Física – 2º 2º Bachillerato Bachillerato
Tema 2. Movimiento ondulatorio 1. Los movimientos ondulatorios Significado del movimiento ondulatorio
Por Movimiento Ondulatorio se entiende la propagación de una perturbación en un medio, esta perturbación que va a transportar energía, pero no materia, es una onda. Dentro del movimiento ondulatorio se pueden distinguir el movimiento de las partículas del medio y el de la perturbación que avanza, esta velocidad de avance va a depender de las características elásticas del medio. En el movimiento ondulatorio hay:
Una perturbación inicial que se transmite de un punto a otro sin desplazamiento de materia.
Transmisión de energía a través del medio.
Cierto retraso entre el instante en que se produce la perturbación y su llegada a puntos más alejados. Es decir, hay una velocidad finita o limitada de propagación.
Se precisa un foco emisor o fuente del movimiento ondulatorio
Un medio de propagación, que puede ser material o no. Los movimientos ondulatorios se clasifican en función de si se transmiten por un medio material o no.
En estas páginas hay explicaciones de este tema con animaciones bastante interesantes. http://fisicayquimicaenflash.es/ondas/ondas00.htm http://web.educastur.princast.es/proyectos/fisquiweb/MovOnd/index.htm Concepto de onda.
Una onda es una ecuación matemática que recoge cómo se desplaza espacial y temporalmente por el medio de propagación la perturbación perturbación generada por el foco emisor. emisor.
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Implica la perturbación producida en un punto a lo largo del tiempo, y el avance de la perturbación en un instante determinado. Pulso y tren de ondas
En un pulso de onda una partícula del medio está en reposo hasta que le llega la perturbación, vibra durante un breve espacio de tiempo alrededor de la posición de equilibrio y vuelve al reposo. En este applet podéis ver la propagación de un pulso longitudinalmente, como por ejemplo, el sonido. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/descripcion/descripcion.html En un tren de ondas muchos puntos del medio oscilan simultáneamente, se genera una onda viajera.
En esta página hay dos applets. En uno podéis ver el desplazamiento de un tren de ondas transversales, y en el otro un tren de ondas longitudinales. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/ondaArmonica/ondasArmonicas.html Ondas viajeras y ondas estacionarias
Si la energía avanza en un solo sentido tenemos una onda viajera. Si la perturbación está confinada en una región concreta del espacio, Por ejemplo, una cuerda de guitarra, se trata de una onda estacionaria. 2. Tipos de ondas. Naturaleza de los movimientos ondulatorios
Se puede hacer diversas clasificaciones de las ondas. Así, atendiendo a su naturaleza, tendríamos:
Ondas mecánicas: La perturbación es de tipo mecánico a través de un medio elástico. Se transmite energía mecánica de la onda. En este tipo de ondas hace falta un medio material para su propagación. Consisten en la propagación de una perturbación vibracional en el seno de un medio material elástico. Por ejemplo, el sonido. Ondas electromagnéticas: Transmiten energía electromagnética mediante oscilaciones de campos eléctricos o magnéticos. No necesitan medio físico para propagarse. Por ejemplo, la luz.
Formas de propagación
La propagación de las ondas mecánicas puede ocurrir de dos formas distintas:
Ondas transversales.
Una onda trasversal se propaga perpendicularmente a la dirección en que vibran las partículas del medio. Solo pueden propagarse a través de sólidos.
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Ondas longitudinales.
La dirección de propagación de la onda coincide con la dirección de vibración de las partículas del medio.
Este applet de Java te permite visualizar las diferencias entre una onda transversal y una longitudinal. http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/applets/Hwang/ntnujava/waveType/ waveType_s.htm Número de dimensiones de propagación.
Ondas unidimensionales: La energía se propaga en una sola dirección. Por ejemplo, en
una cuerda elástica.
