Matrices

C.E.Te.C Carrera: Técnico Superior En Análisis De Sistemas Asignatura: Matemática I

Unidad 4 (Segunda Parte): Matrices

UNIDAD IV: VECTORES Y MATRICES Parte II: Matrices Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de números. Es decir, ordenado de números dispuestos en m filas y n columnas. 0  2 −1  2 2 0 1  Ejemplo: A2×2 =  B2×4 =  C3×2 = 2    4 0   −3 −2 6 0  4 Donde:

matriz es un conjunto −1 −1  3 

2x2 indica que la matriz A tiene 2 filas y 2 columnas. 2x4 indica que la matriz B tiene 2 filas y 4 columnas. 3x2 indica que la matriz C tiene 3 filas y 2 columnas.

Los números que forman la matriz se llaman elementos de la matriz y los indicamos con letras minúsculas, mientras que los nombres de las matrices se indican con letras mayúsculas. Las matrices varían en tamaño u orden. El tamaño u orden de una matriz se describe especificando el número de filas o renglones (líneas horizontales) y columnas (líneas verticales) que aparecen en la matriz. Por lo tanto, una matriz de orden m x n tiene m filas y n columnas. Si A es una matriz de orden m x n, entonces se denotará aij para indicar el elemento que está en la i-ésima fila y j-ésima columna.  a11 a12 a a22 Am×n =  21    am1 am 2

a13 a23 am 3

a1n  a2 n     amn  En donde: 1 ≤ i ≤ m 1≤ j ≤ n aij ∈

Ejemplo:  3 −2 0  A3×3 =  1 2 5    7 8 9 

En donde: a12 = −2 , a23 = 5

Definición: Se define como matriz fila a aquella matriz de orden 1 x n. Ejemplo: B1×4 = [1 3 −1 2] Definición: Se define como matriz columna o una matriz de orden m x 1 4 Ejemplo: C3×1 =  −6    3 

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Matriz Cuadrada: Es aquella matriz en la que el número de filas es igual al número de columnas. Es decir, una matriz A de orden n x m donde n = m se denomina matriz cuadrada de orden n. Ejemplo: R1×1 = R1 = [7] R es una matriz cuadrada de orden 1 3 1  B2×2 = B2 =    2 −1  a11 … a1n   An×n = An =    amn   am1

B es una matriz cuadrada de orden 2

A es una matriz cuadrada de orden n

Diagonal Principal: En una matriz cuadrada A de orden n, la diagonal principal es el conjunto de elementos aij tal que i = j.  2 0 -3 Ejemplo: A =  2 1 -1    1 -1 5 

⇒

a11 = 2

,

a22 = 1 ,

a33 = 5

Tipo De Matrices: Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada en la que los elementos aij son nulos si i ≠ j.  3 0 0 Ejemplo: F = 0 -1 0    0 0 4 

aij = 0

,

∀i ≠ j

Matriz Escalar: Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales. Ejemplo:  −1 0 0  α para i = j A =  0 −1 0  Donde: aij =  Es decir: a11 = a22 = …… = ann   0 para i ≠ j  0 0 −1 Matriz Identidad O Unidad: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás elementos iguales a cero (0). Se la simboliza con la letra I. Si es importante hacer énfasis en el orden, se escribirá In para denotar la matriz identidad de orden n x n 1 si i = j I =  aij  aij =  0 si i ≠ j 1 I =  0 1 0 Ejemplo: I =   0 1

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1

0   1 

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Matriz Nula: Es aquella en la que todos sus elementos son nulos. Am×n =  aij  es una Matriz Nula si aij = 0 ∀i , ∀j Normalmente se la denota con la letra O. 0 0 0  Por ejemplo O 2×3 =   0 0 0  Nota: Una matriz nula no necesariamente deben ser matrices cuadradas. Matriz Triangular Superior: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos bajo la diagonal principal son nulos. A =  aij 

es Triangular Superior si aij = 0 ,∀i > j

 2 0 −2  Ejemplo: A =  0 1 0     0 0 −3 Matriz Triangular Inferior: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos sobre la diagonal principal son nulos. An×n =  aij  es Triangular Inferior si aij = 0 , ∀i < j  −22 0 0 Ejemplo: C =  2 1 0    1 −1 0 Traza De Una Matriz: Se llama traza de una matriz cuadrada A de orden n x n a la suma de los elementos de la diagonal principal. n

Si An×n =  aij  entonces la traza de A es: Tr ( A) = a11 + a22 + … + ann = ∑ aii i =1

 −1 2 3  Ejemplo: A =  −1 −2 0     2 0 2 

⇒

Tr ( A) =(-1) + (-2) + 2 = -1

Igualdad De Matrices: Dos matrices son iguales si son del mismo orden y sus elementos son respectivamente iguales. Am×n = Br×s

⇔

m = r y n = s   aij = bij , ∀i , j

5 2  5 2  = = Ejemplo: A =  B  3 −1 3 −1  

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Algebra De Matrices 1) Suma De Matrices: Dadas dos matrices del mismo orden m × n , la suma A+B, es otra matriz C de orden m × n en que sus elementos son de la forma cij = aij + bij .

