METODE NUMERIK DALAM PERPINDAHAN PANAS KONDUKSI 5.1 Metode Numerik
Perkembangan computer berkecepatan tinggi dan prangkat mudah yang praktis digunakan memiliki dampak besar pada pendidikan teknik dan prakteknya dalam beberapa terakhir. Permasalahan matematika lebih mudah diselesaikan oleh sebuah computer sekarang ini. Namun, kita juga harus memahami keterbatasan dari computer itu sendiri Dalam Bab sebelumnya kita memecahkan berbagai masalah konduksi panas dalam berbagai geometri secara sistematis tetapi sangat matematis. Metode analitik juga mempunyai batas tertentu dan tingkaat kerumitan yang tinggiAnalisis numerik tidak memerlukan kecanggihan kecanggihan matematika melampaui tingkat I ntegrasi sederhana, dan Anda mungkin bertanya-tanya mengapa ada orang yang meminta sesuatu yang lain. Setelah semua, solusi yang diperoleh adalah tepat dan mudah digunakan. Ada beberapa alasan untuk mencari metode alternatif solusi.
Pembatasan
Metode solusi analitis terbatas pada masalah yang sangat sederhana dalam geometri sederhana seperti gambar dibawah. Geometri harus sedemikian rupa sehingga seluruh permukaan dapat dijelaskan secara matematis dalam sistem koordinat dengan menetapkan variabel sama dengan konstanta. Artinya, ia harus masuk ke dalam sistem si stem koordinat sempurna dengan tidak mencuat atau didalamnya. Bahkan komplikasi kecil dalam geometri dapat membuat solusi analitis tidak mungkin. Bahkan dalam geometri sederhana, masalah perpindahan panas tidak dapat diselesaikan secara analitis jika kondisi termal tidak cukup sederhana. Misalnya, pertimbangan variasi konduktivitas termal dengan suhu, variasi koefisien perpindahan panas di atas permukaan, atau perpindahan panas radiasi pada permukaan dapat membuat tidak mungkin untuk mendapatkan solusi analitis. Oleh karena itu, solusi analitis terbatas pada masalah yang sederhana atau dapat disederhanakan dengan pendekatan yang masuk akal.
Pemodelan yang lebih baik
Kita menyebutkan sebelumnya bahwa solusi analitis adalah solusi yang tepat karena mereka tidak melibatkan perkiraan. Namun pernyataan ini membutuhkan beberapa klarifikasi. Perbedaan harus dibuat antara masalah dunia nyata yang sebenarnya dan model matematika yang merupakan representasi ideal dari itu. Solusi yang dapatkan adalah solusi dari model matematika, dan tingkat penerapan solusi ini ke masalah fisik yang sebenarnya tergantung pada keakuratan model. Sebuah solusi "perkiraan" dari model yang realistis dari masalah fisik biasanya lebih akurat dibandingkan dengan "tepat" solusi model matematika mentah (Gbr. 53). Ketika mencoba untuk mendapatkan solusi analitis untuk masalah fisik, selalu ada kecenderungan untuk menyederhanakan masalah untuk membuat model matematika cukup sederhana untuk menjamin solusi analitis. Oleh karena itu, adalah praktek umum untuk mengabaikan efek yang menyebabkan komplikasi matematika seperti nonlinier dalam persamaan diferensial atau kondisi batas. Sebuah model matematika dimaksudkan untuk solusi numerik cenderung mewakili masalah yang sebenarnya lebih baik. Oleh karena itu, solusi numerik dari masalah rekayasa kini telah menjadi kondisi lebih dibandingkan pengecualian bahkan ketika solusi analitis tersedia.
Flexibility
Masalah teknik sering membutuhkan studi parametrik untuk memahami pengaruh beberapa variabel pada solusi untuk memilih aturan yang tepat dari variabel dan untuk menjawab beberapa "bagaimana jika" pertanyaan. Ini merupakan proses berulang-ulang yang sangat membosankan dan memakan waktu jika dilakukan dengan tangan. Komputer dan metode numerik secara ideal cocok untuk perhitungan tersebut, dan berbagai masalah terkait dapat diselesaikan dengan sedikit modifikasi dalam kode atau input variabel.