La energía se propaga en dos dimensiones, es decir, en un plano. Por ejemplo, en la superficie de un líquido. Ondas bidimensionales:
Ondas tridimensionales:
se propaga en las tres dimensiones. Por ejemplo, la luz del
Sol o el sonido. Velocidad de propagación de ondas mecánicas
La velocidad de propagación de una onda mecánica dependerá del tipo de onda, pero, en general, dependerá de las propiedades mecánicas del medio. En los sólidos se propagan los dos tipos de ondas, y su velocidad aumenta con la rigidez del medio y disminuye con la densidad. En los fluidos solo se propagan ondas longitudinales. Su velocidad depende de la compresibilidad y la densidad del fluido. 3. Magnitudes características de las ondas armónicas.
Aquellos movimientos ondulatorios que pueden expresarse mediante una función seno o coseno, reciben el nombre de movimientos ondulatorios armónicos. El origen del movimiento es, en sí, semejante a los anteriores, pero ahora tiene la particularidad de que la perturbación sigue las leyes y propiedades de un m.a.s. Cada punto del medio de propagación ejecuta un m.a.s. Dicho de otra forma, el Movimiento Ondulatorio Armónico es la composición de dos movimientos. Un m.a.s. que se desplaza según un m.r.u. Características de las ondas armónicas transversales
Suponiendo que se trate de una onda formada por una varilla vibratoria asociada a una cuerda, el m.a.s. de la varilla produce en cada punto de la cuerda una oscilación que seguirá un desplazamiento vertical, a imagen y semejanza de la varilla. Página 3 de 18
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Trabajamos en el plano XY de tal manera que, como se ve en la figura, el “avance” de la onda se hace en la dirección OX, en tanto que la
1
“oscilación”, se hace en el plano OY. 2
El fenómeno a estudiar será la determinación de cada uno de los puntos de la cuerda en cada momento. Éste vendrá dado por la abscisa x y la ordenada y. Para facilitar tal labor es necesario definir:
3
x
[A]. El valor máximo de la elongación. Podrá ser negativa o positiva. Su unidad es el metro.
4
A -A
Amplitud de onda
[ ]. Distancia mínima entre dos puntos consecutivos - homólogos, es decir, que están en fase, en el mismo estado de vibración. Su unidad también será el metro.
Período [ T].
Frecuencia [f ].
Longitud de onda
Tiempo que emplea el movimiento ondulatorio en realizar una oscilación completa en torno a la posición de equilibrio. Su unidad es el segundo.
Número de ondas que pasan por un punto por unidad de tiempo. Puede ser igualmente definida como número de oscilaciones que efectúa un punto del medio por unidad de tiempo. Su unidad es el Hz (Hertzio) que es igual a segundo-1.
=
= =
Velocidad de propagación [v]. Es la rapidez a la que se propaga la onda. Como se trata
de un m.r.u., podemos tomar como distancia recorrida una longitud de onda y el tiempo que tarda en recorrerla un periodo:
= = ∙
La velocidad de propagación depende de las características del medio, pero no de las del foco. Por eso, la longitud de onda depende tanto del foco emisor como del medio de propagación.
Fase y desfase.
La fase de un punto de una onda indica su estado de vibración o movimiento, definido por su elongación y su velocidad. La fase se expresa en radianes o grados.
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http://surendranath.tripod.com/Applets.html
Al entrar en la página, en la parte superior izquierda, en Applet menú, se despliega una relación de temas de Física, y en cada uno de ellos se despliegan a su vez distintos Applets. Elige Waves, después Transverse wave. Podrás ver varías ondas transversales, progresivas, pulsos, ondas estacionarias, etc., eligiendo en el menú que hay abajo a la izquierda.
En la misma página si seleccionáis Waves, y después Transverse Waves – Reference circle, veréis la comparación con el movimiento circular uniforme.
Características de las ondas armónicas longitudinales
Las magnitudes y sus unidades serán las mismas que en las ondas transversales. Es difícil visualizar con claridad los parámetros anteriormente expuestos en una onda longitudinal porque no son tan evidentes las compresiones y dilataciones como los pulsos de las transversales. El dibujo lo puede aclarar si bien conviene sugerir que se piense a la hora de considerar este tipo de ondas en tratarlas en función de la velocidad del pulso que se transmite por el resorte. En aquellos puntos donde la velocidad fuera máxima serían los equivalentes a los máximos de amplitud. En aquellos donde la velocidad fuera nula, equivaldrían a los nodos de las transversales.
