Probabilidad

Probabilidad Variables Aleatorias

Asignatura: Estad´ıstica David Elal-Olivero Universidad de Atacama Facultad de Ingenier´ıa Departamento de Matem´ atica

Primer Semestre A˜ no 2014

David Elal-Olivero

Estad´ıstica y Probabilidades, Ier Semestre 2014


1

Probabilidad

2

Variables Aleatorias

David Elal-Olivero



Probabilidad

Experimento Aleatorio Proceso de observar un fen´ omeno cuyos resultados son inciertos

David Elal-Olivero



Probabilidad

Experimento Aleatorio Proceso de observar un fen´ omeno cuyos resultados son inciertos Suceso elemental Un posible resultado de un experimento aleatorio

David Elal-Olivero



Probabilidad

Experimento Aleatorio Proceso de observar un fen´ omeno cuyos resultados son inciertos Suceso elemental Un posible resultado de un experimento aleatorio Espacio Muestral El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento Lo denotaremos, en general, por la letra S

David Elal-Olivero



Probabilidad

Experimento Aleatorio Proceso de observar un fen´ omeno cuyos resultados son inciertos Suceso elemental Un posible resultado de un experimento aleatorio Espacio Muestral El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento Lo denotaremos, en general, por la letra S

David Elal-Olivero



Probabilidad

Ejemplo de Espacio Muestral Un experimento consiste en lanzar una moneda al aire una vez y dos en caso de ocurra cara. Si la primera ocasi´ on ocurre sello entonces se arroja un dado una vez.

David Elal-Olivero



Probabilidad

Ejemplo de Espacio Muestral Un experimento consiste en lanzar una moneda al aire una vez y dos en caso de ocurra cara. Si la primera ocasi´ on ocurre sello entonces se arroja un dado una vez.

David Elal-Olivero



Probabilidad Diagrama del árbol

David Elal-Olivero




Espacio Muestral S = {CC , CS, S1, S2, S3, S4, S5, S6} David Elal-Olivero




Espacio Muestral S = {CC , CS, S1, S2, S3, S4, S5, S6} David Elal-Olivero



Probabilidad

Ejemplo de Espacio Muestral Sup´ ongase que se selecciona en forma aleatoria tres art´ıculos de un proceso de manufactura. Se examina cada uno de ellos y se le clasifica como defectuoso D o no Defectuoso N.

David Elal-Olivero



Probabilidad

Ejemplo de Espacio Muestral Sup´ ongase que se selecciona en forma aleatoria tres art´ıculos de un proceso de manufactura. Se examina cada uno de ellos y se le clasifica como defectuoso D o no Defectuoso N.

David Elal-Olivero




David Elal-Olivero




Espacio Muestral S = {DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN} David Elal-Olivero




Espacio Muestral S = {DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN} David Elal-Olivero



Probabilidad

Ejemplo de Espacio Muestral Los resultados de un experimento son el conjunto de ciudades en Chile con mas de 100.000 habitantes. En este caso el Espacio Muestral se describe as´ı. S = {x/x es una ciudad de Chile con mas de 100,000 habitantes}

David Elal-Olivero



Probabilidad

Ejemplo de Espacio Muestral Los resultados de un experimento son el conjunto de ciudades en Chile con mas de 100.000 habitantes. En este caso el Espacio Muestral se describe as´ı. S = {x/x es una ciudad de Chile con mas de 100,000 habitantes} Ejemplo de Espacio Muestral Disparar a un blanco de radio 2 y considerar que siempre el disparo cae dentro del c´ırculo. En este caso el Espacio Muestral se describe as´ı. S = {(x, y )/x 2 + y 2 ≤ 2}

David Elal-Olivero



Probabilidad

Ejemplo de Espacio Muestral Los resultados de un experimento son el conjunto de ciudades en Chile con mas de 100.000 habitantes. En este caso el Espacio Muestral se describe as´ı. S = {x/x es una ciudad de Chile con mas de 100,000 habitantes} Ejemplo de Espacio Muestral Disparar a un blanco de radio 2 y considerar que siempre el disparo cae dentro del c´ırculo. En este caso el Espacio Muestral se describe as´ı. S = {(x, y )/x 2 + y 2 ≤ 2}

David Elal-Olivero



Probabilidad

Evento o Suceso Un Evento o Suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral

David Elal-Olivero



Probabilidad

Evento o Suceso Un Evento o Suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral Ejemplo de sucesos considerando S = {e1 , e2 , ..., e15 } S1 = {e1 , e3 },

S2 = {e3 , e5 , e10 }

S3 = Φ, S3 = Φ :

Suceso Imposible

S4 = S

S4 = S :

David Elal-Olivero

Suceso Seguro



Probabilidad

Evento o Suceso Un Evento o Suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral Ejemplo de sucesos considerando S = {e1 , e2 , ..., e15 } S1 = {e1 , e3 },

S2 = {e3 , e5 , e10 }

S3 = Φ, S3 = Φ :

Suceso Imposible

S4 = S

S4 = S :

David Elal-Olivero

Suceso Seguro



Probabilidad Ejemplo Sea el Experimento Aleatorio: N´ umero que sale al tirar un dado

David Elal-Olivero



Probabilidad Ejemplo Sea el Experimento Aleatorio: N´ umero que sale al tirar un dado Sucesos elementales Sucesos Elementales: {1}, {2},{3},{4},{5} y {6}

David Elal-Olivero



Probabilidad Ejemplo Sea el Experimento Aleatorio: N´ umero que sale al tirar un dado Sucesos elementales Sucesos Elementales: {1}, {2},{3},{4},{5} y {6} Espacio Muestral Espacio Muestral: S={1,2,3,4,5,6}

David Elal-Olivero



Probabilidad Ejemplo Sea el Experimento Aleatorio: N´ umero que sale al tirar un dado Sucesos elementales Sucesos Elementales: {1}, {2},{3},{4},{5} y {6} Espacio Muestral Espacio Muestral: S={1,2,3,4,5,6} Ejemplos de Sucesos A = {2,4,6}, B={1,2,3}, C={1,2,4,6} D = Φ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

David Elal-Olivero



Probabilidad Ejemplo Sea el Experimento Aleatorio: N´ umero que sale al tirar un dado Sucesos elementales Sucesos Elementales: {1}, {2},{3},{4},{5} y {6} Espacio Muestral Espacio Muestral: S={1,2,3,4,5,6} Ejemplos de Sucesos A = {2,4,6}, B={1,2,3}, C={1,2,4,6} D = Φ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

David Elal-Olivero



Probabilidad

Ejemplo de Suceso En el ejemplo de la extracci´ on de tres art´ıculos defectuosos o no defectuosos podr´ıa ser interesante el suceso A que el n´ umero de art´ıculos defectuosos fuera mayor que 1, en tal caso el suceso ser´ıa: A = {DDN, DND, NDD, DDD}

David Elal-Olivero



Probabilidad

Ejemplo de Suceso En el ejemplo de la extracci´ on de tres art´ıculos defectuosos o no defectuosos podr´ıa ser interesante el suceso A que el n´ umero de art´ıculos defectuosos fuera mayor que 1, en tal caso el suceso ser´ıa: A = {DDN, DND, NDD, DDD}

David Elal-Olivero



Probabilidad

Ejemplo de Suceso Dado el Espacio Muestral S = {t/t ≥ 0}, donde t es la vida en a˜ nos de determinado componente electr´ onico, entonces el suceso A de que el componente se da˜ ne antes del final del quinto a˜ no es el subconjunto: A = {t/0 ≤ t < 5}

David Elal-Olivero



Probabilidad

Ejemplo de Suceso Dado el Espacio Muestral S = {t/t ≥ 0}, donde t es la vida en a˜ nos de determinado componente electr´ onico, entonces el suceso A de que el componente se da˜ ne antes del final del quinto a˜ no es el subconjunto: A = {t/0 ≤ t < 5}

David Elal-Olivero



Probabilidad Intersecci´ on Si A y B son dos sucesos del espacio muestral S, entonces la Intersección, A ∩ B, es el conjunto de todos los elementos de S que están en A y B.

David Elal-Olivero



Probabilidad Intersecci´ on Si A y B son dos sucesos del espacio muestral S, entonces la Intersección, A ∩ B, es el conjunto de todos los elementos de S que están en A y B. Diagrama de Venn

David Elal-Olivero



Probabilidad Intersecci´ on Si A y B son dos sucesos del espacio muestral S, entonces la Intersección, A ∩ B, es el conjunto de todos los elementos de S que están en A y B. Diagrama de Venn

David Elal-Olivero



Probabilidad Mutuamente Excluyentes Dos sucesos A y B son Mutuamente Excluyentes o Disjuntos si A ∩ B = Φ, esto es, si A y B no tienen elemento en com´ un.

David Elal-Olivero



Probabilidad Mutuamente Excluyentes Dos sucesos A y B son Mutuamente Excluyentes o Disjuntos si A ∩ B = Φ, esto es, si A y B no tienen elemento en com´ un. Diagrama de Venn

David Elal-Olivero



Probabilidad Mutuamente Excluyentes Dos sucesos A y B son Mutuamente Excluyentes o Disjuntos si A ∩ B = Φ, esto es, si A y B no tienen elemento en com´ un. Diagrama de Venn

David Elal-Olivero



Probabilidad Uni´ on Si A y B son dos sucesos del espacio muestral S, entonces la Unión, A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos de S que están en A, en B o en ambos.

David Elal-Olivero



Probabilidad Uni´ on Si A y B son dos sucesos del espacio muestral S, entonces la Unión, A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos de S que están en A, en B o en ambos. Diagrama de Venn

David Elal-Olivero



Probabilidad Uni´ on Si A y B son dos sucesos del espacio muestral S, entonces la Unión, A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos de S que están en A, en B o en ambos. Diagrama de Venn

David Elal-Olivero



Probabilidad Uni´ on El Complemento de un suceso A con respecto a S es el conjunto de todos los elementos de S que no están en A. Denotamos el Complemento de A por Ac .

