EQUILIBRIO DEL CUERPO RÍGIDO Y DINÁMICA DE ROTACIÓN Conceptos Básicos Problemas Resueltos Problemas Propuestos
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Introducción Este material ha sido construido pensando en el estudiante es tudiante de nivel Superior El objetivo principal de este trabajo es que el alumno adquiera y desarrolle la técnica para resolver problemas diversos de la unidad de Equilibrio del cuerpo rígido y Dinámica de rotación. rotación. En lo particular pretende que el alumno logre el aprendizaje indicado en los criterios de evaluación (referidos al cálculo de variables) del programa de la asignatura Física . El desarrollo de los contenidos ha sido elaborado utilizando un lenguaje simple que permita la comprensión de los conceptos involucrados en la resolución de problemas. Se presenta una síntesis inmediata de los conceptos fundamentales de la unidad de Equilibrio del cuerpo rígido y Dinámica de rotación, seguida de ejemplos y problemas resueltos que presentan un procedimiento de solución sistemático que va desde un nivel elemental hasta situaciones más complejas, esto, sin saltar los pasos algebraicos que tanto complican al alumno, se finaliza con problemas propuestos incluyendo sus respectivos dsarrollos.
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Introducción Este material ha sido construido pensando en el estudiante es tudiante de nivel Superior El objetivo principal de este trabajo es que el alumno adquiera y desarrolle la técnica para resolver problemas diversos de la unidad de Equilibrio del cuerpo rígido y Dinámica de rotación. rotación. En lo particular pretende que el alumno logre el aprendizaje indicado en los criterios de evaluación (referidos al cálculo de variables) del programa de la asignatura Física . El desarrollo de los contenidos ha sido elaborado utilizando un lenguaje simple que permita la comprensión de los conceptos involucrados en la resolución de problemas. Se presenta una síntesis inmediata de los conceptos fundamentales de la unidad de Equilibrio del cuerpo rígido y Dinámica de rotación, seguida de ejemplos y problemas resueltos que presentan un procedimiento de solución sistemático que va desde un nivel elemental hasta situaciones más complejas, esto, sin saltar los pasos algebraicos que tanto complican al alumno, se finaliza con problemas propuestos incluyendo sus respectivos dsarrollos.
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TORQUE O MOMENTO ESTÁTICO DE UNA FUERZA (M) El torque o momento estático de una fuerza es el efecto de giro que una fuerza produce sobre un cuerpo provisto de un eje o pivote, como por ejemplo al abrir o cerrar una puerta, apretar o soltar una tuerca; dar vuelta el volante de un automóvil; ejercer palanca, etc. Se observa que el efecto de giro se facilita a medida en que aumente el tamaño de la fuerza, como también a medida en que la recta de la fuerza se aleje respecto al eje de giro. También se observa que las fuerzas que están aplicadas directamente al eje, o que la recta de la fuerza pase por el eje, no producen giro. Brazo de giro (b): (b): Es la distancia perpendicular trazada desde el eje hasta la recta de la fuerza. El torque o momento es una magnitud vectorial cuyo valor queda determinado por el producto entre el valor de la fuerza F y su brazo de giro b , es decir: r
M = F ⋅ b
F = valor de la fuerza F (módulo) r
El sentido de giro es totalmente arbitrario, en nuestro estudio consideraremos el torque momento positivo cuando el giro sea contrario al sentido de movimiento de los punteros del reloj, en caso contrario, el torque será negativo. Unidades de medida CGS
MKS
dina ⋅ cm
N ⋅ m
TECNICO TECNICO INGLES GRAVITACIONAL kgf ⋅ m lbf ⋅ pie
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El siguiente esquema representa un cuerpo provisto de un eje en el punto o y sobre el cual actúan cuatro fuerzas tal como se indica. r
F 2
b2 r
F 1 b3 o
Eje de giro
r
F 3 r
F 4
Para el esquema anterior se tiene: -
r
F 1
no produce torque debido a que su recta de acción pasa por el eje de giro.
- F 2 produce torque positivo ya que hace girar el cuerpo c uerpo en sentido contrario al movimiento de los punteos del reloj, su brazo de giro es b2 . r
- F 3 produce torque negativo debido a que hace girar el cuerpo en sentido horario, su brazo de giro es b3 . r
-
F 4 no produce torque debido a que está aplicada directamente al eje de giro. r
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Cuerpo rígido: rígido: Desde el punto de vista de la mecánica, se dice de aquel sólido que no sufre deformaciones permanentes cuando sobre el actúan cargas exteriores, como también de aquel sólido que no pierde su forma al sacarlo de sus apoyos.
