MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
Elaborado Por: Cristiano De Angelis
Introdução Este trabalho tem como objetivos, objetivos, reforçar conteúdos conteúdos e introduzir conc co ncei eito toss mat matemát emátic icos os,, atra atravvés de Matrizes Matrizes,, Determinantes e Sistemas Lineares. Lineares. É possível desenv desenvolver olver atividades atividades que que envolvam, envolvam, pro probl blem emas as,, cálc cálcul ulos os,, algo algori ritm tmos os,, co comb mbin inat atór ória ia,, trig trigon onom omet etri ria, a, logaritmo, e uso de softwares. Sem dúv dúvida ida,, cabe cabe ao en ensin sinoo de matem matemáti ática ca o de desen senvo volvi lvimen mento to do racio raciocí cíni nioo e ne ness ssee sent sentid idoo matriz matrizes es,, determ determin inan ante tess e sist sistem emas as line linear ares es são são inte intere ress ssan ante tess pa para ra sere serem m trab trabal alha hado dos, s, util utiliz izan ando do se possível material de apoio. Este trabal trabalho ho está está estrut estruturad uradoo de tal tal forma forma que a parte teórica teórica e os ex exer ercí cíci cios os visa visam m a ex expl plor oraç ação ão de dest stee co cont nteú eúdo do.. Nu Num m segun segundo do moment momento, o, passam passamos os a exerc exercíci ícios os mais mais especí específic ficos, os, ligado ligadoss a este este conteúdo matemático como form orma de exemplificar o uso do soft softwa ware re como como recu recurs rsoo didá didáti tico co..
1. Matrizes Matriz é um conjunto com elementos dispostos em linhas e colunas.
Exemplo: A = « 3 6 4» ¬ 4 3 5¼ ½ 1a coluna 2a coluna 3a coluna
1a linha
2a linha
B=
« 0 3 2» ¬ 5 4 3 ¼ ¬ ¼ ¬ 0 1 7 ¼½
1a coluna 2a coluna 3a coluna
1a linha 2a linha 3a linha
A indicação do número de linhas e colunas é chamada de ordem da matriz. Nos exemplos, A tem ordem (2X3) e B tem ordem (3X3), ou, simplesmente 3. Matriz quadrada é toda matriz que tem igual número de linhas e colunas (ordem n).
O elemento que está na linha i e coluna j é representado por aij. Desta forma, uma matriz genérica de ordem m x n é representada por:
« a11 a12 a13 ... a1m » ¬a 21 a 22 a 23 ... a 2m ¼ ¼ A = ¬¬ ... ¼ ... ¬ ¼ an1 an 2 an3 ... anm ½
1.1 Matrizes Com Denominações
Especiais
Matriz Linha Matriz Coluna Matriz Quadrada * Diagonal principal de uma matriz quadrada * Diagonal secundária de uma matriz quadrada Matriz Nula Matriz Diagonal Matriz Identidade Identidade ou Unidade Matriz Transposta Matriz Simétrica Matriz Oposta Matriz Escalar
Exercícios 1.
Determinar a soma dos elementos da diagonal principal da matriz de ordem 3 definida por aij = i + j.
2.
A transposta de uma matriz A= (aij) é a matriz AT = (bij), tal que as linhas de uma são as colunas de outra. Se A tem ordem nxm, então At tem ordem mxn e bij = a ji, para todo i e todo j. Determinar a matriz transposta da matriz de ordem 2x3 definida por aij = i-j.
3.
Matriz identidade é toda matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1e os demais iguais a zero. Quantos zeros tem uma matriz identidade de ordem n?
4.
Seja A de ordem 15x20 definida por aij = i - j + 10. Determinar o elemento b98 de AT.
1.2 Igualdade De Matrizes Duas matri atrize zess de mesm esma orde ordem m são igua iguaiis, se, se, e somente se, os elementos que ocupam a mesma posição são iguais. SÓ EXISTE IGUALDADE DE MATRIZES QUE POSSUEM A MESMA ORDEM .
