FACULTAD DE INGENIERIA
ALUMNO: SANTIAGO RAFAEL PERERA DUARTE
TUTOR: JOSE LUIS POVEDA
INTRODUCCION
La probabilidad es la medida cuantitativa por medio de la cual se obtiene la frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos. En la naturaleza suceden fenómenos que no pueden ser representados mediante modelos matemáticos determinísticos porque el conocer las condiciones bajo las que ocurren no permite predecir el resultado, sino únicamente que el resultado es uno de entre una serie de resultados posibles. A estos fenómenos se les denomina fenómenos aleatorios y se llaman así porque es impredecible o al azar lo que ocurrirá cuando se presenta el fenómeno. Existen tres tipos de probabilidades
A priori A posteori Axiomática
La probabilidad que es suficientemente rica para incluir la probabilidad a priori, y que además permite estudiar problemas que no quedan en el marco de la repetibilidad, se denomina Probabilidad Axiomática .
CONOCIMIENTOS PREVIOS Probabilidad clásica
En muchos experimentos aleatorios es posible determinar todos sus resultados posibles y formar un conjunto de ellos. Cada uno de esos resultados recibe el nombre de evento elemental y al conjunto de los mismos se les llama espacios de los eventos. En algunos experimentos aleatorios cada uno de sus eventos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir y se dice que son equiprobables, la probabilidad en cada uno está definida por el cociente.
P=
, donde n es el número de eventos elementales. Si combinamos dos o más eventos elementales para describir otros resultados, a
cada combinación le llamamos elemento compuesto. Si consideramos un espacio muestral de un experimento aleatorio con eventos equiprobables, la probabilidad de que el evento E ocurra resulta de dividir el número de eventos entre el número total de eventos.
P (E) = A ésta fórmula se le conoce como fórmula clásica del cálculo de probabilidades. Definición axiomática de probabilidad.
Si llamamos S al conjunto de todos los posibles sucesos asociados a un espacio muestral, definimos axiomáticamente la probabilidad como una función que asocia a cada suceso A un número real, que será su probabilidad.
Cumpliéndose las
siguientes condiciones:
Ax.1 La probabilidad de un suceso cualquiera es positiva o nula P(A) 0 Ax.2
La
probabilidad
del
suceso
Ax.3 Dados dos sucesos A y B y tales que A entonces:
P(A U B)=P(A)+P(B)
seguro
es
1
P( )=1
B= Ø, es decir, son incompatibles,
De la definición axiomática de probabilidad se tienen las siguientes consecuencias: 1.-
Si
dos
sucesos
son
complementarios
P(A c)=1-P(A)
entonces
De la definición de suceso complementario se tiene que A U A c = Por el Ax.3 P(A U Ac)= P(A)+P(Ac) como A U A c =
y A
Ac = Ø
y P( )=1(Ax.2)
1=P(A)+P(Ac) => P(Ac)=1-P(A) 2.-
La Ø=
probabilidad
del
suceso
imposible
es
0.
P(Ø)
=
0
c
, luego P(Ø)=1-P( ) => P(Ø) = 0
3.- Si un suceso A está contenido en otro B, implica
que
B
=
A
U
(B-A)
, entonces,
con
A
(B-A)=
Ø,
luego
P(B) = P(A) + P(B-A), por Ax.1 P(B-A) 0, entonces 4.- Si tenemos k sucesos A 1,A2,...,Ak incompatibles dos a dos A i A j= Ø, entonces P(A1U A2U...U,Ak)=P(A1) + P(A2) + ...+ P(Ak) 5.- Dados dos sucesos cualesquiera se tiene P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B) P(A
U
Por
otro
P(B)
B)
=
lado =
P(A-B) P(A)
=
+
P(B-A)
P(A-B)
P(B-A)
+ +
+
P(A B)
P(A B)
y
P(A B)
P(A-B)=P(A) - P(A B) y P(B-A)=P(B) - P(A B) y sustituyendo se obtiene el resultado deseado P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B) Sin repetición - con orden
Las letras se sacarán sin devolución; cada letra podrá salir solo una vez en cada par. Será posibles los siguientes pares: (A,B), (A,C), (B,A), (B,C), (C,A), (C,B).
