Problemas Resueltos de Inv. de Operaciones

Ingeniería en Sistemas de Inf ormación

Investigación Operativa Practico 1 Planteo de PL Plantear el modelo matemático de los siguientes problemas lineales: Una pequeña empresa de cortinas tiene contratados tres profesionales: Ana, Claudia y Susana. La producción de una cortina consta de tres procesos: corte, en la que a partir de unas medidas se cort corta a la tela tela nece necesa sari ria, a, conf confec ecci ción ón, , en la que que se cose cose la cortina, y acabado, en la que se colocan el forro, los remates y se pule el acabado. Cada una de las modistas emplea un tiempo distinto en cada cada uno uno de esto estos s proc proces esos os, , tiem tiempo pos s que que vien vienen en dado dados s en la siguiente tabla (en minutos):

Determinar qué persona debe encargarse de cada proceso de forma que el tiempo de producción sea mínimo. [Min] Z= 30*x31 + s.a x11 x21 x31 x11 x12 x13 xij

15 * x11 + 20*x12 + 30*x13 + 20*x21 + 25*x22 + 20*x23 + 20*x32 + 10*x33 + + + + + + =

x12 + x22 + x32 + x21 + x22 + x23 + {0,1}

x13 x23 x33 x31 x32 x33

= = = = = =

1 1 1 1 1 1

Una compañía de transportes posee 2 tipos de camiones. El camión tipo A tiene 20 m3 de espacio refrigerado y 40 m3 no refrigerado. El camión tipo B tiene 30 m3 refrigerados y 30 m3 no refrigerados. Una Una fábr fábric ica a de prod produc ucto tos s alim alimen enti tici cios os debe debe emba embarc rcar ar 900 900 m3 de productos refrigerados refrigerados y 1200 m3 no refrigerados. ¿Cuántos ¿Cuántos camiones de cada tipo debe alquilar la fábrica para minimizar costos si el tipo A se alquila a 0,30 $/Km y el B a 0,40 $/Km? A = Camion de tipo A B= Camión de tipo B [Min] Z= 0.3 * A + 0.4 * B s.a 20 * A + 30 * B >= 900 40 * A + 30 * B >= 1200 A, B >= 0 Una carnicería realiza sus hamburguesas a partir de carne magra de cerdo y ternera. La carne de ternera contiene un 80% de carne y un 20% de grasa, y cuesta a la tienda 0,80 $/Kg;la carne de cerdo contiene un 68% de carne y un 32% de grasa, y cuesta 0,60 $/Kg. ¿Qué ¿Qué cantid cantidad ad de cada cada tipo tipo de carne carne debe debe emplea emplearse rse por kilo kilo si quiere minimizarse el coste y mantener un contenido de grasa no superior al 25%?

Vechetti, Ariel Matias

1


Investigación Operativa [Min] Z= 0.8 T + 0.6 C s.a. 0.8*T + 0.68*C >= 0.75 0.2*T + 0.32*C <= 0.25 T,C >= 0 En un río y su afluente hay 2 presas que regulan el paso del agua. Río abajo existe una gran demanda de agua para regadío. Teniendo en cuenta cuenta los costos costos de operac operación ión y manten mantenimi imient ento, o, la empres empresa a que gestiona las presas obtiene $ 10.000 por unidad de caudal en la presa del río, y $ 30.000 por unidad de caudal en la presa del afluente. Los caudales máximos de cada cuenca son: 4 en el río, 4 en el afluente y 5 en el río antes de que se despegue su afluente. ¿Cómo se debe distribuir el agua para que el beneficio sea máximo? [Max] Z= 100000*R + s.a. R <= 4 A<= 4 R + A <= 5 R, A >= 0

30000*A

Una compañía minera opera tres minas. El mineral obtenido en cada una una se sepa separa ra en dos dos cali calida dade des s ante antes s de su dist distri ribu buci ción ón. . Las Las capacidades de producción diarias de cada mina, así como sus costes de operación diarios son los siguientes:

La compañía se ha comprometido a entregar 54 toneladas de mineral de alta alta cali calida dad d y 65 de baja baja en el plaz plazo o de una una sema semana na. . Los Los contratos de los mineros les garantizan la paga del día completo por cada día o fracción que la mina está abierta. Determinar el número número de días días que debe funcio funcionar nar cada cada mina mina durant durante e la próxim próxima a semana para cumplir el compromiso con un coste mínimo. [Min] Z= 2000 * M1 + 2200*M2 + 1800*M3 s.a. 4*M1 + 6*M2 + M3 >= 54 4*M1 + 4*M2 + 6*M3 >= 65 M1<= 7 M2<= 7 M3<= 7 Una compañ compañía ía petrol petrolera era produc produce e dos tipos tipos de gasoli gasolina, na, normal normal y super, que vende a sus estaciones de servicio a 120 y 140 pts/ba pts/barri rril l respec respectiv tivame amente nte. . Ambos Ambos tipos tipos de gasoli gasolina na se realiz realizan an mezcla mezclando ndo combus combustib tible le nacion nacional al y extran extranjer jero o de sus almace almacenes nes, , y debe cumplir las siguientes especificaciones: especificaciones:


2


Investigación Operativa [Min] Z= 0.8 T + 0.6 C s.a. 0.8*T + 0.68*C >= 0.75 0.2*T + 0.32*C <= 0.25 T,C >= 0 En un río y su afluente hay 2 presas que regulan el paso del agua. Río abajo existe una gran demanda de agua para regadío. Teniendo en cuenta cuenta los costos costos de operac operación ión y manten mantenimi imient ento, o, la empres empresa a que gestiona las presas obtiene $ 10.000 por unidad de caudal en la presa del río, y $ 30.000 por unidad de caudal en la presa del afluente. Los caudales máximos de cada cuenca son: 4 en el río, 4 en el afluente y 5 en el río antes de que se despegue su afluente. ¿Cómo se debe distribuir el agua para que el beneficio sea máximo? [Max] Z= 100000*R + s.a. R <= 4 A<= 4 R + A <= 5 R, A >= 0

30000*A

Una compañía minera opera tres minas. El mineral obtenido en cada una una se sepa separa ra en dos dos cali calida dade des s ante antes s de su dist distri ribu buci ción ón. . Las Las capacidades de producción diarias de cada mina, así como sus costes de operación diarios son los siguientes:

La compañía se ha comprometido a entregar 54 toneladas de mineral de alta alta cali calida dad d y 65 de baja baja en el plaz plazo o de una una sema semana na. . Los Los contratos de los mineros les garantizan la paga del día completo por cada día o fracción que la mina está abierta. Determinar el número número de días días que debe funcio funcionar nar cada cada mina mina durant durante e la próxim próxima a semana para cumplir el compromiso con un coste mínimo. [Min] Z= 2000 * M1 + 2200*M2 + 1800*M3 s.a. 4*M1 + 6*M2 + M3 >= 54 4*M1 + 4*M2 + 6*M3 >= 65 M1<= 7 M2<= 7 M3<= 7 Una compañ compañía ía petrol petrolera era produc produce e dos tipos tipos de gasoli gasolina, na, normal normal y super, que vende a sus estaciones de servicio a 120 y 140 pts/ba pts/barri rril l respec respectiv tivame amente nte. . Ambos Ambos tipos tipos de gasoli gasolina na se realiz realizan an mezcla mezclando ndo combus combustib tible le nacion nacional al y extran extranjer jero o de sus almace almacenes nes, , y debe cumplir las siguientes especificaciones: especificaciones:


2


Investigación Operativa

Las características del combustible disponible en el almacén son:

¿Qué Qué can cantida tidad des de comb combu ustib stible le naci nacion onal al y extr extran anj jero ero deb deben mezcla mezclarse rse para para produc producir ir las dos gasoli gasolinas nas y obtene obtener r los máximo máximos s beneficios semanales? NOTA: Los componentes de la mezcla contribuyen al octanaje (y a la presión de vapor) de acuerdos a su porcentaje en la mezcla. N= Nafta Común S= Nafta Super NN= Nafta Común NS= Nafta Super EN= Nafta Común ES= Nafta Super

Nacional Nacional Extranjero Extranjero

[Max] Z= (120*N – (80*NN + 150*EN)) + (140*S- (80*NS + 150*ES)) s.a. 25*NN + 15* EN <= 23N 87*NN + 95*EN >= 88N 25*NS + 15*ES <= 23S 25*NS + 15*ES >= 93S NN + NS = 40000 EN + ES = 60000 N<= 100.0000 N>= 50000 S<= 200000 S>= 5000 Un prod produ uctor ctor agrop grope ecuar cuario io cuen cuenta ta con tres tres finca incas s de cier ierta extensión cada una y ciertas características específicas de riego, de acuerdo con la región en que cada una de ellas se encuentra. Un resumen de estas características aparece a continuación:

Se tienen, además, tres diferentes clases de plantas que se pueden cultivar: yuca, papa y maíz; cada una de ellas tiene restricciones sobre sobre el número número de hectár hectáreas eas que se pueden pueden cultivar cultivar y sobre sobre el cons consum umo o de agua agua por por hect hectár área eas, s, y cada cada una una tien tiene e asoc asocia iada da una una utilidad por hectárea cultivada:


3



Por disposiciones gubernamentales no es posible tener porcentajes difer iferen ent tes de área áreas s culti ultiva vad das en las las tres tres finc fincas as. . Nues Nuest tro productor agropecuario se pregunta cuál ha de ser la distribución de cultivos en cada una de las fincas, de manera que maximice la utilidad generada por la venta del producto de las cosechas. [Max] Z= s.a. 600 600 600

400*600*Y + 300*900*P + 100*300*M * Y + 900*P + * Y + 900*P + * Y + 900*P +

300* M <= 300* M <= 300* M <=

3000 * Y + 3600*P + 3000 * Y + 3600*P + 3000 * Y + 3600*P +

350 700 300

900* M <= 900* M <= 900* M <=

525000 1400000 2700001

La muni munici cipa pali lida dad d pose posee e un cent centro ro de reco recole lecc cció ión n de resi residu duos os sólidos, los cuales somete a diferentes tratamientos, de tal manera que pueda producir materia prima para la venta. De acuerdo con las mezcla mezclas s de los materi materiale ales s utiliz utilizado ados, s, es posibl posible e produc producir ir tres tres tipos tipos o calida calidades des difere diferente ntes s de produc producto. to. Para Para la mezcla mezcla existe existe cierta flexibilidad y se han especificado estándares de calidad que indican los niveles máximos y mínimos en porcentaje (por peso) de los los mate materi rial ales es que que se perm permit iten en en cada cada tipo tipo de prod produc ucto to. . Las Las especificaciones especificaciones se dan en la siguiente tabla junto con el costo de amalgamado y el precio de venta por kilogramo:

