A����� : �������� ������ �������� ����� ����� �, �������� ����� � ��� ����������. B����� ���� : 2 n dy d y d y , 2 ,...., n ) = 0 F ( x, y, dx dx dx ��������� ������������ (�D) ���������� �������� �������, ��������� �������� �������� ������ �������2 ���� �������, ��� ���� ������ ������ ��� �D ������ ������ ����� ���������2 ���� ����������� ��� ������. ���� �D ���������� ���� ������� ��������� ���� �������� ����� ��������� ���, ��������� ������� �D ���������� ���� ������� ���� ������� ���������.
C����� : 1. x
dy dx
2
− y − 4 = 0
2
2.
d y dx
2
− y
d y 3. 3 dx 3
2
d y 5. 4 dx 4
2
dx
+ y sin x = 0
d y + dx 2
d y 4. y 3 dx 3
dy
2
3
3
− y = cos x
d y + 2 dx 2
dy − dx
2
2
− yx − 4 x = 0
3 2
− y = y cos x
C����� : 1. x
dy dx
2
− y − 4 = 0
2
2.
d y dx
2
− y
d y 3. 3 dx 3
2
d y 5. 4 dx 4
2
dx
+ y sin x = 0
d y + dx 2
d y 4. y 3 dx 3
dy
2
3
3
− y = cos x
d y + 2 dx 2
dy − dx
2
2
− yx − 4 x = 0
3 2
− y = y cos x
������ ���� ��������� ������������ ����� ������� ������ ���� �D, ����� ������� ������ ������ ���� ���� �������� �������� ��������� ��������� ���, ������� ������� ���� ���� ������ �������� ��� ������� ������� �����. �����. ��� ��� ������� ������� ����� �������� �������� ��������� ��������� ������� ��������� �������� �������� ����� ����� ��������� ��������� ������� ������������ ����� ������, ������, ���� ���� ��� ��� ����� �������� ������ �������� � ��� � ����, ����� :
F(�,�)=0
������ � 2
d y dx
2
−4 = 0
���� : � = 2�2 ���� � = 2�2 + � , ���� � = 2�2 �5� + 3 ��������� ����� ���� �D ������. �������� ����� �D ������ ��������� ������� ����� �������. ������ ���� ������ ���� �D ������ ����� ������� : � = 2�2 + �1� + �2 ������ �1 ��� �2 ������ ��������� ,
����������� �� ���� ���� ���� ������ B����� ���� : �( � , � ) �� + �( � , � ) �� = 0 1. �D �������� �������� B����� �D : �(�) �� + �(�) �� = 0 ������ ���� �D : •
•
∫ f ( x)dx + ∫ g ( y)dy = c •
������ : (�+1) �� + (� 2 �3) �� = 0
, c adalah konstanta
2. ������� �� �D �������� �������� B����� �D : � 1(�) �1(�) �� + � 2(�) �2(�) �� = 0 ��������� ������ ���������� : �D ������ ������� : f 1 ( x) f 2 ( x)
dx +
g 2 ( y ) g1 ( y )
1 g1 ( y ) f 2 ( x)
dy = o
������ ����� ������� �D �������� ��������, ���� ������ �D ������ : f 1 ( x )
g 2 ( y )
∫ f ( x) dx + ∫ g ( y) dy = c 2
1
������ � 1. �(��1) �� + (�+2)� �� = 0 2. �� �� + (1 + �2) �� = 0 3.
dy dx
=
4 y xy − 3 x
4. ��� � �� + (1 + ���) ��� � �� = 0
������� : 1. (1 + ��)�� + (1 + ��� )�� = 0 2. ��� � �� + (� � + ��� )�� = 0 3. �� � �� � ��� � �� = 0 4. 2(1 + �2)�� � (1 � � 2)�� = 0 5. (1 + �2) �� + (1 + � 2) �� = 0
�� �� ������� ����� ������ �(�,�) ��������� ������� ���������� � , ���� : �(λ�, λ�) = λ � �(�,�) �D : �( � , � ) �� + �( � , � ) �� = 0 D�������� �D ������� ������� � ���� : �(�,�) ��� �(�,�) ������ ������ ������� ���� ���������� ����. ����� ������� ������ ���� �D ������� ���� ������� ������������ : � = �� ��� �� = � �� + � �� ������ ������������ ��� ��������� ����� �D ����� � ��� � ������ �������� ��������.
������ � 2 2 ( )dx + x y + xydy = 0 1. ������������ � = �� ��� �� = � �� + � ��, �������� ��������� : 2
2
( x + (vx) )dx + x(vx)(vdx + xdv) = 0 ( x 2 + 2 x 2 v 2 )dx + x 3vdv = 0 2
2
3
x (1 + 2v )dx + x vdv = 0...... PD. variabel terpisah dx
vdv
+
x ln x +
2
(1 + 2v ) 1 4
=0
⇒
∫
dx
+
x
ln(1 + 2v ) = c ⇒ ln x + 2
vdv
∫ (1 + 2v 1 4
2
ln(1 + 2
)
=0
y
2
x
2
)=c
2. 3. 4.
