UTS Aljabar Linear Elementer Program S-1 Pendidikan Matematika FKIP Untan Waktu : 120 Menit Dosen : Yulis Jamiah Petunjuk : i) Kerjakan soal-soal berikut secermat mungkin dan secara lengkap pada lembar jawaban yang disediakan disediakan ii) Jumlah skor maksimal maksimal dari lima soal adalah adalah 100, perhatikan perhatikan skor tiap soalnya, Soal
1. Nyatakan apakah pernyataan-pernyataan berikut ini selalu bernilai benar atau kadangkadang bernilai salah . Perkuatlah jawaban Anda dengan memberikan argumentasi yang
logis atau contoh yang menyangkal menyangkal pernyataan tersebut. a)
Jika A adalah matriks diagonal, maka A merupakan matriks identitas
b)
Jika I adalah matrik identitas, i dentitas, maka I merupakan matriks segitiga.
c)
Jika C adalah matriks bentuk eselon baris tereduksi, maka C merupakan matriks eselon baris.
d)
Jika penjumlahan matriks AB+BA dapat didefinisikan, maka matriks A dan B pasti merupakan matriks persegi.
2. Sistem Persamaan Linear (SPL) berikut ini:
Penyelesaiannya adalah:
{
Tunjukkan proses untuk memperoleh penyelesaian tersebut dengan menggunakan metode/cara: a) Eliminasi Gauss-Jordan, b) Pembalikan Matriks
3. Diketahui Matriks
Setelah menghitung determinannya diperoleh bahwa
. Tunjukkan proses
dengan cara/metode yang Anda ketahui, sehimgga diperoleh 4. Himpunan matriks yang berbentuk
dengan operasi penjumlahan dan perkalian
skalar matriks bukan merupakan ruang vektor , karena terdapat 4 aksioma dari 10 aksioma yang tidak memenuhi sebagai ruang vektor. Tunjukka 2 aksioma dari 4 aksioma yang tidak memenuhi tersebut. 5. Jika
dan
adalah vektor-vektor pada
(ruang berdimensi-n) dan
maka buktikan bahwa berlaku sifat:
adalah skalar,
Pembahasan 1. Nyatakan apakah pernyataan-pernyataan berikut ini selalu bernilai benar atau kadangkadang bernilai salah . Perkuatlah jawaban Anda dengan memberikan argumentasi yang
logis atau contoh yang menyangkal menyangkal pernyataan tersebut. a) Jika A adalah matriks diagonal, maka A merupakan matriks identitas. Pernyataan di atas kadang-kadang bernilai salah, karena tidak semua matriks diagonal merupakan matriks identitas. Matriks diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua anggota non-diagonal-utamanya adalah nol, dan anggota diagonal utamanya boleh nol boleh tidak nol. Sedangkan matriks identitas adalah
matriks bujur sangkar yang semua anggota non-diagonal-utamanya adalah nol, dan anggota diagonal utamanya adalah satu.
Contoh matriks diagonal,
[ ]
Contoh matriks identitas,
[ ]
Jadi, pernyataan di atas tidak selalu benar. Jika A adalah matriks diagonal, maka A belum tentu merupakan matriks identitas.
b) Jika I adalah matrik identitas, maka I merupakan matriks segitiga. Pernyataan di atas selalu bernilai benar. Matriks segitiga terbagi menjadi dua, yaitu segitiga atas dan segitiga bawah. Berdasarkan pengertiannya, untuk matriks segitiga atas yaitu suatu matriks bujur sangkar yang semua anggota di bawah diagonal utamanya nol. Untuk matriks segitiga bawah yaitu suatu matriks bujur sangkar yang
semua anggota di atas diagonal utamanya nol. Sedangkan pada matriks identitas
anggota di bawah maupun di atas diagonal utamanya selalu nol. Contoh matriks diagonal atas,
[ ] [ ]
Contoh matriks diagonal atas,
Contoh matriks identitas,
[ ]
Jadi dapat dibenarkan, bahwa jika I adalah matriks identitas, maka I merupakan
matriks segitiga.
c) Jika C adalah matriks bentuk eselon baris tereduksi, maka C merupakan matriks eselon baris. Pernyataan di atas selalu bernilai benar. Untuk membentuk matriks berbentuk eselon baris tereduksi, sebuah matriks harus mempunyai sifat-sifat berikut ini. 1)
Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka angka tak-nol pertama dalam baris tersebut adalah sebuah angka 1, yang disebut satu utama.
