P Total y Bayes

Ayudante: Mª Mª Angélica Malhue

Teoría de las Probabilidades Probabilidades

Ejercicio Nº3: Se escogen al azar 3 lámparas, de un total de 15 lámparas, de las cuales 5 son defectuosas. Sean 15 lámparas:

 5 defectuosas  10 no defectuosas

a) Determinar la probabilidad probabilidad de que ninguna ninguna sea sea defectuosa. defectuosa.

IP(Ninguna defectuosa !

 10     3   15     3 

! 0,"#  "#$

b) Hallar la la probabilidad probabilidad de que exactamente exactamente una una sea defectuosa.

Ayudante: Mª Mª Angélica Malhue

IP(1 sea defectuosa !

Teoría de las Probabilidades Probabilidades

 5  10    1   "  15   3 

! 0,%&  %&$

c) Encuentre la probabilidad probabilidad que que una por lo menos sea sea defectuosa. defectuosa.

IP(al menos 1 sea defectuosa ! 1 ' IP(ninguna sea defectuosa defectuosa ! 1 ' 0,"# ! 0,%  %$

Ejercicio Nº4: )e e*periencias pre+ias, una compa-a area sa/e ue el #0$ de los pasaeros en +uelo matinal pide desa2uno caliente, mientras ue los restantes lo piden fr-o. Para cada uno de estos +uelos, el a+in dispone a /ordo de " desa2unos calientes 2 %4 desa desa2u 2uno noss fr-o fr-os. s. n una una maa maana na 110 pasa pasae ero ross toma toman n el a+i a+in. n. )ete )etermi rmine ne la pro/a/ilidad de ue ue cada uno de los pasaeros pasaeros reci/a el desa2uno adecuado. adecuado.

Ayudante: Mª Angélica Malhue

IP(## cal.  %% fr-os !

Teoría de las Probabilidades

 ("  %4    #   %   1"0   1  0

! 0,"#"  "#,"$

Ejercicio Nº5: Se sacan tres /olitas de una caa, ue contiene "0 +erdes, 30 negras 2 0 azules6 si salen de distinto color se procede a e*traer una /olita de la caa 1, ue contiene %0 roas 2 #0 /lancas6 si salen dos /olitas de color +erde se procede a e*traer una /olita de la caa ", ue contiene 30 roas 2 0 /lancas6 en caso contrario se procede a e*traer una /olita de la caa 3, ue contiene "0 roas 2 40 /lancas. a) Determine la probabilidad que la bolita extraída sea roja.

IP(7 ! ! ! !

IP(7891IP(91 ; IP(789"IP(9" ; IP(7893IP(93 0,%IP(91 ; 0,3IP(9" ; 0,"IP(93 0,%0,1%& ; 0,30,0#4 ; 0,"0,43 0,"3#  "3,#$




IP(91 ! IP( color !


 "0  30  (0     1   1  1  1"0   3 

! 0,1%&



 "0 1 0    "  1 1 "0   3 



IP(9" ! IP(" +erdes !



IP(93 ! 1 ' IP(91 ' (9" ! 0,43

! 0,0#4

b) Si la bolita extraída es blanca, determine la probabilidad que hubiese salido de la caja 2.

IP(9"8< ! IP(<89"IP(9" IP(< ! 0,  0,0#4 1 ' 0,"3# ! 0,0#"  #,"$

Ejercicio Nº6: =a2 seis urnas ue contienen 1" esferas, entre /lancas 2 negras. >na de ellas tiene % esferas negras, dos tienen # esferas /lancas 2 las tres restantes tienen 4 esferas negras. Se elige una urna al azar 2 se e*traen 3 esferas (sin sustitucin de dic?a urna6 de estas, " son /lancas 2 1 negra. @9uál es la pro/a/ilidad de ue la urna elegida contu+iera # esferas /lancas 2 # negrasA. IP(>"  >3 8 "<  1N ! IP(("<  1N  (>"  >3



IP("<  1N ! IP(("<  1N  >" ; IP(("<  1N  >3 IP("<  1N



 # # "1 . #1"



! 0,%1"4  %1,"4$

Ejercicio Nº8: =ugo, Paco 2 Buis comparten un solo telfono. =ugo 2 Buis reci/en el mismo nCmero de llamadas, 2 Paco reci/e la mitad de las llamadas de =ugo. Por moti+os de tra/ao ellos salen con la siguiente frecuencia: =ugo está afuera el 50$ del tiempo, en cam/io Paco 2 Buis el "5$ cada uno. Sea: 