El centro de recolección obtiene los materiales de desperdicio de diferentes fuentes, por lo cual es capaz de operar a una producción estable. Las cantidades disponibles cada semana, así como el costo de tratamiento, se muestra en la siguiente tabla:


4



El problema que enfrenta la municipalidad es determinar cuánto debe producir de cada tipo de producto y la mezcla exacta de materiales que debe utilizar para cada tipo, de tal manera que se maximice el beneficio total por semana (ventas totales menos costos totales de amalgamado y tratamiento). m1A: m2A: m3A: m1B: m2B: m1C:

cantidad cantidad cantidad cantidad cantidad cantidad

de de de de de el

materia 1 en el tipo A materia 2 en el tipo A materia 3 en el tipo A material 1 en el tipo B material 2 en el tipo B material 1 en el tipo C

[Max] Z= 8.50(m1A + m2A + m3A)- (3*m1A + 6*m2A + 4*m3A) + 7(m1B + m2B)- (3*m1B + 6*m2B) + 5.5m1C- 3*m1C s.a. m1A + m1B + m1C <= 2500 m2A + m2B<= 1900 m3A <= 4000 m1A/2500<= 0.2 m2A/1900>= 0.4 m3A/4000>= 0.5 m1B/2500<= 0.5 m2B/1900>= 0.2 m1C/2500>= 0.7


5


Investigación Operativa Práctico 2 Solución de PL Un fabricante de televisores tiene que decidir el número de unidades de 27” y 20” que debe producir en una de sus plantas. La investigación de mercado indica que puede vender como máximo 40 unidades de 27” y 10 unidades de 20” al mes. El número máximo de horas de trabajo disponible es 500 por mes. Un televisor de 27” requiere 20 horas de trabajo y uno de 20” requiere 10. Cada unidad de 27” vendida produce una ganancia de 120 u.m. y cada una de 20” produce una ganancia de 80 u.m. Un distribuidor está de acuerdo en comprar todas las unidades que se produzcan si su número no excede los máximos del estudio de mercado. a)- Plantear el modelo de programación lineal. b)- Resolver el problema utilizando el método simplex. c)- Hallar la solución gráfica. Exprese los resultados en términos económicos. a) x1= televisores de 27' x2= televisores de 20' [Max] Z= 120*x1 + 80*x2 s.a 20*x1 + 10*x2 <= 500 x1<= 40 x2<= 10 x1>= 0 x2>= 0 b)

Ck

Xk

Bk

X1

X2

S1

S2

S3

0

S1

500

20

10

1

0

0

0

S2

40

1

0

0

1

0

0

S3

10

0

1

0

0

1

0

-120

-80

0

0

0

120

X1

25

1

½

1/20

0

0

0

S2

15

0

-1/2

-1/2

1

0

0

S3

10

0

1

0

0

1

3000

0

-20

6

0

0

120

X1

20

1

0

1/20

0

-1/20

0

S2

20

0

0

-1/2

1

½

80

X2

10

0

1

0

0

1

3200

0

0

6

0

20

c)Para obtener un beneficio maximo de 3200 se deben porducir 20 tv 27' y 10 tv 20', con un sobrante de demande de 20 tv 27'.


6


Investigación Operativa Un intermediario debe adquirir mercaderías para la próxima temporada, para lo que dispone de un capital de $13.000.000. La mercadería A cuesta $80 por unidad y requiere un espacio de almacenamiento de 80 dm3, la mercadería B cuesta $70 y requiere un espacio de almacenamiento de 20 dm3. La mercadería C cuesta $100 y el espacio necesario es de 70 dm3. El espacio disponible de almacenamiento es de 4000 m3. Los beneficios esperados son de $20 por unidad de A, $20 por unidad de B y $25 por unidad de C. Hallar el programa de compra que maximize el beneficio. a)- Plantear el modelo de programación lineal. b)- Resolver el problema utilizando el método simplex. c)- Exprese los resultados en términos económicos. a) x1 = mercaderia tipo A x2 = mercaderia tipo B x3 = mercaderia tipo C [Max] Z= 20*x1 + 20*x2 + 25*x3 s.a 80*x1 + 70*x2+ 100*x3<= 13.000.000. 0.8*x1 + 0.2*x2 + 0.7*x3 <= 4.000 x1>= 0 x2>= 0 x3>= 0 b)

Ck

Xk

Bk

X1

X2

X3

S1

S2

0

S1

13.000. 80 000

70

100

1

0

0

S2

4.000

0.8

0.2

0.7

0

1

0

-20

-20

-25

0

0

0

S1

12.428. -240/7 571

290/7

0

1

-1000/7

25

X3

40.000/ 8/7 7

2/7

1

0

10/7

1.000.0 60/7 00/7

-90/7

1

0

250/7

0

S1

11.599. -200 999

0

-145

1

-350

20

X2

20.000

1

7/2

0

5

0

46

0

100

4

400.000 60

c)Se van arquirir 20.000 mercaderia del tipo B, sobran un dinero del 11.599.99, obteniendo un beneficio de 400.000. Una compañía de seguros está introduciendo dos nuevas líneas de productos: seguros de riesgos especiales e hipotecas. La ganancia esperada es 5 u.m. Por unidad sobre el seguro de riesgos especiales y 2 u.m. por unidad sobre hipotecas. La administración quiere establecer las cuotas de venta para las nuevas líneas de productos


7


Investigación Operativa con el fin de maximizar la ganancia esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes: Horas de trabajo por unidad Departamento

Riesgos especiales

Hipotecas

Horas Disponibles

Procesamiento

3

2

2400

Administración

0

1

800

Reclamos

2

0

1200

a)-Plantear el modelo de programación lineal. b)-Resolver el problema utilizando el método simplex. c)-Hallar la solución gráfica. Exprese los resultados en términos económicos. a) x1 = Cuotas Riesgos Especiales. x2 = Cuotas Hipotecas. [Max] Z= 5*x1 + 2*x2 s.a 3*x1 + 2*x2 <= 2400 x2<= 800 2x1 <= 1200 b)

Ck

Xk

Bk

X1

X2

S1

S2

S3

0

S1

2400

3

2

1

0

0

0

S2

800

0

1

0

1

0

0

S3

1200

2

0

0

0

1

0

-5

-2

0

0

0

0

S1

600

0

2

1

0

-3/2

0

S2

800

0

1

0

1

0

5

X1

600

1

0

0

0

½

3000

0

-2

0

0

5/2

2

X2

300

0

1

½

0

-3/4

0

S2

500

0

0

-1/2

1

¾

5

X1

600

1

0

0

0

½

3600

0

0

1

0

1

c)Para obtener un beneficio maximode $3600, se tendran que vender 600 cuotas de seguros de riegos especiales y 300 de seguro de hipotecas. Un importador dispone de financiación para introducir mercaderías por $20.000.000. De acuerdo con las reglamentaciones, está autorizado para importar hasta $ 16.000.000 en repuestos para maquinarias agrícolas y hasta $8.000.000 en sustancias químicas.


8


Investigación Operativa Puede tener un beneficio del 6% sobre las sustancias químicas y del 2% sobre los repuestos. Por razones de mercado, decide que la suma a importar en repuestos debe ser al menos el doble de la dedicada a sustancias químicas. Determinar el programa de importación que le brinde el máximo beneficio. a)- Plantear el modelo de programación lineal. b)- Resolver el problema utilizando el método simplex. c)- Hallar la solución gráfica. Exprese los resultados en términos económicos. a) x1= Maquinas Agricolas (en millones) x2= Sustancias Quinicas (en millones) [Max] Z= 0.06*x1 + 0.02*x2 s.a. X1 + x2 <= 20 x1 <=16 x2 <= 8 2*x2 – x1 <= 0 x1 >= 0 x2 >= 0 b)

Ck

Xk

Bk

X1

X2

S1

S2

S3

S4

0

S1

20

1

1

1

0

0

0

0

S2

16

1

0

0

1

0

0

0

S3

8

0

1

0

0

1

0

0

S4

0

-1

2

0

0

0

1

0

-0.06

-0.02

0

0

0

0

0

S1

4

0

1

1

-1

0

0

0.06

X1

16

1

0

0

1

0

0

0

S3

8

0

1

0

0

1

0

0

S4

16

0

2

0

1

0

1

0.96

0

-0.02

0

0.06

0

0

0.02

X2

4

0

1

1

-1

0

0

0.06

X1

16

1

0

0

1

0

0

0

S3

4

0

0

-1

1

1

0

0

S4

8

0

0

-2

3

0

1

1.04

0

0

0.02

0.04

0

0

c)Para obtener $16.000.000 de Quimicas.

una ganaracia del $ 1.040.000 de deben vender Maquinas agricolas y $4.000.000 de Sustancias

Cada semana, Florida Citrus, Inc., usa una sola maquina durante 150 horas para destilar jugo de naranja y de pomelo en concentrados


9


Investigación Operativa almacenados en dos tanques separados de 1000 litros antes de congelarlos. La maquina puede procesar 25 litros de jugo de naranja por hora, pero solo 20 litros de jugo de pomelo. Cada litro de jugo de naranja cuesta $1.50 y pierde 30% de contenido de agua al destilarse en concentrado. El concentrado de jugo de naranja se vende después en $6.00 por litro. Cada litro de jugo de pomelo cuesta $2.00 y pierde 25% de contenido de agua al destilarse en concentrado. El concentrado de jugo de pomelo se vende después en $8.00 por litro. Formule un modelo de programación lineal para determinar un plan de producción que maximice la ganancia para la siguiente semana. Resolver el problema utilizando el método simplex. Hallar la solución gráfica. Exprese los resultados en términos económicos. x1= Litros de jugo de Naranja x2= Litros de Jugo de Pomelo [Max] Z= 2.7*x1 + 4*x2 s.a. 1/25*x1 + 1/20*x2 <= 150 7/10 *x1 <= 1000 ¾ *x2<=1000 x1>=0 X2>=0

Ck

Xk

Bk

X1

X2

S1

S2

S3

0

S1

150

1/25

1/20

1

0

0

0

S2

1000

7/10

0

0

1

0

0

S3

1000

0

¾

0

0

1

0

-27/100 -4

0

0

0

0

S1

250/3

1/25

0

1

0

-1/15

0

S2

1000

7/10

0

0

1

0

4

X2

4000/3

0

1

0

0

4/3

16000/3 -27/100 0

0

0

16/3

0

S1

550/21

0

0

1

-2/35

-1/25

27/100

X1

10000/7 1

0

0

10/7

0

4

X2

4000/3

0

1

0

0

4

120100/ 0 21

0

0

20/49

16/3

Para obtner un beneficio del $ 5719.048 se deberan producir 10000/7 litos de jugos de naranja y 4000/3 de jugos de pomelo con un sobrante de hora de procesado de 550/21 horas por semana. Resuelva mediante simplex los siguientes problemas: a) minimizar z = 80x1 + 60x2 S.A. 0.20x1 + 0.32x2 <= 0.25 x1 + x2 = 1 x1,x2>=0