Exemplo: a) Estas matrizes, A e B:
«2 y » B¬1= 4¼ ½
«2 8» A¬x= 4¼ ½
serão iguais se, e somente se: x = 1 e y = 8 b)
« x y » ¬ n ¼½
«7 2» = ¬4 5¼½
® x ! 7 ¯ ° ! 4
y ! 2 n ! 5
2. Operações Com Matrizes
Vamoss ap Vamo apre rese sent ntar ar as op oper eraç açõe õess bá bási sica cass co com m matr matriz izes es atra atravé véss de exemplos: «0 2» « 1 1 0» «1 2 » A = ¬0 1 ¼½ B = ¬1 1 ¼½ C = ¬1 0 2¼½
a) A - 2.B =
«1 2 » ¬0 1 ¼ ½
b) A . C =
«1 2 » ¬ ¼ 0 1 ½
c) A . B =
«1 2 » ¬0 1 ¼ ½
-
«0 ¬2
4» ¼ 2 ½
=
.
« 1 1 0» ¬ 1 0 2¼ ½
.
«0 2» ¬1 1 ¼ ½
=
« 1 2» ¬ 2 1¼ ½
=
«1 2 1 0 0 4» ¬0 1 0 0 0 2¼ ½
«0 2 2 2» ¬ 0 1 0 1 ¼ ½
=
=
« 2 ¬ 1
« 3 1 4» ¬ 1 0 2 ¼ ½
4» 1 ¼½
d) B . A =
e) A . I = .
«0 2 » ¬1 1 ¼ ½
«1 2» ¬0 1 ¼ ½
.
«1 2 » ¬ ¼ 0 1 ½
«1 =¬ 0
=
0»
¼
1½
«0 0 ¬1 0
«1 0 ¬0 0
=
02 »
2 1¼½
=
0 2»
¼
0 1½
«0 ¬1
«1 ¬0
2» 1 ¼½
2» ¼ 1 ½
A.I = A, para qualquer matriz A (I é o 1 das matrizes).
Em gera gerall A. A.B B
{ B.A (não (não
comut comutat ativ iva) a)..
Para A, B, C quadrad quadradas as de mesma ordem, ordem, A.(B+C)=A.B A.(B+C)=A.B + A.C A.C (distributiva).
Para A, B, C quadradas de mesma ordem, A.(B.C)=(A.B).C (associativa).
Exercícios 1.
Numa turma, os graus que seis alunos receberam em três provas bimestrais são dadas pela seguinte matriz A: « 0 ¬ 7 ¬ ¬ 7 ¬ ¬ 6 ¬1 0 ¬ 0
7
8 0 6 4 4
8 »
¼ ¼ 8 ¼ ¼ 6 ¼ 0 ¼ ¼ 1 0 ½ 0
A matriz B informa o peso de cada uma das provas: 2, 3 e 5 nesta nesta ordem. ordem. B =
«2 » ¬ ¼ ¬ 3¼ ¬5¼½
Use as matrizes A e B para calcular as notas finais dos alunos e analise os graus doss ap do apro rova vado doss e do doss repr reprov ovado ados, s, saben sabendo do qu quee é ne nece cessá ssári rioo 60 pon pontos tos para para aprovação.
2. Uma micro-empresa, em abril teve a seguinte matriz custo, Salário
A=
?5 0 0
Aluguel, água, luz,etc
matéria prima
1000
1100
distribuição
300A
Em maio houve vários aumentos, colocados na matriz B, B = ?1 , 1 2
1 ,0 2
1 ,0 5
1 ,1 0
A
Utilize A e B para calcular o custo total do mês de maio. Muitos empresários repassaram os 12% de aumento do salário mínimo para o preço do produto final, alegando que o custo aumentou 12%.
3.
