statistika

VISOKA ŠKOLA ZA POSLOVNU EKONOMIJU I PREDUZETNŠTVO BEOGRAD

SEMINARSKI RAD Predmet : Ekonomska statistika TEMA: MERE CENTRALNE TENDENCIJE – SREDNJE VREDNOSTIVREDNOSTI-

Mentor : Prof. Dr Goran Kvrgić Kvrgić

Student : Marko Stojković Stojković  broj indeksa : 219-271-09

VRANJE , APRIL 2011

SADR žAJ :

UVOD

.................................. .................................................. ................................ ................................ ................................ .................................. ...................... 3

MERE CENTRALNE TENDENCIJE ....................................................................... 4 ARITMETIČKA ARITMETIČKA SREDINA (  X   ) ............................................................................. 4 PROSTA ARITMETIČKA SREDINA ................................. ................................................. ................................ .................... .... 4 PONDERISANA ARITMETIČKA SREDINA ............................... ............................................... .......................... .......... 5 HARMONIJSKA HARMONIJSKA SREDINA ( H ) ................................. ................................................. ................................ ............................ ............ 8 PROSTA HARMONIJSKA SREDINA ..................................................................... 8 PONDERISANA PONDERISANA HARMONIJSKA SREDINA ............................... ................................................. ........................ ...... 9 GEOMETRIJSKA GEOMETRIJSKA SREDINA ( G ) ............................... ............................................... ................................ ......................... ......... 10 GEOMETRIJSKA GEOMETRIJSKA SREDINA IZ PROSTIH SERIJA ............................... ......................................... .......... 10 GEOMETRIJSKA SREDINA IZ SERIJE DISTRIBUCIJE FREKVENCIJE .... 10 POZICIONE SREDNJE VREDNOSTI ............................... ................................................. .................................. .................. 13 MODUS ( Mo ) ............................... ............................................... ................................ ................................ ................................ .......................... .......... 14 IZRAČUNAVANJE MODUSA KOD NEINTERVALNIH SERIJA .................. .......... ........... ... 14 IZRAČUNAVANJE IZRAČUNAVANJE MODUSA KOD INTERVALNIH INTERVALNIH SERIJA .......................... .......................... 14 MEDIJANA ( Me ) ................................. ................................................. ................................ ................................ ................................ .................... 15 15 IZRAČUNAVANJE IZRAČUNAVANJE MEDIJANE KOD PROSTIH SERIJA ................................ .................................15 .15 IZRAČUNAVANJE MEDIJANE KOD SERIJA DISTRIBUCIJE FREKVENCIJA ................................. ................................................. ............................ ............ 16 IZRAČUNAVANJE Me IZ INTERVALNIH SERIJA BROJEM PODATAKA .......17 IZRAČUNAVANJE Me IZ INTERVALNIH SERIJA SA PARNIM BROJEM BROJEM PODATAKA PODATAKA ............................... ................................................. .........................18 .......18 ZAKLJUČAK ..........................................................................................................19

2

UVOD

Mere centralne tendencije, kao što sam naziv kaže, imaju za cilj da odrede centar  osnovnog skupa. Jednostavnije rečeno, ove mere treba da daju informaciju o onome što je tipično, zajedničko za sve elemente (jedinice) jednog skupa. Vrednosti distribucija frekvencija (serija) sažimamo toliko, da ih svodimo na jednu  jedinu vrednost. Postoje više mera centralne tendencije i svaka ima svoje prednosti i nedostatke. Dele se na Potpune (matematičke) koje mogu da budu: a)Aritmetička sredina; b)Harmonijska sredina; c) Geometrijska sredina i Položajne : a)Medijana;  b)Mod Mere centralne tendencije spadaju u mere deskriptivne statistike i koriste se za  prikazivanje rezultata u faktorijalnim nacrtima. Ovim se merama opisuju pojave, tj. načini kojima se vrednosti ispitanika na varijablama grupišu oko proseka i raspršuju oko njega.

