Scilab - Egenharia Química

Universidade Federal de São Carlos Campus São Carlos Departamento de Engenharia Química Kenji Urazaki Junior

Treinamento em simulação de processos químicos utilizando o programa científico Scilab

São Carlos 2013

Kenji Urazaki Junior


Apresentação do projeto desenvolvido no Programa Jovens Talentos para Ciência, ação fomentada pela Capes e CNPq, como treinamento para iniciação científica. Orientador: Prof. Dr. Wu Hong Kwong.

São Carlos 2013 1

Kenji Urazaki Junior


Apresentação do projeto desenvolvido no Programa Jovens Talentos para Ciência, ação fomentada pela Capes e CNPq, como treinamento para iniciação científica. Orientador: Prof. Dr. Wu Hong Kwong.

São Carlos 2013 1

Sumário 1 INTRODUÇÃO............................................... ..................................................................... ............................................ ............................................. ............................ ..... 4 1.1 Do programa JTPC .......................................... ................................................................ ............................................ ........................................... ..................... 4 1.2 Do projeto ............................................. ................................................................... ............................................ ............................................. ................................ ......... 4 1.3 Do Ten Problems ........................................................ .............................................................................. ............................................. ................................ ......... 4 1.4 Do Scilab ............................ ................................................... ............................................. ............................................ ............................................. ............................ ..... 5 2 OBJETIVOS........................................................... ................................................................................. ............................................. ........................................... ....................5 3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA E TEÓRICA .......................................... ................................................................. ................................ ......... 5 3.1 Problema 1, ........................................... ................................................................. ............................................ ............................................. ................................ ......... 6 3.2 Problema 2 ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. ................................ ......... 7 3.3 Problema 4 ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. .............................. ....... 10 3.4 Problema 5 ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. .............................. ....... 10 3.5 Problema 6 ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. .............................. ....... 12 3.6 Problema 7 ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. .............................. ....... 13 3.7 Problema 8 ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. .............................. ....... 14 4 MÉTODOS NUMÉRICOS ............................................ ................................................................... ............................................. ................................ .......... 16 4.1 Sobre os Métodos Numéricos .................................. ........................................................ ............................................. ................................. .......... 16 4.2 Método da bissecção ............................. ................................................... ............................................ ............................................ .............................. ........ 16 4.3 Método Newton-Raphson ........................................ .............................................................. ............................................. ................................. .......... 18 4.4 Divisão pela esquerda ................................................. ....................................................................... ............................................ .............................. ........ 18 4.5 Método do Gauss-Jacobi.......................................... ................................................................. ............................................. ................................ .......... 18 4.6 Método de Euler........................................... .................................................................. ............................................. ............................................ ...................... 20 20 4.7 Solucionadores................................................. ....................................................................... ............................................ ......................................... ...................21 5 RESULTADOS ........................................... ................................................................. ............................................ ............................................. .............................. .......21 5.1 Problema 1 ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. .............................. ....... 21 5.2 Problema 2 ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. .............................. ....... 23 5.3 Problema 4 ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. .............................. ....... 23 5.4 Problema 5 ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. .............................. ....... 23 5.5 Problema 6 ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. .............................. ....... 24 5.6 Problema 7 ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. .............................. ....... 25 5.7 Problema 8 ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. .............................. ....... 26 6 CONCLUSÃO.................................................... ........................................................................... .............................................. ............................................ .....................26 2

7 TRABALHOS FUTUROS .................................................................................................... 27 8 APÊNDICE ........................................................................................................................... 27 8.1 Linhas de código de programação dos problemas .......................................................... 27 Problema 1......................................................................................................................... 27 Problema 2......................................................................................................................... 28 Problema 4......................................................................................................................... 29 Problema 5......................................................................................................................... 30 Problema 6......................................................................................................................... 31 Problema 7......................................................................................................................... 32 Problema 8......................................................................................................................... 33 9 REFERÊNCIA BLIBIOGRÁFICA....................................................................................... 33

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1 INTRODUÇÃO

1.1 Do programa JTPC No ano de 2012 por uma iniciativa da Capes e do CNPq realizou-se um programa de incentivo à iniciação científica que consistia em inserir os estudantes, que ingressaram no mesmo ano em Universidades e institutos federais, no meio científico. O programa Jovens Talentos para Ciência selecionou por uma prova de conhecimentos gerais estudantes de graduação de todas as áreas do conhecimento, eram ofertadas seis mil bolsas de estudo, dividas entre todo o Brasil, de acordo do número de inscritos em cada Universidade. Após a vigência de 12 meses da bolsa, os candidatos estariam preparados para serem bolsistas do Pibid, do Programa Ciências sem Fronteiras e outros programas de iniciação científica.

1.2 Do projeto Este projeto teve caráter de treinamento em solução de problemas de Engenharia Química com auxílio de programação computacional. Ao final saber-se-ia programar e estruturar soluções para problemas matemáticos com aplicações na Engenharia. O software científico utilizado foi o Scilab e os problemas foram retirados do artigo Ten problems. A maioria dos problemas foi resolvida com métodos numéricos, que foram estudados no projeto (os seus algoritmos deveriam ser inseridos e executados no software). Ao final do projeto, os resultados dos problemas foram discutidos.