=: "D  P: D  B: "D EFEGB: 5D

IP(8= ! 0,5 IP(= ! "85 IP(N8= ! 0,5 IP(8P ! 0,5 IP(P ! 185 IP(N8P ! 0,"5

IP(B ! "85

IP(8B ! 0,5 IP(N8B ! 0,"5

a) Determine la probabilidad que no est ninguno para responder el telfono. IP(G ! IP(ninguno este ! IP(N  = ; IP(N  P ; IP(N  B ! IP(N8=IP(= ; IP(N8PIP(P ; IP(N8BIP(B ! 0,5"85 ; 0,"5185 ; 0,"5"85 ! 0,35  35$ b) Determine la probabilidad que est la persona a la que se llama. IP(< ! IP(este la persona a uien se llama ! IP(  = ; IP(  P ; IP(  B ! IP(8=IP(= ; IP(8PIP(P ; IP(8BIP(B ! 0,5"85 ; 0,5185 ; 0,5"85



! 0,#5  #5$ c) Determine la probabilidad que ha!a tres llamadas seguidas para una persona. IP(9 ! IP(?a2a 3 llamadas seguidas para la misma persona ! IP(=H ; IP(PH ; IP(BH ! ("85H ; (185H ; ("85H ! 0,13#  13,#$ Determine la probabilidad que ha!a tres llamadas seguidas para tres personas distintas. IP() ! IP(?a2a 3 llamadas seguidas para distintas personas ! IP(=IP(PIP(B ; IP(=IP((BIP(P ; IP(BIP(=IP(P ; IP(BIP(PIP((= ; IP(PIP(=IP(B ; IP(PIP(BIP(= ! ("85  185  "85# ! 0,1&"  1&."$

Ejercicio Nº9: >n canal de comunicacin transfiere datos /inarios. )e/ido a un ruido en la transmisin algunas +eces al transmitir un 0 es reci/ido como 1 2 +ice+ersa. Ba pro/a/ilidad de ue un 0 transmitido sea reci/ido como un 0 es del &%$. Ba pro/a/ilidad de reci/ir un 1 dado ue se en+i un 1 es del &1$. Ba pro/a/ilidad de en+iar un 0 es del %5$.

IP(0 /icicleta  ! 0,%5 0.5 E

IP(1E ! 0,55

IP(07 80E ! 0,&% IP(17 80E ! 0,0# IP(07 81E ! 0,0& IP(17 81E ! 0,&1

a) Determine la probabilidad de recibir un ". IP(G ! IP(reci/ir un 1 ! IP(17  1E ; IP(17  0E ! IP(17 81EIP(1E ; IP(17 80EIP(0E ! 0,&10,55 ; 0,0#0,%5 ! 0,5"5  5",5$ b) Determine la probabilidad de que se ha!a transmitido un ", dado que se recibi# un ".



IP(< ! IP(se ?a2a transmitido un 1 dado ue se reci/i un 1 ! IP(1E817  ! IP(17  1E IP(17  ! IP(17 /1EIP(1E

IP(17  !

IP((17 /1EIP(1E IP(17 /0EIP(0E ; IP(17 /1EIP(1E

! 0,&10,55 0,5"5 ! 0,&5  &5$

c) Determine la probabilidad de errar en la transmisi#n. IP(9 ! IP(errar en la transmisin ! IP(17  0E ; IP(07 1E ! IP(17 80EIP(0E ; IP(07 81EIP(1E ! 0,0#0,%5 ; 0,0&0,55 ! 0,0#  ,#$

Ejercicio Nº10: Ba seora D ?a o/ser+ado ue su esposo llega so/rio tantas +eces como llega e/rio, 2 ue llega algo e/rio apro*imadamente el do/le de las +eces ue lo ?ace so/rio. ientras ue el seor D llega todas las semanas una noc?e tarde a su casa entre las 11 :00 P 2 las 3 :00 G 2a sea so/rio, algo /e/ido o e/rio. Su tiempo de llegada depende en forma pro/a/il-stica de la condicin en ue +iene 2 stas son :

9ondicin So/rio Glgo /e/ido /rio

11:00 ' 1":00 0,40 0,15 0,05

Epo. de llegada 1":00 ' 1:00 0,"0 0,50 0,30

1:00 ' 3:00 0,00 0,35 0,#5


Sea:


 S: D  G: "D  : D

Eotal: %D IP(E18S ! 0,4 IP(S ! 18%

IP(E"8S ! 0," IP(E38S ! 0,0 IP(E18G ! 0,15

IP(G ! 18"

IP(E"8G ! 0,50 IP(E38G ! 0,35

IP( ! 18%

IP(E18 ! 0,05 IP(E"8 ! 0,30 IP(E38 ! 0,#5

a) $na noche la se%ora & o!e abrirse la puerta a las "2'( *+. Encuentre la probabilidad que en esa noche el se%or & enga ebrio.