10


Investigación Operativa b) maximice z = 5x1 + S.A. 6x1 + x2 >= 4x1 + 3x2 >= 12 x1 + 2x2 >= 4 x1,x2>=0 c) maximice z = 2x1 + S.A. x1 + 2x2 <= 6x1 + 4x2 >= 24 x1,x2>=0

2x2 6

3x2 2

Ck

Xk

Bk

X1

X2

S1

E1

0

S1

¼

4/5

8/25

1

0

M

L1

1

1

1

0

1

M

M-80

M-60

0

0

60

X2

25/32

5/8

1

25/8

0

M

L1

7/32

3/8

0

-25/8

1

375/8+7M/ 75/2+3M/8 0 32

375/225M/8

0

60

X2

5/12

0

1

25/3

-5/3

80

X1

7/12

1

0

25/3

8/3

215/3

0

60

3500/3

340/3

Plantear un problema de programación lineal que: a) Tenga solución única. b) No tenga solución (no factible). c) Tenga infinitas soluciones. d)Tenga solución ilimitada (no acotada). a) [Max] Z= 5*x1 + 2*x2 s.a 3*x1 + 2*x2 <= 2400 x2<= 800 2x1 <= 1200 b)

Ck

Xk

Bk

X1

X2

S1

S2

U1

0

S1

2

2

1

1

0

0

-M

U1

12

3

4

0

-1

1

-12M

-3-3M

-2-4M

0

M

0

2

X2

2

2

1

0

0

1

M

U1

4

-5

0

-4

-1

0

4-4M

1+5M

0

M

2+4M

0

Es no factible porque el valor de la varible basica en la solucion obtima no sastiface las todas restriciones del problema.


11


Investigación Operativa c)Max Z= 2*x1 + 4*x2 S.A x1 + 2*x2 <=5 x1 + x2 <=4 x1>=0 x2>=0

Ck

Xk

Bk

X1

X2

S1

S2

0

S1

5

1

2

1

0

0

S2

4

1

1

0

1

0

-2

-4

0

0

4

X2

5/2

½

1

½

0

0

S2

3/2

1/3

0

-1/2

1

10

0

0

2

0

4

X2

1

0

1

1

-1

2

X1

3

1

0

-1

2

10

0

0

2

0

El Valor del funcion entre la última interaccion y la anterior no varia a igual que el renglon 0, Esto significa que la solucion concide con una de las restriciones. d)

Ck

Xk

Bk

X1

X2

X3

X4

S1

S2

X4

20

0

1

-6

1

6

-1

X1

5

1

1

-1

0

1

0

100

0

2

-9

0

12

4

Un problema es no acotado cuando no se tiene ningun θ>= 0, en este ejemplo el caso de X3, lo que significa que el problema no tiene una region acotada. Una pareja algo calculadora decide contraer matrimonio. Entre sus relaciones,existe la costumbre de hacer en cada boda muchos regalos y espera que cada amigo de haga 7 regalos. Sus relaciones se pueden clasificar en ricos, medianos y pobres. Los ricos, hacen 4 regalos caros, 2 medianos y 1 barato; los medianos, hacen 3 regalos caros, 3 regalos medianos y uno barato; los pobres, hacen 1 regalo caro, 1 regalo mediano y 5 baratos. La nueva pareja, necesita al menos 5 regalos caros, 20 medianos pero no quiere más de cincuenta baratos. Piensan que el dinero gastado en la fiesta de bodas, reflejará la lista de invitados de manera que gastarán $75 en atender a cada invitado rico, $50 en atender a cada invitado mediano y $30 en atender a cada invitado pobre. Determinar que conjunto de invitados deberán concurrir para satisfacer sus deseos con un costo mínimo. Plantear el modelo matemático y resolverlo utilizando LINGO. Exprese los resultados en términos económicos.


12


Investigación Operativa model: Min=75*x1 + 50*x2 + 30*x3; 4*x1 +3*x2+x3 >=5; 2*x1 +3*x2+x3 >=20; x1 + x2 +5*x3 <=50; @Gin(x1); @Gin(x2); @Gin(x3); end Global optimal solution found at step: Objective value: Branch count: Variable X1 X2 X3 Row 1 2 3 4

5 350.0000 1

Value 0.0000000 7.000000 0.0000000

Reduced Cost 75.00000 50.00000 30.00000

Slack or Surplus 350.0000 16.00000 1.000000 43.00000

Dual Price 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000

x1= Invitados Ricos x2= Invitados Medianos X3= Invitados Pobres Se invitaran 7 persona de clase media con un costo de $350. Un carguero tiene tres compartimentos para almacenar granos: delantero, central y trasero. Estos compartimentos tienen un límite de capacidad tanto en peso como en espacio. Los datos se resumen en la tabla Compartimiento Capacidad de peso(toneladas) Capacidad de (pies cúbicos) Delantero

12

7000

Central

18

9000

Trasero

10

5000

espacio

Más aún, para mantener el barco balanceado, el peso de la carga en los respectivos compartimientos debe ser proporcional a su capacidad. Se tienen ofertas para cuatro cargamentos en un viaje próximo ya que se cuenta con espacio: Carga

Peso(toneladas)

Volumen(pies cúbicos)

Ganancia (u.m./tonelada)

1

20

500

320

2

16

700

400


13


Investigación Operativa Carga

Peso(toneladas)

Volumen(pies cúbicos)

Ganancia (u.m./tonelada)

3

25

600

600

4

13

400

290

Se puede aceptar cualquier fracción de estas cargas. El objetivo es determinar qué cantidad de cada carga debe aceptarse (si se acepta) y cómo distribuirla en los compartimentos para maximizar la ganancia del viaje. Plantear el modelo matemático y resolverlo utilizando LINGO. Exprese los resultados en términos económicos. Model: Max= 6400*(x11 + x21 + x31) + 6400*(x12 + x22 + x32) + 15000*(x13+ x23 + x33) + 3770*(x14 + x24 + x34); 20*x11 + 16*x12 + 25*x13 + 13*x14 <= 12; 20*x21 + 16*x22 + 25*x23 + 13*x24 <= 18; 20*x31 + 16*x32 + 25*x33 + 13*x34 <= 10; 500*x11 + 700*x12 + 600*x13 + 400*x14 <= 7000; 500*x21 + 700*x22 + 600*x23 + 400*x24 <= 9000; 500*x31 + 700*x32 + 600*x33 + 400*x34 <= 5000; x11+x21+x31 <= 1; x12+x22+x32 <= 1; x13+x23+x33 <= 1; x14+x24+x34 <= 1; 12*(x11 + x12 + x13 + x14)/ 7000*(x11 + x12 + x13 + x14) = 18*(x21 + x22 + x23 + x24)/ 9000*(x21 + x22 + x23 + x24); 10*(x31 + x32 + x33 + x34)/ 5000*(x31 + x32 + x33 + x34) = 18*(x21 + x22 + x23 + x24)/ 9000*(x21 + x22 + x23 + x24); end Local optimal solution found at step: Objective value: Variable X11 X21 X31 X12 X22 X32 X13 X23 X33 X14 X24 X34 Row 1 2 3 4 5


3 19153.76

Value 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.2729799 0.0000000 0.3760458 0.3052928 0.5353764 0.1593307 0.0000000 0.0000000 0.0000000 Slack or Surplus 19153.76 0.0000000 4.615589 0.0000000 6625.738

Reduced Cost -3247.313 -7306.451 -3247.313 0.0000000 -7306.451 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 -194.5159 -9936.451 -194.5166 Dual Price 1.000000 -811.8282 0.0000000 -811.8281 0.0000000

14


Investigación Operativa 6 7 8 9 10 11 12 13

8678.774 4641.170 1.000000 0.3509743 0.0000000 1.000000 0.0000000 0.0000000

0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 -1293.546 0.0000000 3323457. 3076923.

Con un beneficio total de $19153.76 se llevaran:

Compartimien Carga 1 to

Carga 2

1

27,30 %

2

53,54%

3

Carga 3

Carga 4

37,60%

30,53%

15,93%

Resuelva utilizando LINGO los ejercicios 1 a 5 de esta guía y todos los ejercicios de la guía anterior. Model: Max=120*x1 + 80*x2; 20*x1+10*x2<=500; x1<=40; x2<=10; end Global optimal solution found at step: Objective value:

1 3200.000

Variable X1 X2 Row 1 2 3 4

Value 20.00000 10.00000 Slack or Surplus 3200.000 0.0000000 20.00000 0.0000000

Reduced Cost 0.0000000 0.0000000 Dual Price 1.000000 6.000000 0.0000000 20.00000

Model: Max=20*x1 + 20*x2+25*x3; 80*x1 + 70*x2 + 100*x3 <= 13000000; 0.8*x1 + 0.2 *x2 + 0.7*x3<=4000; end Global optimal solution found at step: Objective value: Variable X1 X2 X3 Row 1 2 3


1 400000.0

Value 0.0000000 20000.00 0.0000000 Slack or Surplus 400000.0 0.1160000E+08 0.0000000

Reduced Cost 60.00000 0.0000000 45.00000 Dual Price 1.000000 0.0000000 100.0000

15


Investigación Operativa Model: Max=120*x1 + 80*x2; 20*x1+10*x2<=500; x1<=40; x2<=10; end Global optimal solution found at step: Objective value: Variable X1 X2 Row 1 2 3 4


model: max=5*x1+2*x2; 3*x1+2*x2<=2400; x2<=800; 2*x1<=1200; end Global optimal solution found at step: Objective value: Variable X1 X2 Row 1 2 3 4

Row 1 2 3 4 5



2 3600.000 Value 600.0000 300.0000

Slack or Surplus 3600.000 0.0000000 500.0000 0.0000000

model: max=0.06*x1 + 0.02*x2; x1+x2<= 20 ; x1<=16; x2<=8; 2*x2-x1<=0; end Global optimal solution found at step: Objective value: Variable X1 X2

1 3200.000


2 1.040000 Value 16.00000 4.000000

Slack or Surplus 1.040000 0.0000000 0.0000000 4.000000 8.000000

Reduced Cost 0.0000000 0.0000000 Dual Price 1.000000 0.2000000E-01 0.4000000E-01 0.0000000 0.0000000

