KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, berkat rahmat dan karunia-Nya kami dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini dengan sebaik-baiknya.
Makalah ini kami susun agar dapat memenuhi salah satu tugas pada mata kuliah Metode Statistika 2. Tujuan lain penyusunan makalah ini adalah supaya kami dan para pembaca dapat lebih memahami tentang Uji Hipotesis .
Materi pada makalah ini berisikan uji hipotesis proporsi populasi, variansi, dan uji hipotesis pada rata-rata yang dikutip dari berbagai sumber yang ada, kemudian dikemas dan dikembangkan sesuai dengan kebutuhan yang diperlukan sehingga memudahkan mahasiswa dalam memahaminya.
Disadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu kritik dan saran yang membangun dari para pemakai dan pembaca sangat diharapkan.
Akhirnya, kami berharap mudah-mudahan makalah ini bermanfaat bagi kita semua.
Medan,10 September 2015
Penulis
Kelompok I
UJI PROPORSI
Proporsi adalah suatu pecahan, rasio atau persentase yang menunjukkan suatu bagian populasi atau sampel yang mempunyai sifat luas. Sebagai contoh adalah suatu survei tentang tingkat pendidikan konsumen dengan mengambil sampel 70 orang, 30 orang dinyatakan berpendidikan SMU. Jadi sampel proporsi yang berpendidikan SMU adalah 30 /70 = 42,86%.
Pengujian ProporsiPengujian Proporsi Dua PopulasiPengujian Proporsi Satu PopulasiPengujian ProporsiPengujian Proporsi Dua PopulasiPengujian Proporsi Satu PopulasiPEMBAGIAN UJI PROPORSI
Pengujian Proporsi
Pengujian Proporsi Dua Populasi
Pengujian Proporsi Satu Populasi
Pengujian Proporsi
Pengujian Proporsi Dua Populasi
Pengujian Proporsi Satu Populasi
Pada uji hipotesis proporsi populasi, pengujian dibagi dua yaitu untuk satu populasi dan dua populasi. Lebih lengkapnya akan dijelaskan dibawah ini.
UJI PROPORSI SATU POPULASI
Uji hipotesis mengenai proporsi diperlukan dibanyak bidang. Seorang politikus tentu ingin mengetahui berapa proporsi pemilih yang akan memilih partainya dalam pemilihan umum mendatang atau semua pabrik sangat berkepentingan mengetahui proporsi barang cacat selama pengiriman.
Pada bab ini kita akan membahas masalah pengujian hipotesis proporsi. Kita akan menguji hipotesis H0 bahwa p = p0. Hipotesis alternativenya dapat berupa alternatif yang bersifat satu-arah dan dua-arah:
p < p0 , p > p0 atau p p0.
Pada bab ini kita akan membahas masalah pengujian hipotesis proporsi. Kita akan menguji hipotesis H0 bahwa p = p0. Hipotesis alternativenya dapat berupa alternatif yang bersifat satu-arah dan dua-arah: p < p0 , p > p0 atau p p0
Bentuk kurva berdasarkan arah dan bentuk formasinya pada penggunaan hipotesis adalah sebagai berikut:
a. Uji satu-arah pihak kiri
b. Uji satu-arah pihak kanan
Pada bab ini kita akan membahas masalah pengujian hipotesis proporsi. Kita akan menguji hipotesis H0 bahwa p = p0. Hipotesis alternativenya dapat berupa alternatif yang bersifat satu-arah dan dua-arah:
p < p0 , p > p0 atau p p0.
Selanjutnya kita akan membahas uji proporsi satu-pihak dan uji proporsi dua-pihak.
Uji Proporsi Satu-Pihak
Langkah-langkah pengujiannya adsalah sebagai berikut :
Menentukan H0, yaitu H0:p = p0
Menentukan H1 ; H1 alternatifnya adalah p < p0 atau p > p0
Menentukan taraf signifikansi
Menentukan daerah kritis.
z < z bila hipotesis alternatifnya p < p0
z > z bila hipotesis alternatifnya p > p0
Perhitungan
z=p – p0p0(1-p0)n
Dengan :
p = proporsi sukses dari sampel
p = xn
x = jumlah sukses
n = jumlah sampel
p0 = peluang "sukses" proporsi
Menentukan kesimpulan : Tolak H0 jika z jatuh dalam wilayah kritik : dan terima H0 bila z jatuh kedalam wilayah penerimaan.