3
3
2
( x − y )dx + 3 x ydy = 0 2
2
xydx + ( x − y ) dy = 0 2
2
− 3 xydy = 0 ( x − 2 y ) dx
������� : 1. (�2 + � 2)�� � 2���� = 0 2. � √(�2 + � 2)�� � ��� + √(�2 + � 2)��� = 0 3. (�3 + � 3)�� + 3�� 2�� = 0 4. (���� � ���� )�� + ���� �� = 0 5. ��� � ��� � √(�2 � � 2)�� = 0
�� ��������� ������������ �����
����� �D : �(�,�) �� + �(�,�) �� = 0 ��������� �D E���� ���� ��� ����� ������ F(�,�) �������� : �F = �(�,�) �� + �(�,�) �� ��.(1) ����� ������������ : dF =
∂F ∂x
dx +
∂F ∂y
dy .............................(2)
���� ���� (1) ��� (2) ��������� : ∂F ∂x ∂F ∂y
= M(x, y)......................................(3) = N(x, y).......................................(4)
����� ��������� ������ ����� �D ��������� �D ����� ������ : ∂ M ∂N ∂ y
=
∂x
����� ������� ������ ���� �D E���� ����� ������� ��������� (3) ���� ��������� (4). D��� ��������� (3) ∂F ∂x
= M(x, y)
⇒ F(x, y) = ∫ M(x, y) dx = A(x, y) + c(y)
����� ������� �(�) �������� F(�,�) �������� � ∂F ∂y
=
∂ A ∂ y
+ c' (y) = N(x, y)
c' (y) = N(x, y) -
∂A ∂y
⇒ c(y) = ∫ ( N(x, y) -
∂A ∂y
) dy + c
D��� ��������� (4) ∂F ∂ y
= N(x, y)
⇒ F(x, y) = ∫ N(x, y) dy = B(x, y) + c(x)
����� ������� �(�) �������� F(�,�) �������� � ∂F ∂ x
=
∂ B ∂ x
+ c' (x) = M(x, y)
c' (x) = M(x, y) -
∂B ∂x
⇒ c(x) = ∫ ( M(x, y) -
∂ B ∂x
)dx + c
������ � 1. (�2 � �) �� � � �� = 0 2 M ( x, y ) = x − y
⇒
∂M ∂y
N ( x, y ) = − x......... ⇒ .... ∂F ∂y
= N(x, y)
∂N ∂x
= −1
= −1
⇒ F(x, y) = ∫ N(x, y) dy = ∫ - xdy = -xy + c(x)
����� ������� �(�) �������� F(�,�) �������� � ∂F ∂ x
2
= − y + c' (x) = M(x, y) = x − y
1 c' (x) = x 2 ⇒ c(x) = x 2 dx = x 3 + c 3
∫
����, F(x, y) = - xy +
1 3
x3 + c
2. (�2 + � 2) �� + 2�� �� = 0 3. (2� + � � ) �� + � � � �� = 0 4. (� + � ��� �) �� + ��� � �� = 0 5. (� + � + 1) �� + (� � � + 3) �� = 0 6. ( 3� � 2� + 4) �� � ( 4� � 3� � 2 ) �� = 0
�� ������� ����������� ������������ ����� ���� �(�,�) �� + �(�,�) �� = 0 ������ �D ����� ����� ��� ����� ��������� ����� ������ �(�,�) ���������� �������� �D : �(�,�) � �(�,�) �� + �(�,�) �� � = 0 ��������� �D �����, ���� ������ �(�,�) ��������� ������ ��������� ���� �D ��������. A�� �������� ����� ������ ��������� ������ ���� :
∂ M
1. ���� ����
∂ y
−
N
∂ N ∂ x
= f ( x )
f ( x ) dx ∫ e
����� ������ ���� � ����,
������ ������ ��������� ���� �D ���.
∂ M
2. ���� ����
∂ y
−
∂ N ∂ x
����� ������ ���� � ����
= g ( y )
e ∫
− g ( y ) dy
������ ������ ��������� ���� �D ���.
3. ���� �(�,�) �� + �(�,�) �� = 0 ��������� �D ������� ��� �� + �� ≠ 0 , 1 ���� , ������ ������ ��������� ���� �D ���. xM + yN
4. ���� �(�,�) �� + �(�,�) �� = 0 ����� ������� ��� ������ : � �(�,�) �� + � �(�,�) = 0 , ������ �(�,�) ≠ �(�,�) , ����
1 xM − yN
���� �D ��������.