16


Investigación Operativa Model: Max=120*x1 + 80*x2; 20*x1+10*x2<=500; x1<=40; x2<=10; end Global optimal solution found at step: Objective value: Variable X1 X2 Row 1 2 3 4


model: max=27/100*x1 + 4*x2; 1/25*x1 + 1/20*x2 <= 150; 7/10*x1 <= 1000; 3/4*x2 <= 1000; end Global optimal solution found at step: Objective value: Variable X1 X2 Row 1 2 3 4


1 3200.000 Reduced Cost 0.0000000 0.0000000 Dual Price 1.000000 6.000000 0.0000000 20.00000

2 5719.048 Value 1428.571 1333.333

Slack or Surplus 5719.048 26.19048 0.0000000 0.0000000


17


Investigación Operativa Práctico 3 Dualidad y Análisis de Sensibilidad Un productor agrícola del centro de la provincia cultiva actualmente trigo y maíz en su campo de 45 ha. Debido al alza de los precios, se produjo un exceso de demanda que limita el número de toneladas de trigo que puede vender a 140 y el número máximo de toneladas de maíz a 120. Cada hectárea cultivada produce 5 ton de trigo o 4 ton de maíz. Los precios del mercado para el trigo es de $30/ton y para el maíz $50/ton. (a)Plantear el problema lineal y resolverlo. Expresar en términos económicos la solución. (b)Expresar el económicamente.

problema

dual

asociado

e

interpretarlo

(c)Tres de los vecinos del productor se encuentran en dificultades económicas por lo que le ofrecieron tierras en arrendamiento. El vecino del norte le ofreció 5 ha. a $83/ha. El vecino del sur le ofreció 5 ha. a $130/ha. El vecino del oeste le ofreció 10 ha. a $110/ha. El vecino del sur le ofreció 2 ha. a $170/ha. ¿El productor debería aceptar alguna/s de las ofertas?¿Si es así, por qué? (d)El productor recibió recientemente una oferta para vender trigo en Rosario o Córdoba pero los compradores no se harán cargo de los costos de transporte. Transportar una tonelada de trigo hasta Rosario cuesta $19 y hasta Córdoba cuesta $32. ¿El productor debería aceptar alguna/s de las ofertas y, en caso de ser afirmativo, cuanto debería vender? (e)El productor recibió otra oferta para vender maíz en Rosario o Buenos Aires pero los compradores no se harán cargo de los costos de transporte. Transportar una tonelada de maíz hasta Rosario cuesta $10 y hasta Buenos Aires cuesta $13. ¿El productor debería aceptar alguna/s de las ofertas y, en caso de ser afirmativo, cuanto debería vender? a) x1 = toneladas de trigo x2 = tonelada de maiz Max Z= 30*x1 + 50*x2 s.a x1 <= 140 x2 <= 120 1/5* x1 + 1/4* x2 <= 45 Ck

Xk

Bk

X1

X2

S1

S2

S3

0

S1

140

1

0

1

0

0

0

S2

120

0

1

0

1

0

0

S3

45

1/5

1/4

0

0

1


18


Investigación Operativa Ck

Xk

Zj-Cj

Bk

X1

X2

S1

S2

S3

0

-30

-50

0

0

0

0

S1

140

1

0

1

0

0

50

X2

120

0

1

0

1

0

0

S3

15

1/5

0

0

-1/4

1

6000

-30

0

0

50

0

Zj-Cj 0

S1

65

0

0

1

5/4

-5

50

X2

120

0

1

0

1

0

30

X1

75

1

0

0

-5/4

5

8250

0

0

0

25/2

150

Zj-Cj

Se obtiene en beneficio de 8250 produciendo 75 toneladas de trigo y 120 de maiz, quedando un sobrante de de capacidad de mercado de 65 tonelada para el trigo. b) Min Z= 140 *y1 + 120*y2 + 45*y3 S.A y1 + 1/5*y3 >= 30 y2 + 1/4 * y3 >= 50 Ck

Xk

Bk

Y1

Y2

Y3

U1

U2

120

Y2

25/2

-5/4

1

0

5/4

-1

45

Y3

150

5

0

1

-5

0

8250

-65

0

0

-75

120

Zj-Cj c)

Se le compran tierras al vecino del norte y al vecino del sur. d)


19



No le conbiene aceptar ninguna de las oferta propuestas, ya que no son factible con la solucion presentada. e)

El intervalo de variacion de C2 no es acotado, de todos modos se rechazarian las propuestas plantedas.

Un criador de perros de caza brinda como componente principal de la dieta de sus animales dos alimentos balanceados (Alimento 1 y Alimento 2). Estos alimentos tienen como componentes principales


20


Investigación Operativa carbohidratos, grasas no saturadas y componentes ricos en calcio. El costo de los alimentos es de $50 y $25 el kg. respectivamente. Cada uno de los alimentos brinda la siguiente cantidad de los componentes esenciales: Cantidad por Kg.

Alimento 1

Alimento 2

Grasas no Saturadas

0,1

0,3

Carbohidratos

0,3

0,4

Comp. ricos en 0,3 0,1 Calcio Como mínimo la dieta de los animales requiere: 8 Kg. de Grasas no Saturadas, 19 Kg. De Carbohidratos, 7 Kg. de Componentes ricos en Calcio. (a)Plantear el problema lineal y resolverlo. Expresar en términos económicos la solución. (b)Expresar el económicamente.

problema

dual

asociado

e

interpretarlo

(c)Un cambio en la dieta reduce la cantidad mínima de Carbohidratos a 10Kg. ¿Permanecería óptima la solución actual? En caso de ser afirmativo cuál sería el costo? (d) Un cambio en la dieta incrementa la cantidad mínima de Grasas no saturadas a 10Kg.¿Permanecería óptima la solución actual? (e) Si el costo del Alimento 1 se incrementa a $81 ¿Puede asegurar que la solución aún incluirá Alimento 1? (f) Exprese los rangos de variación de los costos y los niveles de recursos del problema. Encuentre e interprete económicamente los precios sombra del problema primal. a) x1= Cantidad de alimento de tipo 1 x2= Cantidad de alimento de tipo 2

Min Z= 50*x1 + 25*x2 S.A 0.1*x1 + 0.3*x2 >=8 0.3*x1 + 0.4*x2 >=19 0.3*x1 + 0.1*x2 >=7 Ck

Xk

Bk

X1

X2

E1

E2

E3

U1

U2

U3

M

U1

8

0.1

0.3

-1

0

0

1

0

0

M

U1

19

0.3

0.4

0

-1

0

0

1

0

M

U1

7

0.3

0.1

0

0

-1

0

0

1

-M

-M

-M

0

0

0

Zj-Cj

34M


0.7M 0.8M -50 -25

21


Investigación Operativa Ck 25

Xk

Bk

X1

X2

X2

26.6

0.33

1

E1 -3.3

E2

E3

U1

U2

U3

0

0

3.33

0

0

-1

0

-1.3

1

1

-0.3

0

1

83.2 51.66M

0

0

3 M

U2

8.33

0.17

0

1.33

3 M

U3

4.33

0.27

0

0.33

0

-1 3

Zj-Cj

25

12.6 0.44 6M+66 M5 41.75 X2

47.7

0

1.66 M83.25

0.76

1

0

0.13

0

1

-M

-M

-2.5

0

0

2.5

0

0

-1

0.75

0

0

1

7 0

E1

6.26

-0.7 5

M

U3

4.33

0.27

0

0.33

0

-1

-0.3 3

Zj-Cj

25

1181 0.23 .75+ M-31 2.26M X2

0

0

0.25 M62.5

-M

-M

62.5 00.25M

0

67.6

3.06

1

0

0

-10

0

0

10

13.0

0.82

0

1

0

-3

-1

0

3

9.04

0.92

0

0

1

-4

0

-1

4

1690 .25

26.5

0

0

0

-250

-M

-M

1 0

E1 4

0

E2

Zj-Cj 25

X2

37.7

M 0

1

0

4 0

E1

4.98

-3.3

3.3

0

3.33

3 0

0

1

X1

9.83

1

0

0

-0.8

0.57

-1

0.92

1435

0

0

0

-0.5 7

1.09

-4.3

0

5 Zj-Cj

-3.3 0

9 50

250-

-28. 75

-135

-1.0

4.35

8 -M

-M

-M

Cada animal debe consumir 9.83 del alimento ipo 1 y 37.74 del tipo 2, para minibar los componentes principales de cada uno de los alimentos con un costa de Z= 1435, con un faltante de 4.98 de grasas no saturadas.

b) y1 = Cantidad de Grasa no satura y2 = Carbo hidratos. y3 = Componentes ricos en calcio


22


Investigación Operativa [Max] Z=

8*y1 + 19*y2 + 7*y3

S.A. 0.1*y1 + 0.3*y2 + 0.3*y3 <= 50 0.3*y1 + 0.4*y2 + 0.1*y3 <= 25 Ck 19

Xk Y2

7

Y3

ZjCj

Bk 28. 75 135

Y1 0.8 9 -0. 57 143 4.9 5 8

Y2 1

Y3 0

0.

1

0

0

S1 S2 1.9 -3. 33 -4. 3.3 35 0 9.8 37. 3 74

Para que la dieta de beneficio se necesita consumir de cada alimento los siguientes componente: 28.75 Kg de Carbo Hidratos y 135 de Componente ricos en calcio, para obtener un total de 1435 Kg de alimento. Con dicha dieta nos queda un sobrante de $9.83 del alimento 1 y $37.74 del alimento 2. Para consumir Grasa no Satura se debe disminuir su dieta en 4.93 Kg.

Dorian Auto fabrica autos y camionetas de lujo para hombres y mujeres. La empresa desea hacer avisos de 1 minuto en programas de humor y en partidos de fútbol. Cada aviso en un programa de humor cuesta $50000 y es visto por 7 millones de mujeres y 2 millones de hombres. Cada aviso en un partido de fútbol cuesta $10000 y es visto por 2 millones de mujeres y 12 millones de hombres. Cómo puede hacer Dorian para hacer llegar su aviso a 28 millones de mujeres y 24 millones de hombres con el menor costo? (a) Resuelva mediante simplex el problema dado. (b) Basándose en la última tabla del simplex calcule la última tabla del dual. (c) Plantee el modelo matemático del problema dual e interprete lo económicamente. (d) Encuentre el intervalo de los valores del costo de un comercial en programas de humor, para los cuales la base permanece óptima. (e) Encuentre el intervalo de los valores del costo de un comercial en partidos de fútbol, para los cuales la base permanece óptima. (f) Encuentre el intervalo de los valores de la cantidad de hombres y mujeres a los cuales hacer llegar el aviso para los cuales la base permanece óptima. (g) Encuentre los precios sombra de cada restricción. Qué significan?