Contoh 1
Suatu obat ketegangan syaraf didugfa hanya 60% efektif. Hasil percobaan dengan obat baru terhadap 100 orang dewasa penderita ketegangan syaraf yang diambil secara acak menunjukkan bahwa obat baru ini 70% efektif. Apakah ini merupakan bukti yang cukup untuk menyimpulkan bahwa obat baru itu lebih baik dari yang beredar sekarang? Gunakan taraf nyata 0,05
Jawab :
H0:p = 0,6
H1:p > 0,6
= 0,05
Wilayah kritik: z > 1,645
Perhitungan : x = 70, n = 100, p0 = 0,6, dan
z= 70100- 0,60,6(0,4)100=2,04
Kesimpulan : zhit > ztabel, yaitu 2,04 > 1,645 sehingga H0 ditolak dan disimpulkan bahwa obat baru tersebut memang lebih unggul dari yang biasa.
Contoh 2
Diketahui 30% dari tanaman yang diberi pestisida gagal tumbuh. Kita ingin menguji hipotesis itu dengan alternatif bahwa tanaman yang gagal tumbuh kurang dari 30%, dari suatu sampel baru sebanyak 500 tanaman dan diperoleh fakta bahwa 25% tanaman diantaranya gagal tumbuh. Jika α= 5% maka kesimpulan apa yang dapat diambil?
Jawab :
H0:p = 0,3
H1:p > 0,3
= 0,05
Wilayah kritik: z < -1,645
Perhitungan : n = 500, xn=0,25,dan
z= 0,25 - 0,30,25(0,75)500=-2,63
Kesimpulan : zhit
Uji Proporsi Dua-Pihak
Langkah- langkah pengujiannya adalah sebagai berikut :
Menentukan H0, yaitu H0:p = p0
Menentukan H1 ; H1 alternatifnya adalah p p0
Menentukan taraf signifikansi
Menentukan daerah kritis.
z < -zα2 dan z > zα2
Perhitungan
z=p – p0p0(1-p0)n
Dengan :
p = proporsi sukses dari sampel
p = xn
x = jumlah sukses
n = jumlah sampel
p0 = peluang "sukses" proporsi
Menentukan kesimpulan : Tolak H0 jika z jatuh dalam wilayah kritik : dan terima H0 bila z jatuh kedalam wilayah penerimaan.
Contoh 3
Hasil penelitian yang sudah dilakukan pada SD X, dinyatakan bahwa 40% murid SD tersebut menderita cacingan. Pernyataan tersebut akan diuji dengan taraf signifikansi 5%, untuk itu diambil sampel sebanyak 250 murid SD dan dilakukan pemeriksaan tinja dan diperoleh 39% diantaranya terinfeksi cacing. Apakah pernyataan tersebut benar?
Penyelesaian:
H0: p = 0,4
H1 : p 0,6
= 0,05, karena uji dua pihak maka zα2 = 1,96
Wilayah kritik: H0 ditolak pada
z < -1,96 dan z > 1.96
Perhitungan : p = 0,39, n = 250, p0 = 0,4, dan
z= 0,39- 0,40,4(0,6)250=-0,33
Kesimpulan : zhit > ztabel, yaitu -0,33 > 0-1,96 sehingga H0 diterima dan disimpulkan bahwa tidak benar pernyataan bahwa 40% murid SD x menderita.
UJI PROPORSI DUA POPULASI
Sering kali kita berhadapan dengan masalah yang mengharuskan kita menguji hipotesis nol bahwa dua proporsi adalah sama.
H0 = p1 = p2 = p
Dari hipotesis nol tersebut kita bisa menentukan hipotesis alternatifnya :
H1 : p1 > p2 H1 : p1 < p2 H1 : p1 p2
z= p1-p2pq1n1+1n2z= p1-p2pq1n1+1n2Statistik uji yang digunakan untuk menguji hipotesis Proporsi Dua Populasi menggunakan distribusi Z dimana dirumuskan sebagai berikut:
z= p1-p2pq1n1+1n2
z= p1-p2pq1n1+1n2
Keterangan :
p1 = proporsi keberhasilan Populasi 1
p2 = proporsi keberhasilan Populasi 2
p = proporsi keberhasilan gabungan kedua populasi
p= x1+x2n1+n2
q = proporsi kegagalan gabungan kedua populasi
q = 1- p
x1,x2 = jumlah keberhasilan masing-masing populasi
n1,n2 = jumlah atau akuan masing-masing populasi
p1=x1n1 p2=x2n2
Ada tiga cara untuk menguji hipotesis proporsi dua populasi yaitu:
Uji hipotesis proporsi dua populasi dengan pihak kanan
Langkah-langkah pengujiannya adsalah sebagai berikut :
Menentukan H0, yaitu H0: p1=p2
Menentukan H1 ; H1 alternatifnya adalah p1>p2
Menentukan taraf signifikansi
Menentukan daerah kritis.