David Elal-Olivero



Probabilidad Uni´ on El Complemento de un suceso A con respecto a S es el conjunto de todos los elementos de S que no están en A. Denotamos el Complemento de A por Ac . Diagrama de Venn

David Elal-Olivero



Probabilidad Uni´ on El Complemento de un suceso A con respecto a S es el conjunto de todos los elementos de S que no están en A. Denotamos el Complemento de A por Ac . Diagrama de Venn

David Elal-Olivero



Probabilidad

Ejemplo Considere el experimento de lanzar un dado y consideremos los siguientes sucesos: 1

Sea A el suceso de que ocurra un n´ umero par

2

Sea B el suceso de que ocurra un n´ umero mayor que 3

3

Sea C el suceso de que ocurra un 3

4

Sea D el suceso de que ocurra un n´ umero primo

David Elal-Olivero



Probabilidad

Ejemplo Considere el experimento de lanzar un dado y consideremos los siguientes sucesos: 1

Sea A el suceso de que ocurra un n´ umero par

2

Sea B el suceso de que ocurra un n´ umero mayor que 3

3

Sea C el suceso de que ocurra un 3

4

Sea D el suceso de que ocurra un n´ umero primo

David Elal-Olivero



Probabilidad Ejemplo Claramente A = {2, 4, 6},

B = {4, 5, 6}

C = {3}

David Elal-Olivero


y

D = {2, 3, 5}



B = {4, 5, 6}

C = {3}

y

D = {2, 3, 5}

Nuevos sucesos Los sucesos: Ac ;

A ∪ B;

B ∩ D;

B ∩C

David Elal-Olivero

y

(A ∩ D c ) ∪ C

corresponden


a:



B = {4, 5, 6}

C = {3}

y

D = {2, 3, 5}


A ∪ B;

B ∩ D;

B ∩C

y

(A ∩ D c ) ∪ C

corresponden

Nuevos sucesos Los sucesos: Ac = {1, 3, 5};

A ∪ B = {2, 4, 5, 6}

B ∩C =Φ y

B ∩ D = {5}

(A ∩ D c ) ∪ C = {3, 4, 6}

David Elal-Olivero


a:



B = {4, 5, 6}

C = {3}

y

D = {2, 3, 5}


A ∪ B;

B ∩ D;

B ∩C

y

(A ∩ D c ) ∪ C

corresponden

Nuevos sucesos Los sucesos: Ac = {1, 3, 5};

A ∪ B = {2, 4, 5, 6}

B ∩C =Φ y

B ∩ D = {5}

(A ∩ D c ) ∪ C = {3, 4, 6}

David Elal-Olivero


a:


Ejercicios Ejercicio No 1 Escriba los elementos de cada uno de los siguientes espacios muestrales: 1

el conjunto de los enteros entre 1 y 50 divisibles por 8

2

el conjunto S = {x / x 2 + 4x − 5 = 0}

3

el conjunto de resultados cuando una moneda se lanza al aire hasta que resulte un sello o tres caras.

4

el conjunto S = {x / 2x − 4 ≥ 0

David Elal-Olivero

y

x < 1}





2

el conjunto S = {x / x 2 + 4x − 5 = 0}

3


4


y

x < 1}

Ejercicio No 2 Describa el espacio muestral consistente en todos los puntos del primer cuadrante, dentro de un circulo de radio 3 con centro en el origen

David Elal-Olivero





2

el conjunto S = {x / x 2 + 4x − 5 = 0}

3


4


y

x < 1}

Ejercicio No 2 Describa el espacio muestral consistente en todos los puntos del primer cuadrante, dentro de un circulo de radio 3 con centro en el origen

David Elal-Olivero



Ejercicios Ejercicio No 3 Un experimento consiste en lanzar un par de dados, uno verde y el otro rojo y se registran los n´ umeros que resultan. Si x es el resultado del dado verde e y el del dado rojo. 1

describa el espacio muestral S.

2

enumere los elementos que corresponden al suceso A, que representa a que la suma sea mayor que 8.

3

enumere los elementos que corresponden al suceso B, que representa la ocurrencia de un dos en cualquiera de los dados.

4

enumere los elementos que corresponden al suceso C , que representa la ocurrencia de un n´ umero mayor que 4 en el dado verde

5

Identifique e interprete los siguientes suceso: A ∩ C , A ∩ B y B ∩C David Elal-Olivero



Ejercicios Ejercicio No 3 Un experimento consiste en lanzar un par de dados, uno verde y el otro rojo y se registran los n´ umeros que resultan. Si x es el resultado del dado verde e y el del dado rojo. 1

describa el espacio muestral S.

2

enumere los elementos que corresponden al suceso A, que representa a que la suma sea mayor que 8.

3

enumere los elementos que corresponden al suceso B, que representa la ocurrencia de un dos en cualquiera de los dados.

4

enumere los elementos que corresponden al suceso C , que representa la ocurrencia de un n´ umero mayor que 4 en el dado verde

5

Identifique e interprete los siguientes suceso: A ∩ C , A ∩ B y B ∩C David Elal-Olivero



Ejercicios

Ejercicio No 4 Un experimento consiste en lanzar primeramente un dado y después lanzar una moneda, siempre y cuando el n´ umero en el dado sea par. Si el resultado del dado es impar, la moneda se lanza dos veces. Al utilizar la notaci´ on 4C , por ejemplo, se indica el suceso elemental donde el n´ umero resultante en el dado es un 4 y la moneda cae cara; y 3CS para se˜ nalar el suceso elemental de que el dado muestra un 3 y en la moneda se dan una cara y un sello. Dibuje un diagrama del árbol para mostrar los 18 elementos del espacio muestral S.

David Elal-Olivero



Ejercicios

Ejercicio No 4 Un experimento consiste en lanzar primeramente un dado y después lanzar una moneda, siempre y cuando el n´ umero en el dado sea par. Si el resultado del dado es impar, la moneda se lanza dos veces. Al utilizar la notaci´ on 4C , por ejemplo, se indica el suceso elemental donde el n´ umero resultante en el dado es un 4 y la moneda cae cara; y 3CS para se˜ nalar el suceso elemental de que el dado muestra un 3 y en la moneda se dan una cara y un sello. Dibuje un diagrama del árbol para mostrar los 18 elementos del espacio muestral S.

David Elal-Olivero



Ejercicios Ejercicio No 5 Una empresa constructora ofrece, a los interesados en la compra de una casa, la posibilidad de seleccionar el estilo de la fachada entre tudor, r´ ustico, colonial y tradicional, y por otra parte una sola planta, dos pisos o desniveles. ¿De cuántas maneras diferentes puede un comprador ordenar una de estas casas? Sol: 12

David Elal-Olivero



Ejercicios Ejercicio No 5 Una empresa constructora ofrece, a los interesados en la compra de una casa, la posibilidad de seleccionar el estilo de la fachada entre tudor, r´ ustico, colonial y tradicional, y por otra parte una sola planta, dos pisos o desniveles. ¿De cuántas maneras diferentes puede un comprador ordenar una de estas casas? Sol: 12 Ejercicio No 6 ¿Cuántos men´ us que consisten de sopa, emparedado, postre y un refresco existen si se puede seleccionar entre 4 sopas diferentes, 3 clases de emparedados, 5 postres y 4 refrescos? Sol: 240

David Elal-Olivero



Ejercicios Ejercicio No 5 Una empresa constructora ofrece, a los interesados en la compra de una casa, la posibilidad de seleccionar el estilo de la fachada entre tudor, r´ ustico, colonial y tradicional, y por otra parte una sola planta, dos pisos o desniveles. ¿De cuántas maneras diferentes puede un comprador ordenar una de estas casas? Sol: 12 Ejercicio No 6 ¿Cuántos men´ us que consisten de sopa, emparedado, postre y un refresco existen si se puede seleccionar entre 4 sopas diferentes, 3 clases de emparedados, 5 postres y 4 refrescos? Sol: 240 Ejercicio No 7 ¿Cuántos n´ umeros pares de tres d´ıgitos pueden formarse con los d´ıgitos 1,2,5,6 y 9, si cada uno de ellos puede utilizarse s´ olo una vez? Sol: 24 David Elal-Olivero



Ejercicios Ejercicio No 5 Una empresa constructora ofrece, a los interesados en la compra de una casa, la posibilidad de seleccionar el estilo de la fachada entre tudor, r´ ustico, colonial y tradicional, y por otra parte una sola planta, dos pisos o desniveles. ¿De cuántas maneras diferentes puede un comprador ordenar una de estas casas? Sol: 12 Ejercicio No 6 ¿Cuántos men´ us que consisten de sopa, emparedado, postre y un refresco existen si se puede seleccionar entre 4 sopas diferentes, 3 clases de emparedados, 5 postres y 4 refrescos? Sol: 240 Ejercicio No 7 ¿Cuántos n´ umeros pares de tres d´ıgitos pueden formarse con los d´ıgitos 1,2,5,6 y 9, si cada uno de ellos puede utilizarse s´ olo una vez? Sol: 24 David Elal-Olivero



Ejercicios

Ejercicio No 8 Permutaciones n! ¿Cuántos n´ umeros distintos se pueden encontrar con los d´ıgitos 1,2 y 3, usándolos todos?

David Elal-Olivero



Ejercicios

Ejercicio No 8 Permutaciones n! ¿Cuántos n´ umeros distintos se pueden encontrar con los d´ıgitos 1,2 y 3, usándolos todos? Ejercicio No 9 Permutaciones n! 1

¿Cuántas permutaciones diferentes se pueden formar con las letras de la palabra columna? Sol: 5040

2

¿Cuántas permutaciones de estas empiezan con la letra m? Sol: 720

David Elal-Olivero



Ejercicios

Ejercicio No 8 Permutaciones n! ¿Cuántos n´ umeros distintos se pueden encontrar con los d´ıgitos 1,2 y 3, usándolos todos? Ejercicio No 9 Permutaciones n! 1

¿Cuántas permutaciones diferentes se pueden formar con las letras de la palabra columna? Sol: 5040

2

¿Cuántas permutaciones de estas empiezan con la letra m? Sol: 720

David Elal-Olivero



Ejercicios Ejercicio No 10 Combinaciones

n r

¿De cuántas maneras se pueden elegir dos letras de la palabra libro?