3

MERE CENTRALNE TENDENCIJE

Mere centralne tendencije ili srednje vrednosti daju informacije o tome kako su raspoređene vrednosti obeležja posmatranog skupa. Kako nose zajedničke karakteristike svih vrednosti statističkog skupa zovu se reprezentativne. Srednje vrednosti se dele na dve osnovne grupe: - izračunate srednje vrednosti - pozicione srednje vrednosti Izračunate srednje vrednosti se računskim putem dobijaju iz podataka serije. U izračunate srednje vrednosti spadaju: - aritmetička sredina - harmonijska sredina - geometrijska sredina Pozicione srednje vrednosti se određuju pozicijom koju zauzimaju u datoj seriji  podataka. U pozicione srednje vrednosti spadaju: - modus ili mod - medijana Srednje vrednosti nalazi primenu u svim oblastima statističke analize.

ARITMETIČKA SREDINA (  X   ) Aritmetička sredina se najčešće javlja u primeni. Neophodan uslovza pravilnu   primenu aritmetičke sredine jeste da podaci u seriji pokazuju dovoljan stepen homogenosti a kriterijum za određivanje ta homogenosti zavisi od prirode i vrste  pojave koja je prikazana u seriji kao i da znamo suštinu i smisao rezultata kojeg želimo da dobijemo. Aritmetička sredina ima dva osnovna načina izračunavanja. Prvi način odnosi se na izraćunavanje iz prostih serija, tj. iz onih serija u kojima se svaki podatak javlja samo po jedanput. Drugi način izračunava aritmetičke sredine primenjuje se kod sređenih serija (serije distribucije frekvencija), tj. kod onih serija u kojima se pojedini  podaci( modaliteti) javljaju u nejednakim frekvencijama, i tu se uzima i obzir veličina frekvencije svakog modaliteta. Svaki modalitet se ponderiše, vaga, svojom frekvencijom pa se ova aritmetička sredina naziva ponderisana(vagana) aritmetička sredina.

PROSTA ARITMETIČKA SREDINA 4

Prosta aritmetička sredina (  X   ) dobija dobija se kada se saberu sve vrednosti članova jedne serije pa taj zbir podeli brojem članova e serije. Ako imamo neku seriju čije su vrednosti članova te serije označeni sa:  x1 , x2 , x3 , x4 , ........... x i

Prosta aritmetička sredina (  X   )biće jednaka: =

 X  

 x1

+  x2 +  x3 +  x4 + ...... +  xi n

ili

n

 X  

=∑ i =1

 xi

n

- aritmetička sredina , X1, X2 , X3 , ...... , X n- vrednosti obeležja, n - broj podataka ili veličina uzorka i Σ -grčko veliko slovo sigma, koje označava zbir ili sumu (označava sabiranje,  pojedinačnih vrednosti obeležja x)  X  

PRIMER: U toku jedne nedelje dnevni ulozi na štednju (u hiljadama) u jednoj  banci bili su:

Dani Ponedeljak  Utorak  Sreda Četvrtak  Petak  Subota

Ulozi u hiljadama 15 10 14 11 18 9

X1 X2 X3 X4 X5 X6

Koliki je bio prosečni ulog u toj nedelji? +  x2 +  x3 +  x4 +  x5 + x6

 X  

=

 x1

 X  

=

15 + 10 +14 +11 + 18 + 9 77 = 6 6

 X  

= 12,83

6

Prosečan ulog u posmatranoj nedelji bio je 12,83 (hiljada)

PONDERISANA ARITMETIČKA SREDINA Aritmetička sredina grupisanih podataka dobija se tako što se vrednosti obeležja prvo pomnože odgovarajućom frekvencijom (x 1f 1, x2f 2, x3f 3,...xif i) zatim se 5

dobijeni proizvodi saberu i podele zbirom frkvencija (f 1,f 2,f 3,...f i). Množenjem  pojedinačne vrednosti obeležja sa odgovarajućom frekvencijom zove se ponderisanje vrednosti. Ponder je značaj ili važnost što znači veća frekvencija, veći značaj jači uticaj na aritmetičku sredinu. Važnost se ne menja ako se ponderi proporcionalno  povećavaju ili menjaju. Algebarski uzraz za aritmetičku sredinu glasi:  x1 ⋅  f  1 +  x 2 ⋅  f  2 +  x3 ⋅  f  3 + ...... xi ⋅  f  i  X   =   f  1 +  f  2 +  f  3 + ......  f  i ili n