z > z bila hipotesis alternatifnya p1>p2
z= p1-p2pq1n1+1n2z= p1-p2pq1n1+1n2Perhitungan
z= p1-p2pq1n1+1n2
z= p1-p2pq1n1+1n2
Menentukan kesimpulan : tolak Ho jika Z jatuh dalam daerah kritis, dan terima Ho jika Z jatuh dalam daerah penerimaan
Contoh soal:
Suatu pemungutan suara hendak dilakukan antara penduduk suatu kota dan sekitarnya untuk mengetahui pendapat mereka mengenai rencana pendirian sebuah gedung pertemuan serbaguna. Lokasi gedung yang akan dibangun itu didalam kota, sehingga para penduduk yang tinggal disekitar kota itu merasa bahwa rencana ini akan lolos karena besarnya proporsi penduduk kota yang menyetujuinya. Untuk mengetahui apakah ada selisih yang nyata antara proporsi penduduk kota dan penduduk sekitar kota itu yang menyetujui rencana tersebut, diambil suatu contoh acak. Bila ternyata 120 diantara 200 penduduk kota dan 240 diantara 500 penduduk sekitar kota menyetujui rencana tersebut, apakah anda setuju bila dikatakan bahwa proporsi penduduk kota yang menyetujui rencana tersebut lebih tinggi daripada proporsi penduduk sekitar kota yang menyetujui rencana tersebut?Gunakan taraf nyata 0,025
Penyelesain:
Misalkan p1 dan p2 menyatakan proporsi sesungguhnya penduduk kota dan penduduk sekitar kota yang menyetujui pembangunan gedung pertemuan serbaguna
Ho : p1=p2
H1 : p1>p2
α = 0,025
wilayah kritis : z > 1,96
perhitungan
z= p1-p2pq1n1+1n2
z= 0,60-0,48(0,51)(0,49)1200+1500 = 2,9
keputusan: tolak Ho dan kita setuju dengan pendapat bahwa proporsi penduduk kota yang menyetujui rencana tersebut lebih besar daripada proporsi penduduk sekitar kota yang menyetujui rencana tersebut
Uji hipotesis proporsi dua populasi dengan pihak kiri
Langkah-langkah pengujiannya adsalah sebagai berikut :
Menentukan H0, yaitu H0: p1=p2
Menentukan H1 ; H1 alternatifnya adalah p1
Menentukan taraf signifikansi
Menentukan daerah kritis.
z < -z bila hipotesis alternatifnya p1
z= p1-p2pq1n1+1n2z= p1-p2pq1n1+1n2Perhitungan
z= p1-p2pq1n1+1n2
z= p1-p2pq1n1+1n2
Menentukan kesimpulan : tolak Ho jika Z jatuh dalam daerah kritis, dan terima Ho jika Z jatuh dalam daerah penerimaan
Contoh soal:
Dari sampel acak sebanyak 400 ibu rumah tangga yang dipilih oleh sebuah tim dari pemilik supermarket A memperlihatkan bahwa 20% ibu-ibu rumah tangga menyukai kopi merk N, pihak pemasaran melakukan pemasangan iklan terhadap produksinya. Kemudian dilakukan penelitian dengan sampel acak sebesar 600 ibu rumah tangga dan memperlihatkan bahwa 22% ibu-ibu menyukai kopi bubuk merk N. dengan menggunakan α = 0,005. Apakah pemasangan iklan tersebut mampu meningkatkan proporsi ibu-ibu yang menyukai kopi bubuk merk N?
Penyelesaian:
Misalkan : p1 dan p2 menyatakan proporsi sesungguhnya ibu-ibu yang menyukai kopi bubuk merk N sebelum dipasangnya iklan produk kopi merk N dan proporsi sesungguhnya ibu-ibu yang menyukai kopi bubuk merk N setelah dipasangnya iklan produk kopi merk N
Ho : p1=p2
H1 : p1
α = 0,005
wilayah kritis : z < -1,645
perhitungan :
z= p1-p2pq1n1+1n2
z= 0,20-0,22(0,212)(0,788)1400+1600 = -0,74
kesimpulan : diperoleh nilai z hitung sebesar 0,74 yang artinya nilai z hitung lebih besar dari z untuk α = 0,005 yaitu -1,645 dan z hitung terletak di wilayah penerimaan Ho. Artinya informasi yang diperoleh dari sampel tidak mendukung pernyataan bahwa pemasangan iklan atas produk kopi bubuk merk N tersebut dapat meningkatkan proporsi ibu-ibu rumah tangga untuk menyukai kopi merk N, karna perbedaan proporsi sebelum dan sesudah iklan ternyata tidak signifikan untuk taraf α = 5%
Uji hipotesis proporsi dua populasi dengan dua pihak
Langkah-langkah pengujiannya adsalah sebagai berikut :
Menentukan H0, yaitu H0: p1=p2
Menentukan H1 ; H1 alternatifnya adalah p1 p2
Menentukan taraf signifikansi
Menentukan daerah kritis.
