Latihan Bab 5
1. Pada ABC, P terletak pada sisi AB sedemikian hingga AP = 1/3 AB, Q terletak pada sisi BC sedemikian hingga CQ = 2/3 BC dan titik R terletak pada sisi AC sedemikian hingga CR : RA = 1 : 2. Buktikan bahwa [PQR] : [ABC] = 1 : 3 2. Diketahui ABC siku-siku di A. Pada sisi miring BC terdapat titik D dan E 2
2
2
sedemikian hingga BD = DE = EC. Buktikan bahwa (AD) + (AE) + (DE) = (BC)
2 3
2
3. Pada ABC, diketahu AC : AB = 2 : 1. Titik D terletak pada perpanjangan CB sedemikian hingga DB = CB. Buktikan AD adalah garis bagi dari sudut-luar A. 4. Pada ABC, diketahui AC: AB = 2 : 1. Titik D terletak pada perpanjangan CB 2 2 2 sedemikian hingga DB = CB. Buktikan (AD) = 2 (BC) – 2 (AB) 5. Pada ABC, diketahui m B = 2 m C. Selanjutnya dibuat garis tinggi AD . Titik E terletak pada perpanjangan AB sedemikian hingga BE = BD. Selanjutnya perpanjang ED sehingga memotong AC di F. Buktikan bahwa ADF sama kaki 6. Pada ABC, diketahui AB = 12 cm, BC = 16 cm dan AC = 8 cm. Selanjutnya dibuat garis berat AD dan garis bagi sudut-dalam CE . Buktikan bahwa DE = ¼ BC. 7. Pada ABC, CD merupakan garis bagi C. Titik E terletak pada sisi CB 2 sedemikian hingga berlaku (CD) = CE CB. Jika diketahui AC = 24 cm, AB = 36 cm dan BC BC = 30 cm. Buktikan bahwa m CDE = ½ m mC 8. Pada ABC diketahui BC = AC + ½AB. Misalkan P suatu titik pada sedemikian hingga AP = 3 PB. Buktikan m CAP = 2(m 2(mCPA)
AB
9. Misalkan pada ΔRST diketahui RU suatu cevian. Jika = SRU and = URT Sin( ) Sin ( ) Sin () buktikan = + RS RU RT o 10. Pada ABC diketahui m m B = 90 , mC = 2. E adalah sutau titik pada BC
sedemikian hingga m m C = 2 (m (m BAE). Jika D dan F berada pada AC sedemikian hingga BD AC dan EF AC , buktikan BD = ½ (AB + EF) 11. Pada ABC,
AH merupakan garis tinggi, D suatu titik pada AB . Melalui D dibuat garis m// AC . M suatu titik pada AC . Melalui M dibuat garis n// AB . Misalkan m dan n berpotongan di F. Misalkan N, P dan Q titik-titik pada BC sedemikian hingga DN , PF dan QM tegak lurus terhadap BC . Jika AH = h, DN = h1, PF = h2 dan QM = h3, buktikan h = h 1 + h2 + h3. 51
12. Pada ABC diketahui D berada pada AB dan M pada AC . Garis yang melalui D dan sejajar AC memotong garis yang melalui M dan sejajar AB di F. Jika S, S1, S2, and S3, berturut-turut menyatakan [ABC], [DBE], [FGE], and [MGC], buktikan S = S1 + S 2 + S 3 13. Pada ABC diketahui C’ dan C’ berada pada AB sehingga AC’ = C’C” = C”B. Sementara itu, A’ dan A” berada pada BC sedemikian hingga BA’ = A’A” = A”C. Titik B’ dan B” berada pada AC sedemikian hingga CB’ = B’B” = B”A. Jika
CC" dan BB' berpotongan di D, CC" dan AA' berpotongan di F, AA ' dan BB" S1 berpotongan di H, S = [ABC] dan S 1 = [HDF], tentukan nilai dari S 14. Pada ABC pilih titik A 1 pada sisi BC, titik B 1 pada sisi AC dan titik C 1 pada sisi
AB sedemikian hingga AA 1, BB1 dan CC1 berpotongan pada satu titik P. Buktikan bahwa P merupakan perpotongan garis berat ( centroid ) dari ABC jika dan hanya jika P merupakan centroid dari A1B1C1 15. Pada ABC, misalkan l adalah garis yang memuat sisi BC. Pilih titik D pada l sedemikian hingga B berada diantara D dan C serta BD = AB. Misalkan M adalah pertengahan AC, garis bagi dari ABC memotong DM di P. Buktikan BAP =ACB 16. Diketahui ABC siku-siku di B. Dipilih titik D yang letaknya berlawanan pihak dengan A terhadap BC sedemikian hingga DC AC dan DC = AC. Jika BD = x, 2 2 2 buktikan x = a + (a - c) 17. Diketahui ABC siku-siku di B. Titik D berada pada pihak yang berlawanan dengan B terhadap BC sedemikian hingga BCD sama sisi. Jika E dan F berturutturut adalah titik tengah dari AC dan BD , buktikan EF = ½ AD 18. ABC siku-siku di B, D berada pada AB dan E berada pada BC. M titik tengah DE dan N titik tengah AC. Jika AD = d, CE = e dan MN = x, buktikan x = 1 d2 e 2 2 19. Titik D berada pada daerah interior segitiga sama sisi ABC. Jika AD = a, BD = b dan CD = c tentukan nilai dari mBDC. 20. ABC siku-siku di B. BD adalah garis tinggi. DE adalah garis tinggi pada BCD,
DF adalah garis tinggi pada ABD. Jika melalui E dan F masing-masing dibuat garis sejajar BD sedemikian hingga memotong AC berturut-turut di H dan G, buktikan DG = DH.