IP(G ! IP(+enga e/rio dado la ?ora de llegada ! IP(8E" ! IP(E"   IP(E" ! IP(E"8IP(

IP(E"8SIP(S ; IP(E"8GIP(G ; IP(E"8IP( ! 0,318% 0,"18% ; 0,518" ; 0,318% ! 0,"  "0$ b) Encuentre la probabilidad de que un día en que llega tarde lo haga entre las "'-- ! ('-- *+. IP(< ! ! ! !

IP(llegar en E3 IP(E3  S ; IP(E3  G ; IP(E3   IP(E38SIP(S ; IP(E38GIP(G ; IP(E38IP( 0 ; 0,3518" ; 0,#518%



! 0,33  33$

Ejercicio Nº11: Se dice ue las personas tienen suerte el %0$ de las +eces 2 ue no son afortunados el 55$ de las oportunidades. Eam/in se comenta ue las personas ue no tienen suerte, el #0$ de las +eces no son afortunadas. IP(G8S ! 0,%5 IP(S ! 0,% IP(NG8S ! 0,55 IP(G8NS ! 0,% IP(NS ! 0,# IP(NG8NS ! 0,#

a) alcular la probabilidad de que las personas tengan suerte ! sean afortunadas .

IP(G ! ! ! ! !

IP(tenga suerte 2 sea afortunada IP(G  S IP(G8SIP(S 0,%50,% 0,14  14$

b) alcular la probabilidad de que las personas tengan suerte, si se sabe que son afortunados.

IP(< ! IP(S8G ! IP(G  S IP(G

!

IP(G8SIP(S IP(G8SIP(S ; IP(G8NSIP(NS

!

0,%50,% 0,%50,% ; 0,%0,# ! 0,%3  %3$

Ejercicio Nº13:



>na fá/rica tiene tres sedes S 1, S", S3, de las cuales, S 1 produce tres +eces de lo ue produce S 3 2 la cuarta parte de S ". Ba S " produce art-culos defectuosos en 10$, la S 3 en 5$ 2 S 1 en 4$. Sea:  S1: Produce 3D  S": Produce 1"D  S3: Produce D EFEGB: 1#D IP(S1 ! 381#

IP(S" ! 1"81#

IP(S3 ! 181#

IP(<8S1 ! 0,&" IP()8S1 ! 0,04 IP(<8S" ! 0,&0 IP()8S" ! 0,10 IP(<8S3 ! 0,&5 IP()8S3 ! 0,05

a) Determinar la probabilidad que un cliente compre un artículo ! le resulte bueno. IP(G ! IP(un cliente compre un art-culo /ueno ! IP(<  S1 ; IP(<  S" ; IP(<  S3 ! IP(<8S1IP(S1 ; IP(<8S"IP(S" ; IP(<8S33IP(S3 ! 0,&"381# ; 0,&01"81# ; 0,&5181# ! 0,&0#  &0,#$ b) Si el artículo comprado es defectuoso, /u0l es la probabilidad que lo hubiera fabricado S21.

IP(< ! IP(S"8) ! IP()  S" IP() ! IP()8S"IP(S" IP() !

0,101"81# 0,04381# ; 0,101"81# ; 0,05181# ! 0,405  40,5$



Ejercicio Nº14: n la >S, el departamento de e*tensin está interesado en auspiciar un concierto /asado en la e*periencia del ao pasado, se consideran tres ni+eles, donde el primer ni+el N1 comprende el 30$ del alumnado, el segundo ni+el N " corresponde al 50$ del alumnado 2 el Cltimo ni+el N 3 tiene el "0$ del alumnado. Se estim a priori ue del N1 asistir-an al e+ento el "5$, del N " asistir-an el 35$ 2 del N 3 asistir-an el %0$. Si se selecciona al azar a " alumnos.

IP(N1 ! 0,3

IP(N" ! 0,5

IP(N3 ! 0,"

IP(G8N1 ! 0,"5 IP(NG8N1 ! 0,5 IP(G8N" ! 0,35 IP(NG8N" ! 0,#5 IP(G8N3 ! 0,%0 IP(NG8N3 ! 0,#0

a) alcular la probabilidad de que ninguno de los dos alumnos asista al concierto.