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Punto de velocidad nula: En algún lugar de la expansión, el punto del resorte está parado. Su velocidad cambia de sentido: Aceleración
Punto de velocidad máxima, en algún punto de la zona comprimida , el resorte ha llegado a su máximo encogimiento y comienza a expandirse. Tendrá velocidad máxima y aceleración nula
Siguen siendo válidas, por tanto, las magnitudes amplitud de onda, longitud de onda, período y frecuencia, si bien no tendremos datos del movimiento en el eje OY. http://surendranath.tripod.com/Applets.html
Elige Waves, después Longitudinal waves. Podrás ver varías ondas longitudinales, progresivas o pulsos, eligiendo en el menú que hay abajo a la izquierda.
4. Ecuación de las ondas armónicas unidimensionales
( ) y
x
-A
P
+A y
Tengamos la onda expresada en el dibujo de referencia. Una onda armónica transversal que se propaga con velocidad constante a lo largo del eje X en su sentido positivo. La expresión algebraica de partida será la ecuación fundamental del m.a.s., ya que todos los puntos del medio se mueven con este movimiento en el eje Y. Así, pues, para cualquier punto de y:
= + = + Página 6 de 18
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Si definimos ahora otro punto P, con coordenadas (x, y), tendremos que considerar que la perturbación ha llegado a él con cierto retraso t’ respecto al origen, ya que la onda ha tardado algo en hacerlo. La ecuación que describe el estado de movimiento del punto P es:
, = [ ′ + ] Si v es la velocidad de onda, t’ será /. Es decir, el valor de la elongación en el punto P para el instante t será el mismo que el valor de la elongación del punto O en el instante ’. O bien, – /. Así: , = [ + ] = [ ( ) + ] Como: = ∙ , = [ ( ) + ] Esta ecuación permite calcular para cualquier valor de t, el valor de la elongación y de un punto cualquiera de la onda cuya abscisa es x. En esta expresión, si consideramos el momento en que la partícula situada en el foco emisor, sería designada por y = 0, cuando , la fase inicial será cero y, por ello , con lo que la corrección de fase no sería necesaria.
= ·
=
, = [ ( )] En el caso de que la onda se propague en el sentido negativo del eje X, la ecuación de la onda cambia el signo del paréntesis:
, = [ ( + )] La ecuación puede expresarse en función del coseno en lugar del seno, teniendo en cuenta que:
= Número de ondas.
Se puede definir una nueva magnitud en el movimiento ondulatorio. Sería la del número de -1 ondas y queda definida como k = 2 / . Su magnitud es m . Si se aplicara esta magnitud a la ecuación anterior y, teniendo en cuenta que ω = 2 /T:
, = [ ( ) + ] ) + ] = + , = [ ( Página 7 de 18
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Doble periodicidad de la función de onda. Periodicidad respecto al tiempo
Y
O
T
y
T
t 1
t
y
y t + T
T t 1 + 2
El estado de vibración de una partícula del medio viene dado por la expresión
, = [ ( )] Como se ve en la figura, si ahora incrementamos t + nT:
, + = [ ( + )] Como sen
= sen ( + 2 n), podremos simplificar:
, + = [ ( ) + ] , = , + Lo cual quiere decir que cada número exacto de períodos se volverá a repetir la elongación que tenía el punto de la onda en su situación inicial de referencia. Dicho de otro modo, la elongación será siempre una función sinusoidal del tiempo “t” cuyo período es T. Por lo que las partículas separadas por un número entero de períodos estarán en fase. Si estuvieran separadas por un número impar de semiperíodos, estarán en oposición de fase
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Periodicidad respecto a la posición
Y
O
X x 1
x +
x 1 + 2
Como se ve en la figura, si ahora incrementamos x + n :
, = [ ( )] + , = [ ( + )] Como sen
= sen ( - 2 n), podremos simplificar:
+ , = [ ( ) ] , = + , Página 9 de 18
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Lo cual quiere decir que cada número exacto de longitudes de onda se volverá a repetir la elongación que tenía el punto de la onda en su situación inicial de referencia. Dicho de otro modo: la elongación será siempre una función sinusoidal de la posición “x” cuyo período es la longitud de onda . Por lo que las partículas separadas por un número entero de longitudes de onda estarán en fase. Si estuvieran separadas por un número impar de semilongitudes de onda, estarán en oposición de fase.