Ck

Xk

Bk

X1

X2

E1

E2

U1

U2

M

U1

28

7

2

-1

0

1

0

M

U2

24

2

12

0

-1

0

1


23



Xk

Zj-Cj

Bk

X1

X2

E1

E2

52M

9M50000

14M10000

-M

-M

U1

U2

0

0

M

U1

24

20/3

0

-1

1/6

1

-1/6

10000

X2

2

1/6

1

0

1/12

0

1/12

24M+20 20/3M 000 – 145000 /3

0

-M

1/6M0 2500/3

-7/ 6M+250 0/3

Zj-Cj

50000

X1

18/5

1

0

-3/20

1/40

3/20

-1/40

100000

X2

7/5

0

1

1/40

-7/80

-1/40

7/80

194000

0

0

-7250

375

7250

-375

Zj-Cj 0

E2

144

40

0

-6

1

6

-1

10000

X2

14

7/2

1

-1/2

0

1/2

0

-15000

0

-50000 0

Zj-Cj

5000-M -M

Dorian Auto fabrica autos y camionetas de lujo para hombres y mujeres. La empresa desea hacer avisos de 1 minuto en programas de humor y enpartidos de fútbol. Cada aviso en un programa de humor cuesta $50000 y es visto por 7 millones de mujeres y 2 millones de hombres. Cada aviso en un partido de fútbol cuesta $100000 y es visto por 2 millones de mujeres y 12 millones de hombres. Cómo puede hacer Dorian para hacer llegar su aviso a 28 millones de mujeres y 24 millones de hombres con el menor costo? (a) Resuelva mediante simplex el problema dado. (b) Basándose en la última tabla del simplex calcule la última tabla del dual. (c) Plantee el modelo matemático del problema dual e interpretelo económicamente. (d) Encuentre el intervalo de los valores del costo de un comercial en programas de humor,para los cuales la base permanece óptima. (e) Encuentre el intervalo de los valores del costo de un comercial en partidos de fútbol, para los cuales la base permanece óptima. (f) Encuentre el intervalo de los valores de la cantidad de hombres y mujeres a los cuales hacer llegar el aviso para los cuales la base permanece óptima. (g) Encuentre los precios sombra de cada restricción. Qué significan? a) x1= Cantidad de Mujeres(en miloones) x2= Cantidad de Hombres (en millones) [Min] Z= 50.000*x1 + 100.000*x2 s.a. 7*x1 + 2*x2 >=28 2*x1 + 12*x2 >= 24 x1>=0 x2>=0


24



Xk

Bk

X1

X2

-e1

-e2

U1

U2

M

U1

28

7

2

-1

0

1

0

M

U2

24

2

12

0

-1

0

1

52M

9M50000

14M100000

-M

-M

0

0

50000

X1

4

1

2/7

-1/7

0

1/7

0

M

U2

16

0

80/7

2/7

-1

-2/7

1

200000 -16M

0

-8571, -50.00 -M 43+80/ 0/ 7M 7+2/7M

50000/ 0 7+55/7 M

50000

X1

18/5

1

0

-3/20

1/40

3/20

-1/40

100000

X2

7/50

0

1

1/40

-7/80

-1/40

7/80

320000

0

0

-5000

-7500

5000-M 7500-M

b)

Ck

Xk

Bk

Y1

Y2

S1

S2

28

Y1

5000

1

0

3/20

-1/40

24

Y2

7500

0

1

-1/40

7/80

320000

0

0

18/5

7/50

c)y1= pesos por minutos en programa de humor. y2= pesos por minutos en programa de futbol. [Max] Z= 28*y1+24*y2 s.a 7*y1 + 2*y2 <=50000 2*y1 + 12*y2 <= 100000 El funcional indica la contribucion a la ganancia por unidad de recursos por ser 28 milones de hombres los requeridos para que miren el aviso en programa de humor y 24 milones de mujeres los requeridos para que mieren el aviso en partidos de futbol. La restriciones indican la contribucion actual a la ganancia por unidad de recursos, es decir que por 7 milones de hombre y 2 millones de mujeres que miren el aviso en programa de humor dice que esta debe se menor o igual que lo que cuesta un 1 en programa de humor. d)


25



e)

f)


26


Investigación Operativa g)l1 = 5000 es lo tengo que cobrar si quiero que un millon mas de mujeres miren el aviso. l2= 7500 es lo que tengo que cobrar si quiero que un millon de hombres miren el aviso. Dakota Muebles fabrica escritorios, mesas y sillas. Cada producto necesita madera, trabajo de carpintería y trabajo de acabado; como se describe en la tabla. Como máximo se pueden vender 5 mesas por semana. Maximice la ganancia semanal. Recurso Escritorio Mesa Silla Disponibilidad Madera(pies)

8

6

1

48

Horasdeacabado

4

2

1,5

20

Horasdecarpintería 2

1,5

0.5

8

Demandamáxima

ilimitada

5

ilimitada

Precio($)

60

30

20

(a) Resuelva mediante simplex el problema dado. (b) Demuestre que la base actual permanecerá optima si c3 (el precio de las sillas) satisface 15<= c3 <= 22.5. (c) Si el precio de los escritorios es 55, demuestre que la nueva solución óptima incluirá la producción de escritorios. (d) Encuentre e interprete los precios sombra. (e) Si se dispusieran de 18 horas de acabado, ¿cúal sería el ingreso de Dakota? (f) Si se dispusieran de 30 horas de carpintería, ¿porqué no se podría utilizar los precios sombra de la restricción de carpintería para determinar el nuevo valor de Z? (g) Dakota muebles planea producir mesas para PC’s. Una mesa para PC se vende a $36 y requiere 6 pies de madera, 2 horas de acabado y 2 horas de carpintería. La empresa tendría que fabricar algunas unidades de este producto? a) [Max] Z= 60*x1 +30*x2 + 20*x3 S.A. 8*x1 + 6*x2 + 1*x3 <=48 4*x1 + 2*x2 + 1,5*x3 <=20 2*x1 + 1,5*x2 + 0,5*x3 <= 8 x2 <= 5 x1,x2,x3 >= 0

Ck

Xk

Bk

X1

X2

X3

S1

S2

S3

S4

0

S1

48

8

6

1

1

0

0

0

0

S2

20

4

2

1,5

0

1

0

0

0

S3

8

2

1,5

0,5

0

0

1

0

0

S4

5

0

1

0

0

0

0

1

0

-60

-30

-20

0

0

0

0

Zj-Cj 0

S1

16

0

-2

0

1

2

-8

0

0

S2

4

0

-1

0,5

0

1

-2

0


27



Xk

Bk

X1

X2

X3

S1

S2

S3

S4

60

X1

4

1

0,75

0,25

0

0

0,5

0

0

S4

5

0

1

0

0

0

0

1

240

0

15

-5

0

0

30

0

Zj-Cj 0

S1

8

0

-2

0

1

2

-8

0

20

X3

8

0

-2

1

0

2

-4

0

60

X1

2

1

1,5

0

0

-0,5

1,5

0

0

S4

5

0

1

0

0

0

0

1

280

0

5

0

0

10

10

0

Zj-Cj b)

El intervalo es de 20 <= C3 <= 22.5, por lo cual es es posible el intervalo de 15<= C3<=22.5. d)Precios Sombras S2 = 10 : Es lo que nos constaria introducir una Hora mas de acabado S3= 10 : Es lo que nos constaria introducir una Hora mas de carpintería.


28


Investigación Operativa e)

El indreso de Dakota si variamos C2 a 18 es de Z= $260. c)


29


Investigación Operativa El interpretarlo de ∆ = [0,20] , C1 puede varriar entre [60,80], lo cual le precio de los escritorio a 55 no puede ser considerado en esta solucion obtina.


30


Investigación Operativa Practico 4 Transporte y Asignación Un banco tiene dos locaciones en las cuales se procesan cheques. El sitio 1 puede procesar 10000 cheques al día, y el sitio 2 puede procesar 6000 cheques al día. El banco procesa tres tipos de cheques: cheques de ventas, cheques de salarios y cheques personales. Los costos (en centavos) de procesar cada tipo de cheque dependen del sitio deprocesamiento: Sitio 1 Sitio 2 Cheques de Ventas

5

3

Cheques de Salarios

4

4

Cheques Personales

2

5

Cada día hay que procesar 5000 cheques de cada tipo. Resuelva el problema minimizando el costo total diario de procesar los cheques. xij es la cantidad de cheques a procesas de tipo i en el sitio j. Min Z= 5*x11 + S.A. x11 + x12 x21 + x22 x31 + x32 x11 + x21 x12 + x22 Xij >= 0

3*x12 + 4* x21 + 4*x22 + 2*x31 + 5*x32 = = = + +

5000 5000 5000 x31 <= 10000 x32 <= 6000

5

5000

3

4000

4

1000

4

5000

2

5

1000

0

0

Este problema esta resulto por la técnica de Vogëll Análisis de Optimo C*ij 3 3 4

4

2

2

0

0

C*ij - Cij


31


Investigación Operativa -

0

0

0

0

-

0

0

Solución Optima es: x12 = 5000 x21 = 4000 x22 = 1000 x31 = 5000 x41 = 1000 Con un costo de Z= 45000 Para determinar su programa de transportes, una empresa fabricante de automóviles nos da los siguientes datos: los vehículos se fabrican en tres plantas (Córdoba, Campana y Rosario) y se tienen que enviar a tres grandes centros distribuidores (Car One, Gral. Rodríguez y Casares), siendo los costes de transporte por vehículo, las capacidades de producción de cada planta y las demandas de distribución de cada centro las que se dan en la tabla: Car One Gral.Rodriguez

