ALJABAR LINEAR TRANSFORMASI TRANSFORMASI LINEAR LINEAR KATA KAT A PENGA PENGANTAR NTAR Dengan menyebut nama Tuhan Yang Maha Esa, kiranya pantaslah kami memanjatkan puji syukur atas segala nikmat yang telah diberikan kepada penulis, baik kesempatan maupun kesehatan, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah Aljabar Linear ini dengan baik. Salam dan sal salawa awatt sel selalu alu ter tercur curah ah kepa kepada da jun junjun jungan gan kit kitaa bag bagind indaa as asulu ululla llah h SA SA! !, yan yang g tel telah ah membawa manusia dari alam jahiliyah menuju alam yang berilmu seperti sekarang ini. Makalah Aljabar Linear yang telah kami buat berjudul Trans"#rmasi Linear.Makalah ini dapa da patt had hadir ir se sepe pert rtii se seka kara rang ng in inii ta tak k le lepa pass da dari ri ba bant ntuan uan ba bany nyak ak pi piha hak. k. $n $ntu tuk k it itu u su sudah dah sepantasnyalah kami mengucapkan rasa terima kasih yang sebesar%besar buat mereka yang telah berjasa membantu penulis selama pr#ses pembuatan makalah ini dari awal hingga akhir. akhir. &amun, kami menyadari bahwa bah wa makalah ini masih ada hal%hal yang belum sempurna dan luput lu put da dari ri pe perh rhat atia ian n pen penul ulis is.. 'a 'aik ik it itu u dar darii bah bahas asaa yan yang g di digu guna nakan kan ma maupu upun n da dari ri te tekni knik k penyajiannya. (leh karena itu, dengan segala kekurangan dan kerendahan hati, kami sangat mengh me nghar arap apka kan n kr krit itik ik da dan n sa sara ran n da dari ri pa para ra pe pemb mbac acaa se sekal kalia ian n dem demii pe perb rbai aika kan n ma maka kala lah h in inii kedepannya. Akhirny Akhi rnya, a, bes besar ar har harapa apan n penu penulis lis agar keha kehadir diran an mak makala alah h Alj Aljabar abar Lin Linear ear ini dapa dapatt memberikan man"aat yang berarti untuk para pembaca. Dan yang terpenting adalah sem#ga dapat turut serta memajukan ilmu pengetahuan.
Medan, &#)ember *+-
Penulis
DAFTAR ISI ATA /E&0A&TA....................................................... ....................................... ... DA1TA 2S2.............................................................................................................. /E&DA3$L$A&...................................................................................................... /EM'A3ASA& A. /engantar Trans"#rmasi Linear.....................................................................................
*
'. Si"at Trans"#rmasi Linear arnel Dan 4angkauan......................................... ...............
5
6. Trans"#rmasi Linear Dari n ke m7 0e#metri Trans"#rmasi Linear Dari * 8..........
*
/E&$T$/...............................................................................................................................
9
DA1TA /$STAA..............................................................................................................
:
BAB I PENDAHULUAN A.
B. .
*. !. . *.
Latar Belakang Masalah
Tran"#rmasi linear termasuk dalam aljabar linear elementer yang memiliki sub bagian seperti matriks dan #perasinya,determenian matriks, system persamaan linear, )ect#r dibidang dan diruang,ruang )ekt#r,ruang hasil kali dalam, ruang eigen dan yang terakhir trans"#rmasi linear. Sebelum mengenal lebih jauh tentang trans"#rmasi linear maka diperlukan untuk mengetahui apa trans"#rmasi linear melalui de"inisinya dan juga si"at%si"at trans"#rmasi linear yang dalam hal ini disebut si"at trans"#rmasi linear ranel dan jangkauan . Ruusan Masalah Apa itu trans"#rmasi linear ; Apa saja si"at%si"at trans"#rmasi ernel dan jangkauan; Tu"uan Penulisan $ntuk mengetahui Trans"#rmasi linear. $ntuk mengetahui si"at%si"at trans"#rmasi Linear ernel dan jangkauan.
BAB II PEMBAHASAN TRANSF#RMASI LINEAR A.
