TEORÍA DE COLAS
Población
S
Finita
Entrada
Cola
Servidor
Salida
Fuente Sistema
AUTORA: ING. GILMA TABLADA MARTÍNEZ.
FEBRERO-2012
Teoría de Colas
4.3. Modelo con fuente fuente finita. Modelo Modelo M/M/1/ /FIFO/N.
Para este modelo tendremos en cuenta todas las consideraciones del modelo M/M/1, excepto que en este caso solo existen clientes potenciales que pueden acceder al servicio, por lo que la población es finita. Si excede a 30 es factible considerar el modelo M/M/1 basado en el supuesto de que la población es infinita, en otros casos se considera fuente finita.
Cálculo de los parámetros del sistema:
= tamaño de la población. λ = tasa promedio promedio de llegadas (llegadas por unidad unidad de tiempo). µ = tasa promedio de servicio por cada servidor (llegadas por unidad de tiempo).
[∑ () ]
Ejemplo 17.
Una mina carbonífera atiende a 6 trenes cuyos tiempos entre llegadas están distribuidos exponencialmente y promedian 30 horas. El tiempo requerido para cargar completamente un tren con carbón varía según el número de vagones, los retrasos ocasionados por el clima y por averías del equipo. El tiempo necesario para cargar un tren puede calcularse aproximadamente mediante una distribución exponencial negativa, con una media de 6 horas con 40 minutos. El ferrocarril exige que la mina carbonífera pague cargos muy cuantiosos de estadía, en caso de que un tren pase más de 24 horas estacionado en la mina. Haga un análisis del sistema y determine si con los parámetros establecidos, la mina pagará cargos o no.
Datos:
Ing. Gilma Tablada Martínez
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día. en 30 horas = 0.8 tren por día. en 6 horas y 40 minutos = 3.6 trenes por día.
Debemos encontrar el tiempo que pasa un tren estacionado en la mina para saber si se pagaran cargos o no.
[∑ () ] [∑ () ] () () () () () ()
()
Ing. Gilma Tablada Martínez
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= 17.28
La mina no pagará cargos porque, como promedio, pasa menos de 24 horas un tren estacionado. Ejercicio Ejercicio 9. 1. Un trabajador de mantenimiento requiere un promedio de 10 horas para su operación por cada máquina. El tiempo de operación tiene una distribución exponencial. El tiempo que pasa una máquina en romperse sigue una distribución exponencial, con media de 8 horas. Haga un análisis de estado estable del sistema. Calcule además la probabilidad de que un visitante pase más de 15 minutos en el sistema. 2. Una compañía instaló 10 robots que incrementaron considerablemente la productividad de la mano de obra en esta empresa, por lo que la atención se ha enfocado en el mantenimiento de los mismos. La compañía no aplica el mantenimiento preventivo de los robots, en virtud de la gran variabilidad que se observa en sus averías. Cada máquina tiene una distribución exponencial de averías, con un tiempo promedio de 200 horas entre una y otra falla. Cada hora máquina perdida como tiempo ocioso cuesta $30.00, lo cual significa que la empresa tiene que reaccionar con rapidez en cuanto falla una máquina. La compañía contrata solo a 1 persona de mantenimiento, quien necesita 10 horas en promedio para reparar 1 robot. Los tiempos de mantenimiento real están distribuidos exponencialmente. La tasa de salarios es de $10.00 por hora para el encargado de mantenimiento, el cual puede dedicarse productivamente a otras actividades cuando no hay robots que reparar. Calcule el tiempo diario por concepto de tiempo ocioso de la mano de obra y de robots. 3. Un pequeño autoservicio de lavado en el que el coche que entra no puede hacerlo hasta que el otro haya salido completamente, tiene una capacidad de aparcamiento de 10 coches, incluyendo el que está siendo lavado. La empresa ha estimado que los coches llegan siguiendo una distribución de Poisson con una media de 20 coches/hora, el tiempo de servicio sigue una distribución exponencial de 12 minutos. La empresa abre durante 10 horas al día. ¿Cuál es la media de coches perdidos cada día debido a las limitaciones de espacio? 4. Una estación de ITV cuenta con 3 puestos para inspección y en cada uno sólo puede ser atendido un coche. Cuando un coche sale de un puesto la vacante es ocupada por otro que está en cola. La llegada de coches sigue una distribución de Ing. Gilma Tablada Martínez
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Poisson con una media de 1 coche por minuto en sus horas pico, que duran 3 horas. En el parking sólo caben 4 vehículos. El tiempo de inspección sigue una distribución exponencial exponencial con media de 6 minutos. El inspector jefe desea saber: a) El número medio de coches en la estación. b) El tiempo medio (incluida la inspección) de espera. c) El número medio de coches en cola debido a que los puestos están ocupados. ¿Cuántos coches tendrán que volver en e n otro momento? 5. La escuela de Administración de empresas de la Universidad de Benton ha instalado una máquina en cada piso para uso de profesores y alumnos. La intensa utilización de las 5 máquinas copiadoras ocasionan fallas frecuentes. Los riesgos de mantenimiento muestran que 1 máquina falla cada 2 días y medio. Esta institución tiene vigente un contrato de mantenimiento con el distribuidor autorizado de las maquinas copiadoras. Al observar que las máquinas de la escuela fallan con tanta frecuencia, el distribuidor ha asignado a una persona para que las repare. Esa persona puede reparar un promedio de 2.5 máquinas por día. Aplicando el modelo con fuente finita, responda las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la utilización promedio del técnico de mantenimiento? mantenimiento? b) En promedio, ¿cuántas maquinas copiadoras están siendo reparadas o en espera de reparación? c) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa una maquina en el sistema de reparación? 6. Una fábrica de semiconductores usa 5 robots para la fabricación de sus placas de circuitos. Los robots se estropean periódicamente, y la compañía tiene dos reparadores para las reparaciones. Cuando un robot es arreglado, el tiempo hasta que el siguiente se rompe se cree que es una exponencial distribuida con una media de 30 horas. La empresa tiene suficiente trabajo en cola para asegurarse que todos los robots en condiciones de trabajar estarán funcionando. El tiempo de reparación se distribuye según una exponencial con media de 3 horas. Al encargado le gustaría saber: a) El número medio de robots operativos en cualquier momento. b) El tiempo que un robot tarda en ser reparado. c) El porcentaje de tiempo en que qu e algún operario está parado.
Ing. Gilma Tablada Martínez
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