Casares

Córdoba

1

2

1

20

Campana

0

4

5

40

Rosario

2

3

3

30

30

20

20

Plantee el modelo de PL que minimiza los costos. Resuelva el problema ¿Cuál es la política que minimiza los costos?¿Cuántos vehículos quedarán sin transportar en cada planta de fabricación? Exprese los resultados en términos económicos. Xij es la cantidad distribución Min Z= x11 + 2*x12 + S.A x11 + x12 + x13 x21 + x22 + x23 x31 + x32 + x33 x11 + x21 + x31 x12 + x22 + x32 x13 + x23 + x33 Xij >= 0


transporta

de

la

x13 + 4*x22 + 5*x23 + <= <= <= >= >= >=

planta

i

la

centro

de

2*x31 + 3*x32 + 3*x33

20 40 30 30 20 20

32


Investigación Operativa Xij (1) 1 €

2

20

1

0 0

30

0

30 + €

4

5

5000

2

10–2€

3

3

C*ij -2 2

1

-1

0

4

3

1

1

2

2

0

20+3€

0

C*ij - Cij - 0 0 0

0

-

+

-

0

-

0

Xij (2) 1 €

2

20

1

30

4

0

5

10+€

0

3

10+3€

0

0 2

20-2€

C*ij -1 2

1

-1

0

3

2

0

0

3

2

0

3

0

C*ij - Cij - 0 0 0

-

-

0

-

0

-

0

Solución optima es: x12 = 0 x13 = 20 x21 = 30 x24 = 10 x32 = 10 x33 = 20


33


Investigación Operativa Con un costo de Z= 80 Desde la planta de Córdoba se trasportan 20 vehículos al Centro de distribución Casares. Desde la planta de Campana se transportan 30 vehiculos al centro de distribución Car One, quedando 10 vehiculos que no son ubicados en ningun centro de distribución. Desde la planta de Rosario se transportan 10 vehiculos al Centro de Distribución General Rodríguez y 20 a Casares. Ejercicio extraído del Examen Final tomado el 19/12/2003. Una distribuidora de frutas de la ciudad tiene un acuerdo con tres huertas que le proveen 200, 300 y 500 kilogramos mensuales de fruta respectivamente. La fruta se vende a cuatro mercados de la ciudad, cuyas demandas son: 200, 100, 200 y 400 Kg. respectivamente. Los costos de transporte de la fruta entre las distintas huertas y los mercados (en pesos por kilogramo de fruta) son: Mercado1 Mercado2 Mercado3 Mercado4 Huerta1

0.5

0.7

0.5

0.3

Huerta2

1.2

1.0

0.9

0.1

Huerta3

2.0

0.4

0.1

0.5

En el acuerdo firmado con las huertas se dispone que compramos la totalidad de sus producciones teniendo que tirar la fruta que no vendamos al pudrirse. Los precios a los que compramos la fruta en cada huerta son respectivamente 10, 9 y 10 pesos por kilo. Los precios de venta a los mercados son 10, 12, 15 y 11 pesos por kilogramo respectivamente. Modelizar el problema como uno de transporte (Matricial y Matemáticamente). Obtener la primera SBF mediante Vögel, plantear los resultados de manera clara e interpretarlos económicamente. Max Z= -0.5*x11 + 1.3*x12 + 4.5*x13 + 0.7* x14 – 0.2*x21 + 2*x22 + 5.1*x23 + 1.9*24 – 2*x31 + 1.6*x32 + 4.9*x33 + 0.5*x34 S.A. x11 + x12 + x13 + x14 = 200 x21 + x22 + x23 + x24 = 300 x31 + x32 + x33 + x34 = 500 x11 + x21 + x31 >= 200 x12 + x22 +x32 >= 100 x13 + x23 + x33 >= 200 x14 + x24 + x34 >= 400 Xij > 0 -0.5

1.3

4.5

0.7

200

-0.2

2

5.1

1.9

300

-2

1.6

4.9

0.5

500

200

100

200

400

Se debe transformas el problema de maximización a uno de minización, para lo cuál se debe transformar la tabla anterior en:


34


Investigación Operativa 5.6

3.8

0.6

4.4

200

5.3

3.1

0

3.2

300

7.1

3.5

0.2

4.6

500

200

100

200

400

Xij (1) 100 5.6

3.8

0.6

5.3

3.1

0

300

3.2

0.2

100

4.6

100

7.1

100

3.5

200

4.4

100

0 0

0

0

La Solución es: x11 = 100 x15 = 100 x24 = 300 x31 = 100 x32 = 100 x33 = 200 x34 = 100 Con un beneficio de Z= 2470 La huerta 1 vende 100 unidades al mercado 1, quedándole 100 unidades sin vender. La huerta 2 vende 300 unidades al mercado 4. La huerta 3 vende 100 unidades la mercado 1, 100 unidades mercado 2, 200 unidades al mercado 3 y 100 unidades al mercado 4. Tres plantas generadoras de energía eléctrica, con capacidades de 25, 40 y 30 millones de kilowatts-hora (kWh), suministran electricidad a tres ciudades cuyas demandas máximas son de 30, 35 y 25 millones del kWh. El costo en unidades monetarias (u.m.) del transporte de la corriente eléctrica a las diferentes ciudades, por millón de kWh, es como sigue: Ciudad 1 2 3 Planta 1 600 700 400 Planta 2 320 300 350 Planta 3 500 470 450 Durante el mes de agosto, se incrementa en un 20% la demanda en cada una de las tres ciudades. Para satisfacer el exceso de demanda, la compañía eléctrica, debe comprar energía eléctrica adicional de otra red, a un precio de 1 000 unidades monetarias por millón de kWh. Sin embargo, ésta red no está conectada a la ciudad número tres. Formular el problema como uno de transporte, con el fin de establecer el plan de distribución más económico desde el punto de vista de la compañía eléctrica.


35


Investigación Operativa Ciudad

1

2

3

Planta 1 600 700 400 25 Planta 2 320 300 350 40 Planta 3 500 470 450 30 30

Ciudad

1

35

2

25

3

Planta 1 600 700 400 25 Planta 2 320 300 350 40 Planta 3 500 470 450 30 Planta 4 100 100 M 36

42

30

13 100

Xij 25 40 23 2

5

13

C*ij 450 420 400 330

300 280

500

470 450

1000 970 950 C*ij-Cij - - 0 10 0 0

0 0

0

- -

X(2)ij 25 23 17 15 5 13 C*ij


36


Investigación Operativa 440

420 400

320

300 280

490

470 450

1000 980 960 C*ij-Cij - - 0 0 0 - 0 0 0 - La solucion optima es: x13=25 x21=23 x22=17 x32=15 x33=5 x41=13 Se deben suministran 25 kWh de la panta y a la ciudad 3, 23 kWh a la ciudad 1 y 17 kWh a la ciudad 2 desde la planta 2, 15 kWh a la ciudad 2 y 5 kWh a la ciudad 3 desde la planta 3 y 13 kWh desde la panta 4 a la ciudad 1; con un costo total de Z=$44760 Una empresa produce equipos musicales para automóviles en cuatro países (Burundi, Kenia, Ruanda y Uganda) que posteriormente envía a tres fábricas de automóviles situadas en Valladolid, Hamburgo y Milán. Hasta ahora la producción total no ha sido capaz de satisfacer la demanda total, por lo que la empresa ha decidido construir una nueva planta, ya sea en Tanzania o en Zimbabwe. Las demandas, capacidades de producción y los costos unitarios de transporte son:

Formule un modelo de PL que permita determinar la mejor ubicación de la nueva planta. Resuelva el problema para determinar cuál es la ubicación de la nueva planta y el costo total de operación del programa de producción y transporte.


37


Investigación Operativa 63 15000+€ 61

64

0

54 2€

51

0

51

53 10000+€

52

0

62 5000-€

62 10000-3€ 63 5€

0

10000+€ 49

52

51

0

74

70

75 10000+€ 0

10000-€ 50

C*ij 61 61 62 0 50 50 51 -11 51 51 52 -10 62 62 63 0 49 49 50 -12 61 61 62 0 C*ij-Cij - 0 - 0 0 - 0 0 - 0 0 - - - - - 0 La solucion optima es: X12=15000 x21=10000 x23=0 x33=10000 x42=5000 x43=10000 x44=0 x51=10000 x64=10000 La nueva planta $3365000.


se

ubicara

en

Tanzania.

Con

un

costo

total

de

38


Investigación Operativa Ejercicio extraído del Examen Parcial tomado el 27/05/2003. Una compañía de limpieza tiene cinco empleadas. Para limpiar una casa se necesita:limpiar con aspiradora, limpiar la cocina, limpiar el baño y ordenar. Los tiempos que le lleva a cada empleada llevar a cabo cada tarea se enumeran a continuación:

Resolver el problema teniendo en cuenta que a las empleadas se les paga por hora. 6 5 2 1 M 9 8 7 3 M 8 5 9 4 M 7 7 8 3 M 5 5 6 4 M 5 5 2 1 M

1 0 0 0 0 0 4 3 5 2 0 2 3 0 7 3 0 3 2 2 6 2 0 2 0 0 4 3 0 0

1 0 0 0 0 2 1 3 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 3 0 Como la cantidad de lineas esenciales es igual al orden matriz original; esto indica que es una solucion optima. Solucion optima:

de

la

x13:1 x24:1 x32:1 x45:1 x51:1 A la sirvienta 1 le asigno la limpieza del baño. A la sirvienta 2 le asigno el ordenamiento.


39


Investigación Operativa A la sirvienta 3 le asigno la limpieza de la cocina. A la sirvienta 4 no le asigno ninguna tarea. A la sirvienta 5 le asigno la tarea de aspirar. Ejercicio extraído del Examen Parcial tomado el 19/07/2003. El seleccionador del equipo de natación de Argentina debe decidir los nadadores que participarán en la prueba de relevos de 200 m. Como muchos de los mejores nadadores son rápidos en más de un estilo, le resulta difícil decidir quién nadará cada estilo. Los tiempos de los cinco mejores nadadores en cada uno de los estilos son:

El seleccionador quiere determinar el equipo de relevos que realizará el mejor tiempo.Formule un modelo de PL que permita solucionar el problema. Resuelva el problema y exprese claramente los resultados. 37.7 32.9 33.8

37

35.4

43.4 33.1 42.2 32.7 41.8 33.3 28.5 38.9 30.9 33.6 29.2 26.4 29.6 28.5 31.1 M

M

M

M

M

29.2 26.4 29.6 28.5 31.1 8.5

6.5

4.2

8.5

4.3

4.2

14.2

6.7

12.6

6.2

10.7

6.2

4.1

2.1

9.3

2.4

2.5

2.1

0

0

0

0

0

0

M-29.2 M-26.4 M-29.6 M-28.5 M-31.1 M-31.1 4.3 2.3 0

4.3 0.1

8

0.5 6.4 0

2

0

7.2 0.3 0.4

0

0

0

0

4.5 0

1.9 4.7 1.7 2.6 0 La solucin es: x13=1 x24=1 x32=1 x41=1 x55=1


40


Investigación Operativa Al estilo crol se la asigno al Fernandez. Al estilo espalda se le asigno a Neuss. Al estilo mariposa se la asigno a Rizzo. Al estilo libre se lo asigno a blanco. Asignacion x55 no se la considera porque es fisticio. LE tiempo obtino empleado por los cuatro nadadores seleccionador de natación de Argentina es de 126,2m.

para

el

Un escritor ha completado el borrador de 4 capítulos y puede asignar el mecanografiado acualquiera de las 4 secretarias del equipo de la editorial, ¿cuál sería el costo horario mínimo de mecanografiar los 4 capítulos si los tiempos de mecanografiado de las 4 secretarias se dan en la tabla adjunta?