z < -zα2 dan z > -zα2
z= p1-p2pq1n1+1n2z= p1-p2pq1n1+1n2Perhitungan
z= p1-p2pq1n1+1n2
z= p1-p2pq1n1+1n2
Menentukan kesimpulan : tolak Ho jika Z jatuh dalam daerah kritis, dan terima Ho jika Z jatuh dalam daerah penerimaan
Contoh soal :
Suatu survey tentang majalah mengungkapkan bahwa majalah "ekonomia" dibaca oleh pembaca 45% dari seluruh pembaca lelaki, dan 46%pembaca perempuan dari seluruh pembaca perempuan. Manajer pemasaran majalah ingin membuktikan kebenaran surveii tersebut dengan mengadakan penelitian terhadap pembaca di suatu kota. Jumlah responden lelaki dipilih 150 orang dan yang membaca majalah sebanyak 69 orang mengaku membaca majalah "ekonomia", sedangkan dari 200 orang responden perempuan yang membaca majalah "ekonomia" adalah 95 orang, dengan menggunakan uji hipotesis proporsi ujilah apakah pembaca majalah tersebut sama? Taraf signifikan 0,05
Penyelesaian:
Misalkan : p1 dan p2 menyatakan proporsi sesungguhnya untuk pembaca majalah ekonomia adalah lelaki dan pembaca adalah perempuan.
Ho : p1 = p2
H1 : p1 p2
α = 0,05
wilayah kritis : z < -z 0,025 dan z > z 0,025
atau z < -1,96 dan z > 1,96
perhitungan :
z= p1-p2pq1n1+1n2
z= 0,46-0,475(0,47)(0,53)1150+1200 = -0,27
keputusan : dari perhitungan diperoleh nilai z hitung yang lebih kecil z 0,025 artinya z hitung terletak didaerah penerimaan Ho, berarti bias ditarik kesimpulan bahwa proporsi pembaca majalah "ekonomia" adalah lelaki dan pembaca majalah "ekonomia" adalah perempuan sama
UJI HIPOTESIS VARIANSI PADA POPULASI
Pengujian hipotesis mengenai variansi populasi atau simpangan baku berarti kita ingin menguji hipotesis mengenai keseragaman suatu populasi ataupun barang membandingkan keseragaman suatu populasi dengan populasi lainya. Statisktik yang cocok sebagai dasar keputusan adalah statistic chi square (χ2) dan statistic F.
Pengujian Hiopotesis variansi pada satu populasi
uji dua arah
H0 : σ2=σ02
H1 : σ2 σ02
uji satu arah
H0 : σ2=σ02
H1 : σ2<σ02
atau
H0 : σ2=σ02
H1 : σ2>σ02
Statistik uji
χ2=(n-1)S2σ2
Dimana:
2 = variabel standardized chi-square
n = jumlah sampel
s2 = varians sampel
σ2 = varians yang dihipotesiskan
Kriteria Penerimaan
Untuk H0 : σ2=σ02 dan H1 : σ2 σ02
H0 diterima jika - χ2./2 χ2 χ2./2
H0 ditolak jika χ2 > χ2./2 atau χ2 < - χ2./2
Untuk H0 : σ2=σ02 dan H1 : σ2<σ02
H0 diterima jika χ2 χ2.(1-)
H0 ditolak jika χ2 < χ2.(1-)
Untuk H0 : σ2=σ02 dan H1 : σ2>σ02
H0 diterima jika χ2 χ2.
H0 ditolak jika χ2 > χ2.
