En el documento se explica de forma breve como llegar a la ecuación de Blasius, en el documento no se explica de donde vino la función etaDescripción ...
Descripción: Calculo de curva circula simple, replanteo, alineamiento vertical y secciones, y diseño de cuneta.
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Tarea 04
Julio Jul io C´esar esar Vega Ott Ott 14-05-19
1
Ecuacion o ´n de Blasius
Primeramente, antes de llegar a la soluci´on on de Blasius hay que considerar las siguientes ecuaciones. ∂u ∂ v + =0 ∂x ∂y
Ecuaci´ on de continuidad ontinuidad
Ecuaci´ on de momento lineal
∂u ∂u ∂ 2 u + v = ν 2 u + v ∂x ∂y ∂y
Determinaci´ on de η de Blasius Blasius
u =
Funci´ on de corriente orriente
Funci´ on η de Blasius Blasius
∂ψ ∂y f ( f (η ) =
√ ψ
U νx
(3)
− ∂ψ ∂x
(4)
ν xU Con estas cinco ecuaciones se construye la ecuaci´on de Blasius. Primero despejamos la funci´on on corriente (ψ (ψ) de la ecuaci´on on 5. ψ =
√
νxUf (η )
(2)
= y η = y v =
(1)
(5)
(6)
Reemplaza Reemplazamos mos la ecuaci´ ecuaci´ on o n 6 en la ecuaci´on on de la corrient corrientee 4 con velocidad velocidad u (despu´ (despu´es es se realizara el mismo procedimiento pero en v), entonces la ecuaci´on resultante es la siguiente, u =
∂ √ ( νxUf (η )) ∂y
(7)
Para el lector puede sonar tentativo derivar el termino en la ecuaci´on 7, pero esto solo nos llevar llevar´´ıa a un error para determinar la ecuaci´on on de Blasius, ya que se puede hacer notar que en la ecuaci´on on 7 ning´ un un termino depende de y por p or lo cual estar´ estar´ıamos en graves graves problemas para lograr el objetivo, es por esto que se realizan arreglos matem´aticos aticos de la ecuaci´on on de funci´on on de corriente en u de la ecuaci´on on 4 como se muestra en la ecuaci´on on 8. u =
∂ψ ∂ψ ∂η · = ∂y ∂η ∂y
1
(8)
Antes de determinar la ecuaci´on on 8 se procede a expresar el siguiente termino que se genera de la ecuaci´ ecuaci´on on 3 al dejar todo en funci´on on de y. ∂η = ∂y
U νx
(9)
Dado al termino dado en 9 solo quedar´ quedar´ıa determinar de la ecuaci´ on on 8 el termino
∂ψ ∂η
√ ∂ψ ∂ √ = ( νxU (10) νx U )f ( f (η ) = νxUf ∂η ∂η Resolviendo la ecuaci´on on 8 reemplazando los valores de los terminos de 9 y 10 se tiene lo siguiente,
= U f u = U
(11)
Ya con aquello se obtuvo el valor de la velocidad en u de la ecuaci´on on 4, ahora se realizar´a el procedimiento para buscar la velocidad en v v =
∂ − ∂ψ =− ( ∂x ∂x
√
νxUf (η )) = −
1 2
νU f + x
∂f νxU ∂x
√
(12)
De la ecuaci´on on 12 se debe determinar la funci´on on f en funci´on on de x, por lo cual se aplica el mismo arreglo que en la ecuaci´on on 8 1 1 ∂f ∂f ∂η ∂η = = f · = − η · f · 2 x ∂x ∂η ∂x ∂x
(13)
reemplazando la ecuaci´on on 13 en la ecuacion 12 queda finalmente lo siguiente, 1 v = 2
νU ∂f η − f x ∂η
(14)
Adicionalmente se determinara los siguientes terminos que seran utilizados m´as adelante. 1 ∂u ∂u ∂η ∂ = · = (U f ) · − η 2x ∂x ∂η ∂x ∂η
∂u U = − ηf → ∂x 2x
(15)
se deja al lector que resuelva la velocidad u en funci´on de y ∂u = U f ∂y
U νx
(16)
∂ 2 u ahora solo falta encontrar el valor de por lo que se tiene lo siguiente, ∂y 2 ∂ 2 u ∂ ∂u ∂η ∂η ∂ ∂u ∂η U 2 · = ∂y · ∂η ∂η · ∂y = νx f = ∂y 2 ∂y ∂η ∂y
(17)
Reemplazando lo obtenido 17, 11 y 12 en 2 se obtiene con un poco de algebra la ecuaci´on o n de Blasius, 1 νU U U U 2 −U f · 2x ηf + 2 x (ηf − f ) · U f νx = ν νx f
2
U 2 U 2 − 2x ηf f + 2x ηf f
U 2 U 2 x − 2x f f = x f / 2 U 1 (18) Ecuaci´ on de Blasius f + f f = 0 2 Se consideran las siguientes condiciones de contorno sobre la placa plana y lejos de ella,
= U x = 0 ⇒ u = U
(19)
= v = 0 y = 0 ⇒ u = v x =
(20)
= U ∞ ⇒ u = U
(21)
La ecuaci´ ecuaci´on on de Blasius con las correspondientes condiciones de contorno es: 1 = f (0) = 0, 0, (22) f + f f , f (0) f (0) = f f ( f (∞) = 1 2 La soluci´on on del problema se obtiene con el m´etodo etodo no lineal Runge-Kutta, el cual tendr tend r´ıamos ıam os una tabla con los datos de la tabla inicial como lo son,
η f 0 0 0.4 0.027 .. .. . . 4.8 3.085
f’ 0 0.133 .. .
f” ?? ?? ??1 .. .
0.988
??
n
Pero Pero antes antes de aplicar aplicar Runge-Kutt Runge-Kuttaa se necesita saber una condici´on on para f para f (η), se puede determinar un valor con el m´etodo etodo de shooting sho oting (disparo), el cual involucra involucra el metodo de Euler y elegir un valor inicial para f (η ) ( el valor puede ser al azar pero con la condicion que al infinito sea 1) e ir iterando hasta hallar un valor de contorno incial para la segunda derivada de la funci´on η, si se sigue el procedimiento se puede hallar que la condicion de contorno para la segunda derivada de η de η es 0.332