A matriz C fornece, em reais, o custo das porções arroz, carne e salada usados num restaurante: «1» arroz
¬ ¼
C = ¬3¼
¬2¼½
carne salada
A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na composição dos pratos tipo P1, P2, P3 deste restaurante: «2 1 1» ¬ ¼ P = ¬1 2 1¼ ¬2 1 0¼½
Prato P1 Prato P2 Prato P3
A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1, P2, P3 é: (A)
«7 » ¬ ¼ ¬9¼ ¬8¼½
(B )
«4» ¬ ¼ ¬4¼ ¬4¼½
(C)
«9» ¬ ¼ ¬11¼ ¬ 4 ¼½
(D)
«2» ¬ ¼ ¬ 6¼ ¬8¼½
(E)
«2» ¬ ¼ ¬2¼ ¬4¼½
4.
A matriz A = [aij]5x5, com i, j {1, 2, 3, 4 , 5}, revela um caminho ligando alguns pontos do desenho, onde aij = 1 significa: ³existe uma ligação entre Pi e P j ´ e aij = 0 significa: ³não existe uma ligação entre Pi e P j ´. «0 ¬0 ¬ A = ¬1 ¬ ¬0 ¬0
P2
0 1 0 0» 0 0 1 0¼
¼ 0 0 0 1¼ ¼ 1 0 0 1¼ 0 1 1 0¼½
P1 P5
P3 P4
Saindo de P1, sem repetir trechos, qual o ponto final do caminho?
(A) (B) (C) (D) (E)
P1 P2 P3 P4 P5
3. Matriz Inversa
A inversa de uma matriz A, quando existir, é a matriz 1 representada por A tal que : A A = I 1
Exemplo: A=
«6 ¬5
« 6 1» ¬ 5 1¼ ½
1»
¼
1½
.
tem
« 1 1» ¬ 5 6 ¼ ½
A
1
=
« 1 1» ¬ 5 6 ¼ ½
«6 5 6 6» =¬ ¼ 5 5 5 6½
como inversa, pois
«1 0» =¬ ¼ 0 1½
4. Determinantes e Sistemas
Lineares 4.1
Sistema De Equações Na Forma Matricial
sistema de equações do primeiro grau pode ser posto na forma matricial.
Um
Exemplo: Dado o
« x 2 y 3 z ! 1» sistema¬¬ 4 x 7 y 8 z ! 2¼¼ , ¬ x y ! 3¼½
podemos colocá-lo na forma: « 1 2 3» « x » «1» ¬ 4 7 8¼ . ¬ y ¼ = ¬2¼ , ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ 1 1 0¼½ ¬ z ¼½ ¬3¼½ A
X
ou seja,
A . X = B.
B
A matriz A é chamada de MATRIZ PRINCIPAL, a X de MATRIZ DAS INCÓGNITAS e a B de MATRIZ DOS TERMOS INDEPENDENTES. INDEPENDENTES.
4.2
Determinante De Uma Matriz De Ordem 2
Sistema genérico de duas equações e duas incógnitas: « ax by ¬ dx e y
!
c
! f
ae x be y ! ce dbx be y ! b f ( ae bd ) x ! ce b f
adx bdy ! cd adx ae y ! a f ( bd ae ) y ! cd a f
x ! ce b f ae bd
y ! cd a f (* -1) ! ad a f bd ae bd ae
y ! a f bd ae bd
Assim temos: x=
ce b f ae bd
e
y=
a f cd ae bd
Observamos que denominadores são iguais nas duas expressões, sendo formados pelos elementos da matriz principal do sistema. Se forem nulos, não poderemos determinar a solução (divisão por zero).
Desta forma, é este denominador denominador que determina a existência existência e a unic unicid idad adee da solu soluçã ção. o. Como Como pode podería ríamo moss chama chamarr algo algo que determina?
Vamos
definir e representar o determinante da matriz
por
« a b» ¬ d e ¼ ½
a b = det (A) = ae - bd d e
eterm minan nante Deter
de um uma a matriz riz de ordem rdem 2 é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.