Contoh soal
Sebuah meriam harus memiliki ketepatan menembak dengan variasi yang minimum. Spesifikasi dari pabrik senjata menyebutkan bahwa standar deviasi dari ketepatan menembak meriam jenis tersebut maksimum adalah 4 meter. Untuk menguji hal tersebut, diambil sampel sebanyak 16 meriam dan diperoleh hasil s2 = 24 meter. Ujilah standar deviasi dari spesifikasi tersebut! Gunakan = 0.05
Jawaban
hipotesis
H0: σ2 = 16
H1: σ2 > 16
Nilai kritis dari tabel chi-square :
χ2 = 24.9958 ( = 0.05 dan d.f. = 16 – 1 = 15)
Statistik uji
χ2=(n-1)S2σ2= (16-1)2416=22,5
Pengujian Hiopotesis variansi pada dua populasi
uji dua arah
H0 : σ12-σ22=0
H1 : σ12-σ22 0
uji satu arah
H0 : σ12-σ22 0
H1 : σ12-σ22>0
atau
H0 : σ12-σ22 0
H0 : σ12-σ22<0
Uji statistic
dimana df1 = n1 – 1 ; df2 = n2 – 1
Kriteria penerimaan
Untuk H0: σ12 – σ22 = 0 dan HA: σ12 – σ22 0
Untuk H0: σ12 – σ22 0 dan HA: σ12 – σ22 > 0
Untuk H0: σ12 – σ22 0 dan HA: σ12 – σ22 < 0
Contoh Soal
Ada dua pabrik penghasil kapur, NICE dan NASDAQ bandingkan apakah variansi panjang kapur dari kedua pabrik sama, sebagai mana pengujian sebelum nya , Berikut data yang didapatkan:
NICE
NASDAQ
Jumlah
21
25
Rata-rata
3.27
2.53
Std dev
1.30
1.16
Apakah ada perbedaan variansi antara NICE dan NASDAQ pada = 0.1 level?
Penyelesaian
Statistik Uji:
Mencari nilai kritik distribusi F = 0.1:
Pembilang:
df1 = n1 – 1 = 21 – 1 = 20
Penyebut:
df2 = n2 – 1 = 25 – 1 = 24
F0.05, 20, 24 = 2.03
F0.95, 20, 24 = 0.48
MENGUJI KESAMAAN DUA RATA-RATA (Dua Sampel) : UJI SATU PIHAK
Sebagaimana dalam uji dua pihak, untuk uji satu pihak pun dimisalkan bahwa kedua populasi berdistribusi normal dengan rata-rata 1 dan 2 dan simpangan baku 1 dan 2. Karena umummnya 1 dan 2 tidak diketahui, maka di sini akan ditinjau hal-hal tersebut untuk keadaan 1 = 2 atau 1 2.
Hal A. Uji pihak kanan
Yang diuji adalah H0 : μ1= μ2 H1 : μ1> μ2
Dalam hal 1 = 2 , maka statistik yang digunakan ialah statistik t seperti dalam Rumus VI(6) dengan s2 seperti dalam Rumus VI(7).
Kriteria pengujian yang berlaku ialah : terima H0 jika t < t 1 – dan tolak H0 jika t mempunyai harga-harga lain. Derajat kebebasan untuk daftar distribusi t ialah (n1 + n2 – 2) dengan peluang (1 - ). Jika 1 2, maka statistik yang digunakan adalah statistik t' seperti dalam Rumus VI(8).
Dalam hal ini, kriteria pengujian adalah: tolak hipotesis H0 jika dan terima H0 jika terjadi sebaliknya, dengan w1= s12n1 ,w2= s22n2 , t1 = t(1 – ).(n1 – 1) dan t2 = t(1 – ).(n2 – 1). Peluang untuk penggunaan daftar distribusi t ialah (1 – ) sedangkan dk-nya masing-masing (n1– 1) dan (n2 – 1).
Contoh :
Diduga bahwa pemuda yang senang berenang rata-rata lebih tinggi badannya daripada pemuda sebaya yang tidak senang berenang. Untuk meneliti ini telah diukur 15 pemuda yang senang berenang dan 20 yang tidak senang berenang. Rata-rata tinggi badan berturut-turut 167,2 cm dan 160,3 cm. Simpangan bakunya masing-masing 6,7 cm dan 7,1 cm. Dalam taraf nyata = 0,05, dapatkah kita mendukung dugaan tersebut?
Jawab :
H0 : 1 = 2 (rata-rata tinggi badan pemuda yang senang berenang kurang dari atau sama dengan rata-rata tinggi badan pemuda yang tidak senang berenang)
H1 : 1 >2 (rata-rata tinggi badan pemuda yang senang berenang lebih tinggi dari rata-rata tinggi badan pemuda yang tidak senang berenang)
α= 0,05
daerah kritis
Dari daftar distribusi t dengan peluang 0,95 dan dk = 33, didapat t0,95 = 1,70
perhitungan
Jika distribusi tinggi badan untuk kedua kelompok pemuda itu normal dan 1 = 2, maka statistik t dalam rumus VI(6) dapat digunakan. Kita punya n1 = 15, , s1 = 6,7 cm, n2 = 20, dan s2 = 7,1. dari Rumus VI(7) didapat varians gabungan
Sehingga statistik t mempunyai harga :
Kesimpulan.