∑ x ⋅  f   i

 X  

=

i

i =1

n

∑  f   i

i =1

Aritmetička sredina je osetljiva na ekstremne vrednosti a veoma je upotrebljiva ako se  pojava ponaša linearno.  Najvažnije osobine aritmetičke sredine su: 1. Zbir odstupanja pojedinačnih obeležja od aritmetičke sredine jednak je nuli.(od svake individualne vrednosti obeležja oduzima se vrednost aritmetičke sredine). Za negrupisane podatke: Σ(  xi-  X   )=0 Za grupisane podatke: Σ f i( xi-  X   )=0 2. Aritmetička sredina se uvek nalazi između najmanje i največe vrednosti obeležja. Xmin <  X   < Xmax 3. Ako su vrednosti obeležja međusobno jednake, onda je aritmetička sredina  jednaka tim vrednostima:  X 1=X 2=X 3=........=X n  X  

= X 1=X 2=...........X n

4. Zbir kvadrata odstupanja podataka od aritmetičke sredine jeste linijski. ∑( xi-  X   )2=min

PRIMER: U januarskom ispitnom roku 55 studenata dobilo je sledeće ocene: iz statistike:

Ocene Broj studenata

5

6

7

8

9

10

14

18

7

5

8

3

Izračunati prosečnu ocenu iz statistike: 6

Radna tabela ocene (xi) 5 6 7 8 9 10 ∑

(x1) (x2) (x3) (x4) (x5) (x6)

broj studenata (fi)  14 18 7 5 8 3 Σf i=55

(f1) (f2) (f3) (f4) (f5) (f6)

grupni proizvod (f ix  i)   70 (x1f 1)   108 (x2f 2)   49 (x3f 3)   40 (x4f 4)   72 (x5f 5)   30 (x6f 6) ∑fixi=369  

6

∑ xi ⋅  f  i  X  

=

i =1

=

6

∑  f  i

369 55

i =1

 X  

=6,71

Prosečna ocena iz statistike u januarskom ispitnom roku bila je 6,71.

PRIMER:Na kolokvijumu iz statistike 76 studenata osvojili su sledeći broj bodova: Broj 0 -10 11 - 21 22 - 32 33 - 43 44 - 54 55 - 65 bodova 3 16 18 20 11 8 Broj studenata Izračunati prosečan broj bodova:

RADNA TABELA Broj bodova (xi) Broj studenata (f i) 0 – 10 3 11- 21 16 22 -32 18 33 - 43 20 44 - 54 11 55 - 65 8 ∑ ∑ f i=76

Razredna sredina(xi) 5 16 27 38 49 60 /

(f ixi) 15 256 486 760 539 480 ∑ xi•f i=2536 7

 X  

=

∑ x ⋅  f   = 2536 ∑  f   76 i

i

i

 X  

= 33,37

Prosečan broj osvojenih bodova bio je 33,37

HARMONIJSKA SREDINA (H)

Harmonijska sredina upotrebljava se u onim slučajevima kada numerička vrednost obeležja i obim pojave stoje u obrnutoj srazmeri i kada su vrednosti obeležja za koje treba izračunati sredinu izražene u vidu recipročnih odnosa. Taj odnos reciprociteta sastoji se u tome što se vrednost tih obeležja smanjuje kada se pojava  povećava i obrnuto,vrednost njihova se povećava kada pojava opada. Harmonijska sredina je recipročna aritmetička sredina recipročnih vrednosti  podataka.

PROSTA HARMONIJSKA SREDINA

Ako su nam date vrednosti obeležja  x1 , x 2 , x3 , ......xi a broj elemenata označimo sa n, onda će prosta harmonijska sredina biti. n

H=

1

 x1

+

1

 x 2

+

1

 x3

+ ....

1

 xi

Ili n

H=

n

1

∑ x i =1

i

8

PRIMER: Sedam radnika proizvodi istu vrstu proizvoda i za jedinicu tog  proizvoda utroše sledeće radno vreme:

I II III Radnik  Radnik  Radnik  12 min 16 min 19 min Izračunati prosečno radno vreme RADNA TABELA Radnici I II III IV V VI VII

IV V Radnik  Radnik  23 min 18 min za izradu proizvoda:

Utrošeno vreme 12 (x1) 16 (x2) 19 (x3) 23 (x4) 18 (x5) 26 (x6) 20 (x7)

VI Radnik  26 min

VII Radnik  20 min

Količina proizvoda 1 1 1 1 1 1 1

n

H=

n

1

∑ x i =1

i

H= 7 7 = 1 1 1 1 1 1 1 0,083 + 0,0625 + 0,0526 + 0,0435 + 0,0555 + 0,0384 + 0,05 + + + + + + 12 16 19 23 18 26 20 7

H= 0,385 H = 18,18 prosečno radno vreme potrbno za izradu proizvoda je 18,18 minuta.

