MOMENTO DE INERCIA Y CENTRO DE GRAVEDAD INTEGRANTES: Gómez Eugenio, C.I. 9.556.236 Hernández Yenny, C.I. 15.226.462 Leal Gustavo, C.I. 10.370.524
MORÓN; ENERO 2.013
MOMENTO DE INERCIA
CENTRO DE GRAVEDAD
Concepto. Teorema de los ejes paralelos para un área. Radio de un área. Momento de Inercia para un área por integración. Momento de Inercia para áreas compuestas. Producto de Inercia para un área. Circulo de Mohr para los momentos de inercia. Momento de Inercia de masa.
Concepto. Conceptos relacionados. Propiedades del centro de gravedad. Cálculo del centro de gravedad.
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CONCEPTO
Considere el área A, mostrada en la figura 1, que se encuentra en plano x-y.
Por definición los momentos de inercia del área diferencial plana dA con respecto a los ejes x y y son dIx= y2 dA y dIy= x2dA, respectivamente. Los momentos de inercia son determinados por integración para toda el área; es decir,
También podemos formular el segundo momento de dA con respecto al polo O o eje z (figura 1) a este se le llama momento de inercia polar, dJo= r2dA. Aquí r es la distancia perpendicular desde el polo (eje z) hasta el elemento dA. Para toda el área el momento de inercia polar es:
La relación entre Jo e Ix, Iy es posible puesto que r2= x2 + y2.
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Si el momento de inercia para un área se conoce con respecto a un eje que pasa a través de su centroide, es conveniente determinar el momento de inercia del área con respecto a un eje paralelo correspondiente usando el teorema de los ejes paralelos. Para derivar este teorema, hay que considerar encontrar el momento de inercia del área sombreada que muestra la figura 2 con respecto al eje x:
Puesto que el momento de inercia de dA con respecto al eje x es dIx= (y´+ dy)2 dA, entonces, para toda el área.
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La primera integral representa el momento de inercia del área con respecto al eje centroidal Īx´. La segunda integral es cero ya que el eje x´ pasa a través del centroide C del área; esto es Ya que ȳ= 0. Observemos que la tercera integral representa el área total A, el resultado final por tanto es
Una expresión similar puede ser escrita para Iy; esto es Finalmente, para el momento de inercia polar con respecto a un eje perpendicular al plano x- y y que pase a través del polo O (eje z) de la figura 2, tenemos
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RADIO DE GIRO DE UN ÁREA
La forma de esta ecuación es fácil de recordar ya que es similar a la usada para encontrar el momento de inercia de un área diferencial con respecto a un eje.
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MOMENTO DE INERCIA PARA UN ÁREA POR INTEGRACIÓN
Cuando las fronteras de un área plana son expresadas mediante funciones matemáticas, las ecuaciones
pueden ser integradas para determinar los momentos de inercia para el área. Si el elemento de área elegido para la integración tiene un tamaño diferencial en dos direcciones como se muestra en la figura 1, debe efectuarse una integración doble para evaluar el momento de inercia.
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Un área compuesta consiste en una serie de partes o formas “más simples” conectadas, tales como semicírculos, rectángulos y triángulos. Si el momento de inercia de cada una de esas partes se conoce o puede ser determinado con respecto a un eje común, entonces el momento de inercia del área compuesta es igual a la suma algebraica de los momentos de inercia de todas sus partes.
MOMENTO DE INERCIA PARA ÁREAS COMPUESTAS
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El producto de inercia para un elemento de área dA localizado en el punto (x, y), figura 3, se define como dIxy= xy dA. Así, para el área total A, el producto de inercia es:
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En el diseño estructural y mecánico, a veces es necesario calcular los momentos y el producto de inercia Iu, Iy e Iuv para un área con respecto a un conjunto de ejes inclinados u y v cuando se conocen los valores de Ɵ, Ix, Iy e Ixy.
Usando estas ecuaciones, los momentos y el producto de inercia de dA con respecto a los ejes u y v son
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Desarrollando cada expresión e integrando, puede advertirse que:
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obtenemos
Estas ecuaciones pueden ser simplificadas usando las identidades trigonométricas sen2Ɵ= 2senƟ cosƟ y cos2Ɵ= cos^2 Ɵ- sen^2Ɵ, en cuyo caso
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Las ecuaciones:
tiene una solución grafica que es, en general, fácil de usar y recordar. Elevando al cuadrado la primera y la primera y la tercera de las ecuaciones 10-9 y sumándolas encontramos que
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En un problema dado, Iu e Iuv son variables, e Ix, Iy e Ixy son constantes conocidas. Así la ecuación
la resultante representa un circulo de radio
puede ser escrita en forma compacta como
Cuando esta ecuación es graficada sobre un par de ejes que representan los respectivos momentos de inercia y producto de inercia, figura 5.
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MOMENTO DE INERCIA DE MASA Definimos el momento de inercia de masa como la integral del “segundo momento” con respecto a un eje de todos los elementos de masa dm que componen el cuerpo. Por ejemplo, considere el cuerpo rígido mostrado en la figura 5; su momento de inercia con respecto al eje z es
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Es el punto en el cual se puede considerar que todo el peso de un cuerpo está concentrado y representado como una partícula. Cuando la aceleración debida a la gravedad sea constante, el centro de gravedad y el centro de masa coinciden.
CONCEPTO En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo.
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Centro de masa y centro de gravedad
El centro de masa coincide con el centro de gravedad cuando el cuerpo está en un campo gravitatorio uniforme. Es decir, cuando el vector aceleración de la gravedad es de magnitud y dirección constante en todo el interior del cuerpo. A los efectos prácticos esta coincidencia se cumple con precisión aceptable para todos los cuerpos que están sobre la superficie terrestre, aún para una locomotora o un gran edificio; no sucede lo mismo con objetos
Centro geométrico y centro de masa El centro geométrico de un cuerpo material coincide con el centro de masa si el objeto es homogéneo (densidad uniforme) o cuando la distribución de materia en el sistema tiene ciertas propiedades, tales como simetría.
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La resultante de todas las fuerzas gravitatorias que actúan sobre las partículas que constituyen un cuerpo pueden reemplazarse por una fuerza única, Mg , esto es, el propio peso del cuerpo, aplicada en el centro de gravedad del cuerpo. Un objeto apoyado sobre una base plana estará en equilibrio estable si la vertical que pasa por el centro de gravedad corta a la base de apoyo. Además, si el cuerpo se aleja ligeramente de la posición de equilibrio, aparecerá un momento restaurador y recuperará la posición de equilibrio inicial.
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CALCULO DEL CENTRO DE GRAVEDAD El centro de gravedad de un cuerpo viene dado por el único vector que cumple que:
En un campo gravitatorio uniforme, es decir, uno en que el vector de campo gravitatorio es el mismo en todos los puntos, la definición anterior se reduce a la definición del centro de masas:
En el campo gravitatorio creado por un cuerpo material cuya distancia al objeto considerado sea muy grande comparado con las dimensiones del cuerpo y del propio objeto, el centro de gravedad del objeto viene dado por:
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