Dari penelitian didapat t = 2,913 dan lebih besar dari t = 1,70. Jadi H0 : 1 = 2 ditolak, di mana indeks satu menyatakan pemuda yang senang berenang. Dugaan di muka diterima rata-rata tinggi badan pemuda yang senang berenang lebih tinggi dari rata-rata tinggi badan pemuda yang tidak senang berenang).
Jika untuk contoh di muka dimisalkan 1 2, maka digunakan statistik t' dalam Rumus VI(8). Harga-harga yang perlu adalah :
w1 = 44,89/15 = 2,99, w2 = 50,41/20 = 2,52
t1 = t (0,95),14 = 1,76 dan t2 = t (0,95),19 = 1,73
sehingga diperoleh :
.
Kriteria pengujian adalah : tolak H0 jika t' 1,75. karena t' = 2,94 maka H0 ditolak dan hasil pengujian seperti di atas dapat disimpulkan. Untuk observasi berpasangan, pasangan hipotesis nol H0 dan hipotesis tandingan H1 untuk uji pihak kanan adalah : H0 : μB= 0 H1 : μB> 0
Statistik yang digunakan masih statistik t dalam rumus VI(9) dan tolak H0 jika t t1 – dimana t1 – didapat dari daftar distribusi Student dengan dk = (n – 1) dan peluang (1 – ).
Contoh :
Untuk mempelajari kemampuan belajar tentang menjumlahkan bilangan, 10 anak laki-laki dan 10 anak perempuan telah diambil secara acak. Dari pengamatan masa lampau kemampuan belajar anak laki-laki umumnya labih baik dari pada kemampuan belajar anak perempuan. Hasil ujian yang dilakukan adalah
Laki – laki 30 21 21 27 20 25 27 22 28 18
Perempuan 31 22 37 24 30 15 25 42 19 38
Apakah yang dapat di simpulakan dari hasil ujian ini ?
Jawab : Ambil L = rata-rata hasil ujian untuk anak laki-laki
P = rata-rata hasil ujian untuk anak perempuan.
Akan diuji pasangan hipotesis H0 : μB= μP-μL=0H1 : μB>0
Dari data di atas, setelah dihitung berdasarkan beda (selisih) tiap pasang data, didapat B=4,4 dan SB = 11,34. Rumus VI(9) memberikan t= 4,411,3410=1,227
Dengan dk = 9 dan peluang 0,95 dari daftar distribusi Student didapat t0,95 = 1,83. Karena t = 1,22 lebih kecil dari 1,83 maka H0 diterima. Dalam hal ini masih dapat dikatakan bahwa rata-rata hasil ujian anak laki-laki lebih baik daripada rata-rata hasil ujian anak perempuan.
Hal B. Uji pihak kiri
Perumusan hipotesis H0 dan hipotesis tandingan H1 untuk uji pihak kiri adalah: H0 : μ1= μ2 H1 : μ1> μ2
Langkah-langkah yang ditempuh dalam hal ini sejalan dengan yang dilakukan untuk uji pihak kanan. Jika 1 = 2, kedua-duanya nilainya tak diketahui, maka digunakan statistik t dalam Rumus VI(6).
Kriteria pengujian adalah : tolak H0 t – t1 – , di mana t1 – didapat dari daftar distribusi t dengan dk = (n1 + n2 – 2) dan peluang (1– ). Untuk harga-harga t lainnya, H0 diterima. Jika 1 2, maka yang digunakan adalah statistik t' dalam rumus VI(8) dan tolak H0 untuk t' -(w1t1+ w2t2)w1+w1 dimana w1, w2, t1 dan t2 semuanya seperti telah diuraikan.
Jika t' lebih besar dari harga tersebut, maka H0 diterima.Untuk observasi berpasangan, hipotesis H0 dan tandingan yang diuji adalah H0 : μ =0 H1 : μ <0
Statistik yang digunakan ialah statistik t dalam rumus VI(9)
Dan tolak H0 jika t - t1-α(n-1) dan terima H0 jika t - t1-αn-1 untuk coontooh pada bagian ini cara penyelesaiannya sejalan dengan untuk uji pihak kanan. Bedanya hanya terletak pada letak daerah kritisnya saja.
