ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION
MATHEMATICS FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR 2011
Sistem Persamaan Diferensial Linear
Sistem Persamaan Diferensial Linear adalah persamaan yang melibatkan n persamaan dengan n fungsi yang tak diketahui yang berbentuk polinom berpangkat satu untuk semua turun-turunannya.
Bentuk Umum Persamaan Differensial Orde 1:
(1)
Penyelesaian persamaan ( 1 ) dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut fungsi real
dengan
yang secara simultan memenuhi
kedua persamaan dalam system tersebut untuk selang Contoh 1 Sebuah persamaan didefinisikan dengan
Persamaan ini termasuk system persamaan diferensial dengan koefisien konstanta. System linear umum persamaan diferensial orde satu dalam tiga variable yang tak diketahui dapat dinyatakan dengan
(2) Penyelesaian dari persamaan diferensial dalam tiga variable adalah tripel terurut fungsi real
dengan
dan
yang
secara simultan memenuhi ketiga persamaan (2) pada selang real Contoh 2
System persamaan berikut termasuk system persamaan diferensial linear dalam 3 variabel.
(3)
Bentuk Umum Persamaan Differensial Orde 2: Sejauh ini diketahui system persamaan yang hanya mengandung turunan pertama, baik dalam dua variable maupun dalam tiga variable. Berikut ini adalah system persamaan yang mengandung turunan kedua,
(4)
Contoh 3 System persamaan berikut termasuk system persamaan diferensial dalam dua variable dengan orde dua ( dalam koefisien konstanta ).
Sekarang tipe standar system linear persamaan diferensial orde satu dalam fungsi yang tak diketahui dengan variable dinyatakan dalam bentuk
dan . System persamaan ini dapat
(5 )
Persamaan dalam bentuk seperti di atas dinamakan bentuk normal dari persamaan diferensial linear dalam 2 fungsi yang tak diketahui. Contoh 4 System persamaan yang dinyatakan dengan
(6)
termasuk persamaan yang dinyatakan dengan bentuk normal. Contoh 5 System persamaan diferensial
merupakan system persamaan diferensial dengan koefisien konstanta. Bentuk normal system linear 3 persamaan diferensial dalam 2 fungsi yang tak diketahui dengan variable
adalah :
(6)
Contoh 6 System persamaan diferensial berikut mempunyai koefisien konstanta.
Bentuk umum dari sebuah system linear n persamaan diferensial dalam n fungsi yang tak diketahui dalam variable
,
adalah
(7 )
System linear normal ini mempunyai hubungan dengan sebuah persamaan diferensial linear orde n dalam satu fungsi yang tak diketahui. Perhatikan persamaan berikut,
(8)
C. Penyelesaian Sistem Linear METODE ELIMINASI
Pandang system persamaan diferensial :
Terlebih dahulu kita mencari nilai
(1)
dengan cara seperti berikut.
Turunkan persamaan pertama terhadap , kita memperoleh,
Kemudian subsitusikan nilai memperoleh ,
Selanjutnya nilai
), kita memperoleh
menurut persamaan kedua dari ( 1 ), kita
diganti dengan yang terdapat pada persamaan pertama dari ( 1
Atau
andaikan diperoleh selesaian umum
Maka
Dari rumus pertama system ( 1 ),
, kita peroleh
Contoh : 1. Tentukan selesaian umum system persamaan diferensial a.
b.
Penyelesaian :
a.
=
+
(2)
b.
jadi
2. Selesaikan sistem PD (i). x'=-2x+y (ii). y'=-4x+3y+10 cost. Penyelesaian:
penurunan dari (i) menghasilkan x'' = -2x'+y' = -2x'-4x+3y+10 cost = -2x'-4x+3(x'+2x)+10 cos t, atau x''-x'-2x = 10 cost,
yang merupakan PD orde dua takhomogen. Dengan cara seperti pada bagian terdahulu akan diperoleh selesaian -t
2t
x(t) = c1e +c2e -3cost-sint, dan y(t) = x'+2x
METODE EIGEN
Metoda nilai eigen adalah perumuman dari cara mencoba selesaian persamaan diferensial linear tunggal koefisien konstan.
pada
Disini kita mencoba selesaian berbentuk
Jadi, mencari selesaian demikian, berarti mencari r dan vector adalah selesaian atau
supaya
Karena , maka hal itu setara dengan pencarian bilangan r dan vektor yang memenuhi
yang disebut juga masalah nilai eigen untuk matrix A. Nilai Eigen yang diperoleh memenuhi tiga kemungkinan, yaitu: 1. Nilai-nilai eigen real dan berbeda 2. Nilai-nilai eigen real kembar 3. Nilai-nilai eigen kompleks. Contoh : Kasus vector eigen lengkap (real)
Penyelesaian: Masalah nilai eigen :
diperoleh dari
u diperoleh dari
→
→
Selesaian umum
Kasus jumlah vector eigen yang bebas linear kurang dari kegandaan (multiplisitas) aljabar nilai eigen. Contoh:
Penyelesaian: Mencoba
menghasilkan masalah nilai eigen:
→
Untuk
dicoba
Karena
Selanjutnya,
Untuk soal ini,
,
,
Selesaian umumnya adalah:
Kasus nilai eigen kompleks: Pengerjaan contoh soal sebelumnya dengan metode eigen: a) b) c)
Penyelesaian:
a) Persamaan karakteristik:
– ambil saja
,
→
Matrix fundamental
b) Persamaan karakteristik:
Ambil
,
Matrix fundamental
c) Persamaan karakteristik:
Ambil
,
matrix fundamental :