Condición de equilibrio del sólido rígido Un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio cuando cumple con dos condiciones: Primera condición de equilibrio: equilibrio:
∑
F = 0 r
∑
⇒
r
Fx
=0
∑ F = 0 r
y
∑ F = 0 r
z
Segunda condición de equilibrio: equilibrio:
∑ M
0
M 0
=0
=0
,
Torque o momento estatico de una fuerza respecto a un punto o pivote O
Momento de inercia para un cuerpo de masa m El momento de inercia corresponde a la resistencia que presenta un cuerpo a querer variar su velocidad angular, es decir, es la resistencia que presentan los cuerpos a adquirir aceleración angular. El momento de Inercia depende de la masa del cuerpo, de la distribución de la masa, de la forma del cuerpo y de la ubicación del eje de giro. El momento de Inercia se simboliza con la letra I y queda determinado por el producto entre la masa de un cuerpo y el cuadrado de la distancia a un determinado eje de giro, es decir:
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I = m ⋅ r 2 I = Momento de inercia r = Distancia entre cuerpo de masa m y el eje respecto al cual se calcula el momento de inercia
En el sistema Internacional la unidad de medida es:
kg ⋅ m
2
Momento de inercia para un sistema de partículas: I =
n
∑ m ⋅ r
2
i
i
i =1
mi
= masa de partícula i ésima ,
r = distancia al eje de giro de partícula i ésima
Radio de giro: El radio de giro corresponde a la distancia respecto a un eje de giro a que se debe de ubicar la masa concentrada del cuerpo para que produzca el mismo momento de Inercia que provoca la masa distribuida, matemáticamente queda determinado por: Re
Re
=
Radio de giro ,
=
I M
I = Momento de inercia ,
M = Masa del sólido
Teorema de Steiner (o de los ejes paralelos): El teorema establece que el momento de Inercia ( I ) de un cuerpo de masa m respecto a un eje cualquiera es igual al momento de Inercia del cuerpo respecto a un eje centroidal, paralelo al eje cualquiera, más el producto entre la masa del cuerpo y el cuadrado de la distancia que separa dichos ejes, matemáticamente queda determinado por:
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I = I CG I CG
+ md 2
= Momento de inercia respecto a un eje que pasa por el centro de gravedad del cuerpo y que es paralelo al eje respecto al cual se calcula el momento de inercia I
m
=
Ee
Masa del cuerpo d
d = Distancia entre los ejes
CG
Trabajo y potencia en la rotación: El trabajo corresponde al producto entre el momento o torque y la posición angular, es decir: W = M ⋅ θ
P
=
W t
=
M ⋅ θ t
= M ⋅ ω
Donde: W = Trabajo mecanico M = Torque o momento
θ = Angulo que se ha girado el sólido
= Potencia mecanica ω = Módulo de la velocidad angular t = Tiempo P
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Momento cinético de un sólido rígido (o momento angular) respecto a un eje fijo: El momento cinético corresponde al producto entre el momento de Inercia y la velocidad angular es decir: Donde:
L
= I ⋅ ω
= Momento cinético o momento angular I = Momento de inercia ω = Módulo de velocidad angular L
Principio de conservación del momento cinético Si un sistema no se ve afectado por un momento exterior, entonces el momento cinético del sistema permanece constante, es decir: Linicial
= Lfinal
U k ROT .
= ⋅ I ⋅ ω 2
Energía cinética de rotación: 1
2
Energía cinética total de un cuerpo en una roto traslación U k
Donde:
1
1
2
2
= ⋅ m ⋅ v 2 + ⋅ I ⋅ ω 2
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= Masa del cuerpo v = Módulo de velocidad lineal I = Momento de inercia del cuerpo respecto a un eje considerad o ω = Módulo de la velocidad angular m
Ley fundamental de la dinámica de rotación M = τ = I ⋅ α M = τ = Torque o momento de una fuerza I = Momento de inercia del cuerpo respecto a un eje considerad o
α = Módulo de la acelaración angular del cuerpo
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Problemas Resueltos – Dinámica De Rotación Problema 1 Determinar el torque generado por la fuerza de 130N respecto al pasador A indicado en la figura. Indicada.
F =130N
80cm
A
Solución: El caso indicado corresponde a la condición más simple en el cálculo del torque ya que se trata de la aplicación directa de la formula fuerza por brazo, es decir: M = F ⋅ b
Donde F representa el valor de la fuerza y b representa el brazo de giro que corresponde a la distancia perpendicular desde el eje de giro o pivote hasta la recta de acción de la fuerza, en este caso se tiene: F = 130 N b = 80cm = 0,8m
Reemplazando estos valores en la formula resulta: M = 130 N ⋅ 0,8m
Con sentido de giro horario
Multiplicando resulta finalmente que el valor del torque o momento respecto al punto A es: M = 104 Nm
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Problema 2 Determinar el momento de la fuerza de 130N, indicada en la figura, respecto al pivote A.
F =130N
80cm 60º
A
Solución: En este caso la recta de la fuerza de 130N no forma un ángulo de 90º con la barra, y por lo tanto se debe trazar el brazo F =130N
b 80cm
60º
A
Calculo del brazo de giro (b) Observando la figura anterior es fácil notar que el brazo b corresponde al cateto opuesto del ángulo de 60º, por lo tanto su valor corresponde a la hipotenusa del triangulo rectángulo multiplicada por el seno del ángulo de 60º, es decir: b = 80cm ⋅ sen60º
Multiplicando: b = 69,282cm ≅ 0,693m
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Calculo del torque o momento Como ahora se conoce el valor de la fuerza y su brazo, solo hay que aplicar la formula que cuantifica el valor del torque, es decir: M = F ⋅ b = 130 N ⋅ 0,693m
Finalmente multiplicando se obtiene: M = 90,09 Nm
Problema 3 Determinar el momento de la fuerza de 130N, indicada en la figura, respecto al pivote A. 80cm
A 60º
F =130N
Solución: Al igual que el ejercicio anterior la fuerza no forma un ángulo de 90º, por lo tanto nuevamente se debe trazar el brazo de giro. 80cm
A 60º
b F =130N
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El brazo b corresponde al cateto opuesto y por lo tanto su valor queda determinado por el producto entre el valor de la hipotenusa y el seno del ángulo de 60º, es decir: b = 0,8m ⋅ sen60º ≅ 0,693m
El torque se obtiene multiplicando el valor de la fuerza con su brazo de giro, es decir:
M = 130 N ⋅ 0,693m = 90,09 Nm
Problema 4 Determinar el torque resultante respecto al pivote A indicado en la figura. 80cm 40cm A 60º
F =130N F = 240N
Solución: En este caso hay dos fuerzas que provocan efecto de giro. La fuerza de 240N provoca un giro en contra del movimiento de los punteros del reloj (torque positivo) mientras que la fuerza de 130N genera un giro a favor del movimiento de los punteros del reloj (torque negativo). Haciendo una sumatoria de torque respecto al punto A se tiene: M A
= ∑ M A = 240 N ⋅ 0,4m − 130 N ⋅ 0,8m ⋅ sen60º
Multiplicando: M A
= 96 Nm − 90,066 Nm
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Finalmente, restando se obtiene el torque resultante respecto al punto A, es decir: M A
= 5,933 Nm
El signo positivo del resultado indica que el efecto de giro resultante es antihorario, es decir: M A
= 5,933 Nm
Problema 5 Determinar el valor de la fuerza respecto al punto A sea Cero.
r
F 1
de la figura para que el torque resultante
80cm 40cm A 60º
F =130N F =?