PONDERISANA HARMONIJSKA SREDINA Kada imamo seriju čiji podaci pokazuju recipročne odnose ali njihove frekvencije nisu iste (jednake) onda upotrebljavamo ponderisanu harmonijsku sredinu. Obrazac za izračunavanje ponderisane harmonijske sredine glasi.   f  1 +  f  2 +  f  3 + ......  f  i H=   f  1 +   f  2 +   f  3 + ....   f  i  x1  x 2  x3  xi

9

n

∑  f  i H=

i =1 n

  f  i

∑ x i =1

i

PRIMER 2. U jednom preduzeću 30 radnika izradi jedan proizvod za sledeće vreme u minutima: 23,28, 38 i 43. Izračunati srednje vreme izrade tog proizvoda. RADNA TABELA  f  /x Vreme izrade ( xi) Broj radnika ( f i) i i 23 5 0,217 28 7 0,25 34 9 0,264 38 4 0,105 43 5 o,116 ∑ ∑ f i =30 ∑= f  /x i i =0,952 n

∑  f   i

H=

i =1 n

  f  i

∑ x i =1

=

30 0,952

i

H= 31,512 Srednje vreme izrade proizvoda je 31,512 minuta.

GEOMETRIJSKA SREDINA ( G ) Kada imamo seriju podataka koji pokazuju neke karakteristike geometrijske  progresije ili kada imamo seriju relativnih pokazatelja kao što su razni koeficijenti, onda po pravilu primenjujemo metod geometrijske sredine. Geometrijska sredina se dobija N- ti koren proizvoda svih vrednosti obeležja koji su pozitivne i različite od nule.

GEOMETRIJSKA SREDINA IZ PROSTIH SERIJA Za negrupisane podatke za prostu seriju geometri x1 , x2 , x3 ,.....xn geometrijska sredina se računa sledećim obrascem: G=

n

 x1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 .......  x n

ili

10

n

G= n ∏ x

i

i =1

Primenom logaritamskog računa dobija se logaritamski oblik geometrijske sredine: log G=

log x1 + log x 2 + log x3 + ..... log x n

ili

n n

log G=

∑log  xi i =1

n

Iz logaritamskog oblika antilogaritmovanjem dobija se vrednost geometrijske sredine. PRIMER 1. Data je serija podataka : 5,8,6,13,9. Izračunati geometrijsku sredinu. n

G= n ∏ xi

= 5 5 ⋅ 8 ⋅ 6 ⋅ 13 ⋅ 9 = 5 28080

i =1

log G=

log 28080 4,44839 = = 0,88968 5 5

G=  N  0,88968 G=7,767

GEOMETRIJSKA SREDINA IZ SERIJE DISTRIBUCIJA FREKVENCIJE Za grupisane podatke imamo: X: x1 , x2 , x3 ,........... x i f:  f 1 , f 2 , f 3 ,..........f i dobija se obrazac: 1i

  f  2

∑  fi  x ⋅ x ⋅ 1 2  x3 G=

  f  3

 xi

⋅.......... .

  fi

= ∑  fi

n

∏ xi

  fi

i =1

Primenom logaritamskog računa dobija se: log G=

  f  1 log  x1 +  f  2 log  x 2 +  f  3 log  x 3 + ....  f  n log  x n   f  1 +  f  2 +  f  3 .... +  f  n