21. ABC siku-siku di C. Jika CH adalah garis tinggi, AB = c, BC = a, AC = b dan 52
CH = h, buktikan ab = ch. 22. Diketahui ABC dengan luas bagianbagiannya seperti dinyatakan pada gambar di sebelah. Tentukan luas daerah x. 23. ABC sama sisi. O adalah perpotongan ketiga garis tinggi. Luas daerah yang diarsir menyatakan pecahan berapa? 24. Diberikan dua segitiga siku-siku sama kaki yang kongruen seperti pada gambar. PQRS dan ADEF suatu persegi. Tentukan nilai dari [PQRS] : [ADEF]
25. Misalkan ABC siku-siku di A, M titik tengah AB . Garis yang melalui A dan tegak lurus CM memotong BC di P. Buktikan mAMC = mBMP. 26. Misalkan pada ABC berlaku
BC AB BC
=
AB BC AC
. Tentukan rasio dari
mA : mC. 27. Misalkan ABC siku-siku di A. Pada BC dipilih dua titik berlainan P dan Q sedemikian hingga mBAP = mPAQ dan BP.CQ = BC.PQ. Tentukan mPAC. 28. Misalkan pada ABC, D, E dan F berturut-turut titik tengah dari AB , BC dan
AC . Misalkan garis bagi dari BDC memotong BC di M dan garis bagi dari ADC memotong AC di N. Misalkan MN dan CD berpotongan O, EO dan AC berpotongan P, FO dan BC berpotongan di Q, buktikan CD = PQ. 29. Misalkan pada ABC diketahui M dan N adalah dua titik berlainan pada BC sedemikian hingga BM = MN = NC. Garis yang sejajar AC memotong AB , AM , dan AN berturut-turut di titik D, E dan F. Buktikan EF = 3 DE. 30. Misalkan pada ABC diketahui mC = 60o. D, E, F berturut-turut titik pada BC ,
AB dan AC , M adalah titik potong antara AD dan BF . Misalkan CD = DE = EF 2 = FA, buktikan (DF) = (DM)(DA) 31. Misalkan ABC lancip, misalkan D berada pada BC sedemikian hingga AD
BC , misalkan E berada pada AC sedemikian hingga DE AC misalkan F 53
berada pada DE . Buktikan AF BE jika dan hanya jika FE // FD . 32. Pada ABC, misalkan AP garis bagi dari BAC, BQ garis bagi dari ABC. Jika o BAC = 60 dan AB + BP = AQ + QB, tentukan ukuran sudut yang mungkin pada ABC tersebut (IMO 2001) 33. Misalkan ABC lancip dengan O adalah perpotongan ketiga garis sumbunya. Misalkan P pada BC sedemikian hingga AP BC . Jika mBCA mABC + o o 30 buktikan mCAB + mCOP < 90 (IMO 2001) 34. Misalkan D adalah suatu titik pada interior ABC lancip sedemikian hingga o mADB = mACB + 90 dan AC.BD = AD.BC, hitunglah rasio dari (AB.CD/AC.BD) 35. Misalkan pada ABC diketahui mADB = 40o dan mABC = 60o. Misalkan D dan E berturut-turut adalah titik yang berada pada AC dan AB sedemikian hingga o
o
mCBD = 40 dan mBCE = 70 . Misalkan BD dan CE berpotongan di F, buktikan AF BC . 36. Misalkan pada ABC diketahui AC > AB, P adalah titik potong antara garis sumbu dari BC dan garis bagi BAC. Tentukan
titik X pada AB atau
perpanjangannya dan Y pada AC sedemikian hingga PX AB dan PY AC . Jika Z adalah perpotongan antara XY dan BC , tentukan nilai dari BZ/ZC . 37. Konverse Teorema Van Aubel menyatakan, ”Diketahui D, E dan F berturut-turut adalah titik-titik pada BC , CA dan AB . Misalkan AD dan BE berpotongan di P dan berlaku
CP PF
=
CD DB
+
CE EA
maka CF akan melalui P”. Buktikan kebenarannya.