1.3 Do Ten Problems O Artigo é uma coleção de 10 problemas de Engenharia Química que podem ser solucionados por um software matemático utilizando cálculo numérico. Os problemas traziam as informações dos métodos numéricos que deviam ser usados para solucioná-los, os conceitos de engenharia utilizados e o problema em si. 4

1.4 Do Scilab O Scilab (Scientific Laboratory) é um programa para cálculo científico gratuito desde 1994 e desenvolvido desde 1990 pelo INRIA (“Institut Nationale de Recherche em

Inf ormatique et en Automatique”) e o ENPC (“Ecole Nationale des Ponts et Chaussée”) na França. O Scilab é um programa open source, possui uma vasta biblioteca com funções matemáticas, polinômios, listas, sistemas lineares, solucionadores numéricos; e sua programação é feita em linha admitindo a incorporação de programas em linguagens com C e Fortran. O Scilab é muito utilizado internacionalmente em ambientes acadêmicos e industriais e está em constante atualização. Suas funções são similares ao MATLAB, mas sua utilização neste projeto foi motivada por ele ser um open source.

2 OBJETIVOS O projeto teve como objetivo o aprendizado de como a computação numérica auxilia na resolução de problemas de Engenharia Química, tendo como ponto central o aprendizado dos métodos numéricos e a familiarização com o software científico.

3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA E TEÓRICA Os problemas a serem resolvidos eram dez, neste projeto sete foram resolvidos: dois de introdução à Engenharia Química, um de termodinâmica, um de dinâmica de fluidos, um de transferência de calor, um de transferência de massa, um de processo de separação. Todos os problemas envolviam algum conceito de engenharia química, assuntos abordados ao decorrer do curso de graduação. A seguir os problemas presentes no Ten problems e resolvidos no projeto serão enunciados, com numeração semelhante ao artigo, apresentando o título, área na engenharia química e problema matemático a ser modelado. Depois de enunciado, cada problema recebera uma breve introdução dos conceitos utilizados, todos retirados dos livros de engenharia química.

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3.1 Problema 1, Volume molar e fator de compressibilidade a partir da equação de van der Waals, introdução à Engenharia Química, solução de uma equação não linear. No problema o volume molar e fator de compressibilidade de um gás deveriam ser calculados com o uso da equação de van der Waals. A lei de gases ideais que relaciona Pressão Volume e Temperatura se aplica bem em pequenas pressões (aproximadamente a da atmosfera). Para pressões mais altas, uma equação mais complexa deve ser utilizada, o que normalmente necessita de uma solução numérica. A equação de van der Waals utilizada é dada por: (P+a/V²)(V-b) = RT Onde a= (27/64)(R²Tc²/Pc) b= RTc/8Pc E as variáveis são: P = Pressão (atm); V = Volume molar (L/gmol); T = Temperatura em Kelvin; R = constante dos gases (0.08206 atmL/gmolK); Tc = Temperatura crítica (405.5 K para a amônia); Pc = Pressão crítica (111.3 atm para a amônia). O termo a/V² é a correção para a atração entre as moléculas do gás (a/V²= 0 quando trabalhamos com um gás ideal) e o termo b é a correção para o volume ocupado pelas moléculas de gás. As constantes a e b são determinadas experimentalmente para cada gás. Pressão reduzida é definida por: Pr = P/Pc O fator de compressibilidade de um gás é dado por: 6

Z = PV/RT No problema teve-se de calcular o volume molar e o fator de compressibilidade para o gás amônia a pressão de P = 56 atm e temperatura de T = 450 K usando a equação de van der Waals. Os cálculos deveriam ser repetidos para as pressões reduzidas de Pr = 1, 2, 4,10 e 20, e depois o fator de compressibilidade deveria ser analisado em função de Pr. Dever-se-ia resolver equações não lineares de terceiro grau para a variável de volume molar. A equação era: PV³ - (RT + Pb) V²+aV-ab=0

O método numérico utilizado foi o de bissecção, explicado na seção materiais e métodos.

3.2 Problema 2, Balanço de materiais em um trem de separação, introdução à Engenharia Química(Balanço de Massa), solução simultânea de equações lineares. No problema um sistema com Xileno, Estireno, Tolueno e Benzeno é separado por um sistema de colunas destiladoras. O esquema abaixo mostra as colunas, as correntes F, D, B, D1, B1, D2 e B2 com suas composições molares e a vazão molar.

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Figura 3.2-1 Fonte: A collection of ten numerical problems in chemical engineering solved by various mathematical software packages.

O conceito de balanço de massa parte do princípio de que a massa é conservada. Portanto, em qualquer sistema tem-se que para uma determinada substância: Sai = Entra + Reage – acumula O termo reage pode ser positivo ou negativo dependendo se dentro do sistema a substância é produzida ou consumida. Fazendo o balanço de massa para os quatro componentes para todo o sistema, como não há reação (há a conservação da quantidade de matéria) e nem acúmulo para eles, tem-se que Entra = Sai. Então: Xileno: 0.07D1 + 0.18B1 + 0.15D2 + 0.24B2 = 0.15*70 Estireno: 0.04D1 + 0.24B1 + 0.10D2 + 0.65B2 = 0.25*70 8

Tolueno: 0.54D1 + 0.42B1 + 0.54D2 + 0.10B2 = 0.40*70 Benzeno: 0.35D1 + 0.16B1 + 0.21D2 + 001 = 0.20*70 Fazendo o balanço de massa para a coluna de destilação dois, onde é determinada a vazão e a fração molar da corrente D, tem-se: Vazão molar total: D = D1 + B1 Xileno: XDX*D = 0.07D1 + 0.18B1 Estireno: XDS*D = 0.04D1 + 0.24B1 Tolueno: XDT*D = 0.54D1 + 0.42B1 Benzeno: XDB*D = 0.35D1 + 0.16B1 Onde XDX = Fração molar de Xileno em D, XDS = Fração molar de Estireno em D, XDT = Fração molar de Tolueno em D, XDB = Fração molar de Benzeno em D. Analogamente, fazendo o balanço de massa na coluna três, onde é determinada a vazão e a fração molar da corrente B, tem-se: Vazão molar total: B = D2 + B2 Xileno: XBX*B = 0.15D2 + 0.24B2 Estireno: XBS*B = 0.10D2 + 0.65B2 Tolueno: XBT*B = 0.54D2 + 0.10B2 Benzeno: XBB*B = 0.21D2 + 0.01B2 A partir das quatro primeiras inequações foi possível determinar D1, D2, B1, B2. O método utilizado para a solução foi a divisão a esquerda, o que é explicada na seção materiais e métodos, trabalhando com a matriz do sistema linear. A vazão e a composição molar das correntes B e D foram determinadas com as outras oito equações, apenas substituindo os valores nelas, no próprio Scilab.

