c . . (, x,
, donde a,b,c∈F-34
probar "ue la matriz E ! A = >, es nilpotente de ndice 0 @.- 5ea A una matriz definido por
A!
( −( ( ' −( ( . . , ,
, probar "ue la matriz A es peri)dica y
x
determinar su periodo.
-------------------------------------------------------------------
+
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
.- Lostrar "ue las matrices . ( -( A!
B!
0
-
0
-
0
0
-(
&
-(
-0 - 5on in?oluti?as. (.-Lostrar "ue la matriz A!
(
-0 -(
-(
-
&
,
0
( - 0 & es una matriz nilpotente de indice '. ((.-5 A y B son matrices in?oluti?as y
AB ! BA !
-+
-@
+
(
'
-(
, &
allar 9a traza de la matriz E ! $A = B%' I. 'ETE(MI)!)TE*.
E?aluar el determinante de cada una de las matrices.
-------------------------------------------------------------------
/
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
(.-
'.-
-'
0 a-b
+ a
'&'
a
a=b
'&'
a-' - .-
-0 a-(
0.-
'
(
(
+
-'
(
-
0
-'
-0
'
+
-(
/
(
-'
-(
0
/
-
-'
0 ( &-' 0
'
+.-
/.-
.-
@.-
'&'
(
&=( -'
&-0 &-(
&
&
&
&
-
-
&=+ -
-/
/ &-0
&
-------------------------------------------------------------------
/(
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
.&=
(.-
-(
(
&-+
(
/
-/ &='
'
+
- -'
-'
-
' -+
(
-' -'
-(
-/
0
&
0&0
((.-
('
(
-'
-+ 0
-+
'
@ -+
-'
0
-
'
-
-+ @
0&0
(
'
'
(
-'
-(
( -'
0
-
&=(
(
(
(
(
(-&
(
(
(
(
y=(
(
(
(
0&0
( (-y 0&0 -------------------------------------------------------------------
/'
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
. (!)34 'E 5)! M!T(I6 7 M!T(ICE* E*C!4)!'!*
(.- 5ean las siguientes matrices. i% >dentificar en cada una de las matrices, las matrices: escalonada y escalonadas reducidas por filas. ii% 5i la matriz es escalonada, identificar los elementos distinguidos y posteriormente Dallar la suma de los elementos distinguidos. a% ( ' -' (
b%
c%
+
'
-0
(
-+
(
(
+
(
'
0
(
&+
&+
'
&+
-------------------------------------------------------------------
/
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
d%
e%
f%
(
' -(
' (
-/ (
-/ (
(
( -(
(
'
(
(
-
&+
&0
&
'.- 5ean las siguientes matrices. i/ Feducir la matriz en su forma escalonada. ii/ Feducir la matriz a la forma can)nica por filas, esto es, a la forma escalonada reducida por filas. iii/ allar el rango de la matriz. a%
(
-'
-(
'
-(
'
'
(
'
&0
-------------------------------------------------------------------
/0
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
b%
c%
d%
e%
f%
(
-'
'
( -0
'
'
-(
(
-0
-0
(
-/
(
'
-+
(
' -(
'
'
0
(
-'
/
'
-/ +
(
-(
'
(( -+
'
-+
(
0
(
(
+
(
-'
0 -(
'
(
+ -
0
&0
&
(
&+
0&0
0&0
-------------------------------------------------------------------
/+
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
g%
'
-'
+ (
-(
'
0
0
-+
/
-+
&+
.- describir todas las matrices escalonadas de orden '&' posibles "ue est#n en la forma escalonada reducida por filas. I. I)E(*! 'E 5)! M!T(I6
(.- allar la in?ersa de la siguientes matrices si e&iste. a% ' -' -0 b%
+
@
-'
(
-'
-0
'
'&'
'&'
c%
'&'
'.-alla la matriz de cofactores , Adjunto y la matriz in?ersa si e&iste de las siguientes matrices. a% ( ' '
(
(
(
(
&
-------------------------------------------------------------------
//
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
b%
c%
d%
e%
f%
-'
-0
'
+
-(
/
(
-'
0
'
-(
(
(
-'
'
+
-
-
'
-0
(
0
-(
/
-(
+
(
&
&
&
&
(
'
-'
-(
+
0
'
(
' -
( 0&0
-------------------------------------------------------------------
/
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
g%
'
0
'
/
+ '
'
+
(' -
0
+
(0 (0
0&0
.- allar la matriz G , s C = 8 y
C,1 F A =
( ,
A
I
,
A
G
7onde
Adj$A%!
+ ( ' 0 ( ( ' (
,
B!
, ' ( ( , (
0.- allar la matriz G , si se cumple "ue BGA ! C donde B ! Adj $A% , C ! Adj $B% y
-------------------------------------------------------------------
/@
Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------
A!
C ( ' ( ( (
+.- 5ean las matrices:
( '
( ' A ! ' -' -
-(
y B! &
' -' -
-(
&
7eterminar la matriz G "ue satisface la ecuaci)n AG ! At = 'B
0.- Una empresa de productos "umicos produce tres tipos de fertilizantes: econ)mico , regular y súper . Cada tipo de fertilizante contiene nitratos , fosfatos y potasio en cantidades "ue se especifican a continuaci)n: El tipo econ)mico contiene
-------------------------------------------------------------------
/
