Bab 6 TRANSFORMASI LINEAR
6.1
Pengantar
Pada banyak bidang matematika, seringkali diinginkan untuk menghubungkan anggota dari suatu himpunan dengan anggota pada himpunan lainnya, dan dengan demikian konsep suatu fungsi f : S T dibentuk. dibentuk. Sebagai Sebagai contoh, dalam kalkulus kalkulus variabel variabel tunggal, tunggal, S dan T biasanya adalah himpunan bagian sederhana dari R. Pada bab ini akan dipelajari fungsi f : V W dengan V dan W adalah ruang vektor atas field yang sama.
DEFINISI 6.1.1 6.1.1 Diberikan ruang vektor V dan W atas atas suatu suatu field F F. Suatu fungsi disebut transformasi linear (linear transformation) atau homomorfisma atau homomorfisma T : V W disebut (homomorphism) jika T mengawetkan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar: TL1 Linear: T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2), v1, v2 V ; TL2 Homogen: T (kv) = kT (v), v V , k F.
V
T
W
v1
T (v1)
v1 + v2
T (v1 + v2)
kv1
T (kv1)
v2
T (v2)
Gambar 6.1: Representasi skematis dari suatu transformasi linear
139
© 2010 Didit B. B. Nugroho
140
B a b 6 T r an an s f o r m a s i L i n e a r
CONTOH 6.1 .1.1 .1 Tunjukkan bahwa T : R R yang didefinisikan oleh T ( x x) = 2 x adalah transformasi linear. Penyelesaian. Diambil sebarang x, y R, maka [rumus fungsi] T ( x x + y) = 2( x x + y) = 2 x + 2 y [sifat aritmatika real] y) = T ( x) + T ( y [rumus fungsi] dan juga T (kx) = 2(kx) [rumus fungsi] = k (2 (2 x) [sifat aritmatika real] x) = kT ( x [rumus fungsi] k R. untuk k Disimpulkan bahwa T adalah transformasi linear. CONTOH 6.1 .1.2 .2 Tunjukkan bahwa T : R R, T ( x x) = x2 bukanlah transformasi linear. Penyelesaian. Harus ditunjukkan bahwa definisi transformasi linear tidak dipenuhi oleh fungsi tersebut, dan ini bisa ditunjukkan dengan contoh penyangkal. Berdasarkan rumus fungsi diperoleh bahwa (1) = 12 = 1 dan (2) = 22 = 4. T (1) T (2) Karena 2 = 1 + 1 dan 2 2 12 + 12, maka 22 = T (2) (2) = T ( 1 + 1) T (1) (1) + T (1) (1) = 12 + 12. Disimpulkan bahwa T bukanlah transformasi linear. CONTOH 6.1 .1.3 .3
Tunjukkan bahwa T : M 2( R) P2( R R) yang didefinisikan oleh
a c
T
b
d
– c c) x x + (b + c) x x2 = a + (d –
adalah transformasi linear. Penyelesaian. Diambil sebarang a b e c d , g
f
M 2( R).
h
Berdasarkan rumus fungsi diperoleh
a c
T
b
e d g
f
h
a c
b
d
= =
– (c + g)) x x + ((b + f ) + (c + g)) x x2 (a + e) + ((d + h) – ( 2 (a + (d – – c c) x x + (b + c) x x ) + (e + (h – g g) x x + ( f f + g) x x2)
=
T
a c ka kc
d h
b
d
e g
+ T
f
.
h
kb
=
T
= =
– kc ka + (kd – kc) x x + (kb + kc) x2 – c k (a + (d – c) x x + (b + c) x2)
=
kT
a c
Disimpulkan bahwa T adalah linear.
© 2010 Didit B. B. Nugroho
b f
T
R, maka Selanjutnya jika k T k
a e c g
=
kd
b
.
d
141
B a b 6 T r an an s f o r m a s i L i n e a r
CONTOH 6.1 .1.4 .4
Tunjukkan bahwa T : C 2 C 2 yang dirumuskan oleh
z1 iz1 2 z 2 T = , z 2 3 z1 iz 2
z1, z2 C
adalah linear. Penyelesaian. Diambil sebarang z1 w1 z = , w = z 2 w2
C 2.
Diperoleh T ( z z + w) =
= = C , maka Jika k
z1 w1 z1 T = T z 2 w2 z 2 i z1 w1 2 z 2 w2 3 z w i z w 2 2 1 1
w1 w2 iz1 2 z 2 iw1 2w2 = 3 z1 iz 2 3w1 iw2
T ( z) + T (w).
T (kz) =
=
kz1 ikz1 2kz 2 kz 2 = 3kz1 ikz 2 iz1 2 z 2 k z). = kT ( z 3 z1 iz 2
T
Disimpulkan bahwa T adalah linear. Suatu transformasi linear dari ruang vektor V ke ruang vektor V yang sama disebut operator linear. linear. Kemudian jika diduga bahwa fungsi yang diberikan adalah transformasi linear maka dicoba untuk membuktikannya, tetapi jika berpikir bahwa fungsi tidaklah linear maka satu contoh penyangkal adalah cukup.
CONTOH 6.1 .1.5 .5 Diferensiasi dan integrasi adalah transformasi linear. Diambil V = C ( R R) adalah ruang vektor dari fungsi-fungsi yang terdiferensial dengan R sebagai domain dan kodomainnya. Diberikan fungsi fungsi derivatif D D : V V yang didefinisikan oleh df ( x) D f ( x) , dx dan fungsi fungsi integr integral al Int Int : V V yang didefinisikan oleh
Int f ( x)
x
0 f (t )dt .
Fungsi D dan Int adalah transformasi linear.
CONTOH 6.1 .1.6 .6 oleh
Diberikan
CONTOH 6.1 .1.7 .7 T 0 : V W oleh
Diberikan
V adalah
ruang vektor dan didefinisikan I :
V
V
I (v) = v, v V . identitas. I adalah transformasi linear yang disebut transformasi disebut transformasi identitas. V dan W adalah
ruang vektor dan didefinisikan fungsi
T 0(v) = 0 = 0W , v V . disebut transformasi nol. nol. T 0 adalah transformasi linear yang disebut transformasi
© 2010 Didit B. B. Nugroho
142
B a b 6 T r an an s f o r m a s i L i n e a r
TEOREMA 6.1 .1.1 .1 Jika T : V W adalah transformasi linear , maka (a) T (0V ) = 0 = 0W , (b)
n n T ai vi a iT vi i 1 i 1
dengan ai F, vi V untuk i = 1, 2, …, n.
Bukti. a) T (0V ) karena itu
T (0V + 0V )
=
=
T (0V ) – T T (0V ) =
T (0V ) + T (0V ),
[T adalah linear]
T (0V ).
Karena T (0V ) – T T (0V ) = 0W , diperoleh T (0V ) = 0 = 0W . b) Dibukt Dibuktika ikan n dengan dengan induks induksii matemat matematika ika.. Diambil P(n) sebagai pernyataan dari
n n T ai vi a iT vi . i 1 i 1 P(1) menyatakan bahwa T (a1v1) = a1T (v1), dan ini adalah suatu pernyataan yang benar sebab T adalah linear. Selanjutnya diandaikan bahwa P (n) benar untuk n n = k dan akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) adalah suatu pernyataan yang benar juga. k
Dituliskan w =
a v
i i
dan diuji:
i 1
k 1 T ai vi i 1
=
T (w + ak +1 +1.vk +1 +1)
= =
T (w)+ T (ak +1 +1.vk +1 +1) T (w)+ ak +1 +1T (vk +1 +1)
=
T
k a i vi i 1
[sebab T adalah linear] [sebab T adalah linear]
+ ak +1 +1T (vk +1 +1)
k
=
a T v + + a i
+1T vk +1 +1 k +1
i
(
)
[berdasarkan hi hipotesis in induksi]
i 1
dengan demikian
k 1 k 1 T ai vi a iT vi i 1 i 1 dan P(k + 1) adalah benar. Disimpulkan berdasarkan prinsip induksi matematika bahwa P(n) adalah benar n N . Teorema berikut bermanfaat untuk mengurangi usaha dalam menentukan apakah suatu fungsi adalah transformasi linear. Pembaca diharapkan mengetahui hasil yang analog untuk memeriksa ruang bagian.
TEOREMA 6.1 .1.2 .2 Fungsi T :
V
W adalah
jika T (kv1 + v2) = kT (v1) + T (v2),
© 2010 Didit B. B. Nugroho
transformasi linear jika dan hanya
v1, v2 V , k F.