Am×n + Bm×n = Cm×n  −2 Ejemplo: Sean A =   1  −2 ⇒ C = A+ B =   1

3 2 

0 4

3  5 + 2   1

0 4

 5 B=  1

y

0 2

0 2

7 −3 

7   (-2) + 5 = −3   1 + 1

0+0 4+2

3+ 7   3 = 2 + (-3)   2

0 6

2) Producto De Una Matriz Por Escalar: Dada una matriz A de orden m × n , el producto de un número k ∈ R por A es otra matriz B de orden m × n en que el elemento bij = k .aij . B = k. A

Entonces

 1 0 Ejemplo: Sea A =    −7 3  Entonces

bij = k .aij

y k = ( −3)

( −3).0  -3 0   1 0  ( −3).1 B = k . A = ( −3).  =  =   −7 3 ( −3).( −7) ( −3).3  21 -9 

3) Diferencia De Matrices: Si A y B son dos matrices que tienen el mismo orden entonces se define la diferencia de A y B como: C = A − B = A + ( − B ) = A + ( −1). B  1 3 Ejemplo: Sean A =    −4 5  −2 2  entonces − B =    3 −1

y

⇒

cij = aij + ( − bij )

 2 −2  B=   −3 1 

 1 3  −2 2   −1 5 Luego C = A − B = A + ( − B ) =  + =   −4 5  3 −1  −1 4  4) Producto De Matrices: Dados Am×n =  aij  y Bn× p =  bij  , el producto A⋅B es otra matriz Cm× p en la que cada cij es el producto de la fila i-ésima de A por la columna j-ésima de B, o sea, n

el elemento cij = ∑ aik .bkj . k =1

Observamos que para poder definir A⋅B es necesario que el número de columnas de la primer matriz coincida con el número de filas de la segunda matriz. El orden del producto está dado por la cantidad de filas de la primer matriz por la cantidad de columnas de la segunda matriz. Es decir que sea A de orden m × n y B de orden n × p entonces C = A⋅B será de orden m × p .

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10  -1 



Ejemplo: A3×2

 2 = 0   −1

1 3  4 

 −1 B2×3 =   4

y

 2 11 −1 C3×3 = A3×2 .B2×3 = 12 15 −3   17 17 −4 

3 5

0 −1 

 c11 = 2.( −1) + 1.4 = 2  c = 0.( −1) + 3.4 = 12  21  c = ( −1).( −1) + 4.4 = 17 Donde:  31  c12 = 2.3 + 1.5 = 11  c22 = 0.3 + 3.5 = 15   etc.

 −2 8  D2×2 = B2×3. A3×2 =    9 15 Nota: Dado el ejemplo anterior se tiene que C = A⋅B es una matriz distinta de D = B⋅A.. Es decir que el producto de matrices no es conmutativo. Simbólicamente: A⋅B ≠ B⋅A Propiedades De Las Operaciones Con Matrices: (Se cumplen siempre que sea posible resolver las operaciones) 1) Conmutativa para la suma: A + B = B + A 2) Asociativa para la suma: A + ( B + C ) = ( A + B ) + C 3) Existencia del neutro para la suma: A + O = O + A = A (donde O es la matriz nula con el mismo orden que A) 4) Existencia de elemento inverso para la suma: A + ( − A) = ( − A) + A = O 5) Asociativa del producto: A ⋅ ( B ⋅ C ) = ( A ⋅ B ) ⋅ C 6) Existencia de elemento neutro para el producto: A ⋅ I n = I m ⋅ A = A (donde A es de orden m × n )