IP(G ! IP(ninguno asista ! IP(NG  N1 ; IP(NG  N" ; IP(NG  N3 ! IP(NG8N1IP(N1 ; IP(NG8N"IP(N" ; IP(NG8N3IP(N3 ! 0,50,3 ; 0,#50,5 ; 0,#0," ! 0,#  IP(ninguno de los dos asista ! 0,#0,# ! 0,%%4  %%,4$

b) Sabiendo que dos alumnos asistir0n al concierto, calcular la probabilidad de que asista el - de los alumnos.

IP(< ! IP(N38G ! IP(G8N3IP(N3 IP(G ! 0,%0,"





0,"50,3 ; 0,350,5 ; 0,%0," ! 0,"% IP(dos alumnos (N38G ! 0,"%0,"% ! 0,05&  5,&$

Ejercicio Nº15: >na Isapre clasifica a sus afiliados en 3 estratos socioeconmicos: alto, medio 2 /ao. Se sa/e ue la produccin de afiliados de clase alta es igual a la de clase media, mientras ue la proporcin de afiliados de clase alta es la tercera parte de los de la clase /aa. Sus estad-sticas indican ue, el porcentae de licencias mdicas otorgadas a sus afiliados de clase alta es el triple de los de la clase media, por otro lado, al a clase /aa se otorga el do/le de licencias ue a la clase media. l porcentae de licencias otorgadas por la Isapre a sus afiliados, en total, es de un "0$. Se seleccionan " afiliados al azar.

Sea:

 Glto: D  edio: D 
Eotal: 5D Para confeccionar el ar/olito necesitamos esta/lecer:  0,"D(alta ; 0,"D(media ; 0,#D(/aa ! 0,"  Si D(alto ! 3D(media 2 D(/aa ! "D(media G tra+s de estas igualdades podemos determinar  D(media ! 0,1  D(/ao ! 0,"  D(alto ! 0,3



IP(9B8G ! 0,3 IP(G ! 0," IP(SB8G ! 0, IP(9B8 ! 0,1 IP( ! 0," IP(SB8 ! 0,&

IP(< ! 0,#

IP(9B8< ! 0," IP(SB8< ! 0,4

a) /0al es la probabilidad de que ninguno est con licencia1.

IP(G



! IP(SB ! IP(SB  G ; IP(SB   ; IP(SB  < ! IP(SB8GIP(G ; IP(SB8IP( ; IP(SB8<IP(< ! 0,0," ; 0,&0," ; 0,40,# ! 0,4 IP(dos afiliados SB ! 0,40,4 ! 0,#%  #%$

b) Si ambos est0n con licencias. /u0l es la probabilidad que sean de la clase alta1.

IP(< ! IP(G89B ! IP(9B  G IP(9B !



IP(9B8GIP(G IP(9B8GIP(G ; IP(9B8IP( ; IP(9B8<IP(< ! 0,30," 0," ! 0,3 IP(am/os (G89B ! 0,30,3 ! 0,0&  &$



Ejercicios Nº16: >na persona tiene ue efectuar una mantencin diaria en el proceso, teniendo "% ?oras de la/or continuada6 de/ido a la prdida por no uso del sistema. Si se sa/e ue el 5$ de las +eces el proceso tiene una falla en el primer per-odo, si esta se produce ?a2 un "5$ ue falle en el segundo per-odo, en caso contrario ?a2 un 35$ ue falle.

IP(J8J ! 0,"5

IP(J8JJ ! 0,"5 IP(NJ8JJ ! 0,5

IP(J ! 0,05 IP(NJ8J ! 0,5

IP(J8NJ ! 0,35

IP(J8J NJ ! 0,35 IP(NJ8J NJ ! 0,#5

IP(J8NJJ ! 0,"5 IP(NJ8NJJ ! 0,5

IP(NJ ! 0,&5 IP(NJ8NJ ! 0,#5

IP(J8NJ NJ ! 0,35 IP(NJ8NJ NJ ! 0,#5

a) Determinar la probabilidad que en tres período consecutios el sistema falle dos eces.

IP(G ! ! ! !

IP(falle dos +eces IP(NJ  J  J ; IP(J  NJ  J ; IP(J  J  JN 0,&50,350,"5 ; 0,050,50,35 ; 0,050,"50,5 0,10#  10,#$

b) Si el sistema no falla en el tercer período, determinar la probabilidad que no ha!a fallado antes.