143
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
Bukti. Jika T adalah linear, maka berdasarkan Teorema 6.1.1(b) dipunyai T (kv1 + v2) = kT (v1) + T (v2) Sekarang diandaikan bahwa T (kv1 + v2) = kT (v1) + T (v2), k F, v1, v2 V . Secara khusus, jika k = 1 maka T (v1 + v2) = T (1.v1 + v2) = 1.T (v1) + T (v2) = T (v1) + T (v2), berdasarkan sifat skalar 1, yang berarti T memenuhi TL1. Jika dipilih v2 = 0V , maka dengan menggunakan Teorema 6.1.1(a) diperoleh T (kv1) = T (kv1 + 0V ) = kT (v1) + T (0V ) = kT (v1) + 0W . Ini berarti bahwa T (kv1) = kT (v1), dan karena itu T memenuhi TL2. Sekarang dapat disimpulkan bahwa T adalah suatu transformasi linear. CONTOH 6.1.8 Diberikan suatu matriks A M mn( R) dan didefinisikan suatu fungsi T A : Rn Rm oleh T A( x) = Ax untuk setiap x Rn. Dengan menggunakan sifat perkalian matriks, maka x, y Rn dan k R diperoleh T A(kx + y) = A(kx + y) = A(kx) + A( y) = k ( Ax) + ( Ay) = kT A( x) + T A( y). Karena itu T A adalah transformasi linear, dan dinamakan transformasi matriks. AKIBAT 6.1.1 Jika T : V W adalah transformasi linear , maka untuk setiap u, v V berlaku: 1. T ( – v) = – T( v). 2. T (v – w) = T (v) – T (w). CONTOH 6.1.9
Didefinisikan T : V = R3 W = R2 oleh
x1 T x 2 x 3
=
x1 x3 2 5x . 2
Tunjukkan bahwa T bukanlah suatu transformasi linear. Penyelesaian. Diberikan suatu contoh penyangkal, khususnya T (0V ) = 0W atau T (kv1 + v2) = kT (v1) + T (v2) adalah dilanggar untuk suatu v1, v2 V . Untuk yang pertama, penyelesaian yang mungkin:
0 ) = T 0 0
T (0V
=
0 0 2 0 .
Untuk yang kedua, penyelesaian yang mungkin: 1
diambil k = – 1, v1 = 1 , dan v2 = 0V , maka
1
1 T (kv1 + v2) = T 1 1 0V 1
1 = T 1 1
=
1 (1) 2 5(1)
=
2 3
dan
© 2010 Didit B. Nugroho
144
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
1 1 1 0 kT (v1) + T (v2) = – 1. T 1 + T (0 ) = – 1. + 2 2 5 . 1 1 Karena T (kv1 + v2) kT (v1) + T (v2) maka T adalah tidak linear. V
=
2 5 .
Ruang Vektor untuk Transformasi Linear Diandaikan V dan W adalah dua ruang vektor atas field F. Ditetapkan himpunan semua transformasi linear dari V ke W yaitu L (V , W ). Himpunan ini dapat memberikan struktur suatu ruang vektor atas F jika didefinisikan jumlahan dan perkaliannya dengan cara: (T 1 + T 2) : V W didefinisikan oleh (T 1 + T 2)(v) = T 1(v) + T 2(v), (kT 1) : V W didefinisikan oleh (kT 1)(v) = kT 1(v). Vektor nol adalah T 0 : V W , T 0(v) = 0W , v V .
6.2 Kernel dan Image dari Transformasi Linear Untuk suatu fungsi yang terdefinisi, terdapat dua himpunan bagian khusus yang menarik. Pertama adalah himpunan semua titik bayangan yang mungkin, yang disebut range. Yang lainnya adalah himpunan bagian dari domain yang dipetakan ke nol dalam kodomain, yang disebut ruang nol.
Range Diberikan T : vektor W .
V
W adalah
transformasi linear dari ruang vektor
V ke
ruang
DEFINISI 6.2.1 Range (image) dari T , dinotasikan Im(T ), adalah himpunan semua titik bayangan dari T , artinya Im(T ) = {w W w = T (v), v V }. V
T
W
Im(T )
v1 T (v1)
T (v2) v2 Gambar 6.2 : Representasi skematis dari range T Jelas bahwa range adalah suatu himpunan bagian dari dipunyai:
W .
Lebih bagus lagi,
TEOREMA 6.2.1 Diberikan T : V W adalah transformasi linear dari ruang vektor V ke ruang vektor W , maka Im(T ) adalah suatu ruang bagian dari W .
© 2010 Didit B. Nugroho
145
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
Bukti. T (0V ) = 0W karena T adalah linear. Jadi 0W Im(T ) dan karena itu Im(T ) . Sekarang diandaikan bahwa w1, w2 Im(T ), maka v 1, v2 V sehingga T (v1) = w1, T (v2) = w2. Karena V adalah ruang vektor, kv1 + v2 V , dan dengan mengaplikasikan T dipunyai: T (kv1 + v2) Im(T ). Karena T adalah linear maka T (kv1 + v2) = kT (v1) + T (v2) = kw1 + w2. Berarti bahwa kw1 + w2 Im(T ). Disimpulkan bahwa Im(T ) adalah ruang bagian dari W . CONTOH 6.2.1
Range dari T A pada Contoh 6.1.8 adalah vektor-vektor b1 b=
b 2 bm
sehingga sistem
a11 a 21 am1
a12 a 22
am2
a 2 n a mn
a1n
x1 x 2 xn
=
b1 b 2 bm
konsisten.
2 4 Diberikan A 3 6 , 1 2
CONTOH 6.2.2
1 2
u
dan didefinisikan transformasi
linear T A : R2 R3 oleh T A( x) = Ax =
2 4 3 6 x1 x2 1 2
=
2 x1 4 x2 3 x 6 x . 2 1 x1 2 x2
[Bisa juga dituliskan T A( x1, x2) = (2 x1 – 4 x2, 3 x1 – 6 x2, x1 – 2 x2).] (a) Tentukan T A(u), bayangan dari u oleh transformasi T A. (b) Tentukan range dari T A. Penyelesaian. 2 4 2.1 4.2 6 1 (a) T A(u) = Au = 3 6 = 3.1 6.2 = 9 . 2 1 2 1 2.2 3 (b) Untuk setiap x di R2, Ax adalah kombinasi linear dari kolom-kolom A dan karena salah satu kolom dari A adalah kelipatan dari kolom yang lainnya, maka range dari T A 2
adalah semua kelipatan dari 3 .
1
© 2010 Didit B. Nugroho
146
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
CONTOH 6.2.3
Diberikan
2 3 1 2 3 , b = 2 , c = 3 A = u , = 10 0 5 10 15 1 dan didefinisikan transformasi T A : R3 R2 oleh T A( x) = Ax. Tentukan suatu x di R3 dengan bayangannya oleh T A adalah b. Apakah terdapat lebih dari satu x oleh T A dengan bayangannya adalah b? ( masalah ketunggalan) (c) Nyatakan jika c berada dalam range transformasi T A. (masalah eksistensi) Penyelesaian. (a) Diselesaikan T A( x) = Ax, yaitu menyelesaikan Ax = b atau x1 3 1 2 2 = x 5 10 15 2 10 x 3 (a) (b)
Matriks yang diperbesar dari sistem: 1 2
5
, 15 10
10
dengan bentuk eselon barisnya adalah 1 2
0
Jadi x = (b) (c)
2 x2 3 x3 2 x 2 x3
2
3
0
3 2 0
.
0
dengan x2 dan x3 adalah sebarang.
Dari (a), jelas bahwa terdapat lebih dari satu x oleh T A dengan bayangannya adalah b karena Ax = b mempunyai tak berhingga banyak penyelesaian. Apakah terdapat suatu x sehingga T A( x) = c ? Atau dengan pertanyaan lain, apakah Ax = c adalah konsisten. Matriks yang diperbesar dari sistem dan bentuk eselon barisnya yaitu 3 3 1 2 1 2 3 0 5 10 15 0 0 0 0 1 . Jelas bahwa sistem tidak mempunyai penyelesaian dan karena itu c tidak berada di range T A.
Diberikan basis α = {v1, v2, v3} untuk R3 dengan v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 0, 0) dan transformasi linear T : R3 R2 sehingga T (v1) = (1, 0), T (v2) = (2, – 1), T (v3) = (4, 3) Tentukan rumus untuk T ( x) dan selanjutnya gunakan rumus tersebut untuk menghitung T (2, – 3, 5). Penyelesaian. Pertama, dinyatakan x = ( x1, x 2, x 3) R3 sebagai kombinasi linear dari v1, v2, v3 yaitu k 1(1, 1, 1) + k 2(1, 1, 0) + k 3(1, 0, 0) = ( x1, x2, x3) yang mempunyai penyelesaian k 1 = x3, k 2 = x2 – x3, dan k 3 = x1 – x2. Karena T adalah transformasi linear berarti T ( x) = T (k 1v1 + k 2v2 + k 3v3) = k 1T (v1) + k 2T (v2) + k 3T (v3),
CONTOH 6.2.4
© 2010 Didit B. Nugroho
147
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
sehingga dipunyai T ( x1, x2, x3) = = Dari rumus tersebut, diperoleh
x3(1, 0) + ( x2 – x3)(2, – 1) + ( x1 – x2)(4, 3) (4 x1 – 2 x2 – x3, 3 x1 – 4 x2 + x3). T (2, – 3, 5) = (9, 23).
CONTOH 6.2.5
Diberikan T : R2 R2, T ( x, y) = ( x, x). Im(T ) = {T ( x, y) ( x, y) R2} = {( x, x) ( x, y) R2}. Dapat dituliskan range sebagai Im( T ) = {( x, x) x R}. Jadi rangenya adalah garis lurus y = x, yang merupakan ruang bagian berdimensi satu dari R2.
DEFINISI 6.2.2
Untuk Im(T ) berdimensi berhingga, didefinisikan rk(T ) = dim(Im(T )).
CONTOH 6.2.6
Diberikan D : P2[ x]( R) P2[ x]( R), D p( x)
dp( x) dx
.
d ax 2 bx c : a, b, c R . dx Dapat dinyatakan Im( D) = {2ax + b: a, b R} = {dx + b: d , b R}. Jelas bahwa range Im( D) = { D( p( x)): p( x) P2[ x]( R)} =
dari D adalah himpunan semua polinomial linear, P1[ x]( R), dan rk( D) = 2.