������ ������ ���������
������� 1. (2� ��3) �� + � �� = 0 2. 3�2 � 2 �� + (4�3 � � 12 ) �� = 0 3. (�2 + � 2 + �) �� + �� �� = 0 4. (�2 + 3� 2 ) �� � 2�� �� = 0 5. (�� + � 2) �� � �2 �� = 0 6. (�2 � 3 + 2�) �� + (2� � 2�3 � 2 ) �� = 0
������� : 1. (�2 � �) �� � ��� = 0 2. (� + ���� �)�� + ��� � �� = 0 3. (1 + �2φ)�� + 2��2φ �φ = 0 4. (4�3 � 3 + ��1)�� + (3�4 � 2 � � �1)�� = 0 5. ��√ (�2 + � 2) � ���� + �� √ (�2 + � 2)� ���� = 0
�� ��������� ������������ ������ ���� ������� B����� ���� :
dy
+ y P(x) = Q(x)
dx
��������� ��� ��������� ������ ��������� : P ( x ) dx ∫ e
������ ���� ���� �D ��� ������ : P ( x ) dx ∫ y e
P ( x ) dx ∫ = ∫ Q ( x ) e dx + c
������ � 1.
dy dx
+ y =2+e
2x
�(�) = 1 , �(�) = 2 + �2� dx x ∫ =e F����� ��������� : �= e ���� ��������� :
∫
x
2 x
x
∫
x
3 x
x
ye = (2 + e )e dx = (2e + e )dx = 2e +
���� , 2.
dy dx
3. dy dx
−2
y = 2 + y x
1 3
2 x
= x e
− y = 2 + 4x
e
2 x
+ ce
− x
1 3
e
3x
+c
�� ��������� ������������ ���������
B����� ���� :
dy dx
n
+ yP( x ) = y Q( x)
D����� ������������ :
z = y
− n +1
dan
1 dy n
y dx
=
1 dz 1 - n dx
���� ������������ ��������� ������������ ������ ���� ���� : dz dx
+ (1 − n) zP ( x ) = (1 − n)Q( x )
���� ��������� ������ ���� : (1− n ) P ( x ) dx ∫ z.e
=
∫
(1− n ) P ( x ) dx ∫ (1 − n)Q( x).e dx + c
������ � 1. dy − y = y 2 (1 − e3 x ) dx
2.
dy
+
dx
y x
2
2
= y ( x − 3 x)
3. x dy + y dx = y 6 ( x − x6 ) dx 4. x
dy dx
2
+ y = xy ln x
��������� ������������ ���� ������� ������� ������ B����� ���� : 2
n
dy dy dy , ,...., ) = 0 F ( x, y, dx dx dx
���� F(�,�,�2,�.,��) = 0 ������ � = ��/�� A�� �������� ���� ����� ���������������� 1. ���� �D ������ ����� ��������� ������� � ������ ������ ���������� ��� ��������� ��� ������� ������� : (� � F1) (� � F2)�.. (� � F�) = 0 ������ F1, F2, �., F� ������ ��� � ��� �
�������2 ���������� ������ ���� (1). ������� �D ��� ������� � ������ ������, ����� : (� � F1) (� � F2)�.. (� � F�) = 0�.(*) ������ F1, F2, �., F� ������ ��� � ��� � (2). ���������� � ��������� ������������ ���� ���� ������� ���� ���� (*), ����� : (� � F1)
⇒
(� � F2)
⇒
dy dx dy
dx
− F 1 ( x, y ) = 0
⇒ f 1 ( x, y, c) = 0
− F 2 ( x, y ) = 0
⇒ f 2 ( x, y, c) = 0
�������������������������.. (� � F1)
⇒
dy dx
− F n ( x, y ) = 0 ⇒ f n ( x, y, c ) = 0
(3). ������ ���� ���� �D ��������� ��������� ���� ������ ���� ������ �D ���� ���� ������� ���� ��������, ����� : � 1(�,�,�) . � 2(�,�,�) �� � �(�,�,�) . = 0
2. ���� �D ����� ���������� �, ��� � ����� ����������. B����� �D : F(� , �) = 0 ��� � = �(�) �������2 ���������� ������ ���� (1). D�������������� � �������� �, ����� : dx
'
= f ( p )
dp
(2).������ p = 1 p
⇒ dx = f ' ( p ) dp
dy dx
���� dx =
1 p
dy
��� :
dy = f ' (p) dp ⇒ dy = p f 1 (p) dp
∫
y = p f ' (p) dp + c
(3).������ ���� ���� �D ����� ��������� � = �(�) � = ∫ pf ' ( p)dp + c
� ������ ���������
3. ���� �D ����� ���������� �, ��� � ����� ����������. B����� �D : F(� , �) = 0 ��� � = �(�) �������2 ���������� ������ ���� : (1). D�������������� � �������� �, ����� : dy dp
'
= f ( p )
⇒ dy = f ' ( p ) dp dy
(2). ������ p = dx
���� dy = p dx �������� :
p dx = f (p) dp ⇒ dx = '
1
p
x=
f 1 (p) dp 1
∫p
f ' (p) dp + c
(3). ������ ���� ���� �D ����� ��������� � = �(�) �=
1
∫ p
f ' ( p )dp + c
� ������ ���������