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3.3 Problema 4, Equilíbrio de múltiplas reações entre gases, Termodinâmica, solução simultânea de equações não lineares. Neste problema tem-se 7 gases em um reator de volume constante em que ocorrem 3 reações de equilíbrio: A + B <-> C + D B + C <-> X + Y A + X <-> Z Um sistema algébrico descreve a situação de equilíbrio das reações. Utilizando as relações termodinâmicas de equilíbrio e as relações estequiométricas para cada reação, teremos um conjunto de sete equações: KC1 = CC*CD/CA*CB

KC2 = CX*CY/CB*CC

KC3 = CZ/CA*CX

CA = CA0 – CD – CZ

CB = CB0 – CD – CY

CC = CD – CY

CY = CX + CZ Nas equações CA, CB, CC, CD, CX, CY e CZ são as concentrações das diversas espécies envolvidas nas reações. No problema teve-se que solucionar o sistema de equações quando CA0 = CB0 = 1.5, KC1 = 1.06, KC2 = 2.63 e KC3 = 5 para as estimativas iniciais de que CD = CX = CZ = 0. Neste problema utilizou-se o solucionador integrado do Scilab, fsolve.

3.4 Problema 5, velocidade terminal de queda, Dinâmica de fluidos, solução de uma equação não linear. O conceito envolvido neste problema é o cálculo da velocidade terminar de partículas sólidas em queda em fluidos sob a força da gravidade. Uma partícula acelerará sob a ação da gravidade num fluido até que a força de arrasto iguale-se à força da gravidade, momento em que ela começa a cair com uma velocidade constante, terminal, dada por: 10

ut = sqrt(2gmp(Ρp – P)/P*PpApCd) Onde g = aceleração da gravidade (9.80665 m/s²); mp = massa da partícula; Pp = densidade da partícula(kg/m³); P = densidade do fluido (kg/m³); Ap = Área da partícula projetada na direção do movimento (m²); Cd = coeficiente de arrasto. Para partículas esféricas homogêneas, que é o caso do problema, a equação fica: vt = sqrt(4gDp(Ρ p – P)/P*Cd) Se existe um movimento relativo entre uma partícula e o meio que ela está imersa, o fluido do meio exercerá uma força de arrasto sobre a partícula. O valor do coeficiente de arrasto é uma função do número de Reynolds. O número de Reynolds é dado por: Re = DpvtP/u Onde u é a viscosidade em Pa*s ou Kg/m*s Para número de Reynolds pequenos (Re < 0.1), pela lei de Stokes tem-se: Cd = 24/Re Para número de Reynolds intermediário (0.1 <= Re <= 1000), tem-se: Cd = (24/Re)(1 + 0.14Re^0.7) Para o número de Reynolds (1000 <= Re <= 350000) no intervalo em que se aplica a lei de Newton, ação e reação, tem-se: Cd = 0.44

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Para números de Reynolds muito altos (Re > 350000), onde o coeficiente de arrasto cai drasticamente, tem-se: Cd = 0.19 – 8*10^4/Re No problema temos de calcular a velocidade terminal de partículas de carvão (Pp = 1800 kg/m³ e Dp = 0.208*10^-3 m) afundando na água à temperatura de T = 298.15 K( p = 994.6 kg/m³ e u = 8.931*10^-4kg/ms) sob a ação da gravidade e depois numa centrífuga onde a aceleração é 30 vezes a da gravidade. O problema foi resolvido utilizando o solucionador fsolve.

3.5 Problema 6, Troca de calor em uma série de tanques, Transferência de Calor, solução simultânea de um sistema de equações diferenciais ordinárias. No problema uma solução de vários componentes era aquecida numa série de 3 tanques antes de ser alimentada numa coluna de destilação. Os tanques eram bem misturados, admitindo então uma uniformidade de temperatura do óleo dentro de cada tanque e estavam isolados do meio exterior. O óleo entrava a uma temperatura de T0= 20ºC no primeiro tanque a uma vazão mássica de W1 = 100 kg/min, vapor saturado a Tsteam = 250ºC condensava nas serpentinas aquecedoras dentro do tanque. Saindo do primeiro tanque a uma temperatura T1 com a mesma vazão mássica que entrava no tanque 1 entrava num tanque 2, o qual era também aquecido por uma serpentina onde ocorria a condensação do vapor a 250ºC. Analogamente, o óleo passava então por um 3 tanque. O aquecimento do óleo era causado pelo resfriamento do vapor. A taxa de transferência de calor é dada pela expressão: Q = UA(Tsteam – T) Onde UA = Coeficiente de transferência de calor * Área da serpentina (UA = 10 KJ/min.ºC); T = Temperatura do óleo no tanque (ºC); Q = Taxa de transferência de calor (kJ/min). 12