CONTOH 6.2.7
Diberikan
T : P2[ x]( R) M 2( R), T ( p( x)) =
Diperoleh range dari T yaitu Im(T ) = =
=
p(1) p (0)
p (2)
. p (1) p (1)
{T ( p): p = ax2 + bx + c, a, b, c R}
a b c 2a 1 4 1 2 4 , 0
: a, b, c R . 4a b 1 1 0 , . 1 0 0 4a b
Sehingga bisa disimpulkan bahwa rk( T ) = 3. Untuk suatu fungsi yang sederhana, dapat diperoleh range dengan pemeriksaan, sedangkan untuk fungsi yang lebih rumit dipunyai teorema berikut ini.
TEOREMA 6.2.2 Diberikan T :
V
W adalah
transformasi linear dari ruang vektor berdimensi berhingga V ke ruang vektor W . Diberikan α = { v1, v2, …, vn} adalah basis untuk V , maka Im(T ) = T (v1), T (v2), …, T (vn). Ini berarti bahwa suatu himpunan rentangan dapat diperoleh dengan mengaplikasikan T ke setiap vektor dalam suatu basis untuk V . Bukti. Ditunjukkan bahwa setiap himpunan termuat di himpunan lainnya. Secara jelas, T (vi) Im(T ) untuk semua i = 1, …, n. Karena Im(T ) adalah suatu ruang bagian, maka T (v1), T (v2), …, T (vn) Im(T ).
© 2010 Didit B. Nugroho
148
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
Selanjutnya diandaikan bahwa w Im(T ), maka w = T (v) untuk suatu v n
V , maka v
=
a v
i i
V .
Karena v
untuk suatu ai F. Jadi
i 1
n w = T (v) = T ai vi i 1
n
=
a T (v ) , i
i
i
1
dan dengan menggunakan Teorema 6.1.1, diperoleh w T (v1), T (v2), …, T (vn). Jadi Im(T ) T (v1), T (v2), …, T (vn). Disimpulkan bahwa Im(T ) = T (v1), T (v2), …, T (vn).
CONTOH 6.2.8
T : R3 P2[ x]( R)
dirumuskan oleh T (a, b, c) = (a + b) + (a + c) x + (b – c) x2. Tentukan Im(T ) dan suatu basis untuk Im( T ). Penyelesaian. Diaplikasikan teorema sebelumnya untuk memperoleh range dari T . Digunakan basis baku untuk R3: T (1, 0, 0) = 1 + x, T (0, 1, 0) = 1 + x2, T (0, 0, 1) = x – x2. Jadi Im(T ) = 1 + x, 1 + x2, x – x2. Untuk memperoleh suatu basis untuk range maka harus direduksi himpunan rentangan tersebut ke suatu himpunan rentangan bebas linear. Catat bahwa 1 + x dan 1 + x 2 adalah bebas linear, sedangkan x – x 2 = (1 + x ) – (1 + x 2). Dari situ disimpulkan bahwa basis untuk Im(T ) adalah {1 + x, 1 + x2}. Catat bahwa pada contoh ini Im(T ) P2[ x]( R).
DEFINISI 6.2.3 Fungsi T : V W adalah pada (onto) untuk mengartikan bahwa Im(T ) = W . Bisa juga dikatakan bahwa T adalah pada W . Untuk transformasi linear adalah pada W , ini berarti bahwa setiap vektor di W juga berada di range T dan vektor tersebut adalah bayangan dari minimal satu vektor di V . Dengan kata lain, T adalah pada W mempunyai arti bahwa w W , v V sehingga T (v) = w.
CONTOH 6.2.9
Diberikan T : M 2( R) P2[ x]( R)
yang dirumuskan oleh
a c
T
b
d
= a + (b + d ) x + cx2.
Apakah T adalah pada? Penyelesaian 1. Pertama kali ditentukan range dari T , Im(T ) =
1 0
T
0 0 , T 0 0
= 1, x, x2, x Disimpulkan bahwa T adalah pada.
© 2010 Didit B. Nugroho
=
1 0 , T 0 1
P2[ x]( R).
0 0 0 , T 0 0 1
149
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
Penyelesaian 2. Diperhatikan bahwa jika w = a + bx + cx2 matriks M =
a c
b
0
P2[ x]( R), maka
dipetakan ke w P 2[ x]( R). Jadi setiap vektor di P2[ x]( R) adalah
bayangan dari minimal satu matriks di M 2( R).
CONTOH 6.2.10 Diberikan
T : M 2( R) P2[ x]( R)
yang dirumuskan oleh
a c
T
b
d
= a + (b + c) x2.
Apakah T adalah pada? Penyelesaian 1.
1 0
T
Im(T ) =
0 0 , T 0 0
1 0 , T 0 1
0 0 , T 0 0
0
1
= 1, x2, x2, 0 P2[ x]( R). Penyelesaian 2. Jelas tidak ada elemen di M 2( R) yang dipetakan ke polinomial x. Jadi Im(T ) P2[ x]( R) dan karena itu T bukanlah pada. Kodomain dari suatu transformasi linear selalu dapat dibatasi untuk membuat transformasi linear baru yang pada, yaitu T : V W jika maka T : V Im(T ) adalah pada.
Ruang Nol Diberikan T : vektor W .
V
W adalah
transformasi linear dari ruang vektor
V ke
ruang
DEFINISI 6.2.4 Ruang nol (kernel) dari T , dinotasikan Ker(T ), adalah himpunan bagian dari vektor-vektor di V yang dipetakan ke 0W oleh T , artinya Ker(T ) = {v V : T (v) = 0W }.
V
Ker(T )
T
W
0
W
Gambar 6.3: Representasi skematis dari ruang nol
TEOREMA 6.2.3 Ker(T ) adalah ruang bagian dari V .
© 2010 Didit B. Nugroho
150
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
Bukti. T (0V ) = 0 W karena T adalah linear. Jadi 0V Ker(T ). Selanjutnya diandaikan bahwa v1, v2 Ker(T ) dan k F. Ditunjukkan bahwa kv1 + v2 Ker(T ). Ini adalah benar karena [karena T adalah linear] T (kv1 + v2) = kT (v1) + T (v2) = k .0W + 0W [karena v1, v2 Ker(T )] = 0W [sifat 0W ]. Disimpulkan kv1 + v2 Ker(T ), dan karena itu Ker(T ) adalah ruang bagian dari W . CONTOH 6.2.11 Kernel dari T A pada Contoh 6.1.8 adalah semua vektor
x =
x1 x 2 xn
yang merupakan penyelesaian dari sistem homogen a11 a12 a1n x1
a 21 am1
a 22
am2
a2n a mn
x 2 xn
=
0 0 . 0
DEFINISI 6.2.5 Untuk Ker(T ) berdimensi berhingga, didefinisikan nulitas dari T sebagai dimensi dari Ker( T ). CONTOH 6.2.12 Tentukan Ker(T ) untuk T : V = R2 V , T ( x, y) = ( y, 0). Penyelesaian. Harus diselesaikan persamaan T ( x, y) = 0V . Dalam kasus ini, ( y, 0) = (0, 0) y = 0. Jadi Ker(T ) = {( x , 0): x R}, dan nul(T ) = 1. CONTOH 6.2.13 Tentukan Ker(T ) untuk D : V = C ( R) V , D( f ) =
df dx
.
Penyelesaian. Harus diselesaikan persamaan D( f ) = 0V . df Dalam kasus ini = 0 mempunyai penyelesaian yaitu f = c untuk c R. dx Ker(T ) = { f ( x) = c : c R}. CONTOH 6.2.14 Tentukan basis untuk Ker(T ) dengan T : M 2( R) P2[ x]( R) yang dirumuskan oleh
a c
T
b
d
= (a + b + d ) + (a – c + 2d ) x + ( – a + b + 2c – 3d ) x2.
Penyelesaian. Pertama kali harus diselesaikan persamaan
a c
T
b
d
= 0,
ini berarti (a + b + d ) + (a – c + 2d ) x + ( – a + b + 2c – 3d ) x2 = 0.
© 2010 Didit B. Nugroho
151
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
Jadi Ker(T ) =
a c
M 2 ( R) : a b d 0, a c 2d 0, a b 2c 3d 0 . d b
Untuk menemukan suatu basis bagi Ker(T ), harus direduksi sistem dari tiga persamaan homogen tersebut.
1 1 1
1
0
1
0
1
2
1
2
3
1 0 0
1 0 1
1
2
2
0
1 1 0 1 0 1 1 1 b3 b1 0 2 2 2 0 b 2b 1 1 0 1 3 2 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0
0 0 1
1 2
b2 b1
0 b 2 0
0 0
0 , 0
karena itu a = c – 2d b = – c + d .
Jadi penyelesaian sistem adalah
c 2d c d c : c, d R , d dan vektor-vektor
1 1 1 0
dan
2 1 0 1
membentuk suatu basis untuk ruang nol. Diperoleh suatu basis untuk Ker(T ) yaitu
1 1 2 1 0, 0
1
.