11

n

∑  f   ⋅ log x i

log G=

i

i =1 n

∑  f   i

i =1

Antilogaritmovanjem dobijamo vrednost geometrijske sredine. Zbog složenosti izračunavanja geometrijske sredine njena primena i upotreba u statističkim istraživanjima je ograničena.Ona omogućuje praćenje dinamike, srednjeg tempa razvoja, prirodnog priraštaja stanovništva, izračunavanje stope rasta na bazi lančanih indeksa i drugo. Kada se radi o aritmetičkoj harmonijskaoj i geometrijskoj sredini važi sledeće  pravilo:  H  ≤ G ≤  X  Geometrijska sredina je manja ili jednaka aritmetičkoj sredini,a veća ili jednala harmonijskoj sredini. PRIMER2: Isplaćene stipendije za studente prve godine na jednom fakultetu tokom 2003. godine bile su:

Stipendije u hilj. din.( x i ) Broj studenata ( f i )

3 23

4 18

5 9

6 7

Izračunati geometrijsku sredinu. RADNA TABELA Stipendije u hilj. Broj studenata ( x i ) ( f i ) 3 23 4 18 5 9 6 7 ∑ ∑ f i=57

log x i  0,47712 0,60205 0,69897 0,77815 /

f i log x i 

10,97376 10,8369 6,29073 5,44705 33,54844

n

∑  f   log x log G = ∑  f   i

i

i =1

n

i

i =1

log G=

33 ,54844 57

log G=0,58856

G=  N  0,58856 G=3,877 Prosečna stipendija bila je 3,877 dinara 12

PRIMER3: Raspored radnika prema radnom stažu u jednoj fabrici u 2003.godini bio  je:

Godine staža (xi) Broj zaposlenih (fi)

5 -10

10 - 15

15- 20

20 - 25

25- 30

30- 35

15

20

35

18

11

5

Izračunati geometrijsku sredinu.

Godine staža (xi ) 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 Σ

Broj zaposlenih (f i)  15 20 35 18 11 5 Σf i=104

xi 

logxi 

f il ogxi 

7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 /

0,87506 1,09691 1,24303 1,35218 1,43933 1,51188 /

13,12592 21,93820 43,50633 24,33928 15,83265 7,55941 Σ=126,30179

n

∑  f   log x log G= ∑  f   i

i

i =1

n

i

i =1

log G=

126 ,30179 104

=1,21440

G= 1,21440 G=16,38 Prosečan radni staž u fabrici bio je 16,38 godina.  N  

POZICIONE SREDNJE VREDNOSTI Naziv pozicione srednje vrednosti dobile su zato što se one uglavnom ne izračunavaju kao sredine, nego se određuje njihova pozicija, mesto u datoj seriji. One se nalaze, po pravilu, na onom mestu koje zauzima bilo dominantan (najznačajniji),  bilo centralni (središnji) polođaj u seriji. 13

Pre nego što se pristupi iznalaženju srednjih brojeva brojeva, potrebno je da datu seriju sredimo po veličini modaliteta. U grupu srednjih brojeva spadaju: modus (Mo) i medijana (Me):

MODUS (Mo) To je onaj podatak (modalitet) koji se najčešće javlja tj. koji ima najveću frekvenciju. To je, dakle podatak koji zauzima dominantan položaj i koji na poligonu frekvencija ima najveću ordinatu. Zbog toga se modus često naziva još i dominanta ili normala. To je na primer, najčešća cena, najčešća visina,itd.Zbog toga kažemo da se modus kao srednja vrednost koristi najčešće kada se radi o proceni stanja ili karakteristika neke pojave. U praksi se može tražiti modus kod neintervalnih serija ili kod intervalnih serija.

IZRAČUNAVANJE MODUSA KOD NEINTERVALNIH SERIJA PRIMER1:Iz sledeće serije podataka odrediti Mo. 14,19,19,19,24,27,32. Broj koji se najčešće pojavljuje je 19.Znači Mo =19. PRIMER2: Iz sledeće serije podataka odrediti modus.5, 7, 7, 7, 7, 9, 10, 15, 15, 15, 15, 19, 20. U ovom slučaju broj 7 i broj 15 se najčešće pojavljuje pa tako imamo dva modusa. Mo=7 i Mo=15

IZRAČUNAVANJE MODUSA KOD INTERVALNIH SERIJA Kada imamo intervalnu seriju, tada ćemo imati jasno određen broj intervala (razred,klasu) sa najvećom frekvencijom a vrednost modusa naći će se u okviru tog intervala. Za izračunavanje modusa u ovakvom slučaju koristi se obrazac koji glasi: Mo= x + k  •

 f  2 −  f  1

(  f  2 −  f  1 ) + (  f  2 −  f  3 )

x – donja granica modalnog intervala K – veličina modalnog intervala f 1 – frekvencija prethodnog intervala f 2 – frekvencija modalnog intervala f 3 – frekvencija narednog intervala PRIMER3: Dat je raspored za domaćinstva prema mesečnoj potrošnji jednog  pehrambenog artikla Potrošnja u 4-6 6-8 8 - 10 10 – 12 12 - 14 14 – 16 14

kg. ( xi) Broj domaćinstava (fi) Odrediti modus.