Pengantar Trans$%rasi Linear 4ika < dan ! adalah ruang )ekt#r dan 1 adalah suatu "ungsi yang mengas#siasikan
)ekt#r unik di ! dengan setiap )ekt#r terletak di <, maka dikatakan 1 memetakan < di dalam !, dan ditulis 17 < !. 4ika 1 mengas#siasikan )ekt#r w dengan )ekt#r ), maka dituliskan w7 1=)> dan dikatakan bahwa w adalah bayangan dari ) di bawah 1. uang )ekt#r < dinamakan d#main 1. $ntuk melukiskannya, jika ) ? =@, y> adalah suatu )ekt#r di *, maka rumus 7 F&'( ) &*+ * , -+ - *( mende"inisikan suatu "ungsi yang memetakan * ke dalam 8.
hususnya 7 4ika ) ? =, > @ ? , y ? sehingga bayangan dari < di bawah 1 adalah 7 1=)> ? =, *, +>. Dengan demikian, d#main 1 adalah *.. 4ika 17 < ! adalah suatu "ungsi dari ruang )ekt#r < ke dalam ruang )ekt#r !, maka 1 dikatakan trans"#rmasi linear =linear trans"#rmati#n> jika 1=u )> ? 1=u> 1=)>untuk semua )ekt#r u dan ) di <. 1=ku> ? k 1=u> untuk semua )ekt#r u di dalam < dan semua skalar k. !%nt%h /
i> ii>
Misalkan 17 * * adalah "ungsi yang dide"inisikan #leh 1=)> ? =*@, y> dengan ) ? =@, y> di *. 'uktikan bahwa 1 merupakan trans"#rmasi linearB Bukti / Misalkan7 u ? =@, y> dan ) ? =@*, y*> a.> 1 =u )> ? 1 C=@ , y> =@*, y*> ? 1 =@ @*, y y*> ? =* C@ @*, Cy y* > ? = C*@, y C*@*, y* > ? 1 =u> 1 =)> b.> 1 =ku> ? 1 =k @, k y> ? =k *@, k y> ? k =*@, y> ? k 1 =u> 4adi, 1 adalah suatu trans"#rmasi linear. .
/eriksa lineritas trans"#rmasi, T7 * 8 dengan T=@, y> ? =*@ y, @ 8y, 8@ >. 'ukti 7 Misalkan7 u ? =@, y> dan ) ? =@*, y*> a.> 1 =u )> ? 1 C =@ , y> =@*, y*> ? 1 C @ @*, y y* ? C* =@ @*> =y y*>, =@ @*> % 8 =y y*>, 8 =@ @*> > ? C*@ *@* y y*, @ @* % 8y % 8y*, 8@ 8@* ? C=*@ y> =*@* y*>, =@ % 8y> =@* % 8y*>, =8@ > 8@* *.
? C*@ y, @ % 8y, 8@ C*@* y*, @* % 8y*, 8@* ? 1 =u> F 1 =)> Diper#leh 1 =u )> F 1 =u> 1 =)>
b.> 1 =ku>
? 1 =k @, k y> ? C*k @ k y, k @ 8k y, 8k @ ? k C*@ y, @ 8 y, 8k @ Gk
1 =ku> F 1 =u> 4adi, T bukan suatu trans"#rmasi linear.
8. Tunjukkan bahwa T 7 R2 R3 yang dide"inisikan #leh T = x> ? * x adalah trans"#rmasi linear. Pen-elesaian Diambil sebarang x, y R, maka7 T = x y> ? *= x y>
Crumus "ungsi
? * x * y Csi"at aritmatika real ? T = x> T = y> Crumus "ungsi dan juga T =kx> ? *=kx> Crumus "ungsi ? k =* x> Csi"at aritmatika real ? kT = x> Crumus "ungsi untuk k R. Disimpulkan bahwa T adalah trans"#rmasi linear. 9. Tunjukkan bahwa T 7 R2 R3, T = x> ? x* bukanlah trans"#rmasi linear. Pen-elesaian 3arus ditunjukkan bahwa de"inisi trans"#rmasi linear tidak dipenuhi #leh "ungsi tersebut, dan ini bisa ditunjukkan dengan c#nt#h penyangkal. 'erdasarkan rumus "ungsi diper#leh bahwa T => ? * ? dan T =*> ? ** ? 9. arena * ? dan ** * *, maka ** ? T =*> ? T = > T => T => ? * *. Disimpulkan bahwa T bukanlah trans"#rmasi linear. Misalkan A adalah suatu matriks ber#rde m @ n. 4ika n#tasi matriks digunakan untuk )ekt#r di m dan n , maka dapat dide"inisikan suatu "ungsi T7 n m dengan 7 T=@> ? A@ 4ika @ adalah matriks n @ , maka hasil kali A@ adalah matriks m @ H jadi memetakan n ke dalam m dan T linear.