Solución: Por sumatoria de momentos respecto al punto A se tiene: M A
= ∑ M A = F 1 ⋅ 0,4m − 130 N ⋅ 0,8m ⋅ sen60º
Como el enunciado indica que el torque resultante es igual a cero, significa que M A = 0 , y por lo tanto se tiene: F 1 ⋅ 0,4m − 130 N ⋅ 0,8m ⋅ sen60º = 0
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Despejando F 1
=
F 1
resulta:
130 N ⋅ 0,8m ⋅ sen60º 0,4m
Multiplicando y dividiendo se obtiene el valor de F 1
F 1 , es
decir:
= 225,167 N
Problema 6 Para la barra indicada en la figura, determinar el valor de la fuerza F1 para que el torque resultante respecto al pivote o sea igual a 10Nm en sentido contrario al movimiento de los punteros del reloj. F = 80 N
20cm
64cm
o
F1
Solución: El torque resultante corresponde a la sumatoria de los torques respecto al punto O. Observando que la fuerza F 1 genera el torque positivo y la fuerza de 80N genera el torque negativo, se puede anotar: M 0
= ∑ M 0
=
F 1 ⋅ 64cm − 80 N ⋅ 20cm
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Como se sabe que el torque resultante es de 10Nm en sentido contrario al movimiento de los punteros del reloj (torque resultante positivo) se puede escribir: F 1 ⋅ 0,64m − 80 N ⋅ 0,2m = 10 Nm
O
F 1 ⋅ 0,64m − 16 Nm = 10 Nm
Despejando F 1
=
F 1
=
F 1
F 1
resulta:
10 Nm + 16 Nm 0,64m
26 Nm 0,64m
= 40,625 Nm
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Problema 7 Determinar el momento de torsión resultante en A debido a las fuerzas de 85 N y 120 N para la palanca angular indicada.
F 2
= 85 N
F 1 = 120 N
A 65cm
60°
24°
40cm
Solución: En este caso es conveniente realizar un diagrama de sólido libre (o diagrama de cuerpo rígido)
F 1 = 120 N
60°
F 2
= 85 N b2 65cm
40cm 60° 24°
b1
A
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Calculo de brazo de giro 1) 2)
cos 24º =
sen60º =
b1
40cm
⇒
40cm ⋅ cos 24º = b1
⇒
65cm ⋅ sen60º = b2
b2
65cm
36,542cm ≅ 0,365m = b1
⇒
56,292cm ≅ 0,563m = b2
⇒
El momento de torsión respecto al punto A se obtiene por la sumatoria de los torques ocasionados por las fuerzas de 120N y 85N respecto al punto A, es decir: M A
= ∑ M A = F 1 ⋅ b1 − F 2 ⋅ b2 , ya que la fuerza
F 1
produce torque positivo (giro antihorario) y la fuerza F 2 genera un torque negativo (giro horario). Reemplazando los valores correspondientes para fuerzas y brazos, se tiene:
M A
= 120 N ⋅ 0,365m − 85 N ⋅ 0,563m
Multiplicando y restando se obtiene el valor buscado, es decir: M A
= −4,055 Nm
El signo negativo significa que el efecto de giro resultante es a favor del sentido de movimiento de los punteros del reloj, el resultado anterior también se puede escribir como:
M A
= 4,055 Nm
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Problema 8 Para la palanca angular de la figura, determinar el valor de la fuerza quiere que el torque resultante respecto al pivote A sea igual a cero. F 2
F 2 si
se
=? 32cm
56cm
62°
28° A
F 1 = 150 N
Solución: Al igual que el ejercicio anterior es conveniente realizar un diagrama de sólido libre, es decir: F 2
=? 62º
b2 56cm
32cm 62°
28° A
b1 F 1 = 150 N
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Calculo de brazo de giro 1) 2)
cos 28º =
sen62º =
b1
32cm
⇒
32cm ⋅ cos 28º = b1
⇒
56cm ⋅ sen62º = b2
b2
56cm
⇒ ⇒
28,254cm ≅ 0,283m = b1
49,445cm ≅ 0,494m = b2
El momento de torsión respecto al punto A se obtiene por la sumatoria de los torques ocasionados por las fuerzas de 150N y F 2 respecto al punto A, es decir: = ∑ M A = F 2 ⋅ b2 − F 1 ⋅ b1 , ya que la fuerza F 2 produce torque positivo (giro antihorario) y la fuerza F 1 genera un torque negativo (giro horario).
M A
Reemplazando los valores correspondientes para fuerzas y brazos, se tiene: M A
= F 2 ⋅ 0,494m − 150 N ⋅ 0,283m
Multiplicando se obtiene M A
= F 2 ⋅ 0,494m − 4,055 Nm
Como el torque resultante respecto al punto A es igual a cero se tiene: F 2 ⋅ 0,494m − 4,055 Nm
Despejando F 2
=
=0
F 2 resulta:
4,055 Nm 0,494m
Dividiendo se obtiene el valor de F 2
F 2 ,
es decir:
= 8,209 N
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Problema 9 El puntal AB de la figura está cargado y apoyado según se indica en la figura. El puntal es uniforme y pesa 490N. Determinar la tensión del cable y la reacción en el apoyo A. Fig.3 800 mm
800 mm
Fi . 3 Cable
B
1000 mm
A
720 N
SOLUCIÓN El problema trata de un cuerpo en equilibrio estático, luego la teoría indica que en estos casos se cumplen dos condiciones, estas son: 1 C E . .⇒ a
a 2 C E . .⇒
∑ F = 0 r
∑
M = 0 r
En primer lugar se dibuja el diagrama de sólido rígido (o diagrama de cuerpo libre) correspondiente, esto es dibujar el cuerpo lo más simple posible y luego dibujar todas las fuerzas que actúan en él, tanto las fuerzas conocidas como las fuerzas desconocidas.
