Nama : sigit santoso S1 teknik imformasi Semester 3
TEKNIK RISET IMFORMASI
Penerapan Persamaan Differensial/ Turunan :
1. bidang teknik adalah untuk menentukan simpangan horizontal tingkat pada sebuah bangunan. Apabila bangunan itu mempunyai struktur MDOF maka model matematika yang terbentuk adalah sistem persamaan diferensial linier (SPDL). Sistem persamaan differensial linier (SPDL) merupakan kumpulan dari persamaan differensial linier yang sering digunakan untuk melukiskan suatu persoalan di kehidupan nyata ke dalam model matematika. Apabila bangunan tersebut bertingkat maka kita modelkan bangunan tersebut dalam bentuk SPDL. Dalam skripsi ini penulis mengkaji gedung bertingkat dua untuk mengetahui model persamaan pada gerakan struktur MDOF dan simpangan masing-masing tingkat dengan menggunakan SPDL. Sehingga didapatkan SPDL pada gedung bertingkat dengansedangkan solusi umum untuk mencari simpangan horisontal pada tingkat satu dan dua yaitu y1 = -2c1e-t- 2c2 xe-t- 2c3 x2e-t- 2c4 x3e-t-et y2 = c1e-t+ c2 xet+ c3 x2e-t+ c4 x3e-t+ 2. bidang teknik adalah untuk menentukan besar arus pada rangkaian sederhana tanpa sumber yang terdiri dari satu loop dan elemen rangkaiannya terdiri dari resisitor, induktor dan kapasitor yang sering disebut rangkaian RLC. Apabila rangkaian RLC tersebut terdiri dari lebih dari satu loop, maka model matematika yang terbentuk adalah sistem persamaan differensial liner (SPDL). Sistem persamaan differensial linier (SPDL) merupakan kumpulan dari persamaan differensial linier yang sering digunakan untuk melukiskan suatu persoalan di kehidupan nyata ke dalam model matematika. Apabila diberikan suatu rangkaian RLC yang terdiri dari lebih dari satu loop dan kita ingin mencari berapa besar arus yang mengalir, pertama kita harus merubah persamaan tegangan pada rangkaian RLC ke dalam model
matematika dalam bentuk SPDL. Kemudian kita selesaikan SPDL tersebut sehingga kita mendapatkan berapa besar arus yang mengalir pada masing-masing loop pada rangkaian RLC tersebut. Langkah-langkah untuk mengaplikasikan SPDL pada rangkaian RLC adalah sebagai berikut: 1. Menganalisis rangkaian dengan menerapkan hukum Kirchhoff dan hukum Ohm pada rangkaian sehingga didapatkan persamaan tegangannya kemudian menyajikan persamaan tegangan tersebut dalam bentuk SPDL . 2. Mencari solusi umum dari SPDL yang terbentuk dengan menggunakan metode eliminasi dengan menuliskan ke dalam operator differensial. 3. Memasukkan kondisi awal untuk memperoleh nilai dari konstanta yang muncul pada solusi umum yaitu C1, C2, C3, ...,Cn. Setelah dilakukan langkah-langkah di atas, maka didapatkan besar arus yang mengalir pada masingmasing loop pada rangkaian RLC. 3. Persamaan diferensial parsial merupakan salah satu cabang matematika yang sangat penting dalam riset matematika modern. Banyak sekali aplikasi penting tentang persamaan ini, diantaranya dalam ilmu fisika dan ilmu teknik. Salah satu persamaan yang termasuk didalam persamaan diferensial parsial adalah persamaan aliran panas yang bertipe parabolik. Pada umumnya masalah nilai batas dan masalah nilai awal pada persamaan aliran panas dan persamaan gelombang diselesaikan dengan menggunakan metode variabel terpisah dan deret Fourier. Akan tetapi, metode tersebut hanya berlaku untuk interval hingga (finite), artinya nilai batas dari ujungujungnya diketahui dan interval tak hingga (infinite) dimana nilai batas dari ujungujungnya tidak diketahui. Sedangkan masalah dengan interval yang semi infinite, atau hanya nilai batas dari salah satu ujung intervalnya saja yang diketahui, penyelesaian masalahnya tidak bisa digunakan dengan metode variable terpisah dan deret Fourier. Berdasarkan masalah yang timbul, maka penulis sangat tertarik untuk mengkaji permasalahan tersebut dalam skripsi ini. Metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut adalah dengan metode transformasi Laplace, khususnya transformasi yang berkenaan dengan variable t. Transformasi Laplace ini akan mengubah persamaan diferensial parsial dan nilai batas ke dalam suatu persamaan diferensial biasa dan nilai batas yang baru dalam variable x. Persamaan diferensial biasa yang diperoleh diselesaikan dan dengan memanfaatkan nilai batas