En esta página se analiza la doble periodicidad del movimiento ondulatorio http://fisicayquimicaenflash.es/ondas/ondas004.html Concordancia y oposición de fase
Dos puntos de una onda están en fase cuando en cualquier instante tienen el mismo estado de vibración. Podemos calcular la distancia que separa esos dos puntos. La diferencia de sus fases debe ser un múltiplo de 2 π.
= = [ ( ) ( )] = = Dos puntos están en concordancia de fase si la distancia entre ellos es un múltiplo entero de la longitud de onda. O también si es un número par de medias longitudes de onda:
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= Para que estén en oposición de fase la diferencia entre sus fases debe ser:
= + = [ ( ) ( )] = + = + = + Es decir, están en oposición de fase si la distancia que los separa es un número impar de medias longitudes de onda. Ejercicios: Relación 8: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11. 5. Energía e intensidad del movimiento ondulatorio Energía y potencia asociada a una onda
Un punto material que sufra la acción de una onda armónica se mueve, por lo que tendrá una energía cinética. Pero también tiene energía potencial elástica ya que el movimiento armónico es consecuencia de la acción de una fuerza conservativa.
=
á =
Al igual que debemos recordar del caso del m.a.s., cuando la partícula esté en sus puntos de máxima amplitud (+A y – A), toda la energía será del tipo potencial elástico, toda vez que ahí su velocidad es nula. En tanto que, cuando tenga la velocidad máxima (al ‘atravesar’ el punto de equilibrio), toda su energía será cinética. Si la elongación viene dada por la ecuación:
, = [ ( )] Deduciremos la velocidad derivando esta expresión respecto del tiempo:
± + = ± + = = = [ ( ) + ] = [ ( ) + ] = = En la posición de equilibrio, el coseno será igual a uno, y la velocidad será máxima:
á = = = Luego la energía cinética máxima vendrá dada por la ecuación: Página 11 de 18
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á = á = La energía cinética máxima tendrá el mismo valor cuantitativamente que la potencial elástica en el extremo de la elongación máxima y, en cada punto de la onda, y el valor máximo de la energía cinética coincide con el valor de la energía mecánica.
á = Para calcular la potencia de una onda no tendremos que hacer otra cosa sino dividir la expresión anterior por el tiempo:
= Intensidad de una onda
Consideremos el consabido ejemplo del corcho arrojado sobre una superficie líquida. Su golpe ha dado lugar a una perturbación que se propaga según circunferencias cada vez más grandes. Hay que señalar que, ya que la perturbación provoca por igual a partículas del medio que están a igual distancia del foco, estas partículas vibrarán en concordancia de fase. Es evidente que los frentes de ondas tendrán distintas características según estén más alejados del foco emisor. A su vez, podrán establecerse diferencia entre ellos: La dirección de propagación de las ondas es perpendicular al frente y su velocidad es la misma en todas las direcciones radiales. Dado que la superficie a la que afecta el foco de perturbación es cada vez mayor, se hace necesario definir una nueva magnitud. Tal es la intensidad de onda. Entendemos por intensidad de onda a la energía que atraviesa por unidad de tiempo una superficie unidad perpendicular a la dirección de propagación de la onda.
= ∙ = Donde P es la potencia de la onda, S la superficie total perpendicular al avance de la onda. La unidad de la intensidad es el wat m-2 o, lo que es lo mismo: J s-1 m-2. Atenuación de una onda
Lo interesante será saber cómo varía la intensidad en función de la distancia. Consideremos para ello dos superficies esféricas que están a las distancias r1 y r2 respectivamente del foco emisor. Teniendo en cuenta que la superficie es: S = 4 π r2, la intensidad en cada superficie será:
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= = = = Dividiendo ambas expresiones:
O sea, que la intensidad de un movimiento ondulatorio es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde las superficies al foco emisor. Como quiera que la energía sea proporcional al cuadrado de la amplitud, también deberá serlo la intensidad. Por eso, la amplitud de la vibración es inversamente proporcional a la distancia al foco emisor.