David Elal-Olivero




n r

¿De cuántas maneras se pueden elegir dos letras de la palabra libro? o

Ejercicio N 11 Combinaciones

n r

¿Cuántas formas hay de seleccionar a 3 candidatos de un total de 8 recién graduados y con las mismas capacidades para ocupar vacantes en una firma contable?

David Elal-Olivero




n r


o


n r

¿Cuántas formas hay de seleccionar a 3 candidatos de un total de 8 recién graduados y con las mismas capacidades para ocupar vacantes en una firma contable? Ejercicio No 12 Combinaciones

n r

Un colegio participa en 12 partidos de futbol en una temporada. ¿De cuántas maneras puede el equipo terminar la temporada con 7 victorias, 3 derrotas y 2 empates ? Sol: 7920 David Elal-Olivero




n r


o


n r

¿Cuántas formas hay de seleccionar a 3 candidatos de un total de 8 recién graduados y con las mismas capacidades para ocupar vacantes en una firma contable? Ejercicio No 12 Combinaciones

n r

Un colegio participa en 12 partidos de futbol en una temporada. ¿De cuántas maneras puede el equipo terminar la temporada con 7 victorias, 3 derrotas y 2 empates ? Sol: 7920 David Elal-Olivero



Ejercicios

Ejercicio No 13 Combinaciones

n r

1

¿Cuántas n´ umeros de tres d´ıgitos pueden formarse con los n´ umeros 0,1,2,3,4,5 y 6, si cada uno puede utilizarse s´ olo una vez? Sol: 180

2

¿Cuántas de estos n´ umeros son impares?

3

¿Cuántos de estos n´ umeros son mayores que 330?

David Elal-Olivero

Sol: 75 Sol: 105



Ejercicios

Ejercicio No 13 Combinaciones

n r

1

¿Cuántas n´ umeros de tres d´ıgitos pueden formarse con los n´ umeros 0,1,2,3,4,5 y 6, si cada uno puede utilizarse s´ olo una vez? Sol: 180

2

¿Cuántas de estos n´ umeros son impares?

3

¿Cuántos de estos n´ umeros son mayores que 330?

David Elal-Olivero

Sol: 75 Sol: 105



Probabilidad

Definici´ on de Probabilidad Axiomática Sea S un espacio muestral asociado a un experimento. Diremos que P es una funci´ on de probabilidad si cumple con los siguientes tres axiomas:

David Elal-Olivero



Probabilidad

Definici´ on de Probabilidad Axiomática Sea S un espacio muestral asociado a un experimento. Diremos que P es una funci´ on de probabilidad si cumple con los siguientes tres axiomas: Definici´ on de Probabilidad Axiomática Axioma No 1

0 ≤ P(A) ≤ 1

David Elal-Olivero

para cada suceso A en S



Probabilidad


0 ≤ P(A) ≤ 1


Definici´ on de Probabilidad Axiomática Axioma No 2

P(S) = 1

David Elal-Olivero



Probabilidad


0 ≤ P(A) ≤ 1


Definici´ on de Probabilidad Axiomática Axioma No 2

P(S) = 1

David Elal-Olivero



Probabilidad

Definici´ on de Probabilidad Axiomática Axioma No 3 Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes en S, entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

David Elal-Olivero



Probabilidad

Definici´ on de Probabilidad Axiomática Axioma No 3 Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes en S, entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Definici´ on de Probabilidad Axiomática Observaci´ on: Cuando dos sucesos A y B sean mutuamente excluyentes, ˙ la uni´ on de ellos la escribiremos as´ı: A∪B. En tal caso el Axioma No 3 se expresar´ıa como: ˙ P(A∪B) = P(A) + P(B)

David Elal-Olivero



Probabilidad

Definici´ on de Probabilidad Axiomática Axioma No 3 Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes en S, entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Definici´ on de Probabilidad Axiomática Observaci´ on: Cuando dos sucesos A y B sean mutuamente excluyentes, ˙ la uni´ on de ellos la escribiremos as´ı: A∪B. En tal caso el Axioma No 3 se expresar´ıa como: ˙ P(A∪B) = P(A) + P(B)

David Elal-Olivero



Probabilidad Extensi´ on axioma No 3 Si A, B y C son sucesos mutuamente excluyentes en S, es decir A ∩ B = Φ, A ∩ C = Φ y B ∩ C = Φ entonces ˙ ∪C ˙ ) = P(A) + P(B) + P(C ) P(A∪B

David Elal-Olivero



Probabilidad Extensi´ on axioma No 3 Si A, B y C son sucesos mutuamente excluyentes en S, es decir A ∩ B = Φ, A ∩ C = Φ y B ∩ C = Φ entonces ˙ ∪C ˙ ) = P(A) + P(B) + P(C ) P(A∪B Extensi´ on axioma No 3 Observaci´ on: En general si A1 , A2 , A3 , ..., An son sucesos mutuamente excluyentes, es decir, Ai ∩ Aj = Φ con i, j : 1, 2, 3, ..., n con i 6= j, entonces: [n X n ˙ P Ak = P(Ak ) k=1

David Elal-Olivero

k=1



Probabilidad Extensi´ on axioma No 3 Si A, B y C son sucesos mutuamente excluyentes en S, es decir A ∩ B = Φ, A ∩ C = Φ y B ∩ C = Φ entonces ˙ ∪C ˙ ) = P(A) + P(B) + P(C ) P(A∪B Extensi´ on axioma No 3 Observaci´ on: En general si A1 , A2 , A3 , ..., An son sucesos mutuamente excluyentes, es decir, Ai ∩ Aj = Φ con i, j : 1, 2, 3, ..., n con i 6= j, entonces: [n X n ˙ P Ak = P(Ak ) k=1

David Elal-Olivero

k=1



Probabilidad Probabilidad Clásica con sucesos elementales equiprobables Sea S un conjunto finito el espacio muestral asociado a un experimento, donde los sucesos elementales tienen la misma probabilidad (equiprobable) y sea A un suceso. Si se define la probabilidad P como: P(A) =

]A . ]S

Donde ]A es la Cardinalidad de A, es decir, el n´ umero de elementos que contiene el suceso A. Entonces P as´ı definida cumple con los 3 axiomas de la Probabilidad Axiomática.

David Elal-Olivero




]A . ]S

Donde ]A es la Cardinalidad de A, es decir, el n´ umero de elementos que contiene el suceso A. Entonces P as´ı definida cumple con los 3 axiomas de la Probabilidad Axiomática. Observaci´ on ´ Reconoceremos a esta probabilidad como PROBABILIDAD CLASICA y la utilizaremos siempre, cuando el espacio muestral sea finito y los sucesos elementales sean equiprobables. David Elal-Olivero




]A . ]S

Donde ]A es la Cardinalidad de A, es decir, el n´ umero de elementos que contiene el suceso A. Entonces P as´ı definida cumple con los 3 axiomas de la Probabilidad Axiomática. Observaci´ on ´ Reconoceremos a esta probabilidad como PROBABILIDAD CLASICA y la utilizaremos siempre, cuando el espacio muestral sea finito y los sucesos elementales sean equiprobables. David Elal-Olivero



Probabilidad

Ejemplo de Probabilidad Clásica Considere el experimento de lanzar un dado y encuentre la probabilidad de que el resultado sea par:

David Elal-Olivero



Probabilidad

Ejemplo de Probabilidad Clásica Considere el experimento de lanzar un dado y encuentre la probabilidad de que el resultado sea par: Soluci´ on Denotemos por A el suceso: que el resultado sea par, entonces A = {2, 4, 6}, y dado que S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} se tiene que: P(A) =

David Elal-Olivero

]A 3 1 = = ]S 6 2



Probabilidad

Ejemplo de Probabilidad Clásica Considere el experimento de lanzar un dado y encuentre la probabilidad de que el resultado sea par: Soluci´ on Denotemos por A el suceso: que el resultado sea par, entonces A = {2, 4, 6}, y dado que S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} se tiene que: P(A) =

David Elal-Olivero

]A 3 1 = = ]S 6 2



Probabilidad Ejemplo de Probabilidad Clásica Sup´ ongase que se selecciona en forma aleatoria tres art´ıculos de un proceso de manufactura. Se examina cada uno de ellos y se le clasifica como defectuoso D o no Defectuoso N. ¿Cuál es la probabilidad de que el n´ umero de art´ıculos defectuosos sea mayor o igual que 1?

David Elal-Olivero



Probabilidad Ejemplo de Probabilidad Clásica Sup´ ongase que se selecciona en forma aleatoria tres art´ıculos de un proceso de manufactura. Se examina cada uno de ellos y se le clasifica como defectuoso D o no Defectuoso N. ¿Cuál es la probabilidad de que el n´ umero de art´ıculos defectuosos sea mayor o igual que 1? Soluci´ on Por diagrama del árbol, sabemos que S = {DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN}, por otra parte si denotemos por A el suceso: que el n´ umero de art´ıculos defectuosos es mayor o igual que 1, entonces A = {DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND}, de esta manera: P(A) =

David Elal-Olivero

]A 7 = ]S 8 Estad´ıstica y Probabilidades, Ier Semestre 2014


Probabilidad Ejemplo de Probabilidad Clásica Sup´ ongase que se selecciona en forma aleatoria tres art´ıculos de un proceso de manufactura. Se examina cada uno de ellos y se le clasifica como defectuoso D o no Defectuoso N. ¿Cuál es la probabilidad de que el n´ umero de art´ıculos defectuosos sea mayor o igual que 1? Soluci´ on Por diagrama del árbol, sabemos que S = {DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN}, por otra parte si denotemos por A el suceso: que el n´ umero de art´ıculos defectuosos es mayor o igual que 1, entonces A = {DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND}, de esta manera: P(A) =

David Elal-Olivero

]A 7 = ]S 8 Estad´ıstica y Probabilidades, Ier Semestre 2014


Probabilidad ¿C´ omo operamos si los sucesos elementales no son equiprobables? Se carga un dado de tal manera que un n´ umero par tiene el doble de posibilidad de presentarse que un impar. Si E es el suceso en que se da un n´ umero menor que 4 en un solo lanzamiento. ¿Cuál es la probabilidad de E ?

