Matriz Impedancia

Matriz Impedancia • Conceptos Básicos. Típicamente, la matriz de admitancias de un sistema de potencia, a gran escala interconectado, es muy esparcida, con elementos que tienen, principalmente, un valor de cero. Conceptualmente, resulta más simple invertir la matriz Ybarra para encontrar la matriz de impedancias de barra Zbarra, pero la inversión directa de la matriz se emplea en raras ocasiones cuando los sistemas son de gran escala. En la práctica, rara vez se requiere Zbarra en forma explícita y así, los factores triangulares de Ybarra se usan para generar los elementos de Zbarra que sean necesarios. La matriz de impedancias de barra puede construirse, elemento por elemento, directamente mediante algoritmos simples para incorporar un elemento a la vez dentro de la representación del sistema. El trabajo vinculado en la construcción de Zbarra es mucho mayor que el requerido para construir Ybarra pero el contenido de la información de la matriz de impedancias de barra es, por mucho, mayor al de Ybarra.

Z barra

 Z 11 Z   21  Z 31   Z 41

Z12 Z 22

Z 13 Z 23

Z 32 Z 42

Z 33 Z 43

Z14  Z 24  Z 34   Z 44 

Matriz Impedancia • Formación de la Matriz Impedancia de Nodos. Por definición 1 Z barra  Ybarra

La matriz Zbarra debe ser simétrica porque Ybarra lo es alrededor de la diagonal principal. Los elementos de impedancia en Zbarra que están en la diagonal principal se conocen como impedancias de punto de operación de las barras y a los elementos fuera de la diagonal se les llama impedancias de transferencia de las barras. V = Zbarra I V1 = Z11I1 + Z12I2 + Z13I3 V2 = Z12I2 + Z22I2 + Z23I3 V3 = Z31I1 + Z32I2 + Z33I3

Z 22 

Z 12 

Z 32 

V2 I2

I1  I 3  0

V1 I2

I1  I 3  0

V3 I2

I1  I 3  0

Figura 7.2 Circuito para evaluar Z22, Z12 y Z32

Matriz Impedancia • Acoplamientos Mutuos. Añadir una Zb mutuamente acoplada desde una barra existente p a una nueva barra q

Básicamente, el procedimiento para este caso es una aplicación especial del caso anterior. Primero se añade una impedancia Zb entre la barra p y la nueva barra q, que está acoplada a través de la impedancia mutua ZM a la impedancia Za incluida en Zorig. Entonces, se cortocircuita la barra q al nodo de referencia con lo que Vq es igual a cero.

Fig. 7.3  V1   V    2   :      :   V N      Vq   Z q1

Z orig

Z q2

..

Añadir una Zb mutuamente acoplada desde una barra existente p a la referencia

Z qN

Z 1q   I 1   Z 2q   I 2  :  :    :  :  Z Nq   I N    Z qq   I q 

 Z M2  ZM Z qq  Z pq   Z mq  Z nq     Z b  Za  Za  ZM Z qj  Z pj  Z mj  Z nj  Za

Así, se procede a crear, para la matriz de impedancias de barra modificada, una fila nueva q y una columna q que son exactamente iguales a las del caso anterior. Una vez hecho esto, se elimina la fila y columna que se formaron por medio de la técnica estándar de reducción de Kron porque Vq es cero en la columna de voltajes

Matriz Impedancia • Acoplamientos Mutuos. Añadir una Zb mutuamente acoplada entre las barras existentes p y k Para empezar, se sigue procedimiento del primer caso para añadir la impedancia de rama mutuamente acoplada, Zb, desde la barra existente p a la nueva barra temporal q, tomando en cuenta que Za ya es parte de Zorig. En seguida se cortocircuita la barra q con la barra k y se añade una rama de impedancia cero entre estas barras. Como se requiere que (Vq - Vk) sea cero, se encuentra una expresión para esa cantidad al restar la fila k de la fila q.  V1    V   2     :      VN   Vq  V k  ( fila q   

Z orig

fila k)

  I1    (colunma q -   I 2  columna k)   :     I N   I q  Zc  

donde Zc es igual a la suma (Zqq + Zkk — 2Zqk) de elementos tomados de la ecuación del caso anterior. Se puede eliminar la nueva fila y la nueva columna de la ecuación, debido a que (Vq - Vk) es igual a cero, a través de la reducción de Kron para encontrar la forma final de la matriz N x N de impedancias de barra.

Matriz Impedancia • Modificación de la Matriz Impedancia. Añadir la Zb de una barra nueva p al nodo de referencia

Añadir la Zb de una nueva barra p a una barra existente k.

V10   0   I1   0    0  I 2  V2    :    Z orig :  :   0    V 0  N  I N  V  0 ... 0 Z b   I p   p  0   Z barra ( nueva )

Figura 7.4

Z1k   I1   V1      V  Z 2k 2  I2      :   :  Zorig :      V Z I N  Nk  N  V p   Z Z k 2 .... Z kN Z kk  Z b   I p     k1   Z barra( nueva )

Matriz Impedancia • Modificación de la Matriz Impedancia. Añadir Zb desde una barra existente k al nodo de referencia. 1. 2.

3.

se añade una nueva barra p conectada, a través de Zb, a la barra k. Entonces, se cortocircuita la barra p al nodo de referencia haciendo que Vp sea igual a cero para obtener la misma ecuación matricial. Así, con el propósito de realizar la modificación, se procede a crear una nueva fila y columna, al igual que en el caso 2, pero eliminando la fila y la columna (N + 1) a través de la reducción de Kron.

Esto es posible por el cero en la matriz columna de voltajes. Se usará el método desarrollado en la ecuación:

Z hi  nueva   Z hi 

Añadir Zb entre dos barras existentes j y k

Figura 7.5  V1    :      V j      Vk     :      VN    0  (columna   

Z orig

j - columna k ) de Z orig

  I1     :  (col j - col k)   I j    de Zorig   Ik   :     I N   I  Zbb  b 

Z h  N 1 Z  N 1i Z kk  Z b

Z bb  Z th , jk  Z b  Z jj  Z kk  2 Z jk  Z b

Matriz Impedancia •

Obtención de Elementos de la Matriz Impedancia a partir de la Matriz Admitancia.

Ybarra Z barra

1 0     0  0

  0 0 0 0      ( m)  Y Z   barra barra     1m   0 1 0    0 0 0 1  0  0 1

(m) LUZ barra

l11 l  21 l 31  l 41

.

0 0

0 0      1m      0 

l 22

. .

l 32 l 42

l33 l 43

.  1 u12 .   . 1  .  . .  l 44   . .

l11 l  21 l 31  l 41

.

. .

l 22 l32

l33

l 42

l 43

1 u12 . 1  . .  . .

u13 u 23 1 .

. . .

  x1  0   x  0   2       x3   1      l 44   x4  0 u14   Z13   x1  u 24   Z 23   x 2   u 34   Z 33   x3      1   Z 43   x 4   ( 3) Z barra

x1  0 1 x3  l 33 u13 u 23 1 .

u14   Z 13  0 u 24   Z 23  0  u 34   Z 33  1     1   Z 43  0  (3) Z barra

x2  0 x4  

l 43 l 44 l 33

Z 43  x 4 Z 33  x3  u 34 Z 43 Z 23  x 2  u 23 Z 33  u 24 Z 43

Z 13  x1  u12 Z 23  u13 Z 33  u14 Z 43