1
DEFINISI 6.2.6 Diberikan T : V W adalah transformasi linear dari ruang vektor V ke ruang vektor W . T adalah satu-satu untuk mengartikan bahwa titik berbeda di V mempunyai peta yang berbeda di W , secara simbolis dituliskan: x1, x2 V , x1 x2 T ( x1) T ( x2) atau ekuivalen dengan pernyataan: x1, x2 V , T ( x1) = T ( x2) x1 = x2. CONTOH 6.2.15 Tunjukkan bahwa T 1 : R3 P2[ x]( R) adalah satu-satu untuk T 1(a, b, c) = cx2 + bx + a. Penyelesaian. Diandaikan x1 = (a, b, c), x2 = (d , e, f ) dan T 1( x1) = T 1( x2), maka T 1( x1) = cx2 + bx + a = fx2 + ex + d = T 1( x2), yang berarti (c – f ) x2 + (b – e) x + (a – d ) = 0, dan juga c = f , b = e, a = d , karena itu x1 = x2. Disimpulkan bahwa T 1 adalah satu-satu.
© 2010 Didit B. Nugroho
152
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
CONTOH 6.2.16 Tunjukkan T 2 : R3 P2[ x]( R) bukanlah satu-satu untuk T 2(a, b, c) = ax2 + bx .Penyelesaian 1. Diambil x1 = (a, b, c), x2 = (d , e, f ) dan diandaikan T 2( x1) = T 2( x2), maka T 2( x1) = ax2 + bx = dx2 + ex = T 2( x2), yang berarti a = d , b = e. Tetapi tidak ada hubungan yang terkait antara c dan f . Jadi beberapa vektor di R3 mempunyai bayangan yang sama di P2[ x]( R). Penyelesaian 2. Dibuktikan dua vektor di R3 yang mempunyai bayangan sama di P2[ x]( R), yaitu T 2(1,1, 0) = x2 + x = T 2(1, 1, 1). Disimpulkan bahwa T 2 tidak satu-satu. Hasil berikut menunjukkan bahwa terdapat suatu hubungan hakiki antara suatu fungsi satu-satu dengan ruang nolnya.
TEOREMA 6.2.4 Diberikan T adalah suatu transformasi linear dari ruang vektor V ke ruang vektor W . T adalah satu-satu jika hanya jika Ker(T ) = {0V }. Bukti. Diandaikan T adalah satu-satu dan diambil x Ker(T ). Karena T adalah linear, maka T (0V ) = 0W . Karena T adalah satu-satu, T ( x) = T (0V ) x = 0V . Disimpulkan bahwa x Ker(T ) jika hanya jika x = 0V , yaitu Ker(T ) = {0V }. Selanjutnya diandaikan bahwa Ker(T ) = {0V }. Jika T ( x1) = T ( x2) untuk x1, x2 V , maka [karena T adalah linear]. T ( x1) – T ( x2) = T ( x1 – x2) = 0W , Hal tersebut berarti bahwa x1 – x2 Ker(T ). Jadi x1 – x2 = 0V x1 = x2. Disimpulkan bahwa T adalah satu-satu. Teorema di atas seringkali digunakan sebagai pemeriksaan cepat untuk menyatakan apakah suatu fungsi adalah satu-satu atau tidak. Jika diuji kembali dua contoh yang terakhir, diperoleh T 1 adalah satu-satu, Ker(T 1) = (0, 0, 0) Ker(T 2) = (0, 0, c) : c R
T 2 tidak satu-satu.
Teorema berikut ini menunjukkan bahwa suatu transformasi linear yang satu-satu mengawetkan kebebaslinearan.
TEOREMA 6.2.5 Diberikan T : V W adalah transformasi linear dari ruang vektor V ke ruang vektor W . Diambil S adalah suatu himpunan bagian yang bebas linear dari V . Jika T adalah satu-satu, maka T (S ) adalah himpunan bagian yang bebas linear dari W . Bukti. Diambil wi T (S ), i = 1, 2, …, m, dan diandaikan bahwa
m
a w i
i 1
suatu ai F.
© 2010 Didit B. Nugroho
i
0W
untuk
153
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
Pertama dicatat bahwa setiap w i = T (vi) untuk suatu v i S . Jadi
m
a w i
i
0W
i 1
dapat ditulis menjadi m
ai T vi
i 1
m T ai vi 0W , i 1
yang berarti bahwa m
a v
i i
Ker(T ).
i 1
Karena T adalah satu-satu dan juga Ker( T ) = 0V , maka m
a v
i i
= 0V .
i 1
Karena semua vi S adalah bebas linear, maka a1 = a2 = … = am = 0. Disimpulkan bahwa T (S ) adalah bebas linear. Diberikan transformasi linear T A : Fn Fm yang didefinisikan oleh T A( x) = Ax dengan A M mn( F) dan x Fn. Range dari transformasi linear tersebut tidak lain adalah range dari matriks A, yang juga sama dengan ruang kolom dari A. Ruang nol dari transformasi linear tersebut tidak lain adalah ruang nol dari matriks A, yang juga sama dengan himpunan penyelesaian untuk persamaan homogen Ax = 0.
6.3 Teorema Dimensi Jika dipikirkan tentang transformasi linear yang mungkin berbeda terjadi pada ruang vektor yang diberikan, akan disadari bahwa terdapat suatu tindakan penyeimbangan yang terjadi antara ukuran dari ruang nol dan range. Suatu ruang nol yang kecil muncul ketika rangenya relatif besar, sedangkan suatu ruang nol besar mengakibatkan suatu range yang relatif kecil.
CONTOH 6.3.1
Untuk transformasi linear T 1 : R3 P2( R), T 1(a, b, c) = 0 diperoleh Ker(T 1) = R3 dan Im(T 1) = {0}. Jadi dimensi ruang nolnya besar sedangkan rangenya kecil.
CONTOH 6.3.2
Untuk transformasi linear T 2 : R3 P2( R), T 2(a, b, c) = a + bx + cx2 diperoleh Ker(T 2) = {0} dan Im(T 2) = P2( R). Jadi dimensi ruang nolnya kecil tetapi rangenya besar. Teorema dimensi menunjukkan bahwa hubungan antara ukuran range dan ukuran ruang nol dari transformasi linear yang diberikan adalah sungguh tepat.
TEOREMA 6.3.1 Teorema Dimensi (Teorema Rank-Nulitas) Jika T : V W adalah transformasi linear dari ruang vektor V berdimensi n ke ruang vektor W , maka dim(Ker(T )) + dim(Im(T )) = n, yaitu rank (T ) + nulitas(T ) = n.
© 2010 Didit B. Nugroho
154
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
Bukti. Diandaikan Ker(T ) mempunyai dimensi dengan sifat 1 dim(Ker(T )) = r < n dan suatu basis {v1, v2, …, vr }. Berdasarkan Teorema 4.5.3, maka himpunan tersebut dapat diperbesar sehingga {v1, v2, …, vr , vr +1,…, vn} adalah suatu basis untuk V . Diambil w adalah sebarang vektor di Im( T ), maka w = T (u) untuk suatu u V , dengan u dapat dinyatakan sebagai u = c1v1 + c2v2 + …+ cr vr + cr +1vr +1 +…+ cnvn. Karena {v1, v2, …, vr } di dalam kernel, maka T (v1) = T (v2) = …= T (vr ) = 0 sehingga w = T (u) = cr +1T ( vr +1) +…+ cnT (vn). Ini menunjukkan bahwa S = { T (vr +1), …, T (vn)} merentang Im(T ). Jika dapat ditunjukkan bahwa S adalah suatu himpunan bebas linear, maka S adalah basis untuk Im(T ), dan akibatnya dim(Ker(T )) + dim(Im(T )) = (n – r ) + r = n. Diamati bahwa 0 = hr +1T (vr +1) +…+ hnT (vn) = T (hr +1vr +1 +…+ hnvn), yang berarti hr +1vr +1 +…+ hnvn ada dalam Ker(T ), maka untuk suatu h1, …, hr , hr +1vr +1 +…+ hnvn = h1v1 +…+ hr vr . Karena {v1, v2, …, vr , vr +1,…, vn} adalah suatu basis untuk V , maka semua h dari persamaan di atas haruslah nol. Ini membuktikan bahwa S adalah himpunan bebas linear. Sekarang dibuktikan pernyataan untuk dim(Ker( T )) = n. Dalam kasus ini, Ker( T ) haruslah sama dengan V dan untuk setiap u V berlaku T (u) = 0, yang berarti Im( T ) = {0}. Bukti untuk kasus dim(Ker( T )) = 0 diserahkan sebagai latihan. CONTOH 6.3.3
Ujilah teorema dimensi untuk
T : P2[ x]( R) M 2( R), T (a + bx + cx2) =
ab b c a
2b c
.
2a c
Penyelesaian. Dipunyai bahwa Im(T ) = T (1), T ( x), T ( x2) = Diperhatikan bahwa
1 1
2
0
0 1 1 1
=
1 1 2 1
1 1 0 + 2
0 1 2 0 , , 2 1 0 1
1
1
1 1 2
.
, dan bahwa
2 1 0
1 1
0
2
dan
adalah bebas linear. Jadi dim(Im(T )) = 2.
Ker(T ) = a bx cx 2
ab b c a
0
2b c
0 2a c 0
.
0
Diperoleh sistem a + b = 0, 2b + c = 0, b + c – a = 0, 2a – c = 0, atau matriks yang diperbesar dari sistem:
1 0 1 2
1
0
0
2
1
0
1
1
0
0
1
0
1 0 0 0
0
12
0
1
1 2
0
0
0
0
0
0
0
.