4.3
Resolução De Um Sistem tema 2x2 Por Determin minantes
Nas expressões encontradas para x e y observamos que os numeradores são também determinantes. Na primeira, a matriz utilizada teve a primeira coluna substituída pela matriz B. Na segunda expressão, foi substituída a segunda coluna.
x pl :
E
«a x by ! c ¬dx e y ! f
p
ce b f ae bd
e
x=
«a b» ¬d e¼ ½
y=
« x» *¬ ¼ y½
«c» ¬ f ¼ ½
a f cd ae bd
Chamando
( x !
(
c b f e
t( )
-
,
a c
!ce b f e ( y!
x !
( x (
d f
e
y !
! a f cd , temos:
(y (
Esta sta regra egra,, váli válid da apen apena as se ( { 0 , é cham chamad ada a de REGRA GRA DE CRAMMER.
4.4
Discussão de Um Sistema 2x2
Um
sistema pode ser de três tipos:
DETERM IN ADO: possui uma úni única ca solução. solução. IN DETERM IN ADO: ADO: possui possui ma mais is de uma ma solução. solução. I MPOSSÍVEL: não po poss ssui ui solu soluçã ção. o.
x = 1 e y = 1 é o único par de soluções: Determinado. x = 1 e y = 1, x=2 e y=0e x = 0 e y = 2 são algumas das infinitas soluções: Indeterminado. não tem solução: Impossível.
Podemos classificar um sistema analisando os determinantes. A regra egra de Cram rammer, ainda que válida apena enas cas caso , ({ 0 nos induz à discussão do sistema.
Vamos, por exemplo, considerar que: 0 2 2 0
existe e é único não está definido
0 0
tem infinitas respostas
Assim, temos: ( {
(
0
Determinado
«( x ! ! 0 e ¬¬ ¬( x {
y
!
0
ou
(
Indeterminado
0
y
(
{
0
Impossível
4.5
Deter etermi mina nant ntes es De Orde Ordem mn
Vimos
a origem e o cálculo de um determinante de ordem 2. Este foi útil na resolução e discussão de um sistema de ordem 2, bem como na identificação de matrizes inversíveis de ordem 2. De forma análoga, podem emo os obter determinantes de ordens superiores a 2.
a) Determinante De Ordem 3: Dada a matriz A =
« a11 a12 a13» ¬a21 a22 a23¼ ¬ ¼ ¬a31 a32 a33¼½
, temos:
det(A)= a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a21 . a32 . a13 -a13 . a22 . a31 - a12 . a21 . a33 - a23 . a32 . a11
Exemplo:
«1 ¬0 ¬ ¬2
2 4 1
3 »
¼ ¼ 1¼½ 1
-4 - 4 + 0 = - 24 - 0 - 1 = -33
* No sentido da diagonal secundária troca-se o sinal.
No cálculo do det(A) observamos o seguinte:
sam samos os * U
6 par parccel a s ( f at or ial de 3). arcel a é o pr pr od ut o de 3 el ement os os d a matr i z. z. * C ad a parc um e som soment e um el ement o de cad a lin linha e * E m cad a pr od ut o há um coluna oluna.. parccel a s t em o sina sinal l tr tr ocad o. o. * A metade d a s par
b) Determinate De Ordem nn:: Com base no que foi observado no cálculo do determinante determinante de ordem 3, temos que o determinante de uma matriz de ordem n é: * A
soma soma de n! parc arcel a s. arcel a é o pr pr od ut o de n el ement os os d a matr i z. z. * C ad a parc um e som soment e um el ement o de cad a lin linha e * em cad a pr od ut o há um coluna oluna.. parccel a s t em o sina sinal l tr tr ocad o. o. * A metade d a s par calc calcul ular ar o dete determ rmin inan ante te atra atravé véss do baix baixam amen ento to de ordem. Desta forma determinantes de ordem superior a 3 são expr expres esso soss em funç função ão de dete determ rmin inan ante tess de orde ordem m 3 e, entã então, o, calculados. Inicialmente, definimos co-fator cij de um elemento aij da matriz A:
amos Vamos
i j
cij é o produt produtoo de pel1o) determ determina inante nte da matri matrizz obtida obtida da A elim elimina inando ndo-(pelo se a linha i e a coluna j.