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800 mm
800 mm
T B
1000 mm
R X
A
mg
= 720 N
RY
En muchos casos resulta conveniente aplicar primero la segunda condición de equilibrio, a pesar de no ser obligatorio. En la segunda condición de equilibrio se debe elegir el punto pivote como aquel punto que presente el mayor número de incógnitas, ya que en dicho punto tales fuerzas no producen torque, en éste caso corresponde elegir al punto A, luego identificar aquellas fuerzas que producen torque positivos y aquellas que producen torque negativo, en nuestro ejemplo, la tensión de la cuerda provoca un torque positivo mientras que el peso de la barra genera un torque negativo, recordando que el torque se calcula como el producto entre el valor de la fuerza y su brazo se tiene que: 2 a C . E .
∑ M = 0 r
T ⋅ 1000 mm
−
mg
⋅ 800
mm
=
0
Despejando tensión se obtiene:
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T =
mg ⋅ 800mm
1000mm
Reemplazando el valor de mg y cancelando los milímetros resulta: T =
720 N ⋅ 800
, es decir:
1000
T = 576 N
Ahora como se conoce el valor de la tensión, es posible calcular las reacciones en el apoyo A, por medio de la primera condición de equilibrio del cuerpo rígido, es decir: 1 C E . .⇒ a
∑
F = 0 r
Eje x: R AX
− T = 0
Despejando resulta: R AX
= T
Es decir:
R AX
= 576 N
Eje y: R AY − mg
=0
Despejando resulta: R AY
= mg
Es decir:
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R AX
= 720 N
Problema 10 El puntal AB de la figura está cargado y apoyado según se indica en la figura El puntal es uniforme y pesa 490N la tensión del cable y las componentes de la reacción en el apoyo A. Fig.9
Fi . 9 1m
cable A 2m
36° B
30 Kg.
Solución: El problema corresponde a un cuerpo en equilibrio estático, el apoyo A es fijo y por lo tanto presenta dos reacciones. Como se ha indicado en los ejercicios anteriores es muy conveniente realizar un diagrama de sólido rígido para visualizar todas las fuerzas actuantes y aplicar las condiciones de equilibrio del cuerpo rígido.
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bT
bmg puntal bmg cuerpo A
R AX
36º
T
R AY 1m 36º 1,5m
B
mg cuerpo
= 294N
3m
mg puntal = 490N
Calculo de brazo de giro En este caso cada uno de los brazos corresponde al cateto adyacente al triangulo que pertenecen, luego cada uno de ellos queda determinado por la multiplicación entre la hipotenusa correspondiente y el coseno del ángulo de36º, es decir: bT
= 3m ⋅ cos 36º ≅ 2,427m (Brazo de giro de la tensión)
bmg puntal
= 1,5m ⋅ cos 36º ≅ 1,214m
bmg
= 1m ⋅ cos 36º ≅ 0,809m
cuerpo
(Brazo de giro del peso del puntal) (Brazo de giro del peso del cuerpo de 30kg)
Eligiendo el pivote en el punto A, se tiene que le tensión T produce torque positivo (hace girar el puntal en contra del movimiento de los puntero del reloj) mientras que el peso del cuerpo y el peso del puntal generan torque negativo (hacen girar el puntal a favor del movimiento de los punteros del reloj). Eligiendo comenzar con 2ª condición de equilibrio, se tiene:
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∑
r
M A
=0 + ,
T ⋅ bT − mg puntal ⋅ b puntal
− mg cuerpo ⋅ bcuerpo = 0
Despejando la tensión resulta: T =
mg puntal ⋅ b puntal
+ mg cuerpo ⋅ bcuerpo bT
Reemplazando valores correspondientes a los pesos y brazos resulta: T =
490 N ⋅ 1,214m + 294 N ⋅ 0,809m 2,427m
Multiplicado y sumando:
T =
832,706 Nm 2,427m
Dividiendo se tiene el valor de la tensión, es decir: T = 343,101 N
Conocido el valor de la tensión, es posible aplicar primera condición de equilibrio para determinar las reacciones en el apoyo A. 1ª Condición de equilibrio
∑ F = 0
Eje x: (+ hacia la derecha) La única fuerza en el eje x es R AX , por lo tanto: R AX
=0
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Eje y: (positivo hacia arriba) R AY + T − mg puntal
− mg cuerpo = 0
Despejando R AY resulta: R AY = mg puntal + mg cuerpo − T Reemplazando los valores numéricos se tiene: R AY
= 490 N + 294 N − 343,101 N
Luego el valor de la reacción R AY es: R AY
= 440,899 N
Por lo tanto para el puntal de la figura anterior, la tensión tiene un valor de 343,101N y las componentes de la reacción en el apoyo A son R AX = 0 y R AY = 440,899 N hacia la derecha. Problema 11 La viga homogénea de la figura, tiene una masa de 2 (kg) y está articulada en A. Calcular la fuerza que hace el pivote A.
A
4m
37°
Cable
40 kg
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Solución Las fuerzas que actúan en la viga son: su peso (ubicado en el centro de gravedad del cuerpo), la tensión (ubicada horizontalmente en el extremo B de la viga), el peso del cuerpo de 40 kg(ubicado verticalmente hacia abajo en el extremo B de la viga) y las dos reacciones debidas al apoyo fijo en la articulación A(una componente horizontal y otra componente vertical), según lo anterior, el diagrama de cuerpo rígido es:
R Ax
A 2m 2m
R Ay 37º
mgViga
B
= 19,6 N
T
mg Cuerpo
= 392 N
Como se trata de un cuerpo rígido en equilibrio, se cumplen las dos F = 0 M = 0 condiciones, ∑ y∑ r
r
Comenzando con la sumatoria de momentos y eligiendo el punto A como pivote, se tiene que el torque positivo lo realiza la tensión mientras que el peso de la viga y el peso del cuerpo provocan torque negativo, las componentes de la reacción en el apoyo A no generan torque debido a que están aplicadas directamente al eje, es decir:
∑
r
M A
=0
+
T ⋅ 4m ⋅ sen37 º −392 N ⋅ 4m ⋅ cos 37º −19,6 N ⋅ 2m ⋅ cos 37º
La ecuación permite despejar la tensión T =
T , es
=
0
decir:
392 N ⋅ 4m ⋅ cos 37º +19,6 N ⋅ 2m ⋅ cos 37º 4m ⋅ sen37º
Realizando primero las multiplicaciones luego la suma y finalmente la división se obtiene el valor de la tensión, esto es:
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T = 533,207N
4m ⋅ cos 37 º 2m ⋅ cos 37 A 37º
2m 4m ⋅ sen37 º 2m 37º
mg Viga
B
T
= 19,6 N mg Cuerpo
= 392 N
Aplicando primera condición de equilibrio se obtendrán las reacciones en el apoyo A.