Como a energia era conservada no sistema e energia não é criada, nem destruída, pode-se realizar o balanço de energia para cada tanque individualmente utilizando o seguinte balanço: Energia Acumulada = Energia que entra – Energia que sai A densidade do óleo é assumida constante, bem como a vazão mássica em todos os tanques, ou seja, W = W1 = W2 = W3 e M = M1 = M2 = M3. Os balanços de energia dos tanques ficam: Tanque 1 dÛ1/dt = Û01 + Q – Ûf1 M*Cp*(dT1/dt) = W*Cp*T0 + UA(Tsteam – T1) – W*Cp*T1 Onde Cp = Capacidade calorífica do óleo (Cp = 2.0 kJ/kg). Analogamente, para os outros tanques: Tanque 2: M*Cp*(dT2/dt) = W*Cp*T1 + UA(Tsteam – T2) – W*Cp*T2 Tanque 3: M*Cp*(dT3/dt) = W*Cp*T2 + UA(Tsteam – T3) – W*Cp*T3 Rearranjando as EDOs temos 3 diferenciais que podem ser resolvidas por uma solução numérica. O problema nos pede as temperaturas de quase equilíbrio nos 3 tanques, fazendo o tempo decorrido ser bem grande, e o tempo necessário para que a temperatura T3 alcance o valor de 99% do equilíbrio. O sistema de EDOs foi resolvido utilizando o solucionador ode do Scilab.

3.6 Problema 7, Difusão com uma reação química em um disco, Fenômeno de transporte, solução de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com 2 condições de contorno. 13

No problema tem-se uma reação química entre A e B e a difusão dos componentes. A é o reagente, B é o produto. O reagente A é absorvido pelo conteúdo e é consumido dentro dele. A equação que modela esse sistema é uma EDO de segunda ordem: d²Ca/dz² = (k/DAB)*Ca Onde Ca = concentração do reagente A (kgmol/m³); z = variável de distância (m); k = constante da reação homogênea de consumo de A (1/s); DAB = coeficiente de difusão em área (m²/s). A interpretação geométrica do sistema é uma superfície exposta que não permite difusão pela sua superfície externa. Então se tem as condições de contorno: Ca = Ca0

z=0

dCa/dz = 0

z=L

Onde Ca0 é a concentração de Ca na superfície z = 0 e como não há difusão na superfície externa, a derivada de Ca em relação a z é 0. O sistema possui uma solução analítica da forma: Ca =Ca0*(cosh(L*sqrt(k/DAB)*(1-z/L)))/cosh(L*sqrt(k/DAB)) Para a solução numérica, utilizou-se o solucionador ode implementado ao método de Newton-Raphson, para que a condição de contorno da derivada zero estivesse satisfeita.

3.7 Problema 8, destilação de uma mistura binária, Processo de separação, solução de um sistema de uma equação diferencial ordinária e uma equação não linear. Destilação é um processo de separação de componentes de uma mistura líquido/vapor que coexistem a uma mesma temperatura e pressão. Componentes mais voláteis (temperatura de ebulição mais baixa) tendem a permanecer no estado de vapor; e os menos voláteis (temperatura de ebulição mais alta) tendem a permanecer no estado líquido. O resultado é que com o aquecimento da mistura, a fase de vapor fica mais ricamente concentrada com os 14

componentes mais voláteis; e, a fase líquida, com os componentes menos voláteis. Na destilação deste problema, a mistura é alimentada e o processo ocorre em batelada, ou seja, não há uma alimentação contínua. O líquido remanescente L vai diminuindo e a temperatura, por estar o líquido mais rico com o componente de maior temperatura de ebulição, vai aumentando. A equação que descreve o valor de L em função da fração molar do componente menos volátil, x2, é uma diferencial da forma: dL/dx2 = L/(x2*(k2 – 1)) Onde k2 = Razão do equilíbrio vapor/líquido. O valor de ki é uma relação que quantifica a tendência do componente i em se vaporizar. O seu valor é dado por: ki = Pi/P Onde Pi = Pressão de vapor do componente; P = Pressão total do sistema. A pressão de vapor Pi pode ser modelada pela equação de Antoine que utiliza 3 parâmetros experimentais, A, B, C para um componente i tem-se: Pi = 10^(Ai – Bi/(T+Ci)) Onde T = Temperatura do sistema em ºC. Os valores de A, B e C para o benzeno e para o tolueno são: Benzeno: A = 6.90565

B = 1211.033

C = 220.79

Tolueno: A = 6.95464

B = 1344.8

C = 219.482

A temperatura do sistema de destilação segue o ponto de bolha da mistura. Quando se tem uma mistura binária, o ponto de bolha é a temperatura em que a primeira bolha de vapor 15

aparece. O ponto de bolha é definido implicitamente usando as razões do equilíbrio vapor/líquido das 2 substâncias. A equação algébrica é: k1*x1 + k2*x2 = 1 No problema uma mistura de benzeno (componente 1) e tolueno (componente 2) eram destiladas e após a fração de tolueno ter um valor determinado, pedia – se a quantidade de líquido remanescente. A solução deste problema exigiu a solução de uma sistema com 1 equação algébrica não linear, solucionada por fsolve, e 1 EDO, solucionada por ode.

