PID, Filtros Wash-out y Anti Wind-up

SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ELECTRÓNICA Y DE TELECOMUNICACIONES Perfecta Combinación entre Energía e Intelecto

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Sistemas PID y efectos de los filtros wash-out y anti wind-up Diego Andrés Blanco Mora Código.2052142

Abstract: Cuando se desea controlar una planta se deben identificar las características de esta y seleccionar el método de control a implementar, en este caso la planta es un motor de DC y se usará control PID. En este trabajo se analizan analizan variaciones variaciones en el sistema generadas al usar una señal de tendencia, adicionar ruido además del uso de filtros wash-out y anti wind-up. I. INTRODUCCIÓN

Este trabajo consiste en el control de una planta por medio de un controlador controlador PID digital. digital. La planta planta fué sugerida por el docente a través de la página de internet http://www.engin.umich.edu/group/ctm, allí se selecciona con cual se deseaba deseaba trabajar. Se pretende diferenciar los efectos, ventajas y desventajas de los controladores que implementan filtros wash-out y anti wind-up, analizando la respuesta al escalón de diversos sistemas que los combinan en su implementación. La planta que se ha escogido para trabajar, corresponde a un motor de corriente continua, el cual ya ha sido previamente caracterizado. II.

PROCEDIMIENTO

DISEÑO DEL CONTROLADOR La función de transferencia de la planta es la siguiente:

b = 0.1 Nms Por lo tanto al reemplazar r eemplazar en la ecuación se obtiene:

Se desea diseñar el controlador que cumpla con las siguientes condiciones: -

tiempo de asentamiento: 2 seg sobrepaso máximo : 5% ESS: 1%

Para llevar a cabo el procedimiento y análisis del sistema se aplicaron los siguientes pasos:

Conversión de sistema Continuo a Discreto Para manipular y analizar matemáticamente y de forma correcta el comportamiento de la planta al incluir el controlador digital, debemos aplicar la transformada Z a la función de transferencia que la caracteriza. MATLAB:

R=1; L=0.5; Kt=0.01; J=0.01; b=0.1; Donde: R = 1 ohm L = 0.5 H Ke=Kt = 0.01 Nm/Amp J = 0.01 kg*m^2/s^2

num = Kt; den = [(J*L) (J*R)+(L*b) (R*b)+(Kt^2)]; Ts = 0.12; [numz,denz] = c2dm c2dm(num,den,Ts,'zoh') (num,den,Ts,'zoh')


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numz = 0 0.0092 0.0057 denz = 1.0000 -1.0877 0.2369 Se utiliza un periodo de muestreo de Ts=0.12 seg debido a que es el usado en la pagina de referencia, la razón matemática: éste es 10 veces mayor que la constante de tiempo de un sistema cuyo tiempo de establecimiento es de 2 seg, el cual es un requerimiento de diseño y así se garantiza que se cumpla y se realice un muestreo adecuado. Este tiempo de muestreo, nos garantiza una correcta digitalización de la planta.

Figura 1: respuesta al escalón en lazo cerrado del sistema sin compensar

Diseño Controlador PID Un controlador PID está descrito por la siguiente ecuación:

El resultado es el siguiente: Usando la aproximación bilineal o de Tustin para s dada por:

Respuesta al escalón de lazo cerrado sin compensar usando MATLAB numz = [numz(2) numz(3)]; [numz_cl,denz_cl] = cloop(numz,denz); Y la respuesta al escalón de esta: [x1] = dstep(numz_cl,denz_cl,51); t=0:0.12:6;

stairs(t,x1)

Tenemos la función de transferencia para el controlador PID:

La aplicación del sistema de control PID inserta un polo doble en z=1 y permite diseñar los ceros del controlador para que el sistema tenga el funcionamiento deseado. Para los parámetros o especificaciones dadas al comienzo se obtiene que:

El cual se debe discretizar y volver a compensar, la compensación consiste en multiplicar el PID (Digital) por 0.2425 (La compensación se realizó en: http://www.engin.umich.edu/group/ctm).


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3 ANÁLISIS DE LOS EFECTOS DE LOS FILTROS

SISTEMA PID IDEAL SIN RUIDO Y SIN SEÑAL DE TENDENCIA

Se desea presentar los efectos de utilizar los filtros anti windup y wash-out y cómo dichos filtros ayudan en el diseño de controladores discretos PID utilizando la herramienta Simulink de Matlab. Para realizar la práctica, se implementará en simulink las configuraciones propuestas por el docente, de esta manera se hace un análisis separado de cada uno de ellos con su correspondiente análisis inmediato.

Figura 2: Diagrama de bloques sistema PID ideal sin ruido ni señal de tendencia

La planta a la que se le ejerce la acción de control corresponde a un motor DC, cuyo controlador ya ha sido previamente diseñado en los numerales anteriores. Se deben tener en cuenta las especificaciones del motor de DC proporcionadas por la página fuente: Las características de los parámetros usados para el análisis del sistema son: 

El escalón de entrada tiene una amplitud de 8V, y así no sufrirá daños nuestra planta, a su vez se debe usar un saturador para la protección de la misma.