2

1.7 3.5 1.8

1.8 2.3 3.3 1.7 3.1 1.9 4.2 1.6 1.4 2

4.1 1.7

1.4 1.7 3.3 1.6

0.6 0

0.2 0.2

0.4 0.6 0

0.1

1.7 0.2 0.9 0 0

0.3 0.8 0.1

La solucin optima es: x12=1 x23=1 x34=1 x41=1 Se le asigna capitulo 2 a Ana, se le asigna capitulo 3 a Maria, se le asigna capitulo 4 a Cristina,se le asigna el capitulo 1 a Marta, Con un timpo minuno de 8 hs.


41


Investigación Operativa Practico 5 Programacion lineal Entera Una empresa manufacturera transforma materia prima en dos productos distintos. Esta empresa dispone de 6 unidades de materia prima y 28 horas de tiempo productivo. La manufactura de una unidad del producto I requiere 2 unidades de material y 7 horas de tiempo,mientras que la producción del producto II requiere 1 unidad de material y 8 horas de tiempo.Los precios de venta de los producto I y II son respectivamente $120 y $80, respectivamente. Determínese el número de productos de cada tipo que ha de producir la empresa para maximizar su beneficio. Resuelva el problema empleando un algoritmo de Branch & Bound(Bifurcación y Acotación) y el algoritmo de corte de Gomory. [Max] Z=120*x1+80*x2 s.a. 2*x1+x2 <=6 7*x1+8*x1<=28 x1>=0 x2>=0

Ck

Xk

Bk

X1

X2

S1

S2

0

S1

6

2

1

1

.0

0

S2

28

7

8

0

1

0

-120

-80

0

0

120

X1

3

1

½

½

0

0

S2

7

0

9/2

-7/2

1

360

0

-20

60

0

120

X1

20/9

1

0

8/9

-1/9

80

X2

1.56

0

1

-7/9

2/9

391.46

0

0

44.4

4.4

X1 X2 S1

S2

X1 1

0

8/9

-1/9 20/9

X2 0

1

-7/9

2/9

0

0

400/9 10/9 391.46

14/9

Por x1 x1 + 8/9 -1/9S1 = 20/9 x1 + (0+8/9)S1 – (1-8/9)S2 = 2 + 2/9 8/9S1 + 8/9S2 >= 2/9 8S1 + 8S2 = 2 -8S1 – 8S2 + S3 = -2


42


Investigación Operativa X1 X2 S1

S2

S3

X1 1

0

8/9

-1/9 0

20/9

X2 0

1

-7/9

2/9

0

14/9

S3 0

0

-8

-8

1

-2

0

0

400/9 40/9 0

X1 X2 S1 S2 S3 X1 1

0

-1 0

X2 0

-1 -1 0

1/36

3/2

S2 0

0

1

-1/8

¼

0

0

40 0

5/9

390

1

-1/72 9/4

Por X2 X2 – S1 + 1/36S3 = 3/2 1/36S3 = ½ 1/18 S3 = 1 -1/18 S3 + S4 = -1

X1 X2 S1 S2 S3 X1 1

0

X2 0

-1 0

S4

-1/72 0

9/4

-1 -1 0

1/36

0

3/2

S2 0

0

1

1

-1/8

0

¼

S4 0

0

0

0

-1/8

1

-1

0

0

40 0

5/9

0

X1 X2 S1 S2 S3 S4 X1 1

0

-1 0

0

-1/4 5/2

X2 0

-1 -1 0

0

1/2

S2 0

0

1

1

0

-9/4 5/2

S3 0

0

0

0

1

-18

18

0

0

40 0

0

10

380

1

Por X1 x1 + S1 – ¼ S4 = 5/2 3/4S4 =1/2 -3/2 S4 + S5 =-1

X1 X2 S1 S2 S3 S4

S5

X1 1

0

-1 0

0

-1/4 0

5/2

X2 0

-1 -1 0

0

1/2

1


0

43


Investigación Operativa X1 X2 S1 S2 S3 S4

S5

S2 0

0

1

1

0

-9/4 0

5/2

S3 0

0

0

0

1

-18

0

18

S5 0

0

0

0

0

-3/2 1

-1

0

0

40 0

0

10

0

X1 X2 S1 S2 S3 S4 S5 X1 1

0

-1 0

0

0

-1/6 8/3

X2 0

-1 -1 0

0

0

1/3

S2 0

0

1

1

0

0

-3/2 4

S3 0

0

0

0

1

0

-12

S4 0

0

0

0

0

1

-2/3 2/3

0

0

40 0

0

0

20/3 333.3

Por -S1 1/3 -S5

2/3

30

X2 + 1/3 S5 =2/3 S5 = 2/3 + S6 = -2

X1 X2 S1 S2 S3 S4 S5

S6

X1 1

0

-1 0

0

0

-1/6 0

8/3

X2 0

-1 -1 0

0

0

1/3

2/3

S2 0

0

1

1

0

0

-3/2 0

4

S3 0

0

0

0

1

0

-12

30

S4 0

0

0

0

0

1

-2/3 0

2/3

S6 0

0

0

0

0

0

-1

-2

0

0

40 0

0

0

20/3 0

0

0

1

333.3

X1 X2 S1 S2 S3 S4 S5 S6 X1 1

0

-1 0

0

0

0

-1/6 3

X2 0

-1 -1 0

0

0

0

1/3

0

S2 0

0

1

1

0

0

0

3/2

1

S3 0

0

0

0

1

0

0

-12

54

S4 0

0

0

0

0

1

0

-2/3 -2/3

S5 0

0

0

0

0

0

1

-1

0

0

40 0

0

0

0

20/3 360


2

44


Investigación Operativa La solucion Optima para un PLE es X1= 3 y X2= 0, con una ganacia del Z=360 Un empresario tiene dos almacenes de lámparas eléctricas que contienen respectivamente 1200 y 100 lámparas. Este empresario suministra 3 centros comerciales cuyas demandas respectivas son 100, 700, y 500 lámparas. Los costes de transporte se muestran en la tabla siguiente.

Determine el número de lámparas que se deben mandar de cada almacén a cada centro comercial para, suministrando la demanda, el beneficio del empresario sea máximo. Resuelva el problema empleando un algoritmo de Branch & Bound (Bifurcación y Acotación) y el algoritmo de corte de Gomory. Min Z= 14*x11 + 13*x12 + 11*x13 + 13*x21 + 13*x22 + 12* x23 s.a. X11 + x12 + x13 <= 1200 x21 + x22 + x23 <= 100 x11 + x21 >= 100 x12 + X22 >= 700 x13 + x23 >= 500 xij i= 1..2 y j= 1..3 >= 0 14

13

11

1200

13

13

12

100

100 700 500 1300 Xij 100 600 500 100 C*ij-cij 0 0 0 -

0

-

La solucion Optima es: x11 = 100 x12 = 600 x13 = 500 x22 = 100 Con un costo total de Z= 14700 NO es necesario aplicar ningun metodo para trasformar el problema lineal relajado a un problema lineal entero, ya que las variables de decision son eneteras.


45


Investigación Operativa Una empresa construye dos tipos de chalet, A y B. Dispone de una superficie edificable de 1190 m2(excluidos los espacios de separación entre chalets). La ganancia en los chalets es de 700 u.m. en el tipo A y 1000 u.m. en el tipo B. Cada chalet A ocupa 140 m2 de planta y cuesta 7 u.m., mientras que cada chalet B ocupa 80 m2 de planta y cuesta 13 u.m. ¿Cuántos chalets de cada tipo deberá construir la empresa con el fin de maximizar el beneficio? Model: Max=693 * x1 + 987 * x2; 140 * x1 + 80 * x2 <= 1190; @Gin(x1); @Gin(x2); end Global optimal solution found at step: Objective value: Branch count: Variable X1 X2 Row 1 2

0 13818.00 0

Value 0.0000000 14.00000 Slack or Surplus 13818.00 70.00000

Reduced Cost -693.0000 -987.0000 Dual Price 0.0000000 0.0000000

Una compañía quiere poner en marcha dos tipos de plantas industriales A y B. El beneficio esperado unitario semanal de una planta tipo A es de 4 u.m. y el de una de tipo B es de 3 u.m. Se necesita conocer cuántas plantas de cada tipo puede poner en funcionamiento sabiendo que en cada planta tipo A deben trabajar un economista y dos ingenieros y en cada una de tipo B lo deben hacer tres economistas y un ingeniero. Actualmente la compañía cuenta con 15 economistas y 18 ingenieros. (a) Plantea y resuelve un modelo lineal para maximizar el beneficio semanal. (b) Sabemos que cada planta A tiene una producción de 600 Kg y que cada planta B tiene una producción de 1800 Kg. La compañía pretende que su producción global ascienda por lo menos a 5400 Kg, pero la política económica del gobierno pretende que no supere esa cantidad y a cambio dará una subvención de 2 u.m. Plantea un modelo lineal en el que se contemplen ambas posturas y resuélvelo.


46


Investigación Operativa a) Model: Max=4*x1 + 3*x2; x1 + 3*x2 <= 15; 2*x1 + x2 <= 18; @Gin(x1); @Gin(x2); end Global optimal solution found at step: Objective value: Branch count: Variable X1 X2 Row 1 2 3

2 38.00000 1 Value 8.000000 2.000000

Slack or Surplus 38.00000 1.000000 0.0000000

Reduced Cost 0.0000000 -1.000000 Dual Price 0.0000000 0.0000000 2.000000

b) Model: Max=2402*x11 + 2400*x12 + 5402*x21 + 5400*x22; x11 + x12 + 3*(x21+x22) <= 15; 600*x11 + 1800*x21 - 600*x12 - 1800*x22 = 5400; @Gin(x11); @Gin(x12); @Gin(x21); @Gin(x22);2*(x11+x12) + x21 + x22 <= 18; end Global optimal solution found at step: Objective value: Branch count: Variable X11 X12 X21 X22 Row 1 2 3 4

20 30616.00 6

Value 6.000000 0.0000000 2.000000 1.000000 Slack or Surplus 30616.00 0.0000000 0.0000000 3.000000

Reduced Cost 0.0000000 0.0000000 1804.000 1800.000 Dual Price 0.0000000 2401.000 0.1666667E-02 0.0000000

Un armador tiene un carguero con capacidad de hasta 700 toneladas. El carguero transporta contenedores de diferentes pesos para una determinada ruta. En la ruta actual el carguero puede transportar algunos de los siguientes contenedores: Contenedor c1 C2 c3 c4 c5 c6 C7 c8 c9 c10 Peso

100 155 50 112 70 80 60 118 110 55

El analista de la empresa del armador ha de determinar el envío (conjunto de contenedores)que maximiza la carga transportada.