4 MÉTODOS NUMÉRICOS

4.1 Sobre os Métodos Numéricos Métodos numéricos são formas de solucionar problemas utilizando os conhecimentos de Cálculo e funções. Eles diferem da solução analítica por dar uma solução aproximada do problema, muitas vezes implementá-los é muito mais prático, simples e rápido para solucionar diversos problemas que envolvem funções. Métodos numéricos são baseados em aproximações, realizando diversas iterações (repetição do algoritmo do método), por serem estruturados em algoritmos que devem ser repetidos diversas vezes a sua praticidade se encontra quando entra em conjunto com alguma linguagem de programação que admite laço, como por exemplo, o software utilizado neste projeto. Métodos numéricos também podem ser utilizados para otimização, controle de sistemas, construção de gráficos. Alguns dos principais métodos de resolução serão apresentados a seguir, todos retirados de livros de Cálculo Numérico, ver nas referências bibliográficas.

4.2 Método da bissecção Este método é utilizado no problema 1 para encontrar a raiz de uma função(f(x)=0) e utiliza o Teorema do Valor Intermediário do cálculo.

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O Teorema do Valor Intermediário do cálculo diz que se temos uma função f(x) continua num intervalo [a,b] e f(a) >0 e f(b)<0, temos uma f(c) = 0, em que c pertence ao intervalo [a,b]. Então a função tem uma raíz real c. No método de bissecção diversas iterações são feitas para que se encontre a raiz da função. A figura a seguir ilustra o método e seu algoritmo, representando 3 iterações que aproximam-se cada vez mais do valor ξ, a raiz da função.

Figura 3.1 Fonte: Cálculo Numérico, Aspectos Teóricos e Computacionais - 2 Edição

Algoritmo do método: Tendo a0 e b0 f(a0)<0 e f(b0)>0 temos um x0 = (a0 + b0)/2 Se f(x0)<0 então fazemos, a1= x0 e b1=b0. Se f(x0)>0 então fazemos, b1=x0 e a1=a0. A iteração é repetida: x1 = (a0+b0)/2... Até que xi convirja para a raiz com um erro e. 17

4.3 Método Newton-Raphson Este método é utilizado também para encontrar a raiz de uma função, ele utiliza a noção da reta tangente a um ponto de f(x). A função iterada é : Xk+1 = Xk – f(Xk)/f’(Xk) No processo de iteração, o valor Xk+1 é onde a reta tangente a f(Xk) intercepta a abcissa. Conforme iterada, a função convergiria ao valor do zero da função original. A imagem a seguir ilustra o método descrito.

Figura 4.2 Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Ganzhi001.jpg

4.4 Divisão pela esquerda A divisão pela esquerda consiste em multiplicar os dois lados da representação matricial pela inversa da matriz dos coeficientes numéricos. No SciLab a divisão pela esquerda é representada por \. Quando multiplicamos uma matriz pela sua inversa temos sua identidade, portanto, na solução pela divisão a esquerda, as variáveis são retornadas isoladas.

4.5 Método do Gauss-Jacobi 18

Este método iterativo é utilizado para solução de sistema de n equações lineares. Normalmente é utilizado quando o número de equações é grande, em que este método encontra utilidade. Dada uma matriz Ax = b do sistema linear de n equações e x = Cx + g. Tendo um sistema:

Figura 4.5-1 Fonte: Cálculo Numérico, Aspectos Teóricos e Computacionais - 2 Edição

Desta forma tem-se x = Cx + g onde:


E

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O método consiste em a partir do valor de x(0) obter uma sequência x(1), ..., x(k) que convirja para a solução depois de k iterações da relação: x(a+1) = Cx(a) + g

4.6 Método de Euler O método de Euler pode ser utilizado para resolver um problema de valor inicial: y’ =

f(x,y), y(x0) = y0. Como se sabe o valor de x0 e y0 tem- se o valor de y’(x0,y0) = f(x0, y0) . Temos a reta tangente ao ponto (x0, y0) da função diferencial conhecida e sua equação é: R: r0(x) = y(x0) + (x – x0)*y’(x0) Escolhendo um h = x(k+1) – x(k), y(x1) é aproximadamente y1 = r0(x1), ou seja, y1 = y0 + h*f(x0,y0) O raciocínio pode ser repetido para y(x2) e, assim, a relação iterativa para o método fica: y(k+1) = y(k) + h*f(x(k),y(k)) Interpretando geometricamente o problema:

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Quanto menor o intervalo entre x0 e x1 tem-se maior precisão no valor de y, este raciocínio é usado para métodos mais elaborados que utilizam o mesmo princípio do método de Euler.

4.7 Solucionadores O Scilab possui solucionadores incorporados na sua programação. Neste projeto, 2 deles foram amplamente utilizados. O solucionador fsolve é utilizado para se encontrar a raíz de uma função polinomial. O solucionador ode é utilizado para modelagem de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem.

5 RESULTADOS

5.1 Problema 1

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A-) O volume molar da amônia é de 0.574893 litros/mol e sua compressibilidade é de 0.871828 à pressão de 56 e temperatura 450. Z= 0.871828

Pr = 0.503145

Se resolvido como um gás ideal (PV = nRT) o valor do volume molar da amônia é 0.6594107 L/mol, um valor maior de volume, com significada diferença. O valor de volume molar calculado pela relação do gás ideal se aproxima cada vez mais do valor calculado pela equação de van der Waals quanto mais a pressão se aproxima de 1 atmosfera.