∑
r
F x
=0
Observando el diagrama vectorial es fácil notar que las fuerzas del eje x son R Ax y la tensión T , por lo tanto: R Ax
+ T = 0
Despejando R Ax resulta: R Ax
= −T Es decir:
= −533,207 N El signo negativo significa que es de sentido contrario al indicado en el diagrama de cuerpo rígido, por lo tanto:
R Ax
R Ax
= 533,207 N
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∑
=0 Las fuerzas del eje y son R Ay , el peso de la viga y el peso del cuerpo que pende del extremo B, por lo tanto: r
F y
R Ay
− 196 N − 392 N = 0
Despejando y sumando resulta: = 588 N Como el resultado es positivo, la componente y de la reacción en A es hacia arriba, es decir:
R Ay
R Ay
= 588 N
La reacción en el apoyo A se puede expresar vectorialmente como: r
R A
= 533,207iˆ + 588 ˆj
N
La magnitud de la reacción en A es: r
R A
= (533,207 )2 + (588)2
N
Elevando al cuadrado, sumando y sacando raíz cuadrada se tiene: r
R A
= 793,759
N
Recordar que la dirección de una fuerza del plano se obtiene aplicando r
R Ay α = tag −1 ( ) R Ax r
es decir: ⎛ 588 N ⎞ α = tag −1 ⎜ ⎟ ⎝ 533,207 N ⎠ Lo que da un ángulo (dirección) igual a: α = 47,798º
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Problema 12 Determinar el valor de la fuerza F de la figura 6 sabiendo que la barra tiene una longitud de 2,2 metros y una masa de 6 kg . La masa de la polea es de 2,0 kg y la masa del cuerpo sobre la barra es de 120 kg.
F
O
0,3
2,2m
Solución: En este caso el sistema en equilibrio se compone de dos cuerpos, una palanca y un sistema de poleas (fija y móvil), por lo tanto se deben trabajar por separados, esto implica realizar dos diagramas vectoriales, uno para la palanca y otro para el sistema de poleas.
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Diagrama de fuerzas:
Polea
F
F
F
F
Polea
T Polea
mg Cuerpo
= 1176 N T Polea
O
0,3 1,1
mg Barra
= 58,8 N
2,2
32
La solución se debe comenzar en la palanca, debido a que en ella existe la información necesaria para trabajar. Es fácil notar que aplicando segunda condición de equilibrio en la palanca, es posible determinar la fuerza T que ejerce la polea móvil. Eligiendo como eje de giro el pivote O, se tiene que la fuerza T genera un torque positivo, mientras que el peso del cuerpo y el peso de la barra generan un torque negativo, por lo tanto:
∑
r
M O
=0
+
T ⋅ 2,2m − 1176 N ⋅ 0,3m − 58,8 N ⋅ 1,1m = 0
Multiplicando: T ⋅ 2,2m − 352,8 Nm − 64,68 Nm = 0
Reuniendo términos semejantes: T ⋅ 2,2m − 417,48 Nm = 0
Despejando T se obtiene: T =
417,48 Nm 2,2m
Cancelando los metros y dividiendo resulta el valor de la fuerza
T ,
es decir:
T = 189,764 N
Ahora como se conoce el valor de la fuerza T , se trabaja en polea móvil aplicando primera condición de equilibrio, es decir: F + F − T = 0
F
F
Reuniendo términos semejantes: 2 F − T = 0
Despejando
Polea móvil
F T Polea 33
F =
T
2
Reemplazando El valor de desea conocer.
T y dividiendo en 2 resulta el valor de la fuerza que
se
F = 94,882 N
OBSERVACIÓN: No es necesario trabajar en polea fija debido a que en ella actúa la misma fuerza F (no olvidar que la polea fija sirve sólo para cambiar la dirección de una fuerza)
Problema 13 En la palanca de cambio de velocidades de la figura se aplica una fuerza de 34 N, tal como se indica, determinar el momento de la fuerza con respecto al apoyo A. F = 34 N B
40º
60 cm
A
24 cm
34
Solución: En este caso la solución del problema se simplifica si se descompone la fuerza de 34 N en sus componentes rectangulares x e y para posteriormente hacer una sumatoria de momentos respecto al apoyo A. (ver figura)
F y
F = 34 N
= 34 N ⋅ sen40º 40º
B
F x
= 34 N ⋅ cos 40º
60 cm
A
24 cm
Observando el diagrama es fácil notar que ambas componentes x e y de la fuerza de 34 N realizan torque positivo ya que hacen girar la palanca en sentido contrario al movimiento de los punteros del reloj, por lo tanto: M = r
∑
M =34 N ⋅ sen40º⋅0,24m + 34 N cos 40º⋅0,6m r
Multiplicando y sumando se obtiene: M = 20,872 Nm r
35
Problemas propuestos – Torque y Momentos de Inercia Problema 1 Para el sistema de la figura calcule la aceleración y el torque, dado m 1 = 1 kg, m2 = 2 kg y R = 0,2 m. cilindro
polea despreciable
m1= 1 kg
m2 = 2 kg
Problema 2 Para el sistema de la figura calcule la aceleración y el torque, dado m 1 = 2 kg, m2 = 3 kg, R = 0,3 m y el coeficiente de roce cinético es μ = 0,3. Problema 3 Un peso de 50,0 N se une al extremo libre de una cuerda ligera enrollada alrededor de una polea de 0,250 m de radio y 3,00 kg de masa. La polea puede girar libremente en un plano vertical en torno del eje horizontal que pasa por su centro. El peso se libera 6,00 m sobre el piso. (a) Determine la tensión en la cuerda, la aceleración de la masa y la velocidad con la cual el peso golpea el piso. (b) Determine la velocidad calculada en (a) empleando principio de conservación de la energía. Problema 4 La rueda de la figura es un disco sólido de M = 2,00 kg, R = 30,0 cm e I = 0,0900 kg m2. El objeto suspendido tiene una masa m = 0,500 kg. Encuentre la tensión en la cuerda y la aceleración angular de la rueda.