47


Investigación Operativa Model: Max=C1+C2+C3+C4+C5+C6+C7+C8+C9+C10; 100*C1 + 155*C2 + 50*C3 + 112*C4 + 70*C5 +80*C6 +60*C7 +118*C8 + 110*C9 +55*C10 <= 700; @Bin(C1); @Bin(C2); @Bin(C3); @Bin(C4); @Bin(C5); @Bin(C6); @Bin(C7); @Bin(C8); @Bin(C9); @Bin(C10); end

Una compañía de confecciones textiles puede fabricar tres tipos de prendas para caballero:camisas, calzoncillos y pantalones. Para poder fabricar cada tipo de ropa debe alquilar la maquinaria apropiada. Hay que rentar la maquinaria requerida para fabricar cada tipo de ropa,a la siguiente tarifa: maquinaria para camisas, $200 por semana; maquinaria para calzoncillos,$150 por semana; maquinaria para panatalones, $100 por semana. La fabricación de cada tipo de ropa también requiere de tela y trabajo como se detalla a continuación: Trabajo (Horas) Tela (m2) Camisas

3

4

Calzoncillos 2

3

Pantalones

4

6

Cada semana se disponen de de 150 horas de trabajo y 160 m2 de tela. El precio de venta y los costos variables de los productos se detallan a continuación: Precio de Venta Costo Variable ($/unidad) ($/unidad) Camisas

12

6

Calzoncillos 8

4

Pantalones

8

15

Formule un PLE que maximize las ganacias semanales de la compañía.


48


Investigación Operativa Model: Max= 6*x1 + 8*x2 + 7*x3 -200*y1 - 150*y2 -100*y3; 3*x1 + 2* x2 + 6*x3 <= 150; 4*x1 + 3* x2 + 4*x3 <= 160; x1 - 1000*y1 <= 0; x2 - 1000*y2 <= 0; x3 - 1000*y3 <= 0; @Bin(y1); @Bin(y2); @Bin(y3); @Gin(x1); @Gin(x2); @Gin(x3); End Global optimal solution found at step: Objective value: Branch count: Variable X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3 Row 1 2 3 4 5 6

9 274.0000 0

Value 0.0000000 53.00000 0.0000000 0.0000000 1.000000 0.0000000 Slack or Surplus 274.0000 44.00000 1.000000 0.0000000 947.0000 0.0000000

Reduced Cost -6.000000 -8.000000 -7.000000 200.0000 150.0000 100.0000 Dual Price 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000

Un operario especializado ha de reparar una instalación de alta montaña. Es conveniente que lleve consigo 5 equipos diferentes de reparación. Sin embargo, el peso máximo a transportar está limitado a 60 unidades. El peso de cada equipo y un parámetro que cuantifica su utilidad esperada aparecen en la tabla siguiente.

¿Qué equipos ha de llevarse consigo el operario?


49


Investigación Operativa Max= 100*E1 + 60*E2 + 70*E3 + 15*E4 + 15*E5; 52*E1 + 23*E2 + 35*E3 + 15*E4 + 7*E5 <= 60; @Bin(E1); @Bin(E2); @Bin(E3); @Bin(E4); @Bin(E5); end Global optimal solution found at step: Objective value: Branch count: Variable E1 E2 E3 E4 E5 Row 1 2


0 130.0000 0

Value 0.0000000 1.000000 1.000000 0.0000000 0.0000000 Slack or Surplus 130.0000 2.000000

Reduced Cost -100.0000 -60.00000 -70.00000 -15.00000 -15.00000 Dual Price 0.0000000 0.0000000

50


Investigación Operativa Practico 6 Programacion No Lineal 1) Determine los intervalos en los cuales f(x)= x + 4x-1 es cóncava o convexa.  f  x

 1  4 x

1  4 x

2

x1

 2

x2

 2

2

 0

f   x

2

2

 8 x

3

x1

 2  1 Minimo

x 2

  2  1 Maximo

Z  ( X 1  5 ) 2  ( X 2   ) 2 -10 la región (-10,10):(10,10) utilizando el método del ascenso acelerado y el método de Newton-Raphson Multivariable. (con una precisión de 5x10-2) 2 2 Z  ( x1  5 )  ( x2   )  10 Encuentre el máximo de

 Z  2 x1  2 5  x1  Z  2 x2  2  x2 x0  (10,10) Z  107.32 x1  x0   F ( x0 )

 20  2 5  10   (20  2 5) 10 x1        10   20  2  10   (20  2 ) Z (10  10.53 ,10  13.72 )  (10  15.43 )  (10  13.72 )  10  117,28  429,27  429,42 2

Max 

2

2

 Z  429,27  858,54  0 

  0,5 2.24  3.14  Z  10 X 1  


51


Investigación Operativa Z  ( X 1  5 ) 2  ( X 2   ) 2  10

 Z  2( x1  5 )  x1  Z  2( x2   )  x2  2( x1  5 )  Z      2( x2   )  0   2 0   1 / 2 1 H     H    0  1 / 2  0  2  1

x1  x0  H  Z ( x0 )

0    15.53 2.23 10  1 / 2      13.72   3.14 10 0 1 / 2         Z  10

2.23  1 / 2 x2    0 3 . 14   

0   0.01 

2.2350   1 / 2 0.003 3.1415 

Z  10 Ejercicio extraído del Examen Parcial tomado el 07/07/2003. La municipalidad desea determinar la localización del nuevo hospital. Este hospital deberá proveer sistencia a tres distritos de la ciudad (la distribución de los distritos se representa en la figura). La localización óptima es la que hace viajar menos a las personas que se beneficiarán con el servicio del hospital.


52



Plantee y resuelva el modelo del problema. b)¿Sin resolver el problema podría decirme cuánto debería caminar como máximo una persona para atenderse en el nuevo hospital?

[ Min] Z 

(0  x ) 2  ( 2  y ) 2  (8  x) 2  (3  y ) 2  (0  x ) 2  (6  y ) 2

Ejercicio extraído del Examen Parcial tomado el 07/07/2003. Una firma produce un artículo que se vende en dos mercados. La firma es un monopolio en el mercado 1 y vende el artículo a $60 cada unidad. El mercado 2 es competitivo por lo que la curva de demanda está dada por p2 = 100 - q2. Los costos de producción de la firma están dados por C(q1,q2) = (q1 + q2)2 donde q1 y q2 son las cantidades de producto vendidas en el mercado 1 y en el mercado 2 respectivamente. a) Plantee el modelo del problema para determinar la cantidad óptima a vender en cada mercado maximizando el beneficio. (Se permiten las cantidades negativas de producto) b) Resuelva le modelo mediante algún método iterativo (con una precisión de 1x10-1). Exprese claramente los resultados. c) Verifique los resultados mediante las condiciones analíticas de óptimo de la solución.


53


Investigación Operativa [ Max] Z  60 * q1  (100  q 2)q 2  ( q1  q1) 2

 Z  60  2(q1  q 2) q1  Z  100  2q1  2(q1  q 2) q 2  60  2( q1  q 2)   Z    100  2q1  2( q1  q 2)  1 1/ 2  1 H    1 / 2  1 / 2 1   1 1 x1  x0  H  Z ( x0 )      1 1 / 2

1 / 2  56 10  *   1 / 2 94 20

Z  1300

10    1  x2  x1  H 1 Z ( x1 )      20 1 / 2

1 / 2  0 10  *   1 / 2 0 20

Z  1300 Ejercicio extraído del Examen Final tomado el 03/10/2003. Una compañía planea gastar 10.000 $ en publicidad. Cuesta $3.000 un minuto de publicidad en la TV y $1.000 un minuto de publicidad en la radio. Si la empresa compra x minutos de comerciales de TV e y minutos de comerciales en la radio, su ingreso (en miles de $), está dado por:

a) Formular el modelo de PNL que proporcione el plan óptimo de inversión. b) Determinar el número de minutos que debe comprar la compañía en cada medio para optimizar sus ingresos. Verificar las condiciones analíticas de óptimo de la solución propuesta. Expresar la solución en términos económicos. c) Suponga que es posible gastar $1000 extra en publicidad. ¿La compañía debería gastarlos? Justifique.


54


Investigación Operativa [ Max ] Z  2 x 2  y 2  xy  8 x  3 y s.a.

3 x  y  10 Z ( x, y,  )  2 x  y  xy  8 x  3 y   (10  3 x  y ) 2

2

 Z  4 x  y  8  3  x  Z  2 y  x  3    y  Z  10  3 x  y   4 x  y  8  3  0   2 y  x  3    0 10  3 x  y  0  x  63 / 28 y  73 / 28

  1/ 4   0  2   g H    x  2   g   y

 2 g  x  2 Z  2 x  2 Z  y x

 2 g    y   2 Z    x y    2 Z   2 y 

1  0 3 3  4 1   28   1 1  2

La compañía para obtener una ganancia de Z= 14.765,30, debe comprar x=2.25 minutos en T.V. e y=2.60 minutos en radio. Es posible gastas $1000 en publicidad, ya que cada minutos mas que incorpore le costara $250 Ejercicio extraído del Examen Parcial tomado el 19/07/2003. 8) La cervecera Quilmes ha dividido el país en dos sectores: “Buenos Aires” e Interior”. Si se gastan x1 pesos en promocionar en el sector “Buenos Aires”, entonces se podrán vender 6x11/2 cajas de cerveza en dicho sector. Si se gastan x2 pesos en promocionar en el sector “Interior”, entonces se podrán vender 4x21/2 cajas de cerveza en éste último. Cada caja de cerveza vendida en el sector “Buenos Aires” se vende a 9 pesos y se incurre en 4 pesos de costos de producción y envío. Cada caja de cerveza vendida en el sector “Interior” se vende a 10 pesos y se incurre en 5 pesos de costos de producción y envío. Se dispone de un total de 100 pesos para promoción. a) Formule y resuelva el modelo de PNL que maximiza el beneficio total. b) Verifique el óptimo del problema aplicando las condiciones analíticas de óptimo. c) Si se pudiera gastar un peso más en promoción, ¿en cuánto se incrementarían las ganancias? Justifique su respuesta.


55

Problemas Resueltos de Inv. de Operaciones

Recommend Documents