Keterangan Rumus :
VI(6) :
VI(7) :
Kriteria pengujian Menurut teori distribusi sampling (tidak dibahas dalam buku ini) maka statistik t di atas berdistribusi Student dengan dk = (n1 + n2 – 2). Dengan kriteria pengujian adalah : terima H0 jika – t1 – ½ < t < t1 – ½ , dimana t1 – ½ didapat dari daftar distribusi t dengan dk = (n1 + n2 – 2) dan peluang (1 – ½ ). Untuk harga-harga t lainnya H0 ditolak.
VI(8) :
Kriteria pengujian adalah terima hipotesis H0 jika
dengan : w1 = s12/n1 ; w2 = s22/n2
t1 = t (1 – ½ ).(n1 – 1) dan t2 = t (1 – ½ ).(n2 – 1)
t didapat dari daftar distribusi Student dengan peluang dan dk = m. untuk harga-harga t lainnya H0 ditolak.
VI(9) :
Dan terima H0 jika – t1 – ½ < t < t1 – ½ dimana t1 – ½ didapat dari daftar distribusi t dengan peluang (1 – ½ ) dan dk = (n –1). Dalam hal lainnya H0 ditolak.
MENGUJI KESAMAAN DUA RATA-RATA (Dua Sampel) : UJI DUA PIHAK
Banyak penelitian yang memerlukan perbandingan antara dua keadaan atau tepatnya dua populasi. Misalnya membandingkan dua cara mengajar, dua cara produksi, daya sembuh dua macam obat dan lain sebagainya.
Misalkan kita mempunyai dua populasi normal masing-masing dengan rata-rata 1 dan 2 sedangkan simpangan bakunya 1 dan 2 . Secara independen dari populasi kesatu diambil sebuah sampel acak berukuran n1 sedangkan dari populasi kedua sebuah sampel acak berukuran n2. Dari kedua sampel ini berturut-turut didapat , s1, dan ,s2 . Akan diuji tentang rata-rata 1 dan 2.
Pasangan hipotesis nol dan tandingannya yang akan diuji adalah :
H0 : 1 = 2
H1 : 1 2
Untuk ini kita bedakan hal-hal berikut :
. 1 = 2 = dan diketahui
Statistik yang digunakan jika H0 benar, adalah:
.... (4a).... (4a)
.... (4a)
.... (4a)
Dengan taraf nyata , maka kriteria pengujian adalah :
terima H0 jika – z ½ (1 - ) < z < z ½ (1 - ) , dimana z ½ (1 - ) didapat dari daftar normal baku dengan peluang ½ (1 - ). Dalam hal lainnya H0 ditolak.
B). 1 = 2 = dan tidak diketahui
Jarang sekali 1 dan 2 diketahui besarnya. Jika H0 benar dan 1 = 2 = sedangkan tidak diketahui besarnya, statistik yang digunakan adalah
.... (4c).... (4c), dengan
.... (4c)
.... (4c)
.... (4b).... (4b)
.... (4b)
.... (4b)
Menurut teori distribusi sampling maka statistik t di atas berdistribusi Student dengan dk = (n1 + n2 – 2). Kriteria pengujian adala : terima H0 jika – t1 – ½ < t < t1 – ½ , di mana t1 – ½ didapat dari daftar distribusi t dengan dk = (n1 + n2 – 2) dan peluang (1 – ½ ). Untuk harga-harga t lainnya H0 ditolak.
Contoh:
Seorang guru Matematika ingin membandingkan dua metode mengajar kepada siswanya, katakan metode A dan metode B. Untuk itu diambil sampel 12 anak menggunakan metode A dan 15 anak menggunakan metode B. Pada akhir penelitiannya kedua kelompok tadi dites dan menghasilkan nilai Matematika sbb:
Metode A
7,3
6,8
8,3
8,2
9
6,1
6,4
5,3
5,8
6,7
6,8
7,3
Metode B
6,7
7,4
7,8
8,1
7,3
6,9
8,4
6,1
5,5
5,7
6,8
6,6
7,5
6,7
7,4
Dalam taraf nyata = 0,05, tentukan apakah kedua macam metode itu sama baiknya atau tidak. (diasumsi data berdistribusi normal dengan varians yang sama besar)
Penyelesaian :
H0 : 1 = 2 (rata-rata hasil belajar dengan metode A sama dengan rata-rata hasil belajar dengan metode B)
H1 : 1 2 (rata-rata hasil belajar dengan metode A tidak sama dengan rata-rata hasil belajar dengan metode B)
Taraf nyata () = 0,05
Daerah kritis
Harga t0,975 dengan dk = 25 dari daftar distribusi Student adalah 2,06. Kriteria pengujian adalah : terima H0 jika t hitung terletak antara – 2,06 dan 2,06 dan tolak H0 jika t mempunyai harga-harga lain.