David Elal-Olivero



Probabilidad ¿C´ omo operamos si los sucesos elementales no son equiprobables? Se carga un dado de tal manera que un n´ umero par tiene el doble de posibilidad de presentarse que un impar. Si E es el suceso en que se da un n´ umero menor que 4 en un solo lanzamiento. ¿Cuál es la probabilidad de E ? Soluci´ on El espacio muestral es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si le asignamos una probabilidad w a un n´ umero impar, entonces deber´ıamos asignarle el valor 2w a la probabilidad de un n´ umero par Aplicando axioma 2 y reiteradamente el axioma 3, se tiene que: P(S) = 1 P({1, 2, 3, 4, 5, 6}) = 1 ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ P({1}∪{2} ∪{3} ∪{4} ∪{5} ∪{6}) = 1 P({1}) + P({2}) + P({3}) + P({4}) + P({5}) + P({6}) = 1 w + 2w + w + 2w + w + 2w = 1 w = 91 David Elal-Olivero



Probabilidad ¿C´ omo operamos si los sucesos elementales no son equiprobables? Se carga un dado de tal manera que un n´ umero par tiene el doble de posibilidad de presentarse que un impar. Si E es el suceso en que se da un n´ umero menor que 4 en un solo lanzamiento. ¿Cuál es la probabilidad de E ? Soluci´ on El espacio muestral es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si le asignamos una probabilidad w a un n´ umero impar, entonces deber´ıamos asignarle el valor 2w a la probabilidad de un n´ umero par Aplicando axioma 2 y reiteradamente el axioma 3, se tiene que: P(S) = 1 P({1, 2, 3, 4, 5, 6}) = 1 ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ P({1}∪{2} ∪{3} ∪{4} ∪{5} ∪{6}) = 1 P({1}) + P({2}) + P({3}) + P({4}) + P({5}) + P({6}) = 1 w + 2w + w + 2w + w + 2w = 1 w = 91 David Elal-Olivero



Probabilidad

Continuaci´ on Soluci´ on As´ı la probabilidad del suceso E = {1, 2, 3} esta dado por: ˙ ˙ P(E ) = P({1, 2, 3}) = P({1}∪{2} ∪{3}) = P({1}) + P({2}) + P({3}) 1 2 1 = 9 + 9 + 9 4 = 9

David Elal-Olivero



Probabilidad

Continuaci´ on Soluci´ on As´ı la probabilidad del suceso E = {1, 2, 3} esta dado por: ˙ ˙ P(E ) = P({1, 2, 3}) = P({1}∪{2} ∪{3}) = P({1}) + P({2}) + P({3}) 1 2 1 = 9 + 9 + 9 4 = 9 Ejercicio Si en ejercicio anterior A es el suceso de que el resultado sea par y B es el suceso de que el resultado sea un n´ umero divisible por 3. Encuentre P(A ∪ B).

David Elal-Olivero



Probabilidad

Continuaci´ on Soluci´ on As´ı la probabilidad del suceso E = {1, 2, 3} esta dado por: ˙ ˙ P(E ) = P({1, 2, 3}) = P({1}∪{2} ∪{3}) = P({1}) + P({2}) + P({3}) 1 2 1 = 9 + 9 + 9 4 = 9 Ejercicio Si en ejercicio anterior A es el suceso de que el resultado sea par y B es el suceso de que el resultado sea un n´ umero divisible por 3. Encuentre P(A ∪ B).

David Elal-Olivero



Probabilidad Propiedades que resultan de la Probabilidad Axiomática Si M y N son dos sucesos cualesquiera y N ⊆ M, entonces: P(M − N) = P(M) − P(N)

David Elal-Olivero



Probabilidad Propiedades que resultan de la Probabilidad Axiomática Si M y N son dos sucesos cualesquiera y N ⊆ M, entonces: P(M − N) = P(M) − P(N) Diagrama de Venn M-N

˙ M = (M − N)∪N David Elal-Olivero



Probabilidad Propiedades que resultan de la Probabilidad Axiomática Si M y N son dos sucesos cualesquiera y N ⊆ M, entonces: P(M − N) = P(M) − P(N) Diagrama de Venn M-N

˙ M = (M − N)∪N David Elal-Olivero



Probabilidad Propiedades que resultan de la Probabilidad Axiomática Si aplicamos probabilidad a la igualdad anterior se tiene que: ˙ P(M) = P((M − N)∪N) = P(M − N) + P(N) luego P(M − N) = P(M) − P(N)

David Elal-Olivero



Probabilidad Propiedades que resultan de la Probabilidad Axiomática Si aplicamos probabilidad a la igualdad anterior se tiene que: ˙ P(M) = P((M − N)∪N) = P(M − N) + P(N) luego P(M − N) = P(M) − P(N) Propiedades que resultan de la Probabilidad Axiomática Observaci´ on: De la propiedad anterior se deducen las siguientes propiedades: 1

Si N ⊆ M, entonces P(N) ≤ P(M)

2

P(Φ) = 0 (haga N = Φ en P(M − N) = P(M) − P(N))

David Elal-Olivero



Probabilidad Propiedades que resultan de la Probabilidad Axiomática Si aplicamos probabilidad a la igualdad anterior se tiene que: ˙ P(M) = P((M − N)∪N) = P(M − N) + P(N) luego P(M − N) = P(M) − P(N) Propiedades que resultan de la Probabilidad Axiomática Observaci´ on: De la propiedad anterior se deducen las siguientes propiedades: 1

Si N ⊆ M, entonces P(N) ≤ P(M)

2

P(Φ) = 0 (haga N = Φ en P(M − N) = P(M) − P(N))

David Elal-Olivero



Probabilidad Propiedades que resultan de la Probabilidad Axiomática Propiedad Aditiva: Si M y N son dos sucesos cualesquiera, entonces: P(M ∪ N) = P(M) + P(N) − P(M ∩ N)

David Elal-Olivero



Probabilidad Propiedades que resultan de la Probabilidad Axiomática Propiedad Aditiva: Si M y N son dos sucesos cualesquiera, entonces: P(M ∪ N) = P(M) + P(N) − P(M ∩ N) Diagrama de Venn M ∪ N

˙ ˙ M ∪ N = (M − M ∩ N)∪(M ∩ N)∪(N − M ∩ N) David Elal-Olivero



Probabilidad Propiedades que resultan de la Probabilidad Axiomática Propiedad Aditiva: Si M y N son dos sucesos cualesquiera, entonces: P(M ∪ N) = P(M) + P(N) − P(M ∩ N) Diagrama de Venn M ∪ N

˙ ˙ M ∪ N = (M − M ∩ N)∪(M ∩ N)∪(N − M ∩ N) David Elal-Olivero



Probabilidad

Propiedades que resultan de la Probabilidad Axiomática Si aplicamos Probabilidad a la igualdad anterior nos queda P(M ∪ N) = P(M − M ∩ N) + P(M ∩ N) + P(N − M ∩ N) = [P(M) − P(M ∩ N)] + P(M ∩ N) + [P(N) − P(M ∩ N)] = P(M) + P(N) − P(M ∩ N)

David Elal-Olivero



Probabilidad

Propiedades que resultan de la Probabilidad Axiomática Si aplicamos Probabilidad a la igualdad anterior nos queda P(M ∪ N) = P(M − M ∩ N) + P(M ∩ N) + P(N − M ∩ N) = [P(M) − P(M ∩ N)] + P(M ∩ N) + [P(N) − P(M ∩ N)] = P(M) + P(N) − P(M ∩ N)

David Elal-Olivero



Probabilidad Ejercicio La probabilidad de que Paula apruebe matemáticas es de 23 y la de que apruebe inglés es de 49 . Si la probabilidad de que apruebe ambos cursos es de 14 . ¿Cuál es la probabilidad de que Paula apruebe al menos uno de ellos?

David Elal-Olivero



Probabilidad Ejercicio La probabilidad de que Paula apruebe matemáticas es de 23 y la de que apruebe inglés es de 49 . Si la probabilidad de que apruebe ambos cursos es de 14 . ¿Cuál es la probabilidad de que Paula apruebe al menos uno de ellos? Resultado Sea A el suceso de que apruebe matemáticas y Sea B el suceso que apruebe inglés entonces A ∪ B representa el suceso de que al menos apruebe uno de ellos (matemática ´ o inglés). As´ı entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) 2 4 1 = + − 3 9 4 31 = 36

David Elal-Olivero



Probabilidad Ejercicio La probabilidad de que Paula apruebe matemáticas es de 23 y la de que apruebe inglés es de 49 . Si la probabilidad de que apruebe ambos cursos es de 14 . ¿Cuál es la probabilidad de que Paula apruebe al menos uno de ellos? Resultado Sea A el suceso de que apruebe matemáticas y Sea B el suceso que apruebe inglés entonces A ∪ B representa el suceso de que al menos apruebe uno de ellos (matemática ´ o inglés). As´ı entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) 2 4 1 = + − 3 9 4 31 = 36

David Elal-Olivero



Probabilidad Ejercicio Cuando se lanza un par de dados distinguibles y se suman los n´ umeros en las caras resultantes. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11?