Terdapat dua 1 utama dari tiga variabel. Jadi dimensi dari ruang penyelesaian adalah 3 – 2 = 1, atau dim(Ker(T )) = 1. Karena itu dim(Ker(T )) + dim(Im(T )) = 1 + 2 = 3 = dim( P2[ x]( R)).
© 2010 Didit B. Nugroho
155
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
CONTOH 6.3.4 Tunjukkan tidak ada transformasi linear T : M 2(C ) P4[ x](C ) yang pada. Penyelesaian. dim M 2(C ) = 4 dan berdasarkan teorema dimensi, 4 = dim(Ker( T )) + dim(Im(T )), dan khususnya dim(Im(T )) 4 < 5 = dim(P4[ x](C )). Karena dim(Im(T )) < dim(P4[ x](C ) ), maka Im(T) tidak mungkin sama dengan P 4[ x](C ), dan juga T tidaklah pada. Diambil T : V W adalah transformasi linear dari ruang vektor V ke ruang vektor W dan diandaikan bahwa V berdimensi berhingga dengan dim(V ) = dim(W ). T adalah satu-satu jika hanya jika T adalah pada. Bukti. T adalah satu-satu jika hanya jika nulitas(T ) = 0 (Teorema 6.2.4) jika hanya jika rank(T ) = dim(V ) (teorema dimensi) T jika hanya jika dim(Im( )) = dim(W ) (diberikan) jika hanya jika Im(T ) = W jika hanya jika T adalah pada (definisi pada).
AKIBAT 6.3.1
Diambil T : V W adalah transformasi linear dari ruang vektor V ke ruang vektor W dan diandaikan V berdimensi berhingga. Jika T adalah satu-satu dan pada maka dim(V ) = dim(W ). Bukti. Jika T adalah satu-satu, maka nulitas(T ) = 0 berdasarkan Teorema 6.2.4. Jika T adalah pada maka Im(T ) = W dan juga rank(T ) = dim(W ). Karena itu, berdasarkan teorema dimensi, dim(V ) = rank(T ) + nulitas(T ) = dim(W ) + 0 = dim(W ).
AKIBAT 6.3.2
Digunakan teorema rank-nulitas untuk transformasi linear T A : Rn Rn, T ( x) = Ax dengan A M n( R). Secara khusus dipunyai dim(Ker(T A)) = dim( Rn) – dim(Im(T A)), yang berarti bahwa banyaknya penyelesaian yang bebas linear untuk Ax = 0 sama dengan n – r , dengan r adalah rank( A), yang sama dengan banyaknya 1 utama pada bentuk eselon baris tereduksi dari A.
6.4 Transformasi Linear dari R ke R n
m
Pada bagian ini akan diperlihatkan bahwa jika T : Rn Rm adalah sebarang transformasi linear, maka dapat ditentukan suatu matriks A berukuran mn sehingga T adalah perkalian oleh A dengan x Rn. Diambil basis baku {e1, e 2, …, en} untuk Rn, dan dimisalkan bahwa A mempunyai T (e1), T (e2), …, T (en) sebagai vektor-vektor kolomnya, yaitu
T (e1) =
a11 a 21 , T (e2) = am1
a12 a 22 , …, T (en) = a m 2
a1n a 2n . amn
© 2010 Didit B. Nugroho
156
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
Karena itu matriks A disebut matriks baku untuk T . Selanjutnya diperhatikan x1 x =
x 2 xn
= x1e1 + x2e2 + … + xnen,
sehingga dapat dinyatakan T ( x) = T ( x1e1 + x2e2 + … + xnen) = x1T (e1) + x2T (e2) + … + xnT (en). karena T adalah transformasi linear. Sebaliknya, a11 a12 a1n x1 a11 x1 a12 x2 ... a1n xn Ax =
=
a a 22 a 2 n x 2 a 21 x1 a 22 x2 ... a 2 n x n 21 = a a a x a x a x a x ... m m mn n m m mn n 1 2 1 1 2 2 a11 a12 a1n a a a 21 22 2n + x2 + … + x n x1 am1 a m 2 amn
= x1T (e1) + x2T (e2) + … + xnT (en). Jadi diperoleh bahwa T ( x) = Ax. Berdasarkan penjelasan di atas, diperoleh teorema berikut.
TEOREMA 6.4.1 Jika T : Rn Rm adalah transformasi linear dan {e1, e2, …, en} adalah basis baku untuk Rn, maka T adalah perkalian oleh A dengan x Rn untuk A adalah matriks dengan vektor-vektor kolomnya yaitu T (e1), T (e2), …, T (en). CONTOH 6.4.1 Tentukan matriks baku untuk transformasi linear T : R3 yang didefinisikan oleh
x x x1 1 2 x1 x2 . T x2 x x 3 3 x1 Penyelesaian.
1 1 0 1 0 0 1 1 0 T (e1) = T 0 , T (e2) = T 1 , T (e3) = T 1 . 0 0 0 0 1 1 1 0 0 Dengan menggunakan T (e1), T (e2), T (e3) sebagai vektor kolom, maka diperoleh 1 1 0
1 1 A 0 0 1 0
© 2010 Didit B. Nugroho
0 1
0
.
R4
157
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
DEFINISI 6.4.1 Jika A adalah suatu matriks tertentu maka transformasi linear T A : n m R R dengan definisi T A( x) = Ax disebut transformasi linear yang dihubungkan dengan matriks A. TEOREMA 6.4.2 Jika matriks A dan B berukuran mn dan T A = T B maka A = B. Selanjutnya akan diilustrasikan aksi dari transformasi linear T : R2 melihat bayangan dari suatu bangun persegi terhadap T .
Rotasi (Perputaran) Matriks baku untuk transformasi linear T : R2 R2 yang merotasikan vektor dengan sudut θ adalah cos θ sin θ A . θ θ sin cos Secara mudah diperoleh
1 T 0 0 T 1
=
=
ke
ke
(cos θ, sin θ) (-sin θ, cos θ)
y
ke
θ
(1,0)
x
y
x
x y .
x y .
x y
y
y
Yang terakhir, refleksi terhadap garis y = x diberikan oleh 1 0 A 0 1 dan membawa vektor
y
x
Gambar 6.4: Rotasi oleh sudut θ
Refleksi terhadap sumbu y diberikan oleh matriks baku 1 0 A 0 1
x y
θ
x
(1,0)
A
yang membawa
y
x
Refleksi (Pencerminan) Untuk setiap garis pada bidang terdapat transformasi linear yang merefleksikan vektor terhadap garis. Refleksi terhadap sumbu- x diberikan oleh matriks baku 1 0
0 1 x yang membawa vektor y
y
θ
cos θ sin θ sin θ cos θ .
R2 dengan
x y
x
y
x
y
x
x
Gambar 6.5: Refleksi bangun persegi
y x .
© 2010 Didit B. Nugroho
158
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
Ekspansi dan Kompresi. Matriks baku k 0 A
0
kx y
(k >1)
1
mengekspansi vektor sumbu x ke
x y
vektor
x y
y
x
x
atau
sumbu- x
ky
y
(0< k <1) x
memampatkan
x
ke
sepanjang
untuk k > 1 dan
memampatkan sepanjang untuk 0 < k < 1. Sejalan dengan itu, 1 0 A 0 k mengekspansi
y
sepanjang
Gambar 6.6: Ekspansi dan kompresi sepanjang sumbu x
sumbu- y.
Pergeseran Matriks baku
y
A
1 0
k
1
yang membawa vektor
x y
x
ke
x y
ke
x y kx
disebut pergeseran dalam arah y.
x
x ky y
disebut pergeseran dalam arah x. Sejalan dengan itu, 1 0 A k 1 membawa vektor
y
y
y
x
dan
x
Gambar 6.7: Pergeseran dalam arah x dan arah y
Jika secara berhingga beberapa transformasi linear dari R2 ke R2 dibentuk berurutan, maka terdapat suatu transformasi linear tunggal dengan akibat yang sama. Kemudian, jika matriks baku untuk transformasi T : R2 R2 adalah inversibel, maka dapat ditunjukkan bahwa akibat geometris dari T adalah sama seperti beberapa rangkaian dari refleksi, ekspansi, kompresi, dan pergeseran.
6.5 Matriks Representasi dari Transformasi Linear Dimisalkan bahwa V dan W adalah sebarang ruang vektor berdimensi berhingga dengan basis untuk V dan W berturut-turut adalah α = {v1, v2, …, vn} dan β = {w1, w2, …, wm}.