38. Misalkan D, E dan F berturut-turut adalah titik-titik tengah dari BC , CA dan AB . Misalkan AD dan BE berpotongan di P Gunakan teorema Van Aubel untuk membuktikan bahwa AP/PD = 2:1. 39. Pada ABC, ABC = ACB = 40°. P dan Q berada pada interior ABC sedemikian hingga PAB = QAC =20° dan PCB =QCA =10°. Tentukan, apakah B, P, Q kollinear atau tidak. Buktikan jawaban Anda. 40. Pada ABC dan A’B’C’, misalkan P adalah perpotongan antara garis yang melalui B dan C dengan garis yang melalui B’ dan B’, Q adalah perpotongan antara garis yang melalui A dan C dengan garis yang melalui A ’ dan B’, R adalah perpotongan antara garis yang melalui B dan A dengan garis yang melalui B’ dan A’ serta garis-garis yang melalui A dan A’, B dan B’, C dan C’ kolinear pada titik O, maka titik-titik P, Q, dan R juga kolinear (Teorema Desargues)
41. Diketahui ABC. P suatu titik pada bidang yang memuat segitiga tersebut. 54
Misalkan garis-garis yang melalui A dan P, garis yang melalui B dan P, garis yang melalui C dan P memotong garis-garis yang melalui B dan C, garis yang melalui C dan A, serta garis yang melalui A dan B berturut-turut di titik A', B', C'. Misalkan A" adalah perpotongan AP dengan B' C' , R adalah titik pada BC sedemikian hingga A" R BC . Buktikan A" R adalah garis bagi dari m B'RC'. 42. P adalah suatu titik pada garis tinggi AD pada ABC. BP memotong CA di E sementara CP memotong AB di F. Buktikan AD adalah garis bagi dari EDF. 43. Pada ABC diketahui AD garis tinggi, BE garis bagi sudut dan CF garis berat. 2 2 2 Buktikan ketiga garis tersebut konkuren jika dan hanya jika a (a – c) = (b – c )(a+c). 44. ABC suatu segitiga. D titik tengah AB, E adalah suatu titik pada BC sedemikian hingga BE = 2 EC dan ADC = BAE. Tentukan BAC 45. Diketahui ABC memiliki luas daerah 1. Pilih X pada AB dan Y pada AC sedemikian hingga Posisi centroid G berada pada pihak yang berlawanan dengan B dan C terhadap XY . Tunjukkan [BXGY] + {CYGX] ≥ 4/9. Kapan berlaku [BXGY] + {CYGX] = 4/9? 46. Buktikan bahwa pada ABC, panjang garis bagi C adalah (2ab cos C/2)/(a + b) 47. Suatu segitiga memiliki ukuran-ukuran panjang sisi 6, 8 dan 10. Tunjukkan bahwa ada dengan tunggal sebuah garis yang memotong segitiga tersebut menjadi dua bagian sedemikian hingga luas-luas daerahnya dan keliling-kelilingnya sama 48. Pada ABC mB = 90o. Titik D dipilih pada sinar AC pada pihak yang berlawanan dengan C terhadap A sedemikian hingga CD = AB. Jika m CBD = o 30 . Tentukan nilai AC/CD 49. Pada ABC diketahui AB = AC dan garis bagi B memotong AC di E. Jika BC = BE + EA tentukan mA 50. Pada ABC dengan mA = 40o dan B = 60o diketahui X suatu titik pada interior o
o
ABC sedemikian hingga m XBA = 20 dan m XCA = 10 . Buktikan AX
BC Soal Kesebangunan
Latihan Bab 3
1.