David Elal-Olivero



Probabilidad Ejercicio Cuando se lanza un par de dados distinguibles y se suman los n´ umeros en las caras resultantes. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11? Resultado Sea A el suceso de obtener un 7 y sea B el suceso que obtener un 11 entonces A = {(1, 6)(6, 1)(2, 5)(5, 2)(3, 4)(4, 3)} y B = {(5, 6)(6, 5)} por otra parte A ∪ B representa el suceso de obtener un 7 ó un 11. luego P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) 1 1 = + − P(Φ) 6 18 1 1 = + − 0 6 18 2 = 9 ˙ Observaci´ on: Note que, en este caso, se cumple que A∪B, es decir, los sucesos son mutuamente excluyentes David Elal-Olivero



Probabilidad Ejercicio Cuando se lanza un par de dados distinguibles y se suman los n´ umeros en las caras resultantes. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11? Resultado Sea A el suceso de obtener un 7 y sea B el suceso que obtener un 11 entonces A = {(1, 6)(6, 1)(2, 5)(5, 2)(3, 4)(4, 3)} y B = {(5, 6)(6, 5)} por otra parte A ∪ B representa el suceso de obtener un 7 ó un 11. luego P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) 1 1 = + − P(Φ) 6 18 1 1 = + − 0 6 18 2 = 9 ˙ Observaci´ on: Note que, en este caso, se cumple que A∪B, es decir, los sucesos son mutuamente excluyentes David Elal-Olivero



Probabilidad Propiedades que resultan de la Probabilidad Axiomática Propiedad del Complemento: Si M es un suceso cualesquiera, entonces: P(M) + P(M c ) = 1

David Elal-Olivero



Probabilidad Propiedades que resultan de la Probabilidad Axiomática Propiedad del Complemento: Si M es un suceso cualesquiera, entonces: P(M) + P(M c ) = 1 Diagrama de Venn M c

˙ c =S M ∪M David Elal-Olivero



Probabilidad Propiedades que resultan de la Probabilidad Axiomática Propiedad del Complemento: Si M es un suceso cualesquiera, entonces: P(M) + P(M c ) = 1 Diagrama de Venn M c

˙ c =S M ∪M David Elal-Olivero



Probabilidad

Propiedades que resultan de la Probabilidad Axiomática Si aplicamos Probabilidad a la igualdad anterior nos queda ˙ c) P(M ∪M = P(S) P(M) + P(M c ) = 1

David Elal-Olivero



Probabilidad

Propiedades que resultan de la Probabilidad Axiomática Si aplicamos Probabilidad a la igualdad anterior nos queda ˙ c) P(M ∪M = P(S) P(M) + P(M c ) = 1 Ejemplo de Probabilidad del Complemento Considere el experimento de lanzar un par de dados distinguibles y sea M el suceso de que la suma de los n´ umeros sea menor o igual a 9, entonces M c es el suceso de que la suma es mayor a 9, es decir: M c = {(5, 5)(5, 6)(6, 5)(6, 6)}

David Elal-Olivero



Probabilidad

Propiedades que resultan de la Probabilidad Axiomática Si aplicamos Probabilidad a la igualdad anterior nos queda ˙ c) P(M ∪M = P(S) P(M) + P(M c ) = 1 Ejemplo de Probabilidad del Complemento Considere el experimento de lanzar un par de dados distinguibles y sea M el suceso de que la suma de los n´ umeros sea menor o igual a 9, entonces M c es el suceso de que la suma es mayor a 9, es decir: M c = {(5, 5)(5, 6)(6, 5)(6, 6)}

David Elal-Olivero



Ejercicios

Ejercicio No 1 Si A, B y C son sucesos mutuamente excluyentes y P(A) = 0,2 P(B) = 0,3 y P(C ) = 0,2, encuentre: 1

P(Ac )

2

P(A ∪ B ∪ C )

3

P(Ac ∩ B)

4

P(B c ∩ C c )

5

P(Ac ∩ (B ∪ C ))

David Elal-Olivero



Ejercicios

Ejercicio No 1 Si A, B y C son sucesos mutuamente excluyentes y P(A) = 0,2 P(B) = 0,3 y P(C ) = 0,2, encuentre: 1

P(Ac )

2

P(A ∪ B ∪ C )

3

P(Ac ∩ B)

4

P(B c ∩ C c )

5

P(Ac ∩ (B ∪ C ))

David Elal-Olivero



Ejercicios

Ejercicio No 2 Un dado se construye de tal forma que un 1 o un 2 ocurran dos veces mas frecuentemente que un 5 y este u ´ltimo se presenta tres veces mas seguido que un 3, un 4, o un 6. Si el dado se lanza una vez, encuentre la probabilidad de que: 1

el n´ umero sea par

2

el n´ umero sea primo

3

el n´ umero sea mayor que 4

Sol: 1) 49 ;

2) 59 ;

3)

2 9

David Elal-Olivero



Ejercicios

Ejercicio No 2 Un dado se construye de tal forma que un 1 o un 2 ocurran dos veces mas frecuentemente que un 5 y este u ´ltimo se presenta tres veces mas seguido que un 3, un 4, o un 6. Si el dado se lanza una vez, encuentre la probabilidad de que: 1

el n´ umero sea par

2

el n´ umero sea primo

3

el n´ umero sea mayor que 4

Sol: 1) 49 ;

2) 59 ;

3)

2 9

David Elal-Olivero



Ejercicios

Ejercicio No 3 Si una permutaci´ on de la palabra canto se selecciona al azar, encuentre la probabilidad de que el nuevo vocablo: 1

comience con una consonante

2

finalice con una vocal

3

tenga las consonantes y las vocales alternadas

Sol: 1) 35 ;

2) 25 ;

3)

1 10

David Elal-Olivero



Ejercicios

Ejercicio No 3 Si una permutaci´ on de la palabra canto se selecciona al azar, encuentre la probabilidad de que el nuevo vocablo: 1

comience con una consonante

2

finalice con una vocal

3

tenga las consonantes y las vocales alternadas

Sol: 1) 35 ;

2) 25 ;

3)

1 10

David Elal-Olivero



Ejercicios

Ejercicio No 4 Si se seleccionan al azar 3 libros de un estante que contiene 5 novelas, 3 libros de poemas y un diccionario, ¿Cuál es la probabilidad de que 1

se tome el diccionario?

2

se escojan 2 novelas y un un libro de poemas?

Sol: 1) 13 ;

2)

5 14

David Elal-Olivero



Ejercicios

Ejercicio No 4 Si se seleccionan al azar 3 libros de un estante que contiene 5 novelas, 3 libros de poemas y un diccionario, ¿Cuál es la probabilidad de que 1

se tome el diccionario?

2

se escojan 2 novelas y un un libro de poemas?

Sol: 1) 13 ;

2)

5 14

David Elal-Olivero



Probabilidad

Probabilidad Condicional A la probabilidad de que un suceso B se dé cuando se sabe que alg´ un otro suceso A se ha presentado se llama probabilidad condicional y se denota por: P(B/A)

David Elal-Olivero



Probabilidad

Probabilidad Condicional A la probabilidad de que un suceso B se dé cuando se sabe que alg´ un otro suceso A se ha presentado se llama probabilidad condicional y se denota por: P(B/A) Probabilidad Condicional La expresi´ on P(B/A) se lee as´ı: la probabilidad de que B ocurra dado que ocurri´ o A , o simplemente la probabilidad de B dado A.

David Elal-Olivero



Probabilidad

Probabilidad Condicional A la probabilidad de que un suceso B se dé cuando se sabe que alg´ un otro suceso A se ha presentado se llama probabilidad condicional y se denota por: P(B/A) Probabilidad Condicional La expresi´ on P(B/A) se lee as´ı: la probabilidad de que B ocurra dado que ocurri´ o A , o simplemente la probabilidad de B dado A.

David Elal-Olivero



Probabilidad

Definici´ on de Probabilidad Condicional la probabilidad condicional de B, dado A, que se indica por P(B/A), se define as´ı: P(B ∩ A) si P(A) > 0 P(B/A) = P(A)

David Elal-Olivero



Probabilidad

Definici´ on de Probabilidad Condicional la probabilidad condicional de B, dado A, que se indica por P(B/A), se define as´ı: P(B ∩ A) si P(A) > 0 P(B/A) = P(A) Definici´ on de Probabilidad Condicional Observe que de la definici´ on se desprende que: P(B ∩ A) = P(B/A)P(A)

David Elal-Olivero



Probabilidad

Definici´ on de Probabilidad Condicional la probabilidad condicional de B, dado A, que se indica por P(B/A), se define as´ı: P(B ∩ A) si P(A) > 0 P(B/A) = P(A) Definici´ on de Probabilidad Condicional Observe que de la definici´ on se desprende que: P(B ∩ A) = P(B/A)P(A)

David Elal-Olivero



Probabilidad Ejercicio de Probabilidad Condicional Un espacio muestral de 200 adultos se clasifica de acuerdo con su sexo y nivel de educaci´ on: Educaci´ on Primaria Secundaria Media

Hombre 38 28 22

Mujer 45 50 17

Si se selecciona aleatoriamente a una persona de este grupo, encuentre la probabilidad de que: 1

sea hombre dado que tiene educaci´ on de nivel secundario

2

no tenga nivel de educaci´ on media dado que es mujer

David Elal-Olivero



Probabilidad Ejercicio de Probabilidad Condicional Un espacio muestral de 200 adultos se clasifica de acuerdo con su sexo y nivel de educaci´ on: Educaci´ on Primaria Secundaria Media

Hombre 38 28 22

Mujer 45 50 17

Si se selecciona aleatoriamente a una persona de este grupo, encuentre la probabilidad de que: 1

sea hombre dado que tiene educaci´ on de nivel secundario

2

no tenga nivel de educaci´ on media dado que es mujer

David Elal-Olivero



Probabilidad

Ejercicio de Probabilidad Condicional La probabilidad de que un vuelo de programaci´ on regular despegue a tiempo es P(D) = 0,83; la de que llegue a tiempo es P(A) = 0,82); y la de que despegue y llegue a tiempo P(D ∩ A) = 0,78. Encuentre la probabilidad de que un avi´ on: 1

llegue a tiempo dado que despeg´ o a tiempo

2

despegue a tiempo dado que lleg´ o a tiempo

3

llegue a tiempo dado que no despeg´ o a tiempo.