© 2010 Didit B. Nugroho
159
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
Untuk setiap v V , matriks koordinat [ v]α merupakan vektor di Rn dan matriks koordinat [T (v)]β merupakan vektor di Rm. Jadi, proses pemetaan v ke T (v) untuk transformasi linear T akan menghasilkan suatu pemetaan dari Rn ke Rm yang memetakan [v]α ke [T (v)]β. Akan diperlihatkan bahwa pemetaan yang dihasilkan tersebut merupakan transformasi linear. Selanjutnya akan dicari matriks baku A m×n = [aij], 1 ≤ i ≤ m dan 1 ≤ j ≤ n , yang memenuhi A[v]α = [T (v)]β untuk semua vektor v V . Khususnya diinginkan agar persamaan tersebut dapat dipenuhi untuk vektor basis v1, v2, …, vn, yaitu A[v1]α = [T (v1)]β, A[v2]α = [T (v2)]β, …, A[vn]α = [T (vn)]β. Karena 1 0 0 [v1]α =
0 , [v2]α = 0
1 , …, [ vn]α = 0
0 1
maka
A[v1]α =
A[v2]α =
A[vn]α =
a11 a 21 am1 a11 a 21 am1 a11 a 21 am1
am2
a2n a mn a1n a2n a mn
a12
a1n
1 0 0 0 1 0
a2n a mn
0 0 1
a12
a 22
am2
a12
a 22
a 22
am2
a1n
=
=
=
a11 a 21 am1 a12 a 22 a m 2 a1n a 2n . amn
Diperoleh
[T (v1)]β =
a11 a 21 , [T (v2)]β = a m1
a12 a 22 , …, [T (vn)]β = a m 2
a1n a 2n a mn
yang menunjukkan bahwa kolom A yang berurutan merupakan matriks koordinat dari T (v1), T (v2), …, T (vn) yang berkorespondensi dengan basis β. Jadi diperoleh matriks tunggal A yang disebut matriks untuk T yang berkorespondensi dengan basis α dan β , dan dinyatakan oleh
A = [T (v1 )] β
[T (v 2 )] β
[T (v n )] β
.
Matriks A dinamakan matriks representasi dari transformasi linear T terhadap basis α dan β , dan dinotasikan [T ]α,β.
© 2010 Didit B. Nugroho
160
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
Secara khusus, jika V = W maka biasanya diambil α = β . Dari situ, matriks yang dihasilkan disebut matriks untuk T yang berkorespondensi dengan basis α, dan dinyatakan oleh [T ]α = [T (v1 )]α [T (v 2 )]α [T (v n )]α .
CONTOH 6.5.1
Diberikan operator linear
a 2a b b 4a 3b .
T
T : R2 R2,
Tentukan [T ]α untuk α adalah basis baku R2. Penyelesaian.
1 0
T
=
2 4
1 0
= 2
0 , 1
+ 4
0 1
T
=
1 3
1 1 0
=
+
0 3 . 1
Jadi
2 1 4 3 .
[T ]α =
CONTOH 6.5.2
Diberikan operator linear T : R2 R2 yang didefinisikan oleh
x1 T x2
x1 x2 2 x 4 x . 2 1
Tentukan matriks untuk T yang berkorespondensi dengan basis
1 , v2 1
α = v1
1 . 2
Penyelesaian. Dari rumus T , diperoleh
1 2 T (v1) = T = 2v1 + 0v2, 1 2
1 3 2 6
T (v2) = T
= 0v1 + 3v2.
Jadi,
T (v1 )α
=
2 0
dan T (v 2 )α =
0 3 .
Oleh karena itu, [T ]α =
CONTOH 6.5.3
2 0
0
.
3
Diberikan transformasi linear T : R2 R3 yang didefinisikan: x2 x1 T 5 x1 13 x 2 . x2 7 x 16 x 2 1
Tentukan matriks untuk T yang berkorespondensi dengan basis
α=
3 v1 1, v2
© 2010 Didit B. Nugroho
5 2
dan β =
1 w 0 , w 1 2 1
1 0 2, w3 1 . 2 2
161
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
Penyelesaian. Dari rumus T , diperoleh 1 2 3 5 T (v1) = T 2 = v1 – 2v3, T (v2) = T 1 2 1 = 3v1 + v2 – v3. 5 3 Jadi, [T (v1)]α =
1 0 2
dan [T (v2)]α =
3 1 . 1
Karena itu, [T ]α,β =
CONTOH 6.5.4
1 3 0 1 . 2 1
Diberikan
T : R2 P2[ x]( R),
a 2 b a 2bx (3a 4b) x .
T
Gunakan basis baku
α=
1 0 0, 1 , β = {1, x, x2},
untuk mencari [T ]α,β. Penyelesaian.
1 0
T
0 1
T
= 1 + 3 x2 = 1.1 +0 x + 3 x2,
= 2 x + 4 x2 = 0.1 + 2 x + 4 x2.
Jadi [T ]α,β =
1 0 3
0
4
2 .
CONTOH 6.5.5 Diberikan A M mn( F) dan didefinisikan T A : Fn Fm oleh T A( x) = A x. Jika α dan β berturut-turut adalah basis baku untuk Fn dan Fm, maka [T ]α,β = A. CONTOH 6.5.6 didefinisikan oleh
Diberikan transformasi linear T : P1( R)
P2( R) yang
T ( p( x)) = x. p( x). Tentukan matriks untuk T yang berkorespondensi dengan basis α = {v1 = 1, v2 = x} dan β = {w1 = 1, w2 = x, w3 = x2}. Penyelesaian. Dari rumus T , diperoleh T (v1) = T (1) = x.1 = x T (v2) = T ( x) = x .x = x2. Dicari matriks koordinat untuk T (v1) dan T (v2) relatif terhadap basis β sebagai berikut.
© 2010 Didit B. Nugroho
162
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
Dimisalkan [T (v1)]β = [ x]β =
k 1 k , berarti 2 k 3
k 1w1 + k 2w2 + k 3w3 = k 1 + k 2 x + k 3 x2 = yang mempunyai penyelesaian k 1 = k 3 = 0 dan k 2 = 1. c1
v1 x
c3
Dimisalkan [T (v2)]β = [ x2]β = c 2 , yang berarti c1w1 + c2w2 + c3w3 = v2 c1 + c2 x + c3 x2 = x2 yang mempunyai penyelesaian c1 = c2 = 0 dan c3 = 1. Diperoleh 0 0
0
1
[T (v1)]β = 1 dan [T (v2)]β = 0 . Jadi, matriks untuk T yang berkorespondensi dengan basis α dan β yaitu 0 0
0
1
[T ]α,β = 1
0 .
CONTOH 6.5.7
Diberikan T : P2[ x]( R) P2[ x]( R), T ( p) = p 2 p 3 p .
Gunakan B = {1, x, x2} untuk mencari T B .
Penyelesaian. T (1) = 1 = 1.1 + 0.(1 + x) + 0.(1 + x + x2), T (1 + x) = 3 + x = 2.(1) + 1.(1 + x) + 0.(1 + x + x2), T (1 + x + x2) = 9 + 5 x + x2 = 4.(1) + 4.(1 + x) + 1.(1 + x + x2). 1 2 4
T B
0
= 0
1 0
1
4 .
Hasil berikut menunjukkan bahwa representasi adalah suatu i de yang bermanfaat. Hasilnya mengatakan bahwa komponen dari peta v di bawah T dapat diperoleh dengan mengalikan matriks representasi dari T dengan komponen v.
TEOREMA 6.5.1 Diberikan T :
V
W adalah
transformasi linear dari ruang vektor berdimensi berhingga V ke ruang vektor berdimensi berhingga W . Diambil α dan β sebagai basis untuk V dan W secara berturut-turut . Jika v V , maka [T (v)]β = [T ]α,β [v]α. Bukti. Diambil α = {v1, …, vn}, β = {w1, …, wn}, dan diandaikan bahwa m
T (v j) =
a w , ij
i 1
© 2010 Didit B. Nugroho
i
j = 1, …, n.
163
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
Jika v V , maka n
v=
c v
c j F,
,
j j
j 1
dengan demikian
n T (v) = T c j v j j 1
m c j aij wi . j 1 i 1 n
n
=
c T (v ) = j
j
j 1
Urutan jumlahan dapat ditukarkan dan dituliskan menjadi
m c a w j ij i j 1 i 1 n
T (v) =
m
n
a c w .
=
ij j
i
i 1 j 1
Jadi komponen ke-i dari T (v) adalah n
a c
ij j
j 1
,
yang merupakan hasil kali baris ke-i dari [T ]α,β dengan vektor kolom [v] B. Jadi diperoleh [T (v)]β = [T ]α,β [v]α.
CONTOH 6.5.8
Diberikan T : R2 R2 yang didefinisikan oleh
a b
T
=
2a b 4a 3b .
Gunakan basis baku α dari R2 dan [T ]α =
2 1 4 3
untuk menghitung
2 T . 3 α Penyelesaian.
2 3
=
1 2 0
0 + 3 1
sehingga
2 3 α
=
2 3 .
Diketahui bahwa [T (v)]α = [T ]α [v]α, karena itu
2 T 3 α
=
2 1 2 4 3 3
=
7 17 .
Disimpulkan bahwa
2 T 3 α
=
7 17 .
© 2010 Didit B. Nugroho
164
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
CONTOH 6.5.9
Diberikan T : P2[ x]( R) P2[ x]( R) yang didefinisikan oleh T ( p) = p 2 p 3 p .
Gunakan
α = {1, 1 + x, 1 + x + x2} dan [T ]α =
1 0 0
2 1 0
4
1
4 ,
untuk menghitung [T ( 2 – x + x2)]α dan T ( 2 – x + x2). Penyelesaian. 2 – x + x2 = 3.1 + ( – 2).(1 + x) + 1(1 + x + x2), sehingga 3 [( 2 – x + x2)]α =
2 . 1
Karena [T ( p)]α = [T ]α[ p]α, maka [T ( 2 – x + x2)]α =
1 0 0
2
4
1
4
0
1
3 2 1
=
3 2 , 1
dan T ( 2 – x + x2) = 3.(1) + 2.(1 + x) + 1(1 + x + x2) = 6 + 3 x + x2.
Diagram berikut ini adalah suatu ringkasan penyederhanaan yang menggunakan basis untuk ruang vektor berdimensi berhingga.