2)
Jika ada sebarang baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris ini dikelompokkan bersama di bagian bawah matriks.
3)
Jika sebarang dua baris yang berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, satu utama dalam baris yang lebih bawah terletak di sebelah kanan satu utama dalam baris yang lebih atas.
4)
Masing-masing kolom yang berisi sebuah satu utama mempunyai nol di tempat lainnya.
Sedangkan untuk membentuk matriks berbentuk eselon baris cukup memenuhi sifat 1), 2), dan 3). Contoh matriks eselon baris,
[ ] [ ]
Contoh matriks eselon baris tereduksi,
[ ] [ ]
Jadi dapat dibenarkan, bahwa jika C adalah matriks bentuk eselon baris tereduksi, maka C merupakan matriks eselon baris.
d) Jika penjumlahan matriks
dapat didefinisikan, maka matriks
merupakan matriks persegi.
dan
pasti
Pernyataan di atas selalu bernilai benar. Terdapat beberapa definisi khusus tentang penjumlahan dan perkalian matriks. Definisi 1. Jika
dan
adalah matriks-matriks berukuran sama, maka jumlah
adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan anggota-anggota dengan anggota-anggota
yang berpadanan. Matriks-matriks berukuran
berbeda tidak bisa ditambahkan atau dikurangkan. Definisi 2. Jika
adalah sebuah matriks
hasil kali
adalah matriks
dan
adalah sebuah matriks
sama dengan ordo matriks
ordo matriks
, maka matriks
,
maka
.
Dapat disimpulkan bahwa jika matriks matriks
dapat didefinisikan, maka ordo
. Dan jika ordo matriks
dan matriks
sama dengan
merupakan matriks persegi, karena
pada perkalian dot tidak berlaku sifat komutatif.
Jadi dapat dibenarkan, jika penjumlahan matriks matriks
dan
dapat didefinisikan, maka
pasti merupakan matriks persegi.
2. Sistem Persamaan Linear (SPL) berikut ini:
Penyelesaiannya adalah:
{
Tunjukkan proses untuk memperoleh penyelesaian tersebut dengan menggunakan metode/cara: a) Eliminasi Gauss-Jordan Eliminasi Gauss-Jordan adalah salah satu cara menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan cara mereduksi matriks koefisien dan matriks konstanta menjadi matriks bentuk eselon baris tereduksi. Jika dimisalkan
adalah matriks koefisien,
matriks variabel, maka
adalah matriks konstanta, dan
adalah
[ ] [] [ ] [ ] [ [ ] ] [ ] ⁄ ⁄ [ ] ⁄ [ ] =
=
Jadi, dari hasil eliminasi Gauss-Jordan diatas diperoleh penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) yaitu
dan
.
b) Pembalikan Matriks. Pembalikan matriks adalah salah satu cara menyelesaikan Sistem Persamaan Linear
[ ] []
(SPL) dengan cara mereduksi matriks koefisien ( ) menjadi matriks identitas ( ) dengan menyandingkan matriks identitas ke sisi kanan matriks invers dari matriks koefisien (
), dengan bentuk
untuk mendapatkan
Kemudian penyelesaian ( ) diperoleh dari hasil perkalian invers matriks koefisien
(
) dengan matriks konstanta ( ).
[ ] [ ] [ ] [ ] ⁄ ⁄ [ ] ⁄ ⁄⁄ ⁄ ⁄ [ ⁄ ⁄ ] ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄⁄ ⁄ ⁄ [ ] ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄⁄ ⁄⁄ ⁄ [ ] [ ] ⁄ [ ] [ ] [ ] [ ] [] Dari matriks eselon baris tereduksi di atas diperoleh invers dari matriks matr iks koefisien,
Kemudian penyelesaian ( ) diperoleh dari hasil perkalian invers matriks koefisien (
) dengan matriks konstanta ( ).
.
Jadi, dari hasil pembalikan matriks diatas diperoleh penyelesaian Sistem Persamaan
Linear (SPL) yaitu
dan
.