Buktikan bahwa dua buah segitiga sama kaki sebangun jika pasangan sisi yang 55
tidak sama pada masing-masing segitiga dan garis tinggi pada pasangan sisi tersebut sebanding. 2. Buktikan bahwa dua buah segitiga sama kaki sebangun jika pasangan sisi yang tidak sama pada masing-masing segitiga dan garis tinggi pada pasangan sisi yang tidak sama tersebut sebanding 3.
Pada segitiga ABC titik D terletak pada AC dan E pada BC sedemikian hingga CD : DA = CE : EB. Buktikan ABC ~ DEC.
4.
Titik M adalah pertengahan sisi miring BC pada segitiga siku-siku ABC. Melalui M dibuat garis tegak lurus pada BC yang memotong kaki AC di titik D 2 dan perpanjangan kaki BA di titik E. Buktikan (MA) = MD x ME.
5.
Bill Casselman, dari The University of British Columbia, menulis 64 versi bukti Teorema Pythagoras. Kajilah bukti-bukti tersebut dengan mencari alamatnya pada , htpp:\\ www.cut-the-knot.org.
6.
Diketahui seperti pada gambar berikut. C G E
D
F
Buktikan CE : EA = CG : GF EG // AF CD : CB = EG : AF
7.
B Dalam segitiga ABC ditarik DE // AB sehingga CD : DA = 2 : 3 dan DF // A BC. Jika AC = 15, AB = 22 dan BE = 15, hitunglah CD, BC, DE dan DF
8.
Pada segitiga ABC dibuat garis berat CE, pada sisi BC terletak titik D sehingga BD : DC = 1 : 2. CE dan AD berpotongan di S. Tentukan AS : SD.
9. Diketahui
// CD dengan AB = 10, CD = 4. Sementara itu
AB
DE AB
dengan DE = 3. Perpanjangan AD berpotongan dengan perpanjangan T. Hitunglah garis tinggi dari T pada TDC,
C
D
A
di
jika [Z] menyatakan luas daerah dari bangun Z, hitunglah [TDC].
T
10.
BC
G
E
Diketahui ABF // CD dengan ABB= 20, CD = 8 dan BD = 18. Pada kaki AD terletak P dan PQ // AB, Q pada BC, PQ memotong AC di R dan BD di S. Jika AP = 1/3 PD hitunglah PS, SR dan QR. (Lihat gambar di bawah) 56
D
8
C
T P
11.
R
S
Q
Pada A persegi panjang F adalah titik-titik tengah AB dan CD. 20 ABCD, E dan B Garis AF dan CE memotong diagonal BD masing-masing di P dan Q. Buktikan PQ = 1/3 BD
12. Jika ABC ~ DEF dan AG serta DH berturut-turut adalah garis-garis tinggi AB DH pada ABC dan DEF, buktikan = . BC EF 13. Jika ABC ~ DEF dan AG serta DH berturut-turut adalah garis-garis berat AB DH pada ABC dan DEF, buktikan = . BC EF 14. Jika ABC ~ DEF dan AG serta DH berturut-turut adalah garis-garis bagi AB DH sudut pada ABC dan DEF, buktikan = . BC EF 15. Pada ACP, buktikan bahwa mCAP = 2mCPA (CP)2 = AC (AC + AP) 16. Diketahui ABC lancip. AD adalah garis tinggi, DE adalah garis tinggi pada DF Ctg C ADC, Titik F berada pada DE sedemikian hingga = . Buktikan FE Ctg B
AF BE 17. ABC siku-siku di C. Jika CH adalah garis tinggi, AB = c, BC = a, AC = b 1 1 1 dan CH = h, buktikan = + h2 a 2 b2 18. ABC siku-siku di C. CH adalah garis tinggi. HE adalah garis tinggi pada BCH, HF adalah garis tinggi pada ACH. Jika melalui E dan F masingmasing dibuat garis sejajar CH sedemikian hingga memotong AB berturut3 turut di M dan N. Jika CH = h, buktikan h = c (CE)(CF) 19. ABC siku-siku di C. CH adalah garis tinggi. HE adalah garis tinggi pada BCH, HF adalah garis tinggi pada ACH. Jika melalui E dan F masingmasing dibuat garis sejajar CH sedemikian hingga memotong AB berturut3 turut di M dan N. Jika CH = h, buktikan h = c (AF)(BE) 20. ABC siku-siku di C. CH adalah garis tinggi. HE adalah garis tinggi pada BCH, HF adalah garis tinggi pada ACH. Jika melalui E dan F masing57