L (V , W )
T
Abstrak
V
W
v Basis
T
w
α
Konkrit
w = T (v)
Basis
β [v]α
[T ]α,β
n
[w]β
[w]β = [T ]α = [T ]α,β [v]α m
F
F
[T ]α,β M mn( F)
Gambar 6.8: Ilustrasi dari matriks representasi
© 2010 Didit B. Nugroho
165
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
Dilihat kasus khusus untuk matriks representasi dari transformasi linear pada matriks perubahan basis. [ I ]α,β, matriks representasi dari I : V V , I (v) = v tidak lain adalah matriks transisi dari matriks koordinat. L (V , V )
I V
V
v
Basis
v = I (v)
v
I
α
Basis
β [v]α
[v]β = [ I (v)]β = [ I ]α,β [v]α
[v]β
[ I ]α,β
n
n
R
R
[ I ]α,β M mn( R)
Gambar 6.9: Perubahan matriks basis sebagai suatu matriks representasi
CONTOH 6.5.10 Di R2 diberikan basis α = {(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 10)}, dan β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Tentukan matriks transisi dari α ke β , [ I ]α,β. Penyelesaian. 1 1 1 0 0
= 2 = 1.0 + 2.1 + 3.0 3 3 0 0 1 4 4 1 0 0 I 5 = 5 = 4. 0 + 5. 1 + 6. 0 6 6 1 0 0 7 7 1 0 0 I 8 = 8 = 7. 0 + 8. 1 + 10. 0 10 10 0 0 1 I 2
sehingga [ I ]α,β =
1 2 3
4
7
5
8.
6 10
© 2010 Didit B. Nugroho
166
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
6.6 Komposisi Transformasi Linear dan Perkalian Matriks Pada bagian ini akan dibahas matriks representasi dari jumlahan dan komposisi transformasi linear. Proses ini akan dihubungkan dengan penjumlahan dan perkalian matriks. Selanjutnya akan dipikirkan akibat mengubah basis pada matriks representasi dari suatu transformasi linear.
TEOREMA 6.6.1 Diberikan V dan W adalah ruang vektor berdimensi berhingga dengan basis α dan β secara berturut-turut . Jika T 1, T 2 L (V , W ) dan k F, maka [kT 1 + T 2]α,β = k [T 1]α,β + [T 2]α,β. Bukti. Ditunjukkan bahwa dua matriks tersebut adalah sama dengan menunjukkan bahwa semua unsur-unsur yang berkorespondensi adalah sama. Jika α = {v1, …, vn}, maka ([kT 1 + T 2]α,β)ij merupakan komponen ke-i dari (kT 1 + T 2)(v j). Karena (kT 1 + T 2)(v j) = kT 1(v j) + T 2(v j), maka komponen ke-i dari kedua vektor ini adalah sama. Juga komponen ke-i dari (kT 1(v j) + T 2(v j)) adalah sama dengan k kali komponen ke-i dari T 1(v j) + komponen ke-i dari T 2(v j). Berarti bahwa, ([kT 1 + T 2]α,β)ij = k ([T 1]α,β)ij + ([T 2]α,β)ij, atau [kT 1 + T 2]α,β = k [T 1]α,β + [T 2]α,β. Dengan kata lain, hasil ini mengatakan bahwa matriks representasi suatu kombinasi linear dari transformasi linear sama dengan kombinasi linear dari matriks representasinya. DEFINISI 6.6.1 Diberikan V , W , X adalah ruang vektor, T L (V , L (W , X ). Didefinisikan fungsi komposisi S T : V X oleh v V . (S T )(v) = S (T (v)),
W )
serta S
Jika T L (V , V ) dan p Z+ maka didefinisikan T p : V V oleh
p T (v) T T T (v) .
p kali
Hasil berikut mengatakan bahwa matriks representasi dari suatu komposisi transformasi linear sama dengan hasil kali dari masing-masing matriks representasinya.
TEOREMA 6.6.2 Diberikan V , W , X adalah ruang vektor berdimensi berhingga dengan basisnya berturut-turut α, β , γ . Diberikan T L (V , W ) dan S L (W , X ), maka [S T ]α, γ = [S ]β, γ .[T ]α, β . Bukti. Diandaikan α = {v1, …, vn}, β = {w1, …, wn}, γ = { x1, …, xn} dan diambil [T ]α, β = A, dengan demikian T (v j )
m
a w ij
i 1
© 2010 Didit B. Nugroho
i
167
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
dan juga [S ]β, γ = B, dengan demikian T ( wi )
p
b
ki x k .
k 1
Untuk memperoleh matriks representasi dari transformasi S T , harus diterapkan untuk vektor basis dan diuji komponen-komponennya: ([S T ]α, γ )kj = komponen ke-k dari (S T )(v j). Diperhatikan (S T )(v j)
=
=
m m S (T (v j)) = S aij wi = aij S ( wi ) i 1 i 1 p p m m aij bki x k = bki aij x k . i 1 k 1 k 1 i 1
Komponen ke-k dari vektor tersebut adalah m
b
ki a ij
,
i 1
yang tidak lain adalah komponen ke-k dari hasil kali matriks BA. Ini berarti bahwa ([S T ]α, γ )kj = ([S ]β, γ .[T ]α, β)kj. Dapat disimpulkan bahwa dua matriks [ S T ]α, γ dan [S ]β, γ .[T ]α, β adalah sama. L (V , W )
L (W , X )
T
S
V
W
X
v
W α
γ
β
S T
L (V , X )
[S T ]α,γ [T ]α,β
M pn( F)
M mn( F)
[S ]β,γ M pm( F)
[S T ]α,γ = [S ]β,γ [T ]α,β Gambar 6.10: Representasi komposisi oleh perkalian matriks
CONTOH 6.6.1 Buktikan Teorema 6.6.1 untuk transformasi-transformasi: T : R2 P2[ x]( R), T ((a, b)T ) = b + (a + 2b) x + (2a – b) x2, S : P2[ x]( R) P2[ x]( R), S ( p) = p + p .
© 2010 Didit B. Nugroho
168
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
Penyelesaian. Digunakan basis baku
α=
1 0 0 , 1
β = {1, x, x2}= γ .
dan
Diperoleh
1 T 0
= 0 + x + 2 x2,
0 T 1
= 1 + 2 x – x2,
[T ]α, β =
0 1 1 2 , 2 1
dan juga S (1) =1, S ( x2) = 1 + x,
1 0 0
S ( x2) = 2 x + x2, [S ]β, β =
1
0
1
2 .
1
0
Diklaim bahwa [S T ]α,β = [S ]β, β [T ]α, β =
1 0 0
1 1 0
0 0
2 1
1 1 2 2 1
=
1 3 5 0 . 2 1
Diperiksa S T ((a, b)T ) =
=
S (b + (a + 2b) x + (2a – b) x2) a + 3b + (5a) x + (2a – b) x2,
dan diperoleh
1 0
(S T )
0 1
(S T )
= 1 + 5 x + 2 x2,
= 3 – x2,
sehingga [S T ]β,γ =
1 3 5 0 . 2 1
Teorema terbukti dalam kasus ini. Teorema 6.6.2 dapat diperluas secara induktif sebagai berikut.
TEOREMA 6.6.3 Diberikan T i :
V i+1 sebagai transformasi linear dari ruang
V i
vektor berdimensi berhingga V i ke ruang vektor berdimensi berhingga V i+1, i = 1, …, n – 1. Diberikan γ i sebagai basis untuk V i, i = 1, …, n, maka T n1 T n2 ... T 1 γ ,γ = T n γ ,γ T n1 γ ,γ ...T 2 γ ,γ T 1 γ ,γ . 1
2
n 1
n
n 2
n 1
2
3
1
2
Suatu aplikasi yang sangat penting dari teorema tersebut, dan suatu aplikasi yang akan digunakan pada bagian kedua dari pembahasan ini, muncul ketika dimiliki operator linear dan mengubah basis di V . Hasil berikut adalah suatu kasus khusus teorema sebelumnya. Diberikan T : V V sebagai operator linear pada ruang berdimensi berhingga V dan diberikan α dan β sebagai basis untuk V , maka [T ]β = [ I ]α,β [T ]α [ I ]β,α.