7) Distributiva de matrices: A ⋅ ( B ± C ) = A ⋅ B ± A ⋅ C

(B ± C)⋅ A = B ⋅ A ± C ⋅ A 8) Distributiva por un escalar: k ⋅ ( B ± C ) = k ⋅ B ± k ⋅ C , k ∈ 9) Distributiva de escalares por una matriz: ( k ± t ) ⋅ A = k ⋅ A ± t ⋅ A , k , t ∈ 10) Asociativa con escalares: ( k ⋅ t ) ⋅ A = k ⋅ ( t ⋅ A) , k , t ∈ 11) Asociativa de un escalar y matrices: k ⋅ ( B ⋅ C ) = ( k ⋅ B ) ⋅ C , k ∈ Matriz Transpuesta: Dada una matriz A de orden m × n de elementos (aij) , se llama matriz transpuesta de A y escribiremos At , a la matriz de orden n × m de elementos (bij) tal que bij = aji . Es decir, la transpuesta de A es la matriz que se obtiene intercambiando filas por columnas. Am×n =  aij 

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⇒

At n×m =  bij  tal que b ji = aij , ∀i, j

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 1 Ejemplo: A2×3 =   0

2 −4

B1×2 = [2 −9]

−2  3  ⇒

⇒

t 3×2

A


 1 = 2   −2

0 −4   3 

2 B2t ×1 =    −9 

Propiedades De La Matriz Transpuesta: 1)

(A )

2) 3) 4)

t t

=A

( A + B ) = At + B t t ( A ⋅ B ) = B t ⋅ At t ( k . A) = k ⋅ At , k ∈ t

Matriz Simétrica: Es una matriz cuadrada en la que los elementos son simétricos respecto de la diagonal. An×n =  aij 

es una Matriz Simétrica si aij = a ji , ∀i , j

1 4 5   Ejemplo: A =  4 −9 6    3  6  5 Nota: Las matrices escalares, diagonales e identidad son matrices simétricas. Observación: Una matriz cuadrada A de orden n es simétrica si A = At *Si A es una matriz simétrica, entonces: a) El producto A ⋅ At está definido y es una matriz simétrica. b) La suma de matrices simétricas es una matriz simétrica. c) El producto de dos matrices simétricas es una matriz simétrica, si las matrices conmutan. Matriz Ortogonal: Dada una matriz A, cuadrada de orden n, se dice que A es ortogonal si se verifica que: A ⋅ At = At ⋅ A = I n

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Trabajo Práctico Nº5: Matrices. 1) Escribir explícitamente las matrices que se describen: a) A3×4 tal que aij = i + j b) A4×4 tal que aij = ( −1)

i+ j

 aij = 1 si i + j es primo c) A4×4 tal que   aij = 0 si i + j no es primo 2) Dadas las matrices A2×2 , B2×3 , C3×2 y D2×3 , indicar sin realizar las operaciones el orden de: c) B × D d) ( −3) ⋅ C × D

a) A2 b) A × B

3) Dadas las siguientes matrices: 1      -1 0 2 1   5 4 0 -3       3 -2  1  A= 3 4 -1 , B =  -2 -1 1 0  , C =  , D =      5 -1  2         5 2 0 3  6 0 -3 1      2  -1 0 7 -5 3 1   E = 2 -3 0 1 , F =   , G = [7 -1 0 4] , H =    -1  -1  0 0 1 1    1 a) Resolver las siguientes operaciones siempre que sean posibles: i) B 2 iv) A × D ii) C 2 + H

v)

-1 

2 3

0

4

-5 

0

2

 

0 3

(B + D) × G

iii) 4 ⋅ B − E b) Verificar cuáles de las siguientes igualdades se satisfacen: i) G × F = F × G ii)

( A× D) × C = A× (D × C )

4) Si Cs×t =  cij 

⇒

C?t = [? ]

5) Hallar la transpuesta de: b b B =  11 12  b21 b22

b13 b14  b23 b24 

6) Dadas las matrices D, F y H del punto 3, verificar las siguientes propiedades: t

t a) (D )  = D  

b)

(D × H )

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t

= Dt × H

t

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7) Dada la matriz A, encontrar la forma general de An , cualquiera sea n ∈ :  2 -1 A=    3 -2  8) El ingreso semanal de un pequeño negocio se registra en una matriz unidimensional (vector) E de 7 elementos, cada uno de los cuales corresponde a un día de la semana, de Lunes a Domingo. a) ¿Cómo se localiza el ingreso del martes? b) ¿Qué significa el contenido E5? c) ¿Qué operaciones son necesarias para determinar el ingreso semanal total? 9) En una matriz S se almacena información referida a las cantidades de distintos artículos vendidos por un agente, en la modalidad de ventas a domicilio, durante toda una semana laboral (lunes a sábado). Cada fila corresponde a un día de la semana, y cada columna a un artículo (son 9 perfumes). a) ¿Qué significa el contenido de S3,7? b) ¿Cómo se localiza la cantidad de frascos del 5º perfume vendidos el viernes? c) ¿Qué operaciones son necesarias para conocer el total vendido el martes?

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