B-) PR 1 2 4 10 20

V(litros/mol) 0.233506 0.0772709 0.0606556 0.0508755 0.0461735

Z 0.7038 0.465797 0.731277 1.53342 2.78339

C-) Z x PR 3 2,5 2 1,5

Z x PR

1 0,5 0 0

5

10

15

20

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O fator de compressibilidade apresenta este comportamento de decrescer da pressão reduzida 1 para 2 por, em pressões que ultrapassam a pressão crítica, a fase líquido/ vapor não ser mais distinguível. Esta ultrapassagem do ponto crítico do gás é muito bem percebida pelo volume molar, que diminui bruscamente da pressão reduzida 1 para a pressão reduzida 2. 22

5.2 Problema 2 A-) Os valores das taxas molares em cada saída são: D1=26.25 mol/s B1=17.5 mol/s D2=8.75 mol/s B2=17.5 mol/s

B-) Os valores das taxas molares em cada saída são: D=43.75 mol/s, em que consistia de 4.9875 mols de xileno, 5.25 mol de estireno, 21.525 mol de tolueno, 11.9875 mol de benzeno. B=26.25 mol/s, em que consistia de 5.5125 mols de xileno, 12.25 mol de estireno, 6.475 mol de tolueno, 2.0125 mol de benzeno.

5.3 Problema 4 A-) A concentração final de cada espécie é : A = 0.420689 B = 0.242897 C = 0.153565 D = 0.705334 X = 0.177792 Y = 0.551769 Z = 0.373977.

5.4 Problema 5 23

A-) A velocidade terminal para a partícula acelerada pela gravidade é 0.0157816 m/s B-) A velocidade terminal para a partícula acelerada por 30 vezes a gravidade é 0.206021 m/s 5.5 Problema 6

O gráfico foi desenhado no Scilab e representa a temperatura do óleo no tanque 1(curva azul), tanque 2 (curva verde), tanque 3(curva vermelha) em função do tempo que varia de 0 a 160 s. A temperatura de equilíbrio nos tanques 1, 2 e 3, respectivamente foram: 30.9524 °C, 41.3832°C, 51.3173°C.

24

5.6 Problema 7

No gráfico do valor da concentração de A em função do valor de z tem-se a solução analítica (curva verde) e a solução pelo método numérico (curva azul). Nota-se que os dois métodos possuem soluções muito semelhantes.

25

5.7 Problema 8

A curva acima descreve a quantidade de líquido remanescente na destilação(L) em função da fração molar do tolueno na mistura (0.8 ao final). A quantidade de líquido remanescente foi de 13.755 mols.

6 CONCLUSÃO Modelar e solucionar problemas de Engenharia através de recursos computacionais é uma forma mais simples e prática considerando cada tipo de problema. Cada solução possui erros inerentes ao processo de iteração, o qual nunca é exato. Na modelagem dos problemas erros são incorporados, portanto, no momento de programar um método numérico deve-se analisar o tempo que se dispões para sua resolução, o erro máximo que é admitido, o poder de processamento da máquina onde se escreve o código e o tipo de problema. No projeto aplicaram-se diversos métodos para cada problema, não se preocupou com o tempo para completar as iterações, pois os problemas eram resolvidos isoladamente e possuíam estrutura muito simples. O treinamento foi satisfatório, a familiaridade com o processo de programação foi alcançada e os métodos foram absorvidos em parte. Novas fronteiras para o aprendizado de métodos numéricos foram abertas. No quinto semestre do curso o aprendizado dos métodos será aprofundado no curso de Cálculo numérico. 26

7 TRABALHOS FUTUROS Três problemas da coletânea ficaram a serem resolvidos, por questão de tempo de projeto e eventualidades ao decorrer do ano de pesquisa. Os outros sete problemas podem ser analisados quanto a outras formas de solucioná-los, há inúmeras com a utilização de métodos numéricos. O treinamento deu uma base de conhecimento para o aprendizado de otimização de processos químicos. A otimização possui diversas técnicas para busca de melhores soluções para os problemas (encontrar máximos ou mínimos).

8 APÊNDICE 8.1 Linhas de código de programação dos problemas: Problema 1 1. // Calculo do volume molar do gás amônia e o seu fator de compressibilidade com o uso da equação de Van der Waals 2. // (P+a/V²)*(V-b)=R*T 3. Tc = 405.5; // Temperatura critica da amônia em Kelvin 4. Pc = 111.3; // Pressão critica da amônia em atm 5. R = 0.08206; // Constante dos gases, atm.L/g.mol.K 6. a= (27/64)*((R*R*Tc*Tc)/Pc); 7. b= (R*Tc)/(8*Pc); 8. printf('O Problema 1 será resolvido para determinar o volume molar e a compressibilidade de uma amostra do gás de Amônia'); 9. T = 450; 10. // K 11. Pp= 56; 12. //Atm 13. e= input('Qual a precisão desejada (e<1 e e>0)? '); 14. // Pressão a ser usada nos casos 15. Pr = [(Pp/Pc) 1 2 4 10 20]; 16. c = 1; 17. while c<=6 18. P = Pc * Pr(c); 19. W= P; 20. A = -(R*T + P*b); 21. B = (a); 22. C = -(a*b); 23. // Equação do Volume molar: W*V³+A*V²+B*V+C=0 (1) 24. //Método da bisseção para encontrar a raiz 25. // x=0 satisfaz que a equação 1 seja negativa, -(a*b) é negativo já que a e b são positivos 26. Ri=0; 27. //Achar x que a equação 1 fique >0 28. //Chute inicial: 29. X=((R*T)/P)*3; 27

30. //teste: 31. if W*X*X*X+A*X*X+B*X+C >0 then 32. Si= X; 33. else printf('Defina o segundo valor por outro método') 34. end 35. //precisão desejada 36. n= ((log(Si-Ri)-log(e))/log(2))-1; 37. //método bisseção 38. i=1; 39. while i<= n 40. xi=(Ri+Si)/2; 41. if W*xi*xi*xi+A*xi*xi+B*xi+C<0 then 42. Ri=xi; 43. Si = Si; 44. else 45. Ri=Ri; 46. Si = xi; 47. end 48. i= i + 1; 49. end 50. Z = (P*xi)/(R*T); 51. printf('O volume molar da amônia é de %g litros/mol e sua compressibilidade é de %g à pressão de %g e temperatura %g,com precisão de %g\n', xi, Z , P, T , e); 52. //Estudo de Z e Pr 53. printf('Z= %g Pr = %g\n', Z , Pr(c)); 54. c = c + 1; 55. end