IP(< ! IP((NJ1  NJ"8NJ3 = IP(NJ3  IP(NJ"  IP(NJ1

IP(NJ3 ! IP(NJ38NJ"  NJ1IP(NJ"8NJ1IP(NJ1



IP(NJ3 ! 0,#50,#50,&5 0,50,"50,05 ; 0,#50,50,05 ; 0,50,350,&5 ; 0,#50,#50,&5 ! 0,54#  54,#$

Ejercicio Nº17: >n a+in lanza 3 co?etes a una na+e con las siguientes pro/a/ilidades de dar en el /lanco: para el primer co?ete 183 2 para los siguientes co?etes, 18" si el anterior dio en el /lanco 2 18% si el anterior no dio en el /lanco. Se pide determinar la pro/a/ilidad de ue al menos dos tiros den en el /lanco dado ue el primer tiro no dio en el /lanco. Suponga ue: IP(Gi es la pro/a/ilidad de dar en el /lanco el tiro i 2 IP(
IP(G38G"G1 ! 18" IP(G1 ! 183

IP(G"8G1 ! 18"

IP(<38G"G1 ! 18"

IP(<"8G1 ! 18"

IP(G38<"G1 ! 18% IP(<38<"G1 ! 38%

IP(G38G"<1 ! 18" IP(<1 ! "83

IP(G"8<1 ! 18%

IP(<38G"<1 ! 18"

IP(<"8<1 ! 38%

IP(G38<"<1 ! 18% IP(<38<"<1 ! 38%

IPK(G"  G38<1L ! IP(<1  G"  G3 IP(<1 ! IP(<1IP(G"8<1IP(G38G" ∩ <1

IP(<1 ! "8318%18" "83 ! 0,155  15,5$



Ejercicio Nº18: >n in+ersionista estima ue la pro/a/ilidad de ue un pro2ecto sea renta/le es de 0,#5. Para asegurarse contrata los ser+icios de dos analistas e*ternos ue e+alCan el pro2ecto en forma independiente. l ?istorial del analista I, permite suponer ue e+aluará el pro2ecto como renta/le, cuando en realidad lo sea con pro/a/ilidad 0,&0, mientras ue la pro/a/ilidad ue lo e+alCe como renta/le cuando no lo es, es de 0,05. l ?istorial del analista II garantiza ue e+alCa como renta/les pro2ectos ue si lo sean un 45$ de las +eces 2 e+alCa como renta/les auellos ue no lo son en un 10$.

IP(787 ! 0,&0 IP(7 ! 0,#5 IP(N787 ! 0,10 I IP(78N7 ! 0,05 IP(N7 ! 0,35 IP(N78N7 ! 0,&5

IP(787 ! 0,45 IP(7 ! 0,#5 IP(N787 ! 0,15 II IP(78N7 ! 0,10 IP(N7 ! 0,35 IP(N78N7 ! 0,&0

a) Determine la probabilidad de que ambos analístas eal3en el pro!ecto como rentable.

IP(7 ! ! ! ! !

IP(7 GNGBISEG I  IP(7 GNGBISEG II KIP(7  7 ; IP(7  N7LI  KIP(7  7 ; IP(7  N7LII KIP(787IP(7 ; IP(78N7IP(N7LI  K/isLII K0,&0,#5 ; 0,050,35L  K0,450,#5 ; 0,10,35L 0,353&  35,3&$



b) Si el pro!ecto ealu# rentable por ambos analistas, determine la probabilidad de que sea rentable.

IP(787 ! IP(787 GNGBISEG I  IP(787 GNGBISEG II ! KIP(7  7LI  KIP(7  7LII IP(7 IP(7 ! KIP(787IP(7LI  KIP(787IP(7LII IP(7 IP(7 ! K0,&0,#5L  K0,450,#5L K0,&0,#5 ; 0,050,35L K0,450,#5 ; 0,10,35L ! 0,&131  &1,31$

Ejercicio Nº19: 9uatro máuinas automáticas en+asan el mismo producto en frascos de +idrio ue son depositados en un transportador comCn. l rendimiento de la primera máuina es de dos +eces ma2or ue el de la segunda 2 tres +eces ma2or ue el de la tercera. Ba segunda máuina produce el do/le de la cuarta. Se sa/e ue los porcentaes de en+ases ?ec?os correctamente por la primera, segunda, tercera 2 cuarta máuina son #"$, 5$, &4$ 2 0$ respecti+amente. Se toma al azar del transportador un frasco de +idrio, el cual result no estar correcto. )etermine la pro/a/ilidad ue este en+ase ?a2a sido ?ec?o por la máuina 1. Sea:

 1: 1"D  ": #D  3: %D  %: 3D

Eotal: "5D



IP(1 ! 1"8"5

IP(" ! #8"5

IP(3 ! %8"5

IP(981 ! 0,#" IP(N981 ! 0,34 IP(98" ! 0,5 IP(N98" ! 0,"5 IP(983 ! 0,&4 IP(N983 ! 0,0"

IP(% ! 38"5

IP(983 ! 0,0 IP(N983 ! 0,30

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