Para se obter o baixamento baixamento de ordem procede-se da seguinte forma: (1) Esc Escolhe- s se qu quaalquer li r linnha ou coluna oluna d a matr i z. z. i plica- s se cad a el ement o d a lin linha ou coluna oluna e sc scolhid a pelo seu (2) Mul t tiplica co-f at or . Soma ma- s se t od os os os pr pr od ut os os obt obt id os. os. (3) So
4.6
Propried riedad ades es Do Doss Deter Determin minan antes tes
As propri opried edad ades es dos deter eterm minan inante tess são são deco decorr rren ente tess da definição de determinante. As propriedades abaixo são enunciadas para as linhas de uma matriz quadrada A. Contudo, são válidas também para as colunas.
linha nul a, a, ent ão ão det( A) =0 (1) S e A t em uma lin (2) P ermu rmutand o- s se d ua s lin linha s de A , det( A) invert e o sina sinal.l. linha s igua iguais , ent ão ão det( A) =0 (3) S e A t em d ua s lin (4) S e A t em d ua s lin linha s mú múl l t tipl i pl a s , s , ent ão ão det( A) =0 (5) det( A .B ) = det( A) .det(B .det(B ) (6) Mul t tiplican i plicand o uma uma lin linha de A por por k r eal , det( A) f ica mul t tiplica i plicad o por por k . são lin linha s de A e k é r eal , t emos: (7) S e Li e L j são A) não se al t sub sub st st it uin uind o Li por por Li + k . L L j , det ( te ra. ra.
Exemplo: Sabendo que
a
b
c
1
1
1
1
2
3
a3 b3 c3
= 2, calcular
1
1
3
2
2
2
Substituindo a primeira linha pela segunda multiplicada por uma constante (3) somada com a primeira pr imeira linha.
a 3 b3 c3
Tocar
1
1
1
1
2
3
a segunda linha pela terceira.
a3 b3 c3 1
2
3
1
1
1
a 3 b3 c3
Multiplicar a terceira linha por uma constante c onstante (2).
Determinante = 2 . (-1) . 2 = -4
1
2
3
2
2
2
4.7
Cálculo Da Inversa De Uma Matriz De Ordem 2
Podemos calcular a inversa de uma matriz A de ordem 2 da seguinte forma:
(1) El ement os os d a d ia gona gonall pr pr inc ncip ipaal: tr ocar de posição. os d a d ia gona gonall secund ár ia: tr ocar de sina sinal.l. (2) El ement os (3) Div Divid ir t r t od os os os el ement os os por por det (A). (A).
Resolução De Exercícios Com Auxílio de Software
Conclusão O nosso objetivo com este trabalho, foi obter informações mais deta de talh lhad adas as a resp respei eito to de Matr Matriz izes es,, De Dete term rmin inan ante tess e Sist Sistem emas as Lineares. O desafio no qual a dupla se propôs foi descobrir outras formas de ap apre ressen enta tarr este ste co connteú eúdo do,, apres presen enttan anddo tam també bém m o uso uso de software para que de alguma forma possa facilitar a compreensão, desco escobr brin indo do no novvas possi ossibbilid ilidad ades es de uso uso do mate materi rial al nu num ma aplicação à sala de aula. Foi válida essa experiência, pois podemos perceber, a importância do conteúdo e do ³material concreto´ no ensino da matemática, principalmente, pelo estímulo que ele traz, pois não desejamos que a matemática de hoje se torne monótona e repetitiva. repetitiva.
Referências Bibliográficas B ACC ARO , ARO , Nelson lson. e CY R IN O , H élio. Mat emát ica ca.. se gun gund o ição , p. 96 a 6 a 152. 2 , ed it ora Át ica, 6 a ed ição
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