36
M R
m
Problema 5 La caña de pescar de la figura forma un ángulo de 20° con la horizontal. ¿Cuál es el momento de torsión ejercido por el pez alrededor de un eje perpendicular a la pagina y que pasa por la mano del pescador?
2 0 °
m 2 ,0 ° 7 3
2 0 °
F = 100 [N]
pivote
37
Problema 6 Un motor eléctrico puede acelerar una rueda de la fortuna de momento de inercia I = 20000 kg m2 a partir del reposo hasta 10 rpm en 12 s. Determine, (a) el momento de torsión generado por el motor para llevar la rueda hasta 10 rpm (b) La potencia necesaria para mantener esta velocidad angular. Problema 7 Un disco con momento de inercia I1 = 100 kg m2 está girando con velocidad angular ω = 12 rev/s alrededor de un eje sin rozamiento. Cae sobre otro disco con momento de inercia I2 = 80 kg m2 inicialmente en reposo sobre el mismo eje. Debido al rozamiento superficial entre los discos, finalmente se mueven con una velocidad angular común. Determinar la velocidad angular común.
ω = 12 [rev/s] I1
ω =?
I2
38
Problema 8 Para la figura indicada, se pide calcular la fuerza necesaria para lograr el equilibrio rotacional. Despreciar el peso propio de las barras y polea.
F
0 ,7 m
800 [N]
2 0 °
200 [N] 0,6 m
0,8 m
Problema 9 Calcular el torque al que se encuentra sometida la palanca de la figura.
°
5 4
m 1 6 c 1 2 c m
6 0 °
40 [N] 18 [N]
39
Solución a problemas propuestos
Solución problema 1 En primer lugar se dibujará un diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo: Y
Y
N
T
T X
X a
W = m1g= 9,8 [N] W = m2g = 19,6 [N]
Análisis para el cilindro: El cilindro pude girar respecto de su periferia por lo tanto corresponde a un sólido rígido y en el se puede aplicar la segunda ley de Newton, es decir: ∑F = m ⋅a Eje X r
r
⇒ T = m1 ⋅ a ⇒ T = 1(kg ) ⋅ a
(1)
Calculando torque respecto al punto de contacto con la superficie, se tiene: M = T ⋅ 2 R
(2)
Análisis para el cuerpo 2: Cuerpo 2 constituye una partícula y por lo tanto sólo se cumple el segundo principio de Newton, luego:
40
∑
r
F
= m2 ⋅ a
r
⇒ T − m 2 ⋅ g = −m 2 ⋅ a despejando T ⇒ T = m2 ⋅ g − m2 ⋅ a
reemplazando valores
⇒ T = 19,6[N ] − 2[kg ] ⋅ a
(3)
Igualando las ecuaciones (1) y (3) se obtiene: 1(kg ) ⋅ a
= 19,6[ N ] − 2[kg ] ⋅ a
⇒ 3[kg ] ⋅ a = 19,6[ N ] ⇒a=
19,6[ N ] 3[kg ]
⇒ a = 6,533[m / s 2 ]
Reemplazando el valor de a = 6,533 [m/s2] en la ecuación (1) o en (3) se obtiene el valor de la tensión T, es decir: T
= 1[kg ] ⋅ 6,533[m / s 2 ]
⇒ T = 6,533[N ]
Conocido el valor de la tensión T es posible ahora determinar el torque τ aplicando directamente la definición, es decir: M = T ⋅ 2 R
⇒ M = 6,533[ N ] ⋅ 2 ⋅ 0,2[m] ⇒ M = 2,6132[ N ⋅ m]
41
Solución: Problema 2 Al igual que el ejercicio anterior, el cilindro representa un sólido rígido por lo tanto en él se puede aplicar: • La segunda ley de Newton. • Concepto torque o momento.