masing dibuat garis sejajar CH sedemikian hingga memotong AB berturut3 2 3 2 turut di M dan N. Jika CH = h, buktikan AF = b /c dan BE = a /c 21. ABC siku-siku di C. CH adalah garis tinggi. HE adalah garis tinggi pada BCH, HF adalah garis tinggi pada ACH. Jika melalui E dan F masingmasing dibuat garis sejajar CH sedemikian hingga memotong AB berturutturut di M dan N. Jika CH = h, buktikan
3
AF 2 +
3
BE 2 =
3
c2
22. ABC siku-siku di C. CH adalah garis tinggi. HE adalah garis tinggi pada BCH, HF adalah garis tinggi pada ACH. Jika melalui E dan F masingmasing dibuat garis sejajar CH sedemikian hingga memotong AB berturutturut di M dan N. Jika CH = h, buktikan MN =
2(BM)(BN)
23. ABC siku-siku di B, Titik D terletak pada BC sedemikian hingga mBAD = ½ mDAC. Titik E berada pada AC sedemikian hingga DE AC . Garis yang melalui B dan tegaklurus AD memotong AD di F. Buktikan BF = ½ DE 24. ABC siku-siku di A, AD adalah garis bagi sudut. Jika AB = c, AC = b dan AD = x, buktikan
1 1 2 =( + ) x b c
25. ABC siku-siku di B, BD adalah garis tinggi dan AE garis bagi sudut. Jika BD dan AE berpotongan di F, buktikan BE = BF 26. Diketahui ABC lancip. Titik-titik D, E dan F berturut-turut ditempatkan pada CD CA AE AB BF BC , CA dan AB sedemikian hingga = , = dan = CE CB AF AC BD BC . Buktikan AD , BE dan CF adalah garis-garis tinggi pada ABC. BA 27. ABC siku-siku di B, BD adalah garis tinggi dan AE garis bagi sudut. Jika BF adalah garis bagi sudut pada BCD buktikan AE BF . 28.
ABC siku-siku di B , BD , BE BF berturut-turut adalah garis tinggi, garis bagi sudut dan garis berat pada ABC. Buktikan BE adalah garis bagi sudut dari DBF
29. ABC siku-siku di B , BD adalah garis tinggi dan AE adalah garis garis berat pada ABC sedemikian hingga m BAE = mACB. Jika BD dan AE berpotongan di F, dan FD = 1, hitunglah nilai AB 30. Pada ABD diketahui AC adalah garis berat. Jika mADB = x, mABD =.2x, dan mDAC = 2x, Tentukan nilai x 58
31. ABC bukan segitiga siku-siku. D suatu titik yang afa pada BC . Misalkan E dan F berturutturut titik pada
AB
adalah titik potong dari hanya jika
AD
AC sedemikian hingga DE AB dan DF AC . Misalkan P BF dan CE , buktikan bahwa AP merupakan garis tinggi jika dan
dan
merupakan garis bagi.
32. Pada XYZ dibentuk suatu segitiga ABC dengan A berada pada YZ, B berada pada XZ dan C berada pada XY. Titik M berada pada BC, N berada pada AC dan P berada pada AB sedemikian hingga PM // ZX, MN // XY dan NP // YZ. AZ MB Buktikan = . AY MC 33. Pada ABC jika titik M dan N berada pada BC sedemikian hingga mBAM = NAC buktikan
( AB) 2 ( AC) 2
=
(BM) (BN) (MC ) (NC )
(Teorema Steiner)
34. Pada ABC diketahui mB > 90o. H suatu titik pada AC sedemikian hingga AH = BH dan BH BC . Titik-titik D, E berturut-turut adalah titik tengah dari
AB dan BC . Garis yang melalui H dan sejajar AB m BCF = m ACD.
memotong
DE di F. Tunjukkan
35. Pada ABC diketahui mA = 90o. AX suatu garis tinggi. Titik D terletak pada perpanjangan AB sedemikian hingga AB = BD. Jika Y titik tengah XC , buktikan DX AY . 36. Pada ABC misalkan D adalah titik tengah dari BC dan E adalah titik tinggi pada AD yang dibuat dari C. ABC sama kaki atau siku-siku.
Jika mACE
= mABC, tunjukkan bahwa
37. Pada sembarang ABC, di daerah eksterior ABC dibuat segitiga-segitiga siku-siku sama kaki ABD yang siku-siku di D dan ACE yang siku-siku di E. Jika F titik tengah BC , buktikan DEF juga segitiga siku-siku sama kaki 38. P adalah sembarang titik pada interior ABC. Jika jarak dari P ke A, B dan C berturut-turut adalah 3, 4 dan 5, tentukan [ABC] 39. Pada ABC, diketahui a = 29, b = 21 dan c = 20. Titik D dan E berada pada
BC sedemikian hingga BD = 8, DE = 12 dan EC = 9. Tentukan nilai m DAE. 40.