La fuente de ruido de banda limitada tiene una potencia de 0.01W y comienza a actuar en t=2 seg,



La señal con tendencia utilizada tiene una amplitud de 2V y comienza a actuar en t=7 seg.



El saturador tendrá los niveles de 10V para la protección adecuada de nuestra planta.

Para hacer un mayor énfasis en los efectos que se producen al usar los filtros wash-out y anti wind-up, se analizarán inicialmente tres configuraciones adicionales, las cuales son: sistema sin ruido y sin señal de tendencia, sistema con efectos de ruido y sin señal de tendencia y sistema sin ruido y con señal de tendencia. Nota: Las gráficas de la parte superior corresponden a la señal de error que entra al controlador, las gráficas de la parte inferior corresponden a la salida dada por la planta, la cual idealmente debe corresponder con la señal de referencia, es decir 8V.

Figura 3: Señales sistema PID ideal sin ruido ni señal de tendencia

Como se observa, el controlador digital diseñado cumple con las especificaciones de diseño para un sistema ideal, en el cual no afecta el ruido ni señales con tendencia. Observamos que el error disminuye rápidamente a cero. Para la entrada escalón de 8 V, es evidente que el saturador no tiene ningún efecto en el sistema. EFECTOS DEL RUIDO Se analiza la adición de ruido producida por una fuente de ruido blanco de banda limitada y potencia 0.01W.


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4 SEÑAL CON TENDENCIA

Figura 4: Diagrama de bloques sistema PID ideal c on efectos de ruido de banda limitada Figura 6: Diagrama de bloques sistema PID ideal sin ruido con efecto de señal de tendencia

Figura 5: Señales sistema PID ideal con efectos de ruido de banda limitada

La señal nunca se estabiliza por completo debido al gran efecto derivativo causado por la alta variación de la señal de error la cual es afectada directamente por la aleatoriedad del ruido añadido, sin embargo podemos decir que el tiempo de establecimiento se mantiene, sin embargo el ruido no permite alcanzar el estado estable.

Figura 7: Señales sistema PID ideal sin ruido con efecto de señal de tendencia

En este caso la señal con tendencia corresponde a un escalón que se hace presente a partir de 7 segundos y cuya amplitud es de 2V, esta es la misma magnitud por la que se ve afectada la señal de salida, es decir la tendencia define el nuevo valor final que es igual a la señal de entrada menos la señal de tendencia.


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5 1. SEÑAL CON TENDENCIA + RUIDO

CORRECCIÓN DE LOS PROBLEMAS Se puede afirmar que los efectos de la señal con ruido y tendencia, son lineales y por tanto pueden ser corregidos por separado, mediante la implementación del filtro wash-out y el anti wind-up para cada uno respectivamente

9 Figura 8: Diagrama de bloques sistema PID con efectos de ruido y señal de tendencia

2. FILTRO ANTI WINDUP EN EL BLOQUE INTEGRADOR El filtro anti wind-up se encuentra encargado de evitar la saturación y daño del actuador de la planta, cuando el controlador intenta seguir una señal de referencia, cuyo error implique aplicar niveles de tensión por encima de los soportados o nominales del motor DC, esto se realiza restando el sobrepaso del nivel del saturador al efecto integrador. Es de esperar que éste tipo de filtro sea útil para evitar señales de tendencia que pueda causar daños. Para la simulación la amplitud de la señal de entrada se ajusta para que sea mayor que la máxima aplicable a la planta, seleccionado en +10 V para el motor DC.

Figura 10: Diagrama de bloques sistema PID con filtro anti wind-up Figura 9: Señales sistema PID con efectos de ruido y señal de tendencia

La señal se estabiliza a un valor diferente al de referencia, el efecto del ruido hace que el efecto derivativo por parte del controlador intente corregir los cambios rápidos en el error, pero debido a que la variación es muy rápida (pendientes altas en un pequeño intervalo de tiempo) el controlador no logra estabilizar eficientemente la señal.


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Figura 11: Señales sistema PID con filtro anti- windup

Como se puede observar en la gráfica la respuesta al escalón unitario para una entrada de nivel 8, observamos que el actuador se alcanza a saturar en el sobrepaso máximo, es aquí cuando es útil la función del filtro. Con la ayuda del filtro, se evita la saturación del sobre paso máximo y daños posibles en el actuador. El nivel de ganancia del filtro se escogió en 10, este nivel se puede seleccionar en base al sobrepaso máximo previsto en las señales de referencia y de salida.