Análisis para el cilindro: Diagrama de cuerpo libre Y
N T X f W = m1g= 19,6 [N]
Aplicando segunda ley de Newton y según diagrama:
Eje X ⇒ T − f = m1 ⋅ a ⇒ T − μ ⋅ N = m1 ⋅ a pero N = m1g ⇒ T − μ ⋅ m1 ⋅ g = m1 ⋅ a despejando T ⇒ T = μ ⋅ m1 ⋅ g + m1 ⋅ a
Reemplazando valores resulta: ⇒ T = 0,3 ⋅ 19,6[N ] + 2[kg ] ⋅ a ⇒ T = 5,88[N ] + 2[kg ] ⋅ a
(1)
Por otra parte la tensión T produce un torque respecto al punto de contacto del cilindro con la superficie rugosa, entonces: M = T ⋅ 2 R
(2)
42
Análisis para el cuerpo 2: Realizando el diagrama de cuerpo libre y aplicando la segunda ley de Newton, entonces: Y
T
X a
W = m2g = 29,4 [N]
⇒ T − m 2g = −m 2 ⋅ a despejando T ⇒ T = m 2g − m 2 ⋅ a
reemplazando valores
⇒ T = 29,4[N ] − 3[kg ] ⋅ a
(3)
Igualando las ecuaciones (1) y (3), se obtiene: 5,88[N ] + 2[kg ] ⋅ a
= 29,4[N ] − 3[kg ] ⋅ a ⇒ 2[kg ] ⋅ a + 3[kg ] ⋅ a = 29,4[N ] − 5,88[N ] ⇒ 5[kg ] ⋅ a = 23,52[N ] ⇒a=
23,52[N ] 5[kg ]
⇒ a = 4,704[m / s 2 ]
Reemplazando a = 4,704 [m/s2] en la ecuación (1) o en (3) se obtiene el valor de la tensión T, es decir: T
= 2[kg ] ⋅ 4,704[m / s 2 ] + 5,88[N ]
⇒ T = 15,288[N ]
tensión de la cuerda
43
Reemplazando ahora el valor de la tensión T = 15,288 [N] en la ecuación (2) se obtiene el torque, es decir: M = T ⋅ 2 R
⇒ M = 15,288[ N ] ⋅ 2 ⋅ 0,3[m] ⇒ M = 9,172[ N ⋅ m]
torque producido en el cilindro
Solución (a) Problema 3 El enunciado anterior se pude representar en el siguiente esquema: α
M = 3 kg
,2 5 m R = 0
V0 = 0 W = 50 N m 6
Análisis de la polea: Diagrama de cuerpo libre:
α R a T
44
Aplicando segunda ley de Newton al esquema anterior, se tiene que: T ⋅R
= I ⋅ α
⇒ T ⋅R =
⇒T =
pero I
=
M ⋅R2 consideran do a la polea como un disco 2
M ⋅R2 ⋅ α simplifica ndo por R 2
M ⋅R ⋅ α 2
(1)
Análisis para el peso de 50 [N]: Diagrama de cuerpo libre:
T
a W = 50 [N]
Aplicando segunda ley de Newton, se tiene: pero a = α ⋅ R por lo tanto T − m ⋅ g = −m ⋅ a ⇒ T − m ⋅ g = −m ⋅ α ⋅ R ⇒ T = m ⋅ g − m ⋅ α ⋅ R
(2)
Igualando ecuaciones (1) y (2), se obtiene:
45
⇒
M ⋅ R
⋅ α = m ⋅ g − m ⋅ α ⋅ R 2 ⇒ M ⋅ R ⋅ α = 2m ⋅ g − 2m ⋅ α ⋅ R ⇒ M ⋅ R ⋅ α + 2m ⋅ α ⋅ R = m ⋅ g ⇒ α ⋅ R( M + 2m ) = 2mg α =
/ ⋅ 2
factorizan do por α R despejando α
2mg R ( M + 2m )
Como: mg
= 50[ N ]
⇒m=
50[ N ] 9,8[m / s 2 ]
⇒ m = 5,102[kg ]
Reemplazando valores numéricos resulta: α =
2 ⋅ 50[N] 0,25[m] ⋅ (3[kg ] + 2 ⋅ 5,102[kg ])
⇒ α =
100[kg ⋅ m / s 2 ] 0,25[m] ⋅ 13,204[kg ]
⇒ α = 30,294[rad / s 2 ]
Aceleración angular de la polea
Como a = α R, entonces: a = 30,294[rad / s 2 ] ⋅ 0.25[m ] a
Como T =
= 7,573[m / s 2 ]
Aceleración lineal del cuerpo de 50[N]
M ⋅R ⋅ α , entonces: 2 3[kg } ⋅ 0,25[m ] T= ⋅ 30,294[rad / s 2 ] 2
⇒ T = 11,360[N ]
Tensión de la cuerda
Aplicando ecuaciones de cinemática se determina la velocidad del cuerpo al chocar al suelo, es decir: 46
d =
v
− v0 2 2⋅a
2
⇒ d =
v
pero v 0
=0
2
2⋅a
⇒ v2 = 2 ⋅ a ⋅ d ⇒v=
2⋅a ⋅d
Reemplazando valores numéricos, se obtiene: v=
2 ⋅ 7,573[m / s 2 ] ⋅ 6[m]
v = 90,876[m 2 / s 2 ] v = 9,533[m / s ]
Velocidad con que el cuerpo choca con el piso
47
Solución Problema 4 Análisis de polea: Diagrama de cuerpo libre: α R
T
Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica de rotación, se tiene: M = I ⋅ α
pero M = T ⋅ R
por lo tanto
⇒ T ⋅ R = I ⋅ α ⇒ T =
I ⋅ α
(1)
R
Análisis cuerpo de masa m: Diagrama de cuerpo libre: T
a
m = 0,5 [kg] W = mg
Aplicando segunda ley de Newton resulta.
48
− m ⋅ g = −m ⋅ a pero a = α ⋅ R ⇒ T − m ⋅ g = −m ⋅ α ⋅ R despejando T
T
⇒ T = m ⋅ g − m ⋅ α ⋅ R
(2)
Igualan ecuaciones (1) y (2) se obtiene: I ⋅ α = m ⋅ g − m ⋅ α ⋅ R / ⋅ R R ⇒ I ⋅ α = m ⋅ g ⋅ R − m ⋅ α ⋅ R 2
⇒
⇒ I ⋅ α + m ⋅ α ⋅ R 2 = m ⋅ g ⋅ R factorizando por α ⇒ α (I + m ⋅ R 2 ) = m ⋅ g ⋅ R despejando α m ⋅g ⋅R ⇒ α = (I + m ⋅ R 2 ) 0,5[kg ] ⋅ 9,8[m / s 2 ] ⋅ 0,3[m ] ⇒ α = 0,09[kgm 2 ] + 0,5[kg ] ⋅ 0,32 [m 2 ] 1,47[kg ⋅ m 2 / s 2 ] ⇒ α = 0,135[kg ⋅ m 2 ] ⇒ α = 10,889[rad / s 2 ]
Aceleración angular del disco
Conocido el valor de la aceleración angular α se puede calcular el valor de la tensión T, reemplazando en la ecuación (1) o (2). Luego: ⇒T = ⇒T =