Komplikasi
Beberapa masalah dapat diselesaikan secara analitis, tetapi prosedur solusi begitu kompleks dan ekspresi solusi yang dihasilkan sehingga rumit bahwa tidak layak semua upaya itu. Dengan pengecualian dari masalah sistem stabil satu-dimensi atau transient disamakan, semua masalah konduksi panas menghasilkan persamaan diferensial parsial. Memecahkan persamaan seperti biasanya membutuhkan persamaan matematika yang luar biasa rumit yang terkadang membuat penggunanya merasa takut dan malas mengerjakannya
Alam Manusia
Sebagai manusia pada zaman modern, kita pasti ingin menjalani hidup dengan lebih nyaman dan mudah. Oleh karena itu perkembangan teknologi semakin berkembang begitupun dengan analisa perhitungan matematika yang dulunya secara analitik sekarang bisa dengan pendekatan numeric. Sekarang ini, komputer mampu memudahkan manusia dalam memecahkan berbagai masalah matematika Diskusi di atas tidak harus membuat Anda percaya bahwa solusi analitis tidak diperlukan dan bahwa mereka harus dibuang dari kurikulum teknik. Sebaliknya, wawasan untuk fenomena fisik dan kebijaksanaan teknik diperoleh terutama melalui analisis.. Dalam bab ini, Anda akan belajar bagaimana untuk merumuskan dan memecahkan masalah perpindahan panas secara numerik menggunakan satu atau lebih pendekatan. Anda akan diajar mengenai pengoperasian computer dan perangkat lunak yang digunakan dalam menyelesaikan masalah metode numeric
5.2 Rumus Batas Hingga dari Persamaan Differensial
Metode numerik untuk memecahkan persamaan diferensial didasarkan pada mengganti persamaan diferensial dengan persamaan aljabar. Dalam kasus metode batas hingga populer, hal ini dilakukan dengan mengganti turunan oleh perbedaan. Formulasi batas hingga diberikan di atas untuk menunjukkan bagaimana perbedaan persamaan yang diperoleh dari persamaan diferensial. Namun, kami akan menggunakan pendekatan keseimbangan energi di bagian berikut untuk mendapatkan formulasi numerik karena lebih intuitif dan dapat menangani kondisi batas yang lebih mudah. Selain itu, pendekatan keseimbangan energi tidak memerlukan memiliki persamaan diferensial sebelum analisis
5.3 Perpindahan Panas Konduksi Steady Satu Dimensi
Pada bagian ini kita akan mengembangkan formulasi beda hingga konduksi panas di dinding pesawat menggunakan pendekatan keseimbangan energi dan membahas bagaimana memecahkan persamaan yang dihasilkan. Metode keseimbangan energi didasarkan pada pengelompokan media ke dalam jumlah yang memadai elemen volume dan kemudian menerapkan keseimbangan energi pada setiap elemen. Hal ini dilakukan dengan terlebih dahulu memilih titik-titik sentral (atau simpul) di mana suhu akan ditentukan kemudian membentuk elemen (atau volume control) atas simpul dengan menggambar garis melalui titik tengah antara pusat. Dengan cara ini, interior pusat tetap berada di tengah-tengah elemen, dan properti di pusat seperti suhu dan tingkat panas yang dihasilkan merupakan sifat rata-rata elemen. Anda mungkin berpikir bahwa jika panas dilakukan ke elemen kedua sisi, seperti yang diasumsikan dalam perumusan, suhu medium harus meningkat dan dengan demikian konduksi panas tidak bisa stabil. Mungkin pendekatan yang lebih realistis akan menganggap konduksi panas akan ke dalam elemen di sisi kiri dan keluar dari elemen di sisi kanan.
5.4 Perpindahan Panas Konudksi Steady Dua Dimensi
Dalam Bagian 5-3 kita dianggap sebagai salah satu dimensi konduksi panas dan diasumsikan konduksi panas dalam arah lain akan diabaikan. Banyak masalah perpindahan panas yang dihadapi dalam praktek dapat diperkirakan sebagai salah satu dimensi, namun hal ini tidak selalu terjadi. Kadang-kadang kita perlu mempertimbangkan perpindahan panas dalam arah lain juga ketika variasi suhu di arah lain yang signifikan. Pada bagian ini kita akan mempertimbangkan formulasi numerik dan solusi dari dua dimensi konduksi panas yang stabil
dalam koordinat persegi panjang dengan menggunakan metode beda hingga. Pendekatan yang disajikan di bawah ini dapat diperluas untuk kasus tiga dimensi.
5.5 Perpindahan Panas Konduksi Transient
Sejauh ini dalam bab ini kita telah menerapkan metode batas hingga untuk menyelesaikan masalah perpindahan panas. Pada bagian ini kami memperluas metode untuk memecahkan masalah sementara. Kami menerapkan metode beda hingga untuk masalah steadi dengan cara mendiskritkan masalah dalam variabel ruang dan pemecahan untuk suhu pada titik-titik diskrit yang disebut node. Solusi yang diperoleh berlaku untuk setiap saat karena dalam kondisi st eadi suhu tidak berubah dengan waktu. Dalam masalah sementara, bagaimanapun, suhu berubah dengan waktu serta posisi, dan dengan demikian solusi beda hingga masalah transient membutuhkan diskritisasi waktu selain diskritisasi dalam ruang, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 5-37. Hal ini dilakukan dengan memilih waktu yang tepat langkah dan pemecahan untuk suhu utama diketahui berulang kali untuk masi ng-masing sampai solusi pada waktu yang diinginkan diperoleh.