yang baru diperoleh suatu selesaian. Selanjutnya, selesaian masalah untuk persamaan diferensial parsial semula dapat dicari dengan invers transformasi Laplace dari persamaan diferensial biasa tersebut. Untuk mempermudah dalam mencari hasil invers dari selesaian transformasi Laplace, dapat digunakan tabel transformasi Laplace atau dengan cara konvolusi 4. Pemodelan matematika mempunyai peran yang sangat penting sebagai salah satu alternatif dalam mencari pennyelesaian masalah riil. Misalnya dijumpai sebagai model matematika dari persamaan distribusi potensial kawat transmisi. Oleh karena itu perlu dikembangkan suatu metode yang tepat dan akurat untuk dapat menyelesaikan masalah syarat batas dari persamaan distribusi potensial kawat transmisi. Dalam tulisan ini akan dibahas tentang persamaan distribusi potensial kawat transmisi. Kawat transmisi tersebut dilengkapi dengan Resistansi (R), Induktansi (L), Kapasitansi (C) dan Konduktansi (G). Persamaan tersebut berupa persamaan diferensial parsial orde dua yang berbentuk: Dalam hal ini penyelesaian permasalahan tersebut akan dicari dengan metode Separasi variabel, sehingga solusi persamaan distribusi potensial kawat transmisi dapat ditentukan. 5. Persamaan diferensial parsial merupakan salah satu cabang matematika yang sangat penting dalam riset matematika modern. Banyak sekali aplikasi penting tentang persamaan ini, diantaranya dalam ilmu fisika dan ilmu teknik. Salah satu persamaan yang termasuk didalam persamaan diferensial parsial adalah persamaan aliran panas yang bertipe parabolik. Pada umumnya masalah nilai batas dan masalah nilai awal pada persamaan aliran panas dan persamaan gelombang diselesaikan dengan menggunakan metode variabel terpisah dan deret Fourier. Akan tetapi, metode tersebut hanya berlaku untuk interval hingga (finite), artinya nilai batas dari ujungujungnya diketahui dan interval tak hingga (infinite) dimana nilai batas dari ujungujungnya tidak diketahui. Sedangkan masalah dengan interval yang semi infinite, atau hanya nilai batas dari salah satu ujung intervalnya saja yang diketahui, penyelesaian masalahnya tidak bisa digunakan dengan metode variable terpisah dan deret Fourier. Berdasarkan masalah yang timbul, maka penulis sangat tertarik untuk mengkaji permasalahan tersebut dalam skripsi ini. Metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut adalah dengan metode transformasi Laplace,
khususnya transformasi yang berkenaan dengan variable t. Transformasi Laplace ini akan mengubah persamaan diferensial parsial dan nilai batas ke dalam suatu persamaan diferensial biasa dan nilai batas yang baru dalam variable x. Persamaan diferensial biasa yang diperoleh diselesaikan dan dengan memanfaatkan nilai batas yang baru diperoleh suatu selesaian. Selanjutnya, selesaian masalah untuk persamaan diferensial parsial semula dapat dicari dengan invers transformasi Laplace dari persamaan diferensial biasa tersebut. Untuk mempermudah dalam mencari hasil invers dari selesaian transformasi Laplace, dapat digunakan tabel transformasi Laplace atau dengan cara konvolusi 6. Persamaan differensial adalah sebuah persamaan yang mengandung derivative atau differensial satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas. Pada kenyataannya masih banyak dalam berbagai bidang ilmu yang dikembangkan tidak dapat diselesaikan secara eksak dengan persamaan matematisnya. Untuk itu dikembangkan banyak metode yang peranannya sangat penting di dalam menentukan solusi approksimasinya, dimana hasilnya diharapkan dapat mendekati solusi eksaknya, diantaranya adalah metode