Ukuran panjang sisi-sisi suatu segitiga tumpul berupa bilangan asli. Jika salah satu ukuran sudut lancip pada segitiga tersebut adalah dua kali ukuran sudut lancip yang lainnya, tentukan keliling terrkecil yang mungkin pada segitiga tersebut.
41. Pada ABC diketahui BD dan CE adalah garis-garis berat. Buktikan BD 59
CE jika dan hanya b 2 + c2 = 5a2. 42. P adalah titik pada interior ABC sedemikian hingga PA = 5, PB = 7 dan PC = 8. Tentukan AB 43. Pada ABC diketahui D adalah titik tengah BC . E adalah titik pada AC sedemikian hingga BE = 2 AD. Jika BE dan AD berpotongan di F dan o mFAE = 60 , tentukan mFEA 44. Pada ABC dengan mC = 90o dan CA ≠ CB diketahui CH suatu garis tinggi dan CL suatu garis bagi sudut. Tunjukkan: (a) jika X suatu titik pada CL dengan X ≠ C maka mXAC ≠ mXBC, (b) jika Y suatu titik pada CH dengan Y ≠ C maka mYAC ≠ mYBC 45. Diketahui ABC suatu segitiga sama sisi. D suatu titik pada AB dan E suatu titik pada AC . Jika garis bagi dari ADE memotong AE di F dan garis bagi dari AED memotong AD di G. (a) tunjukkan [DEF] + [DEG] ≤ [ABC]. (b) Kondisi apa yang harus dipenuhi agar [DEF] + [DEG] = [ABC] 46. Pada ABCdiketahui [ABC] = 1. AH adalah garis tinggi, M adalah titik tengah
BC , K adalah suatu titik sedemikian hingga garis bagi A memotong BC . Jika [AHM] = ¼ dan [AKM] = 1 – ½ 3 , tentukan ukuran ketiga sudut ABC 47. Pada XYZ diketahui XY = 3, YZ = 4 dan ZA = 5. P adalah titik pada interior XYZ sedemikian hingga XPY = YPZ = ZPX. Jika PX = l, PY = m dan PZ = 2 2 2 m, tentukan nilai dari l + m + n . 48. Diketahui ABC adalah segitiga lancip yang tidak sama kaki. M adalah titik tengah dari BC . X adalah sembarang titik pada AM . Garis yang melalui X dan tegak lurus BC memotong BC di Y. Z sembarang titik pada XY . Garis yang melalui Z dan tegak lurus AB memotong AB di U. Garis yang melalui Z dan tegak lurus AC memotong AC di V. Buktikan garis bagi UZV dan garis bagi UXV sejajar 49.
Pada ABC dengan AB AC diketahui garis bagi A memotong garis sumbu dari sisi BC di X. Misalkan garis yang melalui X dan tegak lurus
AB memotong AB di F, garis yang melalui X dan tegak lurus AC memotong AC di G. Jika garis yang melalui F dan G memotong BC di D, tentukan nilai dari BD/DC. 50. Diberikan suatu segitiga sama sisi ABC yang memiliki keliling p. X adalah suatu titik yang terletak pada interior ABC. Jika s adalah jumlah jarak dari X
60
ke masing-masing sisi ABC, buktikan p =
12 s
51. Titik O dipilih secara acak pada daerah interior dari KAM. Melalui O dibuat garis g sehingga memotong sinar AK di B dan memotong sinar AM di C. Buktikan bahwa nilai dari
1 1 + tidak tergantung pada pembuatan AOB AOC
garis g Soal Kekongruenan
Latihan Bab 2
1. Jika pada ABC diketahui mA = 90o dan mB = 60o buktikan AB = ½ BC. 2. Jika pada ABC diketahui mA = 90o dan mB = 60o dan AD adalah garis 1 tinggi, buktikan BD = DC. 3 3. Titik D dan E adalah dua titik yang berada pada sisi miring ABC yang sikusiku di C sedemikian hingga BC = BD dan AC = AE. Garis tegak lurus yang dibuat dari D terhadap AC memotong AC di F dan garis tegak lurus yang dibuat dari E terhadap BC memotong BC di G. Buktikan bahwa DE = DF + EG 4. Pada segitiga lancip ABC, AD adalah garis bagi dari BAC dengan D berada pada sisi BC dan BE adalah garis tinggi yang dibuat dari B ke sisi AC. o Buktikan CED > 45 . 