Sistemas Con Dos Grados de Libertad

SISTEMAS DE GRADOS DE LIBERTAD

Se dice que un sistema tiene dos grados de libertad cuando se requiere dos coordenadas para describir su movimiento. Tal sistema ofrece una introducción simple al estudio del comportamiento de sistemas con varios grados de libertad. Un sistema con dos grados de libertad tendrá dos frecuencias naturales. Cuando la vibración libre tiene lugar a una de estas frecuencias naturales, existe una relación definida entre las amplitudes de las dos coordenadas y, la configuración correspondiente es un modo normal. Los dos grados de libertad del sistema tendrán entonces dos modos normales de vibración, correspondientes a las dos frecuencias naturales. La vibración libre iniciada bajo cualquier condición será en general la superposición de los dos modos normales de vibración. Sin embargo, la vibración armónica forzada ocurrirá a la frecuencia de excitación y la amplitud de las dos coordenadas tendera a un máximo, a las dos frecuenciasnaturales. MODO NORMAL NORMAL DE VIBRACIÓN VIBRACIÓN

 

Consideremos el sistema no amortiguado de la Fig. 1. Usando coordenadas y , medidas de una referencia inercial, las ecuaciones diferenciales de movimiento para el sistema son:

 ̈        ̈       

Figura1.

Definimos ahora un modo normal de oscilación como uno en el cual cada masa experimenta un movimiento armónico de la misma frecuencia, pasando simultáneamente por la posición de equilibrio. Para tal movimiento podemos escribir.

      

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Vibraciones Mecánicas

Miranda Cervantes Ricardo

Sustituyendo en las ecuaciones diferenciales tenemos

                |     |       (  )    ( )      (   √ ))      (   √ ))   

Que satisfacen para cualquier

Haciendo

y

si el determinante siguiente, es cero

, el determinante de arriba conduce a la ecuación característica.

Las raíces de esta ecuación son

Y

Y las frecuencias naturales del sistema son

                  ( )       

Sustitución de estas frecuencias naturales en la ecuación 3 nos permite hallar la razón de las amplitudes. Para

, obtenemos

Que es la razón de amplitudes o la forma modal correspondiente al primer modo normal. Análogamente, usando

   

obtenemos



Vibraciones Mecánicas

Miranda Cervantes Ricardo

Para la forma modal correspondiente al segundo modo normal. Podemos presentar los dos modos normales gráficamente como en la fig. 2. En el primer modo normal, las dos masas se mueven en fase; en el el segundo modo normal las masas se mueven en oposición o. fuera de fase. Para la función de forma del modo normal, encontramos útil la siguiente notación en los últimos capítulos:

  { }   {}

Figura 2. Modos normales del sistema mostrado en la figura 1.

En sistemas con N grados de libertad, a cada modo natural de vibración (vector propio) tendrá una frecuencia natural (valor propio) asociada que será la del movimiento armónico resultante al desplazar los nudos del sistema respecto de su posición de equilibrio estático en la forma del modo natural correspondiente. Cada frecuencia natural será el cociente entre la rigidez modal y la inercia modal correspondiente. En cualquier caso, la o las frecuencias naturales constituyen un parámetro modal intrínseco al sistema y sólo dependerán de la rigidez (k) e inercia (m) del sistema (y de su distribución por el sistema en el caso del N grados de libertad), pero no del tiempo ni de las condiciones iniciales. Sean cuales sean estas condiciones iniciales, el sistema siempre tendrá la misma o mismas frecuencia. De igual manera un sistema con dos grados de libertad tendrá dos frecuencias naturales. Un modo normal de un sistema oscilatorio es la frecuencia a la cual la estructura deformable oscilará al ser perturbada. Los modos normales son también llamados frecuencias naturales o frecuencias resonantes. Para cada estructura existe un conjunto de estas frecuencias que es único.

Sistemas Con Dos Grados de Libertad

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