Succesive Approximation yang dikembangkan dalam persamaan differensial biasa. Penyelesaian persamaan differensial secara umum adalah mencari fungsi yang memenuhi persamaan itu, artinya yang membuat persamaan itu benar. Hal ini berarti bahwa persamaan tersebut harus atau dapat dikelola sedemikian rupa, sehingga semua koefisiennya hilang dan tinggal hubungan antara x dan y. Untuk mendapatkan penyelesaian tunggal diperlukan informasi tambahan, misalnya nilai y(x) dan atau turunannya pada nilai x tertentu. Untuk persamaan differensial order n biasanya diperlukan n kondisi untuk mendapatkan penyelesaian tunggal y(x). apabila semua n kondisi diberikan pada nilai x yang sama (misalkan x0), maka permasalahan disebut dengan problem nilai awal. Penyelesaian suatu persamaan differensial dilakukan pada titiktitik yang ditentukan secara berurutan. Untuk menjamin bahwa persamaan tersebut bernilai tunggal maka dapat digunakan teoreme keujudan dan ketunggalan. Metode succesive approximation merupaka metode yang tanpa melalui tahap prediktor yakni untuk menentukan nilai awal dan korektor yakni untuk menentukan nilai baru yang sekaligus langkah akhir dari pengejaran suatu metode, serta proses itersi tidak
hanya solusi approksimasi tetapi pada fungsi , hal ini yang membedakan dengan metode single-step maupun metode multistep, dengan menggunakan rumus berulang: dimana dalam proses ini memerlukan terkaan awal untuk memulai iterasi tersebut. Setiap pengulangan atau iterasi, aproksimasinya akan lebih mendekati solusi eksaknya, pada akhirnya pengulangan harus dihentikan. Kriteria penghentian tertentu adalah dengan memperhatikan dua ulangan iterasi hanya berbeda sebesar bilangan yang terkecil. Hal ini dapat dikatakan terdapat suatu bilangan , dan memenuhi maka iterasi dihentikan dan diambil sebagai pendekatan solusi eksak, untuk lebih meyakinkannya dihitung pula . Bila beda nilai ini cukup kecil, maka proses pengulangan tersebut dapat dihentikan.
7. Penerapan
Persamaan
Differensial
dapat
dijumpai
pada
perhitungan
AnalisisPertumbuhan Eksponensial Untuk menganalisis pertumbuhan eksponensial dapat menggunakan grafik pertumbuhan atau dengan perhitungan secara matematis. R umus matematika pertumbuhan menggunakan persamaan diferensial : dX / dt = μX
(1)
X: jumlah sel / komponen sel spesifik (protein) μ: konstanta kecepatan pertumbuhan 8. Dalam ilmu fisika, Diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan
pendekatan
linear
terbaik
fungsi
pada
titik
tersebut.
Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation). Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan. Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Di fisika, turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, dan turunan dari
kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda sama dengan gaya yang diberikan kepada benda. 9. pada perhitungan jumlah populasi pada suatu daerah dalam jangka waktu tertentu dengan menggunakan persamaan fungsi logistik, aplikasi rumus – rumus matematika dalam perhinga populasi suatu daerah. Pada tahun 1798 T.R Malthus mengamati bahwa penduduk Eropa akan menjadi dua kali lipat pada selang waktu yang teratur, dan dia berkesimpulan bahwa laju pertambahan populasi berbanding lurus dengan penduduk yang ada. Misalkan N(t) menunjukkan jumlah yang ada pada setiap saat t. Jika k adalah konstanta perbandingan, maka fungsi fungsi N = N(t) memenuhi persamaan differensial orde 1.
10. Persamaan Diferensial diterapkan pada peluruhan pada radioaktif jangka waktu tertentu dengan menggunakan persamaan fungsi peluruhan. Zat radioaktif meluruh dengan memancarkan radiasi secara spontan. Jika Nt adalah massa zat yang tersisa pada saat t, N0 adalah massa awal zat, maka laju peluruhan relative terhadap massanya bernilai konstan, yaitu (dN/dt)/N= -r peluruhan r= konstanta Oleh karena itu laju perubahan massa zat m terhadap waktu t dapat dinyatakan dengan