8

15

27

21

19

6

 f   −  f  

Mo=  x + k  • (  f   −  f  2) + (  f  1 −  f   ) 2

1

2

3

 x=8  f 1=15 k =2  f 2=27  f 3=21 27 − 15

12

Mo= 8 + 2 • ( 27 − 15) + ( 27 − 21) = 8 + 2 • 12 + 6 = 8 + 2 • 0,66 Mo= 9,333  Najčešća potrošnja prehrambenog proizvoda po domačinstvu je 9,333 kg.

MEDIJANA (Me) Medijana je takva poziciona srednja vrednost koja se u sriji nalazi na središnjoj   poziciji ukupnog broja frkvencija (slučajeva). To je najveća vrednost modaliteta   posmatranog obeležja u nekoj seriji, njena vrednost ne mora da se podudara sa veličinama (vrednostima) modaliteta koji su navedeni u seriji, nego ona predstavlja najvišu (maksimalnu) veličinu posmatranog obležja za prvih 50% svih frekvencija ili slučajeva. Na taj način medijana polovi ukupan broj frekvencija i izražava graničnu vrednost modaliteta obeležja za prvu polovinu serije. Određivanje i izračunavanje medijane vrši se u serijama koje su prethodno sređene po veličini modaliteta, zato se vrednost medijane uvek nalazi oko sredine raspona intervala varijacije između minimalne i maksimalne vrednosti modaliteta. Medijana se koristi za analizu statističkih serija po segmentima (delovima) a psebno u komparativnoj analizi istorodnih pojava. Medijana se izračunava iz prostih serija ali se to najčešče vrši kod serija distribucije frekvencija.

IZRAČUNAVANJE MEDIJANE KOD PROSTIH SERIJA Kod prostih serija,kada se svaki modalitet javlja samo po jedanput, medijana će zauzimati mestosredišnjeg modaliteta, odnosno medijana će biti upravo onaj modalitet koji se nalazi na središnjoj poziciji. Kod svih prostih serija mesto medijane se nalazi po obascu: 1

n +

2

Mora se voditi računa da li to prosta serija ima neparan ili paran broj podataka pomoću ovog obrasca neposredno nalazimo mesto i vrednost medijane. PRIMER1: Izračunaj medijanu iz sledeće serije: 15, 25, 27, 31,36. Serija ima n=5 15

n +1

5 +1

6

mesto Me = n = 2 = 2 = 3 to znači da se Me nalazi na trećem mestu u seriji Me = 27 PRIMER2: Izračunaj medijanu za sledeće serije: 14, 26, 28, 33 , 37, 38. Serija ima paran broj podataka (n=6) pa se medijana nalazi između dva sedišnja  podatka. n +1 6 +1 7 Mesto Me = 2 = 2 = 2 = 3,5 Medijana se nalzi na sredini između trećeg i četvrtog mesta u seriji. Prostom aritmetičkom sredinom izračunavamo medijanu 28 + 33

Me= 2 Me= 30,5

=

61 2

IZRAČUNAVANJE MEDIJANE KOD SERIJA DIISTRIBUCIJE FREKVENCIJA Za iznalaženje mesta (pozicije) medijane u serij distribucije frekvencije, broj članova serije označava se sa ∑ f i,   pa se pozicija medijane iznalazi po obrascu: n

∑  f  i + 1 i =1

2

Da bi se lakše odrdila pozicija medijane prema ovom obrascu, koristimo kolonu rastuće kumulante pazeći pritom da serija ima paran ili neparan broj podataka. PRIMER3: Iz sledeće serije koja pokazuje broj članova domaćinstva i broj domaćinstva izračunaj medijanu. Brojčlanova Broj domaćinstva fi Kumulanta domaćinstva (xi) 1 10 10 2 16 26 3 24 50 4 34 84 6 29 113 8 13 126 ∑ ∑ f i=126 / n