=
=
=
Si el frente de onda es plano hay atenuación de la onda. Si es esférico, aunque la energía total se conserva, ésta debe ser repartida en un frente cada vez mayor, por lo que se produce una atenuación de la onda. En estos applets se observan ondas planas y esféricas y cómo se produce la atenuación en las esféricas. http://newton.cnice.mec.es/materiales_didacticos/el_sonido/planasyesfericas2.htm?1&2 http://newton.cnice.mec.es/materiales_didacticos/el_sonido/armonicasplanas.htm Absorción de las ondas
Las ondas sufren una pérdida de intensidad a medida que se aleja del foco emisor. Cada vez tendrán menor energía debido a dos factores:
La energía se ha de repartir entre cada vez más partículas materiales. La energía que alcanza a cada partícula es menor y, por ello, vibrará con menor energía. Este fenómeno recibe el nombre de atenuación. Los rozamientos que tienen las partículas entre sí producirán una absorción de energía, que transforma la energía mecánica en calor. Según sea el medio observaremos este fenómeno con más o menos nitidez. En las ondas electromagnéticas no hay absorción en el vacío, pero sí hay interacción con la materia.
Para estudiar la absorción analizaremos una onda plana, ya que no hay atenuación. Cuando una onda atraviesa un cierto espesor de un medio material se comprueba experimentalmente que la intensidad disminuye de forma directamente proporcional a la intensidad de la onda, I, y al espesor del medio:
= Página 13 de 18
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Donde β es una constante de proporcionalidad que se denomina coeficiente de absorción. Su unidad en el S. I. es el m-1, y depende de las características de la onda y del medio. Si calculamos la disminución de la intensidad para un espesor determinado deberemos integrar la función anterior entre dos límites: intensidad inicial,I0 y posición inicial, x = 0; e intensidad final, I, y posición final, x.
∫ = ∫
⟶
∫ = ∫
La resolución de esta integral es:
= ⟶ = Que podemos escribir de la forma:
= − Que es la ley general de la absorción. La intensidad de la onda decrece exponencialmente con la distancia al foco emisor. Espesor de semiabsorción (D1/2)
Es el espesor necesario para reducir a la mitad la intensidad de la onda incidente. Para calcularlo utilizamos ⁄, y la intensidad final es la mitad de la inicial: .
=
=
= − ⁄ Despejando D1/2:
, ⁄ = = Este parámetro no depende la intensidad de la onda incidente, sino solamente de las características del medio. Un ejemplo gráfico de atenuación
Es fácil observar cómo al disminuir la amplitud, las partículas vibrarán con menor energía. Página 14 de 18
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En este applet se observa la absorción del sonido. http://newton.cnice.mec.es/materiales_didacticos/el_sonido/absorcion.htm?5&1 6. Ondas sonoras
El sonido es una onda mecánica longitudinal originada por la propagación en un medio elástico sólido, líquido o gaseoso, del movimiento vibratorio de un determinado objeto. Clasificación
Ondas audibles: En
general están comprendidas entre 20 Hz y 20000 Hz, que son los límites de frecuencias audibles por el oído humano.
Ondas no audibles: son
las que quedan fuera de esos límites. Los sonidos que tienen una frecuencia inferior a 20 Hz se les llama infrasonidos, y los de frecuencia superior a 20000 Hz se llaman ultrasonidos.