I ⋅ α R 0,09[kg ⋅ m 2 ] ⋅ 10,889[rad / s 2 ] 0,3[m ]
⇒ T = 3,267[N ]
49
Solución: Problema 5
2 0 °
2 ,0 m ° 7 3
2 0 °
F = 100 [N]
pivote
Realizado un esquema de fuerzas para la situación dada, se tiene: Y
,0 m r = 2
2 0 °
F = 1 0 0 [ N ° ] 7 3
X
De acuerdo a la información, el momento τ es posible determinarlo aplicando directamente su definición, es decir: M = r × F r
r
⇒ τ =
iˆ
jˆ
ˆ k
r x
r y
r z
F x
F y
F z
El problema es en dos dimensiones por lo tanto r z = 0 y Fz = 0
50
Componentes rectangulares del vector posición r : r
Y
°
0 2 n e sr = y
r
,0 m 2 r = r x = r cos20°
X
⇒ r x = r ⋅ cos20° = 2[m ] ⋅ cos 20° ⇒ r x = 1,8794[m ] ≈ 1,88[m ] ⇒ r y = r ⋅ sen20° = 2[m ] ⋅ sen20° ⇒ r y = 0,6840[m ] ≈ 0,68[m ] r
Componentes rectangulares del vector fuerza F :
Y Fx = Fcos323°
°
° 7 3
3 2 3 s o c F =x F
F = 1 0 0 [ N ]
X
51
⇒ Fx = F ⋅ cos323° = 100[N ] ⋅ cos323° ⇒ Fx = 79,864[N ] ⇒ Fy = F ⋅ sen323° = 100[N ] ⋅ sen323° ⇒ Fy = −60,182[N ] r
Conocidas las componentes rectangulares de los vectores r y F se pueden ingresar al determinante y resolver, es decir: r
iˆ M = 1,88
79,86
jˆ
0,68
− 60,18
ˆ k 0 [ N ⋅ m] 0
⇒ M = (0 − 0)iˆ − (0 − 0 ) jˆ + (1,88 ⋅ −60,18 − 79,86 ⋅ 0.68 )k ˆ[ Nm] ⇒ M = −167,443k ˆ
el signo menos indica sentido horario
52
Solución Problema 6 Datos: ω0 = 0 ω = 10 rpm t = 12 s I = 20000 kg m2
En primer lugar transformaremos la velocidad angular de [rpm] a [rad/s]. ⎡ 2π (rad ) ⎤ ω = 10[rpm ] = 10 ⋅ ⎢ ⎥ = 1,047[rad / s ] ⎣ 60(s ) ⎦ Cálculo del momento de torsión o torque: Por definición se tiene que: M = I ⋅ α
Como se conoce el momento de inercia, sólo hay que determinar la aceleración angular α. Por cinemática, se tiene que: ω = ω 0 + α ⋅ t
despejando α
⇒ ω − ω 0 = α ⋅ t ω − ω 0 ⇒ = α pero ω 0 = 0 t
⇒
ω
t
= α
Reemplazando valores numéricos resulta: α =
1,047[rad / s ] 12[s ]
⇒ α = 0,0873[rad / s 2 ]
53
Conocida la aceleración α basta reemplazar en la definición de torque, es decir: M = I ⋅ α
⇒ M = 20.000[kg ] ⋅ 0.0873[rad / s 2 ] ⇒ M = 1.745,329[ N ⋅ m]
Cálculo de la potencia: La potencia necesaria para mantener la velocidad de 10 rpm queda determinada por: P = M ⋅ ω
⇒ P = 1745,329[ Nm] ⋅ 1,047[rad / s ] ⇒ P = 1827,359[W ] = 2,449[ Hp]
Solución problema 7 ω = 12 [rev/s] I1
ω =?
I2
54
Como el sistema es aislado, es decir, no existe ningún momento externo a los discos, el momento angular total del sistema se mantiene constante, es decir: L inicial
= Lfinal
Como L= Iω, se tiene: = Lfinal ⇒ L1 + L2 = L1′ + L2′ L inicial
⇒ I1 ⋅ ω 1 = I1 ⋅ ω + I 2 ⋅ ω
Donde, ω1= velocidad angular del disco 1 ω= velocidad angular común para los dos discos ⇒ I1 ⋅ ω 1 = (I1 + I 2 ) ⋅ ω despejando ω ⇒
⇒
I 1 ⋅ ω 1
(I1 + I 2 )
= ω reemplazando valores
100[kg ⋅ m2 ] ⋅ 12[rev / s ] 100[kg ⋅ m 2 ] + 80[kg ⋅ m 2 ]
⇒ ω =
= ω
1200[kgm 2 ⋅ rev / s ] 180[kgm 2 ]
⇒ ω = 6,67[rev / s ]
Velocidad angular común de los discos
55
Solución problema 8 El mecanismo de la figura consiste de un sistema de palanca y polea. Como el sistema no se traslada ni gira, se cumple que:
(1)
∑ M = 0 (para sistema de palanca) r
(2) ∑ F = 0 r
(para sistema de poleas)
Diagrama de palanca:
T 0 ,7 m
2 0 °
200 [N] 0,6 m
0,8 m
800 [N]
Según el diagrama, se tiene:
∑
r
M
=0
⇒ 800[N ] ⋅ 1,4[m ] − T ⋅ 0,8[m ] − 200[N ] ⋅ 0,7[m ] ⋅ cos20° = 0 ⇒ 800[N ] ⋅ 1,4[m ] − 200[N ] ⋅ 0,7[m ] ⋅ cos20° = T ⋅ 0,8[m ] 800[N ] ⋅ 1,4[m ] − 200[N ] ⋅ 0,7[m ] ⋅ cos20° ⇒ =T 0,8[m ]
⇒ T = 1.235,554[N ]
Diagrama para poleas:
56
F F
F
F
T=1.235,554 [N]
Para el diagrama anterior se cumple que:
∑F = 0 r
⇒ 2F − T = 0 ⇒ 2F = T despejando F ⇒F =
T
reempalzando valores 2 1.235,554[N] ⇒ F= 2
⇒ F = 617,777[N ]
57
Solución problema 9 Diagrama de fuerzas:
5 4
°
40 [N]
r = 1 2 c m
6 0 °
6 c m r = 1 18 [N]
Aplicando la definición de torque o momento, el momento resultante respecto al pivote es: = r ⋅ F senθ ⇒ M = 0,12[m ] ⋅ 40[N ] sen45° − 0,16[m ] ⋅ 18[N ] sen60° M
⇒ M = 3,394[Nm ] − 2,494[Nm ] ⇒ M = 0,899[Nm ]
sentido antihorario
58