Hay en total
diferentes resulta
EJERCICIOS
Unidad 2. Tarea 1. Ejercicios 1. Para
;
,
; señala las probabilidades
siguientes: a. b. Resultados
A.-
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
() ( ) ( ) ()
B.Paso 1.- Visualizamos nuestro universo
Paso 2.- Visualizamos a ‘A’
Paso 3.- Visualizamos a Ac (A complemento)
c
Paso 4.- Visualizamos la intersección de A con B
Paso 5.- Visualizamos que la intersección de Ac con B es lo mismo que B-A
Paso 6.- Simplemente sustituimos con el valor previo encontrado de P(B-A)en el inciso anterior
( ) ( ) ( ) ( )
2. En una urna hay cinco bolas numeradas de 1 hasta 5. Se saca una tras otra, dos bolas y se anotan los números, con lo que se forma una cifra de dos dígitos. Calcula la probabilidad de que, en el número obtenido, la cifra de decenas sea mayor que la de las unidades.
Se enlistan todos los casos posibles 1:2
2:1
3:1
4:1
5:1
1:3
2:3
3:2
4:2
5:2
1:4
2:4
3:4
4:3
5:3
1:5
2:5
3:5
4:5
5:4
Después se escogen los que cumplen con la condición
1:2 1:3 1:4 1:5 2:3 2:4 2:5 3:4 3:5 4:5
Entonces la probabilidad de que el número de las decenas sea mayor al de unidades, se obtiene dividiendo los casos favorables entre el número total de casos
3. Si se reparten los 52 naipes entre cuatro jugadores (13 cartas a cada quien), ¿qué probabilidad hay de que los cuatro ases los reciba la misma persona? El número de casos posibles es (número de combinaciones de 52 cartas tomadas de 13 en 13); el número de casos favorables es (número de combinaciones de las 48 cartas distintas de los ases tomadas de 9 en 9; cada una de dichas combinaciones, añadida a los 4 ases, da uno de los conjuntos de 13 cartas conteniendo a los 4 ases; no hay otros).
4. De una urna, en la cual se encuentran n bolas numeradas de 1 hasta n, se sacan dos sin reemplazo. La probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia de los números obtenidos sea igual a tres, es .
Calcula el número de bolas que hay en la urna.
La fórmula para calcular la probabilidad sin repetición es la siguiente:
( )
Para obtener todos los casos posibles se usa la siguiente formula:
( )
Entonces igualamos en las dos ecuaciones:
( )
Desarrollamos la factorial, simplificamos y despejamos n
( ) ( ) ( ) ( ) Donde n es igual al número de bolitas dentro de la urna.
Otra manera de hallarlo es considerando que se sacan dos sin repetición, haciendo todas las posibles combinaciones que cumplan que la diferencia sea tres y después contar las pelotitas involucradas.
|1-4|=3
|2-5|=3
|3-6|=3
|4-7|=3
|5-8|=3
|6-9|=3
|7-10|=3
Pero también puede pasar que sea de esta manera
|4-1|=3
|5-2|=3
|6-3|=3
|7-4|=3
|8-5|=3
|9-6|=3
|10-7|=3
En este caso se cumplen que son 14 i nteracciones (casos favorables); como sabemos que las pelotitas van contadas desde 1 hasta n, entonces si l a urna contiene 10 pelotitas existen 14 interacciones para las cuales el valor absoluto de su resta es 3. Entonces por ambos casos se llega que el número de bolas es igual; n=10
5. De 17000 pasajeros entrevistados, el año pasado 8000 viajaban por negocios, 5000 en
vacaciones y 4000 en ambas ocasiones. ¿Qué porcentaje viaja por placer o negocios?
En esta probabilidad nos pide el caso de que los pasajeros viajen por placer o por negocios, en el diagrama esto representa la unión de ambos círculos, para calcular su probabilidad solo sumamos las personas de cumplan con la unión.
Pero como nos lo piden en porcentaje, entonces multiplicamos esa probabilidad por el 100%
También se puede obtener la probabilidad de la siguiente manera: ( ) ( ) () ( ) () () () ( ) () Volviendo otra vez a lo mismo
Probabilidad de que viajen por negocios o vacaciones
Referencias http://www.emathematics.net/estadistica/probabilidad/index.php?tipo=axiomatica http://www.comesed.com/Sb/sbt134.htm http://es.wikibooks.org/wiki/Estad%C3%ADstica/C%C3%A1lculo_de_probabilidades/Ale atoriedad_combinatoria#Sin_repetici.C3.B3n_-_con_orden
CONCLUSION
La probabilidad en si sirve para muchas cosas, desde la predicción del clima hasta los posibles resultados en loterías, juegos de azar, la posición en la que se encuentran los electrones y neutrones dentro del átomo, incluso en la vida misma todo es un conjunto de probabilidades infinitas. Este curso nos enseña la probabilidad más básica en la cual nos habla de ordenamientos conjuntos y la probabilidad clásica, la cual sirve para juegos de azar.