Sol: 1) 0.94

2) 0.95

3) 0.24

David Elal-Olivero



Probabilidad

Ejercicio de Probabilidad Condicional La probabilidad de que un vuelo de programaci´ on regular despegue a tiempo es P(D) = 0,83; la de que llegue a tiempo es P(A) = 0,82); y la de que despegue y llegue a tiempo P(D ∩ A) = 0,78. Encuentre la probabilidad de que un avi´ on: 1

llegue a tiempo dado que despeg´ o a tiempo

2

despegue a tiempo dado que lleg´ o a tiempo

3

llegue a tiempo dado que no despeg´ o a tiempo.

Sol: 1) 0.94

2) 0.95

3) 0.24

David Elal-Olivero



Probabilidad

Ejercicio de Probabilidad Condicional Si la probabilidad de que un proyecto de investigaci´ on esté bien planeado es 0,8 y la probabilidad de que será bien planeado y ejecutado es 0,72. ¿Cuál es la probabilidad de que un proyecto de investigación bien planeado resulte bien ejecutado? Sol: 0,9

David Elal-Olivero



Probabilidad

Ejercicio de Probabilidad Condicional Si la probabilidad de que un proyecto de investigaci´ on esté bien planeado es 0,8 y la probabilidad de que será bien planeado y ejecutado es 0,72. ¿Cuál es la probabilidad de que un proyecto de investigación bien planeado resulte bien ejecutado? Sol: 0,9 Ejercicio de Probabilidad Condicional Suponga que se tiene una caja de fusibles que contiene 20 piezas, de las cuales 5 están defectuosos. Si se seleccionan 2 fusibles al azar y se sacan de la caja en sucesi´ on sin reemplazo del primero, ¿Cuál es la probabilidad 1 de que ambos fusibles resulten defectuosos? Sol: 19

David Elal-Olivero



Probabilidad

Ejercicio de Probabilidad Condicional Si la probabilidad de que un proyecto de investigaci´ on esté bien planeado es 0,8 y la probabilidad de que será bien planeado y ejecutado es 0,72. ¿Cuál es la probabilidad de que un proyecto de investigación bien planeado resulte bien ejecutado? Sol: 0,9 Ejercicio de Probabilidad Condicional Suponga que se tiene una caja de fusibles que contiene 20 piezas, de las cuales 5 están defectuosos. Si se seleccionan 2 fusibles al azar y se sacan de la caja en sucesi´ on sin reemplazo del primero, ¿Cuál es la probabilidad 1 de que ambos fusibles resulten defectuosos? Sol: 19

David Elal-Olivero



Probabilidad

Definici´ on de Independencia de Sucesos Dos sucesos A y B son independientes, si y s´ olo si P(B/A) = P(B) y P(A/B) = P(A). De otra forma A y B son dependientes

David Elal-Olivero



Probabilidad

Definici´ on de Independencia de Sucesos Dos sucesos A y B son independientes, si y s´ olo si P(B/A) = P(B) y P(A/B) = P(A). De otra forma A y B son dependientes

David Elal-Olivero



Probabilidad Propiedad importante de Independencia de Sucesos Sean A y B sucesos independientes, entonces P(B/A) = P(B) ⇔

P(B ∩ A) = P(B) ⇔ P(A)

P(B ∩ A) = P(B)P(A)

P(A/B) = P(A) ⇔

P(A ∩ B) = P(A) ⇔ P(B)

P(A ∩ B) = P(A)P(B)

y

David Elal-Olivero




P(B ∩ A) = P(B) ⇔ P(A)

P(B ∩ A) = P(B)P(A)

P(A/B) = P(A) ⇔

P(A ∩ B) = P(A) ⇔ P(B)

P(A ∩ B) = P(A)P(B)

y

Propiedad importantede Independencia de Sucesos De lo anterior se desprende que dos sucesos A y B son idependientes ssi la probabilidad de su intersecci´ on es el producto de sus probabilidades, es decir: P(A ∩ B) = P(A)P(B) David Elal-Olivero




P(B ∩ A) = P(B) ⇔ P(A)

P(B ∩ A) = P(B)P(A)

P(A/B) = P(A) ⇔

P(A ∩ B) = P(A) ⇔ P(B)

P(A ∩ B) = P(A)P(B)

y

Propiedad importantede Independencia de Sucesos De lo anterior se desprende que dos sucesos A y B son idependientes ssi la probabilidad de su intersecci´ on es el producto de sus probabilidades, es decir: P(A ∩ B) = P(A)P(B) David Elal-Olivero



Probabilidad Ejercicio de Independencia de Sucesos En un peque˜ no pueblo se dispone de un carro de bomberos y una ambulancia para casos de emergencia. La probabilidad de que el primero esté disponible cuando se le necesite es de 0,98, y la de que la ambulancia lo esté cuando se le llame, de 0,92. En el caso de que resulte un herido al quemarse un edificio, encuentre la probabilidad de que tanto el carro de bomberos como la ambulancia estén disponibles.

David Elal-Olivero



Probabilidad Ejercicio de Independencia de Sucesos En un peque˜ no pueblo se dispone de un carro de bomberos y una ambulancia para casos de emergencia. La probabilidad de que el primero esté disponible cuando se le necesite es de 0,98, y la de que la ambulancia lo esté cuando se le llame, de 0,92. En el caso de que resulte un herido al quemarse un edificio, encuentre la probabilidad de que tanto el carro de bomberos como la ambulancia estén disponibles. Soluci´ on Sean A y B los respectivos sucesos de que ambos veh´ıculos estén disponibles, se tiene entonces que: P(A ∩ B)

= P(A)P(B) = (0,98)(0,92) = 0,9016

David Elal-Olivero



Probabilidad Ejercicio de Independencia de Sucesos En un peque˜ no pueblo se dispone de un carro de bomberos y una ambulancia para casos de emergencia. La probabilidad de que el primero esté disponible cuando se le necesite es de 0,98, y la de que la ambulancia lo esté cuando se le llame, de 0,92. En el caso de que resulte un herido al quemarse un edificio, encuentre la probabilidad de que tanto el carro de bomberos como la ambulancia estén disponibles. Soluci´ on Sean A y B los respectivos sucesos de que ambos veh´ıculos estén disponibles, se tiene entonces que: P(A ∩ B)

= P(A)P(B) = (0,98)(0,92) = 0,9016

David Elal-Olivero



Probabilidad Construcci´ on del Teorema de Bayes Para lograr elaborar el Teorema de Bayes pongamos atención a la siguiente e importante propiedad: sea A un suceso, entonces: ˙ ∩ D c ) para cualquier suceso D A = (A ∩ D)∪(A

David Elal-Olivero



Probabilidad Construcci´ on del Teorema de Bayes Para lograr elaborar el Teorema de Bayes pongamos atención a la siguiente e importante propiedad: sea A un suceso, entonces: ˙ ∩ D c ) para cualquier suceso D A = (A ∩ D)∪(A Diagrama de Venn

˙ ∩ Dc ) A = (A ∩ D)∪(A David Elal-Olivero



Probabilidad Construcci´ on del Teorema de Bayes Para lograr elaborar el Teorema de Bayes pongamos atención a la siguiente e importante propiedad: sea A un suceso, entonces: ˙ ∩ D c ) para cualquier suceso D A = (A ∩ D)∪(A Diagrama de Venn

˙ ∩ Dc ) A = (A ∩ D)∪(A David Elal-Olivero



Probabilidad

Construcci´ on del Teorema de Bayes De la ecuaci´ on, ˙ ∩ Dc ) A = (A ∩ D)∪(A se desprende que:

P(A)

˙ ∩ D c )) = P((A ∩ D)∪(A

P(A)

= P(A ∩ D) + P(A ∩ D c )

P(A)

= P(A/D)P(D) + P(A/D c )P(D c )

David Elal-Olivero



Probabilidad

Construcci´ on del Teorema de Bayes De la ecuaci´ on, ˙ ∩ Dc ) A = (A ∩ D)∪(A se desprende que:

P(A)

˙ ∩ D c )) = P((A ∩ D)∪(A

P(A)

= P(A ∩ D) + P(A ∩ D c )

P(A)

= P(A/D)P(D) + P(A/D c )P(D c )

David Elal-Olivero



Probabilidad Construcci´ on del Teorema de Bayes Lo anterior se puede extender considerando una partición {D1 , D2 , D3 } del espacio muestral S, y en tal caso se cumple que: ˙ ∩ D2 )∪(A ˙ ∩ D3 ) A = (A ∩ D1 )∪(A

David Elal-Olivero



Probabilidad Construcci´ on del Teorema de Bayes Lo anterior se puede extender considerando una partición {D1 , D2 , D3 } del espacio muestral S, y en tal caso se cumple que: ˙ ∩ D2 )∪(A ˙ ∩ D3 ) A = (A ∩ D1 )∪(A Diagrama de Venn

˙ ∩ D2 )∪(A ˙ ∩ D3 ) A = (A ∩ D1 )∪(A David Elal-Olivero



Probabilidad Construcci´ on del Teorema de Bayes Lo anterior se puede extender considerando una partición {D1 , D2 , D3 } del espacio muestral S, y en tal caso se cumple que: ˙ ∩ D2 )∪(A ˙ ∩ D3 ) A = (A ∩ D1 )∪(A Diagrama de Venn