Te% rea /
!%nt%h /
.
6arilah matriks baku untuk trans"#rmasi T7 8 @8 >, untuk setiap @ ? =@, @*, @8> dalam n.
* yang dide"inisikan #leh7 T=@> ? =@ @*, @*
0a1a2 /
Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa T adalah trans"#rmasi linear. $ntuk mencari matriks A sehingga T=@> ? A@ untuk setiap @
T=e> ? T=, +, +> ?
8 , terlebih dulu harus ditentukan T=e>, T=e*>, dan T=e8>.
H T=e*> ? T=+, , +> ?
H T=e8> ? T=+, +, > ?
/ilih )ekt#r )ekt#r k##rdinat ini untuk menjadi k#l#m k#l#m dari matriks A.
A? $ntuk meeriksa hasilnya, hitung A@.
A@ ? *.
? , Sesuai dengan rumus yang diberikan untuk T.
Tunjukkan bahwa T 7 M *= R> P 2= R> yang dide"inisikan #leh 7 T
? a =d c> x =b c> x2 adalah trans"#rmasi linear.
Pen-elesaian
, M *= R>. 'erdasarkan rumus "ungsi diper#leh7 Diambil sebarang
T ?T ? (a + e) + ((d + h) – (c + g))x + ((b + f) + (c + g))x = (a + (d – c)x + (b + c)x2 ) + (e + (h – g)x + (f + g)x ) 2
2
?T
Selanjutnya jika k R, maka7 ?T T ? ka + (kd – kc)x + (kb + kc)x = k (a + (d – c)x + (b + c)x )
2
2
= k T Disimpulkan bahwa T adalah linear. B. Si$at Trans$%rasi Linear Kernel Dan 0angkauan 4ika T7 < ! adalah trans"#rmasi linear, maka himpunan )ekt#r di < yang dipetakan T ke dalam + dinamakan kernel =atau ruang n#l> dari TH himpunan tersebut dinyatakan #leh ker=T>. 3impunan semua )ekt#r di ! yang merupakan bayangan di bawah T dari paling sedikit satu )ekt#r di < dinamakan jangkauan dari TH himpunan tersebut dinyatakan #leh =T>.
Te%rea 3 /
Te%rea 4 /
Te%rea &Te%rea Diensi( 5 /
Te%rea 6/
Misalkan I ), )*, J , )n K adalah basis untuk ruang )ekt# < dan T7 < linear. 4ika bayangan )ekt#r basisnya diketahui yaitu7
! adalah trans"#rmasi
T =)>, T =)*>, J T =)n> Maka kita dapat memper#leh bayangan T=)> dari sebarang )ekt#r ) dengan menyatakan dulu ) dalam basis tersebut, misalkan7 ) ? k ) k * )* J k n )n
dan kemudian dapat ditulis7 T=)> ? k T=)> k * T=)*> J k n T=)n> Ringkasn-a /
Suatu trans"#rmasi linear ditentukan secara lengkap #leh nilainya pada suatu basis. !%nt%h /
Tinjaulah basis S ? I), )*, )8> untuk 8 dimana ) ? =, , >H )* ? =, , +> dan misalkan T7 8
* adalah trans"#rmasi linear sehingga T=)> ? =, +>H T=)*> ? =*, %>H T=)8> ? =9, 8>.