5. Pada ABC diketahui AC = AB dan mA = 120o. Titik D dan E berada pada BC sedemikian hingga BD = DE = EC. Buktikan AED sama sisi. 6. Pada ABC, buatlah garis g // sisi BC sehingga memotong AB dan AC atau perpanjangannya berturut-turut di D dan E sedemikian hingga (i) DE = BD + CE dan (ii) DE = BD – CE 7. Pada ABC dengan AB = BC, garis l memotong perpanjangan AB, AC dan BC berturut-turut di D, E dan F. Buktikan AD = CF 8. Pada ABC dengan mC = 90 o, titik D berada pada BC dan E pada AB o sedemikian hingga mBAD = mBCE = 15 . Jika F pertengahan AD, G pertengahan CE, AB = CD = 2, tentukan panjang FG 9. Pada ABC diketahui bahwa B tumpul dan mA = 3x. Titik D berada pada AC sedemikian hingga AD = BC, BD = DC, mDBC = 2x. Tentukan mB 10. Pada ABC diketahui bahwa B tumpul, mA = 2x dan mC = 3x. Titik D 61
berada pada AC sedemikian hingga m DBA = x. Buktikan bahwa BC BD 11. Jika pada ABC diketahui m BAO = m OAC = 20°, m ACO = 10°,dan m OCB = 30°, buktikan m OBC = 80° 12. Pada ABC diketahui mA = 3x, mC = 4x. Titik D berada pada AC sedemikian hingga BD = AC dan m CBD = 2x. Tentukanlah nilai x. 13. Pada pada perpanjangan sisi BC pada ABC dipilih titik D sedemikian hingga o o AD = BC, mCDA = 50 dan mCAD = 15 . Buktikan ABD sama kaki. 14. Pada ABC, jika garis bagi sudut-sudut luar dari B dan C berpotongan di D serta DE tegak lurus terhadap perpanjangan AB (E pada perpanjangan AB), buktikan AE = ½ keliling dari ABC 15.
Garis yang menghubungkan puncak suatu segitiga sama kaki dengan suatu titik pada sisi alasnya lebih pendek daripada salah satu kaki segitiga tersebut.
16. Buktikan, garis tinggi dari A ke sisi b dan c
BC
pada ABC lebih pendek dari ½ jumlah
17. Pada ABC garis berat dari C ke c lebih panjang dari ½ c jika dan hanya jika C lancip. 18. Pada ABC garis berat dari C ke c lebih pendek dari ½ c jika dan hanya jika C tumpul. 19. Pada ABC garis berat dari C ke c sama dengan ½ c jika dan hanya jika C siku-siku. 20. Pada ABC dibuat garis tinggi pertengahan
AB ,
AD
dan garis tinggi
BE
. Jika F adalah titik
buktikan FD = FE
21. Pada ABC, F adalah perpotongan garis bagi B dan C. Melalui F dibuat garis sejajar BC sehingga memotong DE = BD + CE.
AB
di D dan
AC
di E. Buktikan bahwa
22. Garis bagi sudut luar B suatu ABC memotong garis bagi dalam A di titik D. Melalui D dibuat garis sejajar memotong
AC
AD
BC
di E dan
adalah garis tinggi yang dibuat ke sisi miring
. Buktikan m ABD = m CAD
24. Pada ABC dibuat garis-garis tinggi CBE 25. Pada BE
AD
ABC dibuat garis-garis tinggi
Ketiga garis ini berpotongan. R.
sehinggga memotong
di F. Buktikan FE = AF – BE.
23. Diketahui ABC siku-siku. BC
AB
memotong
CF
AD
dan AD
memotong
BE
. Buktikan m CAD = m
dan
BE
serta garis bagi
BE
di P dan memotong
CF
CF
.
di
di Q. Buktikan m CQE = m ARF
26. Pada ABC dibuat garis bagi
AD .
Dari D dibuat garis sejajar
AB
yang 62
memotong
AC
di E. Buktikan m ADE = m EAD
27. Pada ABC garis bagi luar C sejajar dengan alas sudut alas segitiga tersebut besarnya sama. 28.
AB .
Buktikan kedua
Dari pertengahan garis alas suatu segitiga sama kaki dibuat garis-garis yang tegak lurus ke sisi tegaknya. Buktikan kedua garis tersebut sama panjang.