Problema 2 1. //Problema 2 - Steady state material balances on separation train 2. // Solução de um sistema de equações lineares. 3. //Balanço do material nos componentes individuais no trem de separação, na forma matricial; 4. A = [0.07 0.18 0.15 0.24; 0.04 0.24 0.10 0.65; 0.54 0.42 0.54 0.10; 0.35 0.16 0.21 0.01]; 5. b = [0.15*70; 0.25*70; 0.40*70; 0.20*70]; 6. //Parte a do problema 7. //temos que : [xylene; styrene; toluene; benzene] = A*[D1 ; B1; D2; B2]= b 8. //divisão à esquerda(Multiplicação de b pela inversa de A) 9. a = A\b; 10. //atribuição dos valores 11. D1= a(1,1); 12. B1= a(2,1); 13. D2= a(3,1); 14. B2= a(4,1); 15. printf('Os valores das taxas molares em cada saída são:\n D1=%g mol/s\n B1=%g mol/s\n D2=%g mol/s\n B2=%g mol/s\n', D1, B1, D2, B2); 28

16. //Parte b 17. //Saída D; na sequencia de equações temos: Fração molar de xylene, styrene, toluene e benzene 18. XdxD = [0.07 0.18]*[D1; B1]; 19. XdsD = [0.04 0.24]*[D1; B1]; 20. XdtD = [0.54 0.42]*[D1; B1]; 21. XdbD = [0.35 0.16]*[D1; B1]; 22. D = XdxD+ XdsD+ XdtD + XdbD; 23. //Saída B; mesma sequencia da anterior 24. XbxB = [0.15 0.24]*[D2; B2]; 25. XbsB = [0.10 0.65]*[D2; B2]; 26. XbtB = [0.54 0.10]*[D2; B2]; 27. XbbB = [0.21 0.01]*[D2; B2]; 28. B = XbxB+ XbsB+ XbtB + XbbB; 29. printf('Os valores das taxas molares em cada saída são:\n D=%g mol/s, em que consistia de %g mol de xylene, %g mol de styrene, %g mol de toluene, %g mol de benzene\n B=%g mol/s, em que consistia de %g mol de xylene, %g mol de styrene, %g mol de toluene, %g mol de benzene', D, XdxD, XdsD, XdtD, XdbD, B, XbxB, XbsB, XbtB, XbbB)

Problema 4 1. clear 2. k1=1.06; 3. k2=2.63; 4. k3=5; 5. function f =eq(x) 6. f (1)=x(3)*x(4)-k1*x(1)*x(2); 7. f (2)=x(5)*x(6)-k2*x(2)*x(3); 8. f (3)=x(7)-k3*x(1)*x(5); 9. f (4)=1.5-x(4)-x(7)-x(1); 10. f (5)=1.5-x(4)-x(6)-x(2); 11. f (6)=x(4)-x(6)-x(3); 12. f (7)=x(5)+x(7)-x(6); 13. endfunction 14. xi=[1.5 1.5 0 0 0 0 0]; 15. x=fsolve(xi,eq,%eps); 16. printf('Para o estado a as concentração finais são:\n A:%g\n B::%g\n C::%g\n D::%g\n X::%g\n Y::%g\n Z::%g\n',x(1),x(2),x(3),x(4),x(5),x(6),x(7)) 17. function f =eq(x) 18. f (1)=x(3)*(x(4)+1)-k1*x(1)*x(2); 19. f (2)=(x(5)+1)*x(6)-k2*x(2)*x(3); 20. f (3)=(x(7)+1)-k3*x(1)*(x(5)+1); 21. f (4)=1.5-(x(4)+1)-(x(7)+1)-x(1); 22. f (5)=1.5-(x(4)+1)-x(6)-x(2); 23. f (6)=(x(4)+1)-x(6)-x(3); 24. f (7)=(x(5)+1)+(x(7)+1)-x(6); 25. endfunction 29

26. xi=[1.5 1.5 0 1 1 0 1]; 27. x=fsolve(xi,eq,%eps); 28. printf('Para o estado B, as concentração finais são:\n A:%g\n B::%g\n C::%g\n D::%g\n X::%g\n Y::%g\n Z::%g\n',x(1),x(2),x(3),x(4),x(5),x(6),x(7)) 29. xi=[3 3 5 15 15 5 15]; 30. x=fsolve(xi,eq,%eps); 31. printf('Para o estado c as concentração finais são:\n A:%g\n B::%g\n C::%g\n D::%g\n X::%g\n Y::%g\n Z::%g\n',x(1),x(2),x(3),x(4),x(5),x(6),x(7))