Mesto Me= ∑ i =1

  f  i + 1 2

=

126

+1

2

16

Mesto Me =63,5 Me=4 U proseku jedno domaćinstvo ima četiri člana. Za iznalaženje ( izračunavanje) medijane iz intervalnih serija, bez obzira da li su ti intervali ili razredi jednaki ili ne, vrednost medijane nalazi se negde između donje i gornje granice središnjeg(medijalnog) intervala, pa tu vrednost treba precizno i tačno izračunati. U zavisnosti od toga da li serija ima paran il neparan broj podataka  primeniće se odgovarajući obrazac i pritom će se koristiti rastuća kumulanta.

IZRAČUNAVANJE Me IZ INTERVALNIH SERIJA BROJEM PODATAKA Izračunavanje Me iz intervalnih serija koje imaju neparan broj podataka (∑ f i neparan broj) po obrascu:    x −  x     ∑  f  i − W 1     • Me= x1 +  2 1        W 2 − W 1     2   x1 – donja granica medijalnog inetrvala x2 – gornja granica medijalnog intervala W2 – zbirna frekvencija medijalnog intervala(iz kumulante) W1 – zbirna frekvencija prethodnog intervala PRIMER4: Prinos raži na 69 parcela iznosio je: Prinos u t ( xi ) Broj parcela ( fi ) 3 – 4,1 8 4,1 – 5,2 12 5,2 – 6,3 16 6,3 – 7,4 22 7,4 – 8,5 11 ∑ ∑ f i=69 Medijanski interval odredićemo kao poluzbir frekvencija: ∑  f  i = 69 = 34,5 2

Kumulanta 8 20 36 58 69 /

2

a to odgovara intervalu (5,2 – 6,3) x1=5,2 ;x2=6,3; W1=20 ; W2=36  6,3 − 5,2    69 − 20           2  

Me = 5,2 +  36 − 20  •  1,1

Me= 5,2 + 16 • ( 34,5 − 20 ) Me=5,2+0,0687 14,5 Me=5,2+0,996 Me=6,196 •

17

IZRAČUNAVANJE Me IZ INTERVALNIH SERIJA SA PARNIM BROJEM PODATAKA Za izračunavanje Me iz intervalnih serija koje imaju paran broj podataka (∑ f i  paran broj) primeniće se nešto izmenjen osnovni obrazac koji glasi:   x −  x     ∑  f  i − W 1     • Me= x1 +  2 1        W 2 − W 1     2  

PRIMER5: U jednoj banci u jednom mesecu 50 radnika primilo je sledeće zarade: Zarade Xi Broj radnika fi Kumulanta 51 – 52 20 20 52 – 53 15 35 53 – 54 7 42 54 – 55 5 47 55 – 56 3 50 ∑ ∑ f i=50 / Medijanski interval određuje se iz: ∑  f  i + 1 = 50 +1 = 51 = 25,5 2

2

2

a to odgovara intervalu (52 – 53) elementi su:  x1=52; x2=53; W 1=20; W 2=35; ∑ f i+1=51 55 − 52

 51 − 20       2  

Me= 52 + 35 − 20 •  1

Me= 52 + 15 • ( 25,5 − 20 ) Me=52+0,066 5,5 Me=52+0,363 Me=52,363 •

18

ZAKLJUČAK 

Mere centralne tendencije se koriste kako bi se njima opisale prosečne vrednosti ispitanika na datoj varijabli. Pod izrazom prosek najčešce podrazumevamo vrednost koja najbolje reprezentuje postignuce uzorka . Mere centralne tendencije broj (iznos, vrednost) koji na najboljij moguci nacin prezentuje sve ostale vrednosti obeležja  posmatranja statistickog skupa. Njihova reprezentativnost posledica je cinjenice da sve vrednosti obeležja posmatranja pokazuju tendenciju da se grupišu oko one vrednosti koja se nalazi u sredini prirodnog intervala variranja (raspon od najmanje do najvece vrednosti uocen u empirijskoj sredini)

19

LITERATURA

- Mladenović, D , Ekonomska statistika, Ekonomski fakultet, Beograd, 2009.

20