˙ ∩ D2 )∪(A ˙ ∩ D3 ) A = (A ∩ D1 )∪(A David Elal-Olivero



Probabilidad Construcci´ on del Teorema de Bayes De la ecuaci´ on, ˙ ∩ D2 )∪(A ˙ ∩ D3 ) A = (A ∩ D1 )∪(A se desprende que: ˙ ∩ D2 )∪(A ˙ ∩ D3 )) P(A) = P((A ∩ D1 )∪(A P(A) = P(A ∩ D1 ) + P(A ∩ D2 ) + P(A ∩ D3 ) P(A) = P(A/D1 )P(D1 ) + P(A/D2 )P(D2 ) + P(A/D3 )P(D3 )

David Elal-Olivero



Probabilidad Construcci´ on del Teorema de Bayes De la ecuaci´ on, ˙ ∩ D2 )∪(A ˙ ∩ D3 ) A = (A ∩ D1 )∪(A se desprende que: ˙ ∩ D2 )∪(A ˙ ∩ D3 )) P(A) = P((A ∩ D1 )∪(A P(A) = P(A ∩ D1 ) + P(A ∩ D2 ) + P(A ∩ D3 ) P(A) = P(A/D1 )P(D1 ) + P(A/D2 )P(D2 ) + P(A/D3 )P(D3 ) Construcci´ on del Teorema de Bayes La expresi´ on P(A) = P(A/D1 )P(D1 ) + P(A/D2 )P(D2 ) + P(A/D3 )P(D3 ) se conoce como Probabilidad Total David Elal-Olivero



Probabilidad Construcci´ on del Teorema de Bayes De la ecuaci´ on, ˙ ∩ D2 )∪(A ˙ ∩ D3 ) A = (A ∩ D1 )∪(A se desprende que: ˙ ∩ D2 )∪(A ˙ ∩ D3 )) P(A) = P((A ∩ D1 )∪(A P(A) = P(A ∩ D1 ) + P(A ∩ D2 ) + P(A ∩ D3 ) P(A) = P(A/D1 )P(D1 ) + P(A/D2 )P(D2 ) + P(A/D3 )P(D3 ) Construcci´ on del Teorema de Bayes La expresi´ on P(A) = P(A/D1 )P(D1 ) + P(A/D2 )P(D2 ) + P(A/D3 )P(D3 ) se conoce como Probabilidad Total David Elal-Olivero



Probabilidad Construcci´ on del Teorema de Bayes El teorema de Bayes nos entrega una expresi´ on para calcular las probabilidades: P(D1 /A), P(D2 /A) y P(D3 /A): P(D1 /A) =

P(D1 ∩ A) P(A/D1 )P(D1 ) = P(A) ProbabilidadTotal

P(D2 /A) =


P(D3 /A) =

P(A/D3 )P(D3 ) P(D3 ∩ A) = P(A) ProbabilidadTotal

David Elal-Olivero





P(D2 /A) =


P(D3 /A) =


Construcci´ on del Teorema de Bayes Comentario: Las probabilidades P(D1 ), P(D2 ) y P(D3 ) se conocen como probabilidades apriori mientras que las probabilidades P(D1 /A), P(D2 /A) y P(D3 /A) se conocen como probabilidad a posteriori David Elal-Olivero





P(D2 /A) =


P(D3 /A) =


Construcci´ on del Teorema de Bayes Comentario: Las probabilidades P(D1 ), P(D2 ) y P(D3 ) se conocen como probabilidades apriori mientras que las probabilidades P(D1 /A), P(D2 /A) y P(D3 /A) se conocen como probabilidad a posteriori David Elal-Olivero



Probabilidad

Ejercicio con aplicaci´ on del Teorema de Bayes Se tienen tres urnas, y cada una de ellas contiene un n´ umero diferente de bolas blancas y rojas: Primera Urna: U1 contiene 3 bolas blancas y 2 bolas rojas Segunda Urna: U2 contiene 4 bolas blancas y 2 bolas rojas Tercera Urna: U3 contiene 3 bolas rojas Se elige al azar y con la misma probabilidad una de las tres urnas, y se saca una bola. Si el resultado del experimento es que ha salido una bola blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la primera urna?. Calcular lo mismo para las otras dos urnas. Sol: P(U1 /B) = 9/19, P(U2 /B) = 10/19 y P(U3 /B) = 0

David Elal-Olivero



Probabilidad

Ejercicio con aplicaci´ on del Teorema de Bayes Se tienen tres urnas, y cada una de ellas contiene un n´ umero diferente de bolas blancas y rojas: Primera Urna: U1 contiene 3 bolas blancas y 2 bolas rojas Segunda Urna: U2 contiene 4 bolas blancas y 2 bolas rojas Tercera Urna: U3 contiene 3 bolas rojas Se elige al azar y con la misma probabilidad una de las tres urnas, y se saca una bola. Si el resultado del experimento es que ha salido una bola blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la primera urna?. Calcular lo mismo para las otras dos urnas. Sol: P(U1 /B) = 9/19, P(U2 /B) = 10/19 y P(U3 /B) = 0

David Elal-Olivero



Probabilidad Ejercicio con aplicaci´ on del Teorema de Bayes En cierto momento de una investigaci´ on criminal, el inspector encargado está 60 por ciento convencido de la culpabilidad de un sospechoso. Suponga ahora que se descubre una nueva evidencia que muestra que el criminal es zurdo. Si el 20 por ciento de la poblaci´ on tiene dicha caracter´ıstica: 1

¿Qué tan seguro estará ahora el investigador de la culpabilidad del sospechoso, si resulta que el sospechoso es zurdo?

2

Ahora suponga que la nueva evidencia esta sujeta a distintas interpretaciones posibles, y que en realidad s´ olo muestra que es 90 por ciento posible que el criminal sea zurdo. En este caso: ¿Qué tan seguro estará ahora el investigador de la culpabilidad del sospechoso, si resulta que el sospechoso es zurdo?. Compare con el resultado encontrado anteriormente.

Sol: 1.) 0,882

2.) 0,871 David Elal-Olivero



Probabilidad Ejercicio con aplicaci´ on del Teorema de Bayes En cierto momento de una investigaci´ on criminal, el inspector encargado está 60 por ciento convencido de la culpabilidad de un sospechoso. Suponga ahora que se descubre una nueva evidencia que muestra que el criminal es zurdo. Si el 20 por ciento de la poblaci´ on tiene dicha caracter´ıstica: 1

¿Qué tan seguro estará ahora el investigador de la culpabilidad del sospechoso, si resulta que el sospechoso es zurdo?

2

Ahora suponga que la nueva evidencia esta sujeta a distintas interpretaciones posibles, y que en realidad s´ olo muestra que es 90 por ciento posible que el criminal sea zurdo. En este caso: ¿Qué tan seguro estará ahora el investigador de la culpabilidad del sospechoso, si resulta que el sospechoso es zurdo?. Compare con el resultado encontrado anteriormente.

Sol: 1.) 0,882

2.) 0,871 David Elal-Olivero



Probabilidad Soluci´ on al Ejercicio con aplicaci´ on del Teorema de Bayes Definamos los siguientes sucesos: SC : que el sospechoso sea culpable SZ . que el sospechoso sea zurdo El problema se contesta resolviendo: P(SC /SZ ) =

David Elal-Olivero

P(SC ∩ SZ ) P(SZ )





Soluci´ on al Ejercicio con aplicaci´ on del Teorema de Bayes Dado que el criminal es zurdo, entonces P(SZ /SC ) = 1, además sabemos que el 20 por ciento de la poblaci´ on es zurdo por lo tanto P(SZ /SC c ) = 0,2, donde el suceso SC c corresponde a que el sospechoso es inocente. Calculamos ahora la probabilidad completa P(SZ ), en efecto: David Elal-Olivero





Soluci´ on al Ejercicio con aplicaci´ on del Teorema de Bayes Dado que el criminal es zurdo, entonces P(SZ /SC ) = 1, además sabemos que el 20 por ciento de la poblaci´ on es zurdo por lo tanto P(SZ /SC c ) = 0,2, donde el suceso SC c corresponde a que el sospechoso es inocente. Calculamos ahora la probabilidad completa P(SZ ), en efecto: David Elal-Olivero



Probabilidad Soluci´ on al Ejercicio con aplicaci´ on del Teorema de Bayes P(SZ )

= P(SZ /SC )P(SC ) + P(SZ /SC c )P(SC c ) =

(1)(0,6) + (0,2)(0,4)

=

0,68

David Elal-Olivero





(1)(0,6) + (0,2)(0,4)

=

0,68

Soluci´ on al Ejercicio con aplicaci´ on del Teorema de Bayes entonces: P(SC /SZ )

= = = =

David Elal-Olivero

P(SC ∩ SZ ) P(SZ ) P(SZ /SC )P(SC ) P(SZ ) (1)(0,6) 0,68 0,882 Estad´ıstica y Probabilidades, Ier Semestre 2014




(1)(0,6) + (0,2)(0,4)

=

0,68


= = = =

David Elal-Olivero

P(SC ∩ SZ ) P(SZ ) P(SZ /SC )P(SC ) P(SZ ) (1)(0,6) 0,68 0,882 Estad´ıstica y Probabilidades, Ier Semestre 2014


Probabilidad

Soluci´ on al Ejercicio con aplicaci´ on del Teorema de Bayes Para contestar la parte 2) la situaci´ on es como antes con excepción de que la probabilidad de que el sospechoso sea zurdo, dado que es culpable, ahora es de 0,9, es decir: P(SZ /SC ) = 0,9 en tal caso: P(SZ )

= P(SZ /SC )P(SC ) + P(SZ /SC c )P(SC c ) = (0,9)(0,6) + (0,2)(0,4) =

0,62

David Elal-Olivero



Probabilidad

Soluci´ on al Ejercicio con aplicaci´ on del Teorema de Bayes Para contestar la parte 2) la situaci´ on es como antes con excepción de que la probabilidad de que el sospechoso sea zurdo, dado que es culpable, ahora es de 0,9, es decir: P(SZ /SC ) = 0,9 en tal caso: P(SZ )

