problema 3Q del bird

1.

Prob Proble lema ma 3.Q3  Flujo reptante entre dos esferas conc´ entricas entricas

Un fluido muy viscoso fluye en el espacio comprendido entre dos esferas conc´ entrientricas, cas, tal tal como como se indi indica ca en la Figu Figura ra 1 Se desea desea hall hallar arla la veloci elocida dad d de flujo flujo en el sistema en funci´ on de la diferencia de presi´ on on on que se le comunica. Despr´ De spr´ eciense eciense los efectos finales y sup´ ongase ongase que vθ =  t θ (r, θ) y V  =  v φ  = 0

Figura 1: Flujo reptante entre dos esferas conc´ entricas entricas estacionarias. a) Demostrar, utilizando la ecuaci´on de continuidad, que   vθsenθ  =  v (r), siendo  u (r) una funcion de  r  que ha de determinarse. b) Escribir el componente θ  de la ecuaci´on on de movimiento para este sistema, suponiendo velocidades de flujo suficientemente bajas, de forma que pueda despreciarse todo el primer miembro de la ecuaci´on. Demostrar que esta ecuaci´on on queda reducida a:

1 1 d 2 du  µ r 0 = − 1r ∂p + [ ( )] 2 ∂θ senθ r dr dr c) Separar la relaci´ relaci´on on anterior en las dos ecuaciones siquientes

senθ dp =B dθ

µ d 2 du r ( ) r dr dr

=  B

siendo  B  una constante de separaci´on. on. d) Demostrar que

1−cos ∆ p =  B ln( 1+ ) = −B E (e) u  = cos siendo ∆ p  la diferencia de presi´on on comunicada.

1

R∆ p 2µE () [(1

− Rr ) +  k (1 − Rr )]

Respuesta:

a) ∂p ∂t

+ r12 ∂r∂  (ρr2vr ) +

1

∂  (ρvθ senθ ) rsenθ ∂θ

+

1

∂  (ρvφ ) rsenθ ∂φ

= ∇ vθ

1 ∂  − rsen (v senθ ) = 0 ∂  θ θ

ρ ∂  (v senθ) rsenθ ∂θ θ ∂  (v senθ ) ∂θ θ

=0

=0

  ∂ (vθsenθ) = 0 vθsenθ = C 1 v

∂vθ vθ ∂vθ vr vθ φ ∂vθ v b) ρ( ∂vθ + + + + + − r ∂t ∂r r ∂θ rsenθ ∂φ r vθ 2cosθ ∂vφ H (∇2 vθ  + r22 ∂vr − −  ) + ρgθ 2 2 2 ∂θ r sen θ r sen2 θ ∂φ

∇2 =

1 ∂ 

2 ∂  ( )+ r 2 ∂r r ∂t

1

∂  ∂  ( ) senθ 2 ∂θ r senθ ∂θ

2  µ vθ ) 0 = − 1r ∂ρ + (∇ ∂θ

vθ senθ =  u 1 1 ∂  2 ∂u  µ 0 = − 1r ∂ρ + [ (r ∂r )] ∂t senθ r2 ∂r  1 ∂  2 ∂   µ 0 = − 1r ∂ρ + [[ (r ∂r )]vθ ] ∂θ r2 ∂r

c) senθ ∂ρ =  B ∂θ 1 ∂ρ

µ ∂  2 ∂u (r ∂r ) r ∂θ senθr2 ∂r µ ∂  2 ∂u ( ) =  B r r ∂r ∂r

=

2

+

1

vφ 2 cosθ ) r

2

∂  ( ) 2 2 r sen θ ∂φ 2

= − 1r ∂p + ∂θ

d) 1 senθ

=  cscθ

 p2  p1

 

B ∂p  = − ∂θ senθ

 p2  p| p1

=  B

 

−

cscθ∂θ

∆ p  = Bln(cscθ − cotθ)|− ∆ p  = Bln((csc − cot) − ln[csc(−) − cot(−)]) csc−cot ∆ p  = Bln[ csc  (− ] )−cot(−)

∆ p  = ln[

1 cos sen − sen cos(−) 1 − sen(−) sen(−)

]

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