a>
6arilah T=*, %8, :>
b>
6arilah sebuah rumus untuk trans"#rmasi linear tersebut. 0a1a2 /
a>
Mula mula nyatakan ) ? =*, %8, :> sebagai k#mbinasi dari7
) ? =, , >H )* ? =, , +>H )8 ? =, +, +>, jadi ) ? k ) k * )* k 8 )8 =*, %8, :> ? k =, , > k * =, , +> k 8 =, +, +>
S/L 7 k k * k 8 ? * k ? : k k * ? %8 k * ? %8 %: ? % k ?: k 8 ? * =%> : ? : Sehingga7 =*, %8, :> ? : ) )* : )8 T=*, %8, :> ? : T=)> T=)*> : T=)8> ? : =, +> =*, %> : =9, 8>
? = , *8
b>
Misal7 ) =@, y, N>
=@, y, N> ? k =, , > k * =, , +> k 8 =, +, +>
S/L 7 k k * k 8 ? @ k ? N k k * ?y k * ? y % N k ?N k 8 ? @ N =y N> ? @ y Sehingga 7 =@, y, N> ? NC) =y N>C)* =@ y>C)8 T=@, y, N> ? N T=) > =y N> T=)*> =@ y> T=)8> ? N=, +> =y N> =*, %> =@ y> =9, 8> ? CN *=y N> 9=@ y>, % =y N> 8=@ y> ? CN *y *N 9@ 9y, % y N 8@ 8y> ? C9@ *y N, 8@ 9y N 4adi, T7 8
* dirumuskan dengan T=)> ? =9@ *y N, 8@ 9y N>
Matrik sebuah #perat#r linear T7 < Te%rea 7 /
< bergantung pada basis yang dipilih untuk <.
Bukti /
arena A adalah matriks T terhadap ', dan AO adalah matriks T terhadap 'O, maka hubungan berikut berlaku untuk semua @ dalam <. AC@' ) 8T=@>' dan AOC@'O ? CT=@>'O 2ni dapat ditulis sebagai C@ CT=@>' dan C@'O AO CT=@>'O $ntuk melihat bagaimana matriks A dihubungkan dengan AO, maka misalkan / adalah matriks transisi dari basis 'O ke ', sehingga /% adalah matriks transisi dari ' ke 'O. 4adi, /C@'O ? C@' dan /%CT=@>' ? CT=@>'O Yang dapat ditulis sebagai
C@'O / C@' dan CT=@>' /% CT=@>'O $ntuk mendapatkannya, hubungan tersebut dapat dikaitkan bersama sama dalam sebuah gambar sebagai berikut7
A
C@' /
CT=@>'
%
/
C@'O CT=@>'O AO 0ambar ini melukiskan bahwa ada dua cara untuk mendapatkan matriks CT=@>'Odari matriks C@'O. ita dapat mengambil jalan bawah menyeberang gambar, yakni AOC@'O ? CT=@>'O Atau kita dapat menaiki sisi kiri, enyeberang atas, dan menurun sisi kanan, yakni /% A/C@'O ? CT=@>'O 4elas bahwa /%A/C@'O ? AOC@'O $ntuk semua @ pada <. 4elas bahwa /%A/ ? AO !%nt%h 3 / Misalkan T7 * * dide"inisikan #leh 7T ? 6arilah matriks baku untuk T, yakni matriks T relati" terhadap basis ' ? Ie, e*>, dimana e ?
e* ? dan kemudian gunakanlah te#rema untuk mentrans"#rmasikan matriks ini ke dalam matriks T
relati" terhadap basis 'O ? Iu, u*K, dimana u ? dan u* ? Pee9ahan7 kita cari matriks T relati" terhadap basis baku b menjadi7 CT' ? Matriks transisi dari 'O ke ' u ? e e* u* ? e *e* sehingga 7 Cu' ? dan Cu*' ? 4adi, matriks transisi dari 'O ke ' adalah /?
An:a :a;at eeriksa 2ah1a/
/% ? Sehingga menurut Te#rema matriks T relati" terhadap basis 'O adalah7 /%C T '/ ?
?
!. Trans$%rasi Linear Dari R n ke R / Ge%etri Trans$%rasi Linear Dari R 4 ke R 5
4ika T7 n m adalah sebarang trans"#rmasi linear, maka kita dapat mencari sebuah matriks A yang berukuran m @ n sehingga T adalah perkalian #leh A. Misalkan7 e, e*, . . . , en adalah basis baku untuk n, dan misalkan A adalah matriks m @ n yang mempunyai T=e>, T=e*>, . . . , T=e n> Sebagai )ekt#r )ekt#r k#l#mnya. Misalnya, jika T7 * T maka T=e> ? T
?
* diberikan #leh7
?
dan T=e*> ? T
?
A? T=e> T=e*> Secara lebih umum, jika7
T=e> ?
, T=e*> ?