Perhitungan
Dari data diatas didapat =7,00, = 6,99, sA2 =1,18 dan sB2 = 0,69. Simpangan baku gabungan, dari rumus (4c) didapat s = 0,951. Rumus (4b) memberikan ;
Kesimpulan
Dari penelitian didapat t = 0,027 dan ini jelas ada dalam daerah penerimaaan. Jadi H0 diterima.
Kesimpulan : kedua macam metode mengajar menghasilkan nilai rata-rata matematika yang sama.
C). 1 2 dan kedua-duanya tidak diketahui
Jika kedua simpangan baku tidak sama tetapi kedua populasi berdistribusi normal, hingga sekarang belum ada statistik yang tepat yang dapat digunakan. Pendekatan yang cukup memuaskan adalah dengan menggunakan statistik t' sebagai berikut ;
.... (4d).... (4d)
.... (4d)
.... (4d)
Kriteria pengujian adalah terima hipotesis H0 jika
dengan : w1 = s12/n1 ; w2 = s22/n2
t1 = t (1 – ½ ).(n1 – 1) dan
t2 = t (1 – ½ ).(n2 – 1)
t didapat dari daftar distribusi Student dengan peluang dan dk = m. untuk harga-harga t lainnya H0 ditolak.
Contoh :
Ingin diketahui apakah LKS individual menghasilkan hasil belajar siswa yang sama atau tidak dengan LKS kelompok. Untuk itu diadakan percobaan 20 siswa diberi LKS kelompok dan 20 siswa diberi LKS individual. Rata-rata dan simpangan bakunya berturut-turut = 6,8, s1 = 1,1, = 7,2 , dan s2 = 1,4 (data fiktif). Jika varians kedua populasi tidak sama, dengan taraf nyata 0,05, bagaimanakah hasilnya?
Penyelesaian :
(Langkah 1 dan 2)
Hipotesis H0 dan tandingan H1 adalah
H0 : 1 = 2; kedua macam LKS memberikan rata-rata hasil belajar yang sama.
H1 : 1 2; kedua macam LKS memberikan rata-rata hasil belajar yang berlainan.
= 0,05
Daerah kritis
Harga-harga yang diperlukan adalah :
,
dan
Sehingga didapat :
Kriteria pengujian adalah : terima H0 jika – 2,09 < t' < 2,09 dan tolak H0 dalam hal lainnya.
Perhitungan.
Kesimpulan
Jelas bahwa t' = –1,005 ada dalam daerah penerimaan H0. Jadi kita terima H0 dalam taraf yang nyata 0,05. Kesimpulan kedua LKS memberikan rata-rata hasil belajar yang sama.
D). Observasi berpasangan
Untuk observasi berpasangan, kita ambil B = 1 - 2. Hipotesis nol dan tandingannya adalah :
H0 : B = 0
H1 : B 0
Jika B1 = x1 – y1, B2 = x2 – y2, … , Bn = xn – yn, maka data B1,B2, … , Bn menghasilkan rata-rata dan simpangan baku sB. Untuk pengujian hipotesis, gunakan statistik :
.... (4e).... (4e)
.... (4e)
.... (4e)
Dan terima H0 jika – t1 – ½ < t < t1 – ½ dimana t1 – ½ didapat dari daftar distribusi t dengan peluang (1 – ½ ) dan dk = (n –1). Dalam hal lainnya H0 ditolak.
Contoh :
Data berikut adalah mengenai tinggi anak laki-laki pertama (X) dan tinggi ayah (Y) dinyatakan dalam cm. Jika dua populasi dengan sampel yang sama (berpasangan) dan taraf nyata (α) 0,05, bagaimanakah hasilnya?
Tinggi anak
Tinggi ayah
(1)
(2)
158
161
160
159
163
162
157
163
154
156
164
159
169
163
158
160
162
158
161
160
Penyelesaian :
Tabel data tinggi pada dua populasi dengan sampel yang sama.
Tinggi anak
Tinggi ayah
Beda (B)
B2
(1)
(2)
(3)
(4)
158
161
-3
9
160
159
1
1
163
162
1
1
157
163
-3
9
154
156
-2
4
164
159
5
25
169
163
6
36
158
160
-2
4
162
158
4
16
161
160
1
1
Jumlah
8
106
dan sB2 = maka
Dari daftar distribusi t dengan peluang 0,975 dan dk = 9 didapat t0,975 = 2,26. ternyata t = 0,762 ada dalam daerah penerimaan H0. Jadi penelitian menghasilkan uji yang tak berarti.