Figura 12: Señal acción filtro anti-windup

La figura 12 corresponde a la diferencia entre la salida y la entrada del saturador, es decir, los intervalos en los cuales el filtro actúa, y podemos observar que su mayor influencia se realiza en el tiempo de levantamiento. 3. FILTRO WASH-OUT EN EL BLOQUE DERIVATIVO. La función principal del filtro Wash-out es atenuar las bajas frecuencias y no laterar las demás, por ello en el dominio de la frecuencia compleja como se muestra en la siguiente aproximación:

Donde N está dado entre 3 y 20 en la práctica y es la variable que nos permite seleccionar el rango de frecuencias de interés en las cuales el filtro comienza a hacer efecto.


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7 Al llevar su función de transferencia al dominio z por medio de la aproximación de Tustin se obtiene:

Debido a que la señal de entrada se trata de un escalón, el cual representa frecuencias bajas, entonces ajustamos N al mínimo valor posible (N=3), de forma que el filtro comience a hacer efecto en frecuencias pequeñas, para maximizar su influencia, para ello se selecciona Td=12, obteniendo la siguiente función de transferencia para el filtro wash-out:

Como se mencionó anteriormente el filtro mantiene la ganancia de derivación constante para altas frecuencias como el ruido, es por esto que no las atenúa sino mas bien, mantiene la ganancia al ruido limitada. Figura14: Señales sistema PID con filtro wash-out.

Se observa que las variaciones de la señal de salida son menos violentas, debido a la actuación del filtro.

Figura 13: Diagrama de bloques sistema PID con filtro wash-out

4. ACCIÓN DERIVATIVA PURA SOBRE LA SALIDA La acción derivativa pura, sirve para controlar los grandes cambios en el derivador.

Figura 15: Diagrama de bloques sistema PI con acción deriv ativa pura en la salida


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Figura 16: Señales sistema PI con acción derivativa pura en la salida.

5. ACCIÓN DERIVATIVA CON FILTRO WASHOUT EN LA SALIDA

Figura 18: Señales sistema PI con acción derivativa wash-out en la salida.

Observamos que el efecto es similar: Reduce las variaciones violentas, sin embargo, el filtro wash-out lo hace de una forma más óptima al reducir la ganancia de ciertas componentes de alta frecuencia del ruido. Las oscilaciones, sobresalto o picos son menores con el filtro wash-out. 6. FILTRO ANTI WIND-UP EN EL INTEGRADOR + ACCIÓN DERIVATIVA WASH-OUT EN LA SALIDA

Figura 17: Diagrama de bloques sistema PI con acción derivativa wash-out en la salida.

Figura 19:Diagrama de bloques sistema PI con acción derivativa wash-out en la salida y filtro anti-windup en el bloque integrador.


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9 La aplicación o uso de los filtros wash-out y anti wind-up no implica un rediseño del controlador por lo tanto son muy útiles de usar en cualquier caso donde el controlador ya ha sido diseñado. Cuando se usa un filtro anti-windup se evita trabajar el actuador sobre sus límites y así generar errores fatales en las acciones de control efectuadas por éste sobre la planta, también reduce significativamente los sobre impulsos que se puedan presentar en la respuesta acción de control del sistema. La saturación del sistema se comprueba al revisar la señal de error auxiliar (diferencia entre la señal antes y después del saturador) y constatar que es igual a cero. La acción del filtro wash-out es la de mantener a un valor constante máximo la ganancia derivativa para señales de altas frecuencias y atenuar las demás. La combinación al usar los filtros wash-out y anti wind-up no afecta las características de comportamiento del sistema como su velocidad, es decir, los tiempos de levantamiento y asentamiento se mantienen casi constantes. Figura 20: Señales sistema PI con acción derivativa wash-out en la salida y filtro anti-windup en el bloque integrador.

El sobre paso máximo se reduce, y el efecto del ruido no afecta los niveles de saturación del sistema, obteniendo así una respuesta muy eficiente.

III. CONCLUSIONES El análisis del comportamiento de las señales dentro de un sistema real es fundamental, porque ayuda a crear sistemas seguros que cuiden los elementos que componen el sistema, y además hacen que el sistema se desempeñe de forma más óptima. El controlador PID es un sistema que requiere ser fortalecido frente a variaciones bruscas o violentas su comportamiento carece de precisión, para ello se usan los filtros wash-out y anti wind-up.

El comportamiento de la salida del sistema se mejora en gran manera al unir la acción de los filtros wash-out y anti wind-up, cuando se presentan posibles saturaciones en el sistema evitando y perturbaciones por ruido, evitando así sobre impulsos y altas derivadas. Cuando se aplica el bloque derivativo directamente sobre la salida el comportamiento debido a altas derivadas se disminuye significativamente aún sin usar un filtro wash-out. El mejor comportamiento de la señal de salida del sistema frente a variaciones como ruido y señales de tendencia se presenta al aplicar con acción derivativa wash-out en la salida y filtro anti-windup en el bloque integrador.

REFERENCIAS [1] Ogata, katsuhiko. Sistemas de control en tiempo discreto 2 edición. [2]

Astrom,Wittenmark. Computer Controlled Systems. 3rd edición.

PID, Filtros Wash-out y Anti Wind-up

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