29. Pada kedua kaki XPY terletak titik A dan B sama jauh dari P. Dalam daerah interior sudut tersebut juga ada titik C sedemikian hingga AC = BC. Buktikan bahwa
PC
garis bagi dari XPY.
30. ABC sama kaki. Pada sambungan garis alas
BC
ditentukan CD = AC.
Selanjutnya D dihubungkan dengan A dan melalui A, DA diperpanjang dengan sembarang garis AE . Buktikan, m BAE = 3 m ADC. 31. Pada ABC AB > AC. Pada AB ditentukan AD = AC. Selanjutnya D dihubungkan dengan D. Buktikan : (a) m ACD = ½ ( m ACB + m ABC ) (b) m BCD = ½ ( m ACB – m ABC ) 32. Pada segitiga lancip ABC diketahui AB < AC. Dari A dibuat garis tinggi dan garis bagi
AE .
AD
Buktikan :
(a) m CAD – m BAD = m B – m C (b)
AE
terletak diantara
AD
dan
AC
(c) m DAE = ½ ( m B – m C ) 33.
Dua buah segitiga kongruen jika sisi alasnya sama panjang, satu sudut alasnya sama besar dan jumlah panjang sisi tegaknya sama.
34. Buktikan bahwa dalam suatu segitiga sama kaki (a) garis bagi kedua sudut alasnya sama panjang (b) garis berat pada kedua sisi tegaknya sama panjang (c) garis tinggi pada kedua sisi tegaknya sama panjang 35. Buktikan bahwa dua segitiga kongruen jika dua pasang sisinya sama panjang, pasangan garis berat yang terletak diantara kedua sisi tersebut sama panjang. 36. Dua buah segitiga kongruen jika garis alas, sebuah sisi tegak dan garis berat dari sudut puncaknya sama. 37. Dua buah segitiga kongruen jika satu sudut alas, sudut puncak dan garis tinggi dari sudut puncaknya sama. 38. Dua buah segitiga kongruen jika garis alas, garis tinggi pada alas dan garis berat dari sudut puncaknya sama. 39. Dua buah segitiga kongruen jika sudut puncak, garis tinggi dan garis bagi dari sudut puncaknya sama. 40.
Dua buah segitiga kongruen jika garis alas, sudut alas yang terbesar dan selisih 63
sisi tegaknya sama 41.
Dua buah segitiga kongruen jika garis alas, seselisih sudut-sudut alasnya dan selisih sisi tegaknya sama
42. Pada ABC dengan AB < BC diketahui titik D terletak pada perpanjangan AB dan E pada perpanjangan BA sedemikian hingga BE = BC = BD. Buktikan ED CD dan DC sejajar dengan garis bagi dari ABC. 43. Diketahui ABC sama sisi. Titik D suatu titik pada interior ABC. Jika AD = 2 2 2 a, BD = b dan CD = c serta berlaku a = b + c , tentukan mBDC. 44. Diketahui ABC sama kaki dengan AC = BC. Titik P adalah titik tengah AB . Sementara itu, titik Q dan R berturut-turut terletak pada sedemikian hingga CQ = CR. Buktikan PQ = PR.
BC dan AC
45. Pada ABC dengan AC < BC, titik E terletak pada BC sedemikian hingga
BC AE . Sementara itu, titik F terletak pada AB sedemikian hingga AF = AC. Jika AD adalah garis bagi sudut dari BAC, buktikan mECF = mEAD. 46. Diketahui ABC lancip. AD adalah garis bagi sudut dan BE garis tinggi. o Buktikan mCED > 45 . 47. ABC siku-siku di B. Titik D dan E berada pada BC sedemikian hingga AB = o BD = DE = EC. Buktikan mBDA + mBEA + mBCA = 90 48. Diketahui sembarang ABC. Di luar segitiga ada dua titik P dan Q dengan ketentuan : P berlainan pihak dengan B terhadap AC sedemikian hingga ACP sama sisi., Q berlainan pihak dengan A terhadap BCQ sama sisi. Buktikan AQ = BP.
BC
sedemikian hingga
49. Pada ABC diketahui CD adalah garis berat. Jika m ACB = 90o – , mDCB =.x, dan mCBA = , buktikan x = . 50. Diketahui ABC sama sisi. Titik D suatu titik pada interior ABC. Jika AD = 2 2 2 a, BD = b dan CD = c serta berlaku a = b + c , tentukan mBDC
64