, . . . , T=en> ?
maka
A? T=e> T=e*> T=en> Matriks ini kita namakan matriks baku untuk T. ita akan perlihatkan bahwa trans"#rmasi linear T7 n
@?
m adalah perkalian #leh A. $ntuk melihat ini, mula mula perhatikanlah bahwa7
? @e @*e* . . . @nen
maka, karena kelinearan T, adalah T=@> ? @ T=e> @* T= e*> . . . @n T=en> Sebaliknya
A@ ?
?
? @ @* . . . @n ? @ T=e> @* T= e*> . . . @n T=en> 4adi, T=@> ? A@, yakni T adalah prkalian #leh A.
BAB III PENUTUP A.
Kesi;ulan
. a. b. *.
4ika 17 < ! adalah suatu "ungsi dari ruang )ekt#r < ke dalam ruang )ekt#r !, maka 1 dikatakan trans"#rmasi linear =linear trans"#rmati#n> jika 1=u )> ? 1=u> 1=)>untuk semua )ekt#r u dan ) di <. 1=ku> ? k 1=u> untuk semua )ekt#r u di dalam < dan semua skalar k. Mengenai si"at trans"#rmasi linear kernel dan jangkauan dijelaskan pa da te#rema berikut7
a.
4ika T7 <
! adalah trans"#rmasi linear, maka
> T=+> ? + *> T=%)> ? % T=)> untuk semua ) di <. 8> T=) w> ? T=)> T=w> untuk semua ) dan w di < b.
4ika T7 <
! adalah trans"#rmasi linear, maka
> ernel dari T adalah subruang dari <. *> 4angkauan dari T adalah subruang dari !.
c.
B.
4ika T7 < ! adalah trans"#rmasi linear dari ruang )ekt#r < yang berdimensi n kepada suatu ruang )ekt#r !, maka7 &rank :ari T( , & nulitas :ari T( ) n Saran
Dalam berbagai analisis statistik,umunya untuk bidang penelitian pendidikan dan psik#l#gi,khususnya dalam bidang pengujian dan pengukuran trans"#rmasi data ke data PlainQsering dipakai.Trans"#rmasi linier merupakan bentuk paling sederhana dalam k#nsep pengubahan data dalam satu "#rmat ke "#rmat lainnya.Tujuan utama yang sering di ungkapkan dalam pembahasan t#pik ini =trans"#masi linier> adalah untuk mengembangkan pemahaman bahwa data dalam satu "#rmat dapat di trans"er atau di ubah ke bentuk data PlainQsehingga memudahkan analisis selanjutnya dan penginterprestasiannya. Demikian merupakan salah satu kegunaan secara nyata mengenai trans"#rmasi linear. &amun dalam makalah ini tidak dijelaskan aplikasinya melainkan k#nsep transp#r linear yang sebenarnya dalam matematika. Apabila kita memahami te#ri yang sebenarnya tentulah lebih mudah mengaplikasikanya. DAFTAR PUSTAKA
e"erensi Agung 1irmansah Sibrani Maslen *+8, Aljabar Linear , ajawali /ers7 4akarta =Agung> Ant#n, 3#ward, *++:, Aljabar Linear Eleen!er "er#i a$lika#i edi#i %& ErlanggaH 4akarta=Agung> e"erensi Erni Lestari Ant#n, 3#ward, -, Aljabar Linear Eleen!er& ErlanggaH 4akarta =Erni> Ant#n 3#ward, *+++ , 'a#arda#ar Aljabar Linear& ErlanggaH 4akarta =Erni> e"erensi Lisa !ulandari 0unawan Sant#s#, *++, Aljabar Linear 'a#ar& 6< A&D2 (11SET Setiadji, *++, Aljabar Linear& 0raha 2lmu7 Y#gyakarta e"erensi esti Anggraeni &ugr#h#, Didit 'udi, *++, Aljabar Linear& $ni)ersitas risten Satya !acana7 Salatiga =esti> 4abar Abdul , *+8, 'ik!a! Ma!a *liah Aljabar Linear Eleen!er& ST2/ 'anjarmasin7 'anjarmasin =esti> e"erensi Trina A"riani 2mr#na Mahmud, *+8, Aljabar Linear& Erlangga7 4akarta =Trina> Yuliant sibr#ni, *++*, *k* Aljabar Linear& STT7 'andung =Trina>