Mecanismo de formación
Se producen y se transmiten por una oscilación de la variación en la presión en la dirección de propagación de la onda. Dicha variación de presión podemos expresarla como una función seno o coseno. Velocidad de las ondas sonoras
La velocidad con que se propaga el sonido depende de las características del medio: rigidez (compresibilidad) e inercia (densidad), y es independiente de la fuente sonora, es decir de la frecuencia. En general, la velocidad aumenta a medida que lo hace la cohesión entre las partículas del medio, así, el sonido se propaga más rápidamente en sólidos que en líquidos, y más rápido en éstos que en gases. En este applet se puede observar bien porque las ondas sonoras se transmiten mejor en un medio donde las partículas están más juntas. http://newton.cnice.mec.es/materiales_didacticos/el_sonido/armonicas.htm?0&0 Cualidades del sonido
Intensidad
Es la energía que transporta a través de la unidad de superficie por unidad de tiempo. Se mide en W m-2. El intervalo que puede percibir el oído humano va desde 1,0 10-12 W m-2, que es el umbral de audición, hasta 1 W m-2, que produce sensación de dolor.
Tono
Nos permite distinguir dos sonidos por su frecuencia. Un tono alto tiene una frecuencia alta, y un tono bajo tiene baja frecuencia.
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En este applet podéis ver, y oír, tres sonidos de diferente frecuencia y, por tanto, de diferente tono. http://newton.cnice.mec.es/materiales_didacticos/el_sonido/tono.htm?0&3
Timbre
Es la cualidad que nos permite distinguir dos sonidos de igual intensidad y del mismo tono procedentes de fuentes distintas. Se debe a que, en general, un sonido no es puro, sino el resultado de la composición de varios sonidos de diferente frecuencia. En este applet veréis sonidos con distinto timbre. http://newton.cnice.mec.es/materiales_didacticos/el_sonido/sonidostimbre.htm?4&1 Sensación sonora
El oído humano no capta todos los sonidos de la misma intensidad pero de distinta frecuencia de la misma forma. El rango de intensidades del oído humano es muy amplio 10 -12 W/m², por ello para la medida de la intensidad suele utilizarse una escala logarítmica, que se llama escala de nivel de intensidad. Los sonidos de mayor frecuencia necesitan menos intensidad para ser captados. Se define la sensación sonora:
= Donde I0 es la intensidad de referencia umbral para la que la sensación sonora es cero. La unidad de sensación sonora es el bel. Un sonido tiene una sensación sonora de 1 bel cuando su intensidad es 10 veces la de la intensidad umbral. Normalmente se utiliza el decibel o decibelio, dB, que es la décima parte de un bel, ya que esta unidad es muy grande. Así la sensación de dolor se sitúa en 120 db.
Si I= 10-12 W/m² S = 0 dB umbral de audición. Si I= 1 W/m² → S = 120 dB umbral del dolor. Llamamos sensación sonora a un factor subjetivo que involucra los procesos fisiológicos y psicológicos que tienen lugar en el oído y en el cerebro. Es lo que nos lleva a clasificar los sonidos en débiles, fuertes, desagradables etc. Depende de la intensidad y de la frecuencia. Por ejemplo, una señal de 1000Hz con nivel de intensidad de 40 dB provoca la misma sensación sonora que un sonido de 100 Hz con 62 dB.
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Nivel de intensidad (dB)
Intensidad (W/m²)
Sonido
0
10-12
Umbral de audición
10
10-11
Susurro de las hojas
20
10-10
Cuchicheo (a 1 m de distancia)
30
10-9
Casa tranquila
40
10-8
Casa normal, oficina tranquila
50
10-
Oficina normal
60
10-6
Conversación normal, tráfico normal
70
10-5
Oficina ruidosa, calle animada
80
10-4
Tráfico intenso, comedor escolar
90
10-3
Ferrocarril subterráneo
100
10-2
Taller de maquinaria, discoteca
120
100
Taladro neumático (a 2 m de distancia), avión despegando; umbral del dolor
140
10²
Avión a reacción (a 30 m de distancia)
Representación gráfica de la sensación sonora frente a la frecuencia. Ejercicios: Relación 8: 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.
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Movimiento ondulatorio
Magnitudes características
Ecuación de las ondas armónicas unidimensionales
Diferencia de fase Concordancia de fase Oposición de fase Energía mecánica Potencia Intensidad de una onda Atenuación de una onda Absorción de una onda Espesor de semiabsorción Ondas sonoras
= = = = = = , = [ ( ± ) + ] , = ± + = = = = = + = á = = = = = = = = − , ⁄ = = =
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