= P(SZ /SC )P(SC ) + P(SZ /SC c )P(SC c ) = (0,9)(0,6) + (0,2)(0,4) =

0,62

David Elal-Olivero



Probabilidad


= = = =

David Elal-Olivero

P(SC ∩ SZ ) P(SZ ) P(SZ /SC )P(SC ) P(SZ ) (0,9)(0,6) 0,62 0,871



Probabilidad


= = = =

David Elal-Olivero

P(SC ∩ SZ ) P(SZ ) P(SZ /SC )P(SC ) P(SZ ) (0,9)(0,6) 0,62 0,871



Probabilidad Teorema de Bayes aplicado a un test de diagn´ ostico Los Test diagn´ ostico son una aplicaci´ on del teorema de Bayes a la Medicina, y se basan en lo siguiente: I.Se sospecha que un paciente puede padecer cierta enfermedad, que tiene una incidencia en la poblaci´ on (probabilidad de que la enfermedad la padezca una persona elegida al azar es P(E );

David Elal-Olivero



Probabilidad Teorema de Bayes aplicado a un test de diagn´ ostico Los Test diagn´ ostico son una aplicaci´ on del teorema de Bayes a la Medicina, y se basan en lo siguiente: I.Se sospecha que un paciente puede padecer cierta enfermedad, que tiene una incidencia en la poblaci´ on (probabilidad de que la enfermedad la padezca una persona elegida al azar es P(E ); Teorema de Bayes aplicado a un test de diagn´ ostico II.Como ayuda al diagn´ ostico de la enfermedad, se le hace pasar una serie de pruebas (Test), que dan como resultado: 1

2

Positivo, T + , si la evidencia a favor de que el paciente este enfermo es alta en funci´ on de estas pruebas; Negativo, T − , en caso contrario

David Elal-Olivero



Probabilidad Teorema de Bayes aplicado a un test de diagn´ ostico Los Test diagn´ ostico son una aplicaci´ on del teorema de Bayes a la Medicina, y se basan en lo siguiente: I.Se sospecha que un paciente puede padecer cierta enfermedad, que tiene una incidencia en la poblaci´ on (probabilidad de que la enfermedad la padezca una persona elegida al azar es P(E ); Teorema de Bayes aplicado a un test de diagn´ ostico II.Como ayuda al diagn´ ostico de la enfermedad, se le hace pasar una serie de pruebas (Test), que dan como resultado: 1

2

Positivo, T + , si la evidencia a favor de que el paciente este enfermo es alta en funci´ on de estas pruebas; Negativo, T − , en caso contrario

David Elal-Olivero



Probabilidad

Teorema de Bayes aplicado a un test de diagn´ ostico Previamente, sobre el test de diagn´ ostico de la enfermedad a utilizar, han debido ser estimadas las cantidades: 1

Sensibilidad: Es la probabilidad de que el test de positivo sobre una persona que sabemos que padece la enfermedad, P(T + /E )

2

Especificidad: Es la probabilidad de que el test de negativo sobre una persona que no padece la enfermedad, P(T − /E c )

David Elal-Olivero



Probabilidad



2


David Elal-Olivero



Probabilidad



2


David Elal-Olivero



Probabilidad

Teorema de Bayes aplicado a un test de diagn´ ostico Lo que interesa saber en la práctica es, predecir si una persona está SANA O ENFERMA a partir de los resultado del Test de Diagn´ ostico, es decir, de las cantidades: P(E /T + ) y P(E c /T − )

David Elal-Olivero



Probabilidad

Teorema de Bayes aplicado a un test de diagn´ ostico Lo que interesa saber en la práctica es, predecir si una persona está SANA O ENFERMA a partir de los resultado del Test de Diagn´ ostico, es decir, de las cantidades: P(E /T + ) y P(E c /T − )

David Elal-Olivero



Probabilidad

Método de cálculo sobre un test de diagn´ ostico Se consideran 100 personas sanas y 100 personas enfermas, y se observa que:

+

T T− Suma Calcule i) P(T + /E ), − iv) P(T /E c )

ii)

David Elal-Olivero

E 89 11 100

Ec 3 97 100

P(T − /E ),

iii)

P(T + /E c )


y


Probabilidad

Método de cálculo sobre un test de diagn´ ostico Se consideran 100 personas sanas y 100 personas enfermas, y se observa que:

+

T T− Suma Calcule i) P(T + /E ), − iv) P(T /E c )

ii)

David Elal-Olivero

E 89 11 100

Ec 3 97 100

P(T − /E ),

iii)

P(T + /E c )


y


Probabilidad

Método de cálculo sobre un test de diagn´ ostico Teniendo en cuenta el resultado del Test de Diagn´ ostico, se utiliza el teorema de Bayes para ver cuál es, a la vista de los resultados obtenidos, la probabilidad de que realmente este enfermo si le di´ o positivo, es decir, P(E /T + ) =

P(T + /E )P(E ) + P(T + /E c )P(E c )

P(T + /E )P(E )

ó realmente este sano si le da negativo P(E c /T − ) =

P(T − /E c )P(E c ) P(T − /E c )P(E c ) + P(T − /E )P(E )

David Elal-Olivero



Probabilidad

Método de cálculo sobre un test de diagn´ ostico Teniendo en cuenta el resultado del Test de Diagn´ ostico, se utiliza el teorema de Bayes para ver cuál es, a la vista de los resultados obtenidos, la probabilidad de que realmente este enfermo si le di´ o positivo, es decir, P(E /T + ) =

P(T + /E )P(E ) + P(T + /E c )P(E c )

P(T + /E )P(E )

ó realmente este sano si le da negativo P(E c /T − ) =

P(T − /E c )P(E c ) P(T − /E c )P(E c ) + P(T − /E )P(E )

David Elal-Olivero



Probabilidad

Ejercicio de un test de diagn´ ostico Con el objeto de diagnosticar la colelietasis se usan los ultrasonidos. Tal técnica tiene una sensibilidad del 91 % y una especificidad del 98 %. En la poblaci´ on que nos ocupa, la probabilidad de colelietasis es de 0, 2. 1

Si a un individuo de tal poblaci´ on se le aplican los ultrasonidos y dan positivos. ¿Cuál es la probabilidad de que sufra la colelietasis?

2

Si el resultado fuese negativo. ¿Cuál ser´ıa la probabilidad de que no tenga la enfermedad?

David Elal-Olivero



Probabilidad

Ejercicio de un test de diagn´ ostico Con el objeto de diagnosticar la colelietasis se usan los ultrasonidos. Tal técnica tiene una sensibilidad del 91 % y una especificidad del 98 %. En la poblaci´ on que nos ocupa, la probabilidad de colelietasis es de 0, 2. 1

Si a un individuo de tal poblaci´ on se le aplican los ultrasonidos y dan positivos. ¿Cuál es la probabilidad de que sufra la colelietasis?

2

Si el resultado fuese negativo. ¿Cuál ser´ıa la probabilidad de que no tenga la enfermedad?

David Elal-Olivero



Probabilidad Soluci´ on al ejercicio de un test de diagn´ ostico la sensibilidad de 91 % y la especificidad del 98 %, dan origen a la siguiente tabla

+

T T− Suma

David Elal-Olivero

E 0.91 0.09 1

Ec 0.02 0.98 1




+

T T− Suma

E 0.91 0.09 1

Ec 0.02 0.98 1

Soluci´ on al ejercicio de un test de diagn´ ostico entonces: P(T + /E ) = 0,91, P(T − /E ) = 0,09, − c y P(T /E ) = 0,98

David Elal-Olivero

P(T + /E c ) = 0,02




+

T T− Suma

E 0.91 0.09 1

Ec 0.02 0.98 1

Soluci´ on al ejercicio de un test de diagn´ ostico entonces: P(T + /E ) = 0,91, P(T − /E ) = 0,09, − c y P(T /E ) = 0,98

David Elal-Olivero

P(T + /E c ) = 0,02



Probabilidad

Soluci´ on al ejercicio de un test de diagn´ ostico Por otra parte la probabilidad de colelietasis en la población es de 0, 2, es decir, P(E ) = 0,2. P(E /T + )

= = =

P(T + /E )P(E ) P(T + /E )P(E ) + P(T + /E c )P(E c ) (0,91)(0,2) (0,91)(0,2) + (0,02)(0,8) 0.91

David Elal-Olivero



Probabilidad

Soluci´ on al ejercicio de un test de diagn´ ostico Por otra parte la probabilidad de colelietasis en la población es de 0, 2, es decir, P(E ) = 0,2. P(E /T + )

= = =

P(T + /E )P(E ) P(T + /E )P(E ) + P(T + /E c )P(E c ) (0,91)(0,2) (0,91)(0,2) + (0,02)(0,8) 0.91

David Elal-Olivero



Probabilidad

Soluci´ on al ejercicio de un test de diagn´ ostico P(E c /T − )

P(T − /E c )P(E c ) P(T − /E c )P(E c ) + P(T − /E )P(E ) (0,98)(0,8) = (0,98)(0,8) + (0,09)(0,2) = 0,9775 =

David Elal-Olivero



Probabilidad

Soluci´ on al ejercicio de un test de diagn´ ostico P(E c /T − )

P(T − /E c )P(E c ) P(T − /E c )P(E c ) + P(T − /E )P(E ) (0,98)(0,8) = (0,98)(0,8) + (0,09)(0,2) = 0,9775 =

David Elal-Olivero




Eventos HASTA AQUÍ LEGA LA PRIMERA UNIDAD CORRESPONDIENTE A PROBABILIDADES: ´ CON LA SEGUNDA UNIDAD DE VARIABLES SE CONTINUARA ALEATORIAS

David Elal-Olivero




Eventos HASTA AQUÍ LEGA LA PRIMERA UNIDAD CORRESPONDIENTE A PROBABILIDADES: ´ CON LA SEGUNDA UNIDAD DE VARIABLES SE CONTINUARA ALEATORIAS

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Probabilidad

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