Problema 5 1. //Resolução do problema 5 a partir do fsolve do scilab 2. Pp=1800; 3. Dp= 0.000208; 4. T= 298.15; 5. p=994.6; 6. u=8.931*(10^(-4)); 7. g=9.80665; 8. function F=f(vt) 9. Re=(Dp*vt*p)/u; 10. if Re<0.1 then 11. Cd=(24/Re); 12. elseif Re<=1000 then 13. Cd= (24/Re)*(1+0.14*(Re^(0.7))) 14. elseif Re<=350000 then 15. Cd=0.44 16. else 17. Cd= 0.19-(8*(10^4))/Re; 18. end 19. F=sqrt((4*g*(Pp-p)*Dp)/(3*Cd*p))- vt 20. endfunction 21. [vt]=fsolve(0.1,f,%eps) 22. printf('A velocidade terminal para a partícula acelerada pela gravidade é %g m/s \n', vt) 23. g=30*g; 24. function F=f(vt) 25. Re=(Dp*vt*p)/u; 26. if Re<0.1 then 27. Cd=(24/Re); 28. elseif Re<=1000 then 29. Cd= (24/Re)*(1+0.14*(Re^(0.7))) 30. elseif Re<=350000 then 31. Cd=0.44 32. else 33. Cd= 0.19 - (8*(10^4))/Re; 34. end 35. F=sqrt((4*g*(Pp-p)*Dp)/(3*Cd*p))-vt 36. endfunction 30

37. [vt]=fsolve(0.1,f,%eps) 38. printf('A velocidade terminal para a partícula acelerada por 30 vezes a gravidade é %g m/s', vt)

Problema 6 1. //// Problema 6, differential equations... 2. //Constantes do processo 3. //Heat capacity of the oil KJ/kg 4. Cp=2; 5. //KJ/min*ºC 6. UA= 10; 7. //Temperatura inicial ºC 8. To=20; 9. //Vazão mássica kg/min 10. W=100; 11. //Massa de óleo kg 12. M= 1000; 13. //Temperatura do vapor ºC 14. Ts=250; 15. function tdot=f(t, T) 16. tdot(1)=[W*Cp*(To-T(1))+UA*(Ts-T(1))]/(M*Cp) 17. tdot(2)=[W*Cp*(T(1)-T(2))+UA*(Ts-T(2))]/(M*Cp) 18. tdot(3)=[W*Cp*(T(2)-T(3))+UA*(Ts-T(3))]/(M*Cp) 19. endfunction 20. c=0:1:5000; 21. for i = 1:101 22. t(1)= 0 23. t(i)= (i-1) 24. T0=[20 20 20]; 25. t0=0; 26. [X]=ode(T0,t0,t,f); 27. T1(1)=20 28. T2(1)=20 29. T3(1)=20 30. a = 1 + 3*t(i); 31. b = 2 + 3*t(i); 32. c = 3 + 3*t(i); 33. T1(i)= X(a); 34. T2(i)= X(b); 35. T3(i)= X(c); 36. end 37. printf('As temperaturas de equilibrio nos tanques 1, 2 e 3, respectivamente foram:%g, %g, %g', T1(161), T2(161), T3(161)) 38. plot(t, [T1 T2 T3])

31

Problema 7 ////Solução do problema 7 da solução analítica. ////Concentração inicial:(kgmol/m³)

CA0=0.2; ////Constante s^-1

k=10^(-3); ////coeficiente de difusão binário? m²/s

DAB= 1.2*(10^(-9)); //// m, distância da superfície

L=10^(-3); for c= 2:1:100 z(1)=0 z(c) = c*0.00001 CAb=CA0*(cosh(L*sqrt(k/DAB)*(1-z/L)))/cosh(L*sqrt(k/DAB)); end ////Solução do problema pela EDO de segunda grau. ////x(1)= Ca, x(2) = dca/dt

p=1 dCadt(100) = 1; while abs(dCadt(100)) > 10^(-6) for i = 2:1:100 z(1)=0 z(i) = i*0.00001 function ydot=f(z, x) ydot(2)= k*x(1)/DAB; ydot(1)= x(2); ydot(3) = x(4); ydot(4) = k*x(3)/DAB; endfunction A(1) = 1; A0 = A(p) x01=[CA0 A0 0 1]; z0=0; [X] = ode(x01,z0,z,f) CA(1) = 0.2; dCadt(1) = A(p); a = 1 + 4*(i-2); b = 2 + 4*(i-2); d = 4 + 4*(i-2); dCadt(i)= X(b); CA(i) = X(a); DX(b) = X(d); end p= p + 1 A(p)= A(p-1) - ((X(b))/(X(d))) end plot(z, [CA CAb]) 32

Problema 8 ////Problema 8 - Binary Batch Destillation ////A mistura a ser destilada é uma mistura binária de benzeno e tolueno. ////Dados: //constantes do benzeno

A1=6.90565; B1=1211.033; C1=220.79; //constantes do tolueno

A2=6.95464; B2=1344.8; C2=219.482; //Informações do sistema

P= 1.2*760; //Pressão mm de HG

L0= 100; //100 mols da mistura inicial

x10=0.60; //fração molar de benzeno

x20=0.40; //fração molar de tolueno

for i = 2:1:101 X(1)=0.400 X(i) = 0.400 + 0.004*(i-1) function F=temp(x) F= (((10^(A1-(B1/(x+C1))))/P)*(1-X(i))) + ((10^((A2-(B2/(x+C2))))/P)*(X(i))) - 1 endfunction ////Função não linear(Resolvendo-a teremos a temperatura x do sistema)

x(i)=fsolve(80,temp) k2(i) = (10^((A2 - (B2/(x(i)+C2)))))/P //Solução pelo método de Euler

h(i) = X(i)- X(i-1) L(1) = 100 L(i) = L(i-1) + h(i)*L(i-1)/(X(i)*(k2(i)-1)) end plot(X, L)

9 REFERÊNCIA BLIBIOGRÁFICA CUTLIP, M. HWALEK, J. et al. A collection of ten numerical problems in chemical

engineering solved by various mathematical software packages . New York: John Wiley & Sons, 1998. 33

Scilab - Egenharia Química

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