AKIBAT 6.6.1
© 2010 Didit B. Nugroho
169
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
Bukti. Dinyatakan transformasi linear T : V V dalam dua cara yang identik: (a) T : V V dengan β digunakan sebagai basis untuk V . (b) ( I 1 T I 2) : V V dengan
I 2 : V V adalah transformasi identitas. Kita gunakan β sebagai basis untuk domain dan α sebagai basis untuk kodomain, T : V V adalah transformasi linear. Kita gunakan basis α untuk V , I 1 : V V adalah transformasi identitas. Kita gunakan α sebagai basis untuk domain dan β sebagai basis untuk kodomain. Menggunakan Teorema 6.6.2, [T ]β = [ I 1 T I 2]β = [ I 1]α,β [T ]α [ I 2]β,α.
jalan singkat
awal
n
F
M n( F)
[v]β
basis β
akhir
[T ]β
n
F
[T (v)]β
basis β
[T (v)]β = [T ]β [v]β
V
V
v
T (v)
T
I
[ I ]β,α
L(V , V )
I
V
V
v
basis α
[ I ]α,β
T (v)
[T (v)]α = [T ]α [v]α
[v]α n
F
basis α
[T (v)]α n
F
[T ]α M n( F)
jalan panjang
[T (v)]β = [T ]β [v]β = [ I ]α,β [T ]α [ I ]β,α [v]β Gambar 6.11: Perubahan basis dan transformasi linear
© 2010 Didit B. Nugroho
170
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
Hasil pada Akibat 6.6.1 menunjukkan bahwa matriks representasi dari transformasi linear yang berkenaan dengan dua basis terkait oleh perkalian dengan matriks perubahan basis yang sesuai. Dicatat bahwa [ I 1]α,β adalah matriks koordinat perubahan basis dari α ke β dan [ I 2]α,β adalah matriks koordinat perubahan basis dari β ke α dan invers dari [ I 1]α,β. Hasil tersebut adalah bermanfaat sebab menunjukkan bahwa saat menghitung matriks representasi dari suatu transformasi linear dalam satu basis, tidak harus menghitung kembali matriks dalam basis lain, hanya perlu dilakukan beberapa perkalian matriks yang menyertakan matriks perubahan basis. Tentu saja beralasan kenapa perlu [T ]β untuk menghitung [T (v)]β. Sekarang dapat dituliskan (i) [T (v)]β = [T ]β [v]β (ii) [T (v)]β = [ I ]α,β [T ]α [ I ]β,α [v]β. Jalan (i) adalah langkah pintas. Diperoleh koordinat dari T (v) pada basis β dalam satu jalan, tetapi diperlukan matriks representasi dari T dalam koordinat β . Jalan (ii) adalah langkah yang panjang. Pertama, mengubah koordinat dari β ke α menggunakan [ I ]β,α, yang kedua adalah memperoleh koordinat dari T (v) dalam basis α menggunakan [T ]α, dan yang terakhir yaitu mengubah koordinat menggunakan [ I ]α,β untuk memperoleh [T (v)]β. Pada dua contoh berikut, untuk memperoleh suatu latihan yang sederhana, dibuktikan hasilnya dengan menghitung dua kemungkinan matriks yang baru.
CONTOH 6.6.2
a a 2b b 3a 4b , 1 0 1 1 α , , β , . 0 1 1 1
T : R2 R2,
T
Hitung [T ]α, [T ]β dan buktikan Akibat 6.6.1. Penyelesaian.
1 1 1 0 = = 1 + 3 0 1 , 0 3 1 2 Diperoleh [T ]α = . 3 4 1 3 1 1 T = = 5 – 2 , 1 7 1 1 5 1 Diperoleh [T ]β = . 2 0 T
Selain itu juga didapatkan 1 [ I ] β,α = 1
0 1
T
=
2 4
1 1
T
=
1
1 1 , dan[ ] , = I α β 1 2 1
1 0
= 2
1 1
0 . 1
+ 4
1 1 = – 1 +0 . 1 1
1
. 1
Teorema mengatakan bahwa [T ]β = [ I ]α,β [T ]α [ I ]β,α =
© 2010 Didit B. Nugroho
1 1
2 1
1 1
1 3
2 1
4 1
1
1
=
5 1 2 0 .
171
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
CONTOH 6.6.3 T : P2( R2) P2( R2),
α = {1, x, x2},
T ( p) = p 2 p 3 p ,
β = {1 + x + x2, 1 – x2, 1 + x}.
Hitung [T ]α, [T ]β dan buktikan Akibat 6.6.1. Penyelesaian. T (1) = 1, T ( x) = 2 + x, T ( x2) = 6 + 4 x + x2. 1 2 6
Diperoleh [T ]α = 0
0
1 0
4 .
1
T (1 + x + x2) = 9 + 5 x + x2 T (1 – x2) = – 5 – 4 x – x2 T (1 + x) = 3 + x Diperoleh
= 5(1 + x + x2) + 4(1 – x2), = – 2(1 + x + x2) – (1 – x2) – 2(1 + x), = 2(1 + x + x2) + 2(1 – x2) – (1 + x).
[T ]β =
5 2 2 4 1 2 . 0 2 1
Selain itu juga didapatkan
1 1 1 0 1 1
[ I ] β,α =
1
1 .
0
Untuk menghitung [ I ]α,β, dicari invers dari matriks sebagai berikut:
1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 b1 b2 0 b3 2 b2 0
1
0
0 1 0 0
0
0
0 1
1
0
1 0
1
0
1
1
1 1 0 1 b3 b1 0 2 1 0 b b 1 3 1 0 2 1
0 b 2 1 1 0 1 0 1 b3
1
b2 b1
1 0
0
1 1 0 0
0
0
1
1 0
1
0
1
1
1 1 0 1 0 2 1 1 1 0 . 2 1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
Jadi [ I ]α,β =
1 1 1 1 1 0 . 1 2 1
Dihitung [ I ]α,β [T ]α [ I ]β,α =
1 1 1 1 1 0 1 2 1
1 0 0
2
6 1
1
4
0
1
1
1 0 1 1
1
0
1 =
5 2 2 4 1 2 0 2 1
= [T ]β
seperti yang diharapkan.
Keserupaan (Similarity ) DEFINISI 6.6.2 Diberikan A , B M n( F). A dikatakan serupa (similar ) terhadap B jika terdapat suatu matriks inversibel P sehingga B
P 1 AP .
© 2010 Didit B. Nugroho
172
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
Jika B P 1 AP , maka A PBP 1 Q 1 BQ dengan Q P 1 . Ini berarti bahwa, jika A serupa terhadap B, maka B adalah serupa terhadap A. Pada umumnya dinyatakan bahwa A dan B adalah serupa. Akibat 6.6.1 mengatakan bahwa dua matriks representasi dari operator linear yang sama terhadap dua basis yang berbeda adalah matriks serupa. Ini berarti bahwa, [T ]β = [ I ]α,β [T ]α [ I ]β,α. Jika dituliskan [T ] = B, [T ] = A, dan [ I ] = P dengan [ I ] = P 1 , maka dimiliki β
B
α
β,α
α,β
P 1 AP .
CONTOH 6.6.4
Diberikan operator linear T : R2 R2 yang didefinisikan oleh
x1 x1 x2 T x2 2 x1 4 x2 . Tentukan matriks baku untuk T , yaitu matriks T relatif terhadap basis α ={e1, e2}. Selanjutnya transformasikan matriks tersebut ke matriks T relatif terhadap basis
1 , v2 1
β = v1
1 . 2
Penyelesaian. Dari Contoh 6.5.2, matriks T relatif terhadap basis baku α yaitu 1 1 A = [T ]α = . 2 4 Matriks transisi dari β ke α adalah [ I ]β,α = P
1 1
1
2
dengan [ I ]α,β = P 1
2 1 . 1 1
Oleh karena itu, matriks T relatif terhadap basis β adalah 2 1 1 1 1 1 2 [T ]β = [ I ]α,β [T ]α [ I ]β,α. = P 1 AP = = 1 1 2 4 1 2 0
0
3
yang sama dengan hasil yang diperoleh dari Contoh 6.5.2.
6.7 Inversibilitas Diandaikan terdapat transformasi linear T L (V , W ). Fungsi S adalah suatu invers untuk T kalau S : W V memenuhi S T = I V dan T S = I W, dengan I V dan I W berturut-turut menotasikan operator identitas pada V dan W . Perlu dicatat bahwa suatu fungsi mempunyai invers jika dan hanya jika fungsi adalah satu-satu dan pada. Jika T (v1) = T (v2) = w dan v1 v2 (yaitu T tidak satu-satu), maka bagaimana dapat didefinisikan S (w)? Jika w W dan w Im(T ), (yaitu T tidak pada) maka bagaimana dapat didefinisikan S (w)? Untuk suatu transformasi linear T L (V , W ) yang satu-satu dan pada maka dim(V ) = dim(W ) berdasarkan Akibat 6.3.2.
© 2010 Didit B. Nugroho
173
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
Jika invers suatu fungsi ada, maka inversnya tunggal untuk T dinotasikan dengan T 1 .
L (V , W )
dan
TEOREMA 6.7.1 Diberikan T L (V , W ). Jika T adalah inversibel, maka T 1 adalah linear . Bukti. Diandaikan w 1, w 2 W dan k F. Karena T adalah pada, maka v 1, v 2 V sehingga T (v1) = w1, T (v2) = w2. T 1 (kw1 + w2) =
= =
T 1 (kT (v1) + T (v2)) T 1 (T (kv1 + v2)) kv1 + v2 k T 1 (w1) + T 1 (v2).
= 1 Disimpulkan bahwa T adalah linear.
TEOREMA 6.7.2 Diberikan T
L (V , W ) adalah
transformasi linear dari ruang vektor V berdimensi berhingga ke ruang vektor W berdimensi berhingga, dan diberikan α, β berturut-turut adalah basis untuk V dan W . T adalah inversibel jika hanya jika [T ]α,β adalah inversibel. 1 Jika T adalah inversibel, maka T 1 β , α T α , β .
Bukti. Pertama diandaikan bahwa T mempunyai invers, maka T 1 T I V .
Jika diambil matriks representasi dari persamaan tersebut dengan menggunakan basis α untuk V dan basis β untuk W , maka [ T 1 T ] = [ I ] .
β
V
α
Ini berarti bahwa [ T 1 ]β,α[T ]α,β = I . Karena T inversibel, kita tahu bahwa V dan W mempunyai dimensi yang sama dan juga [T ]α,β adalah suatu matriks persegi. Disimpulkan bahwa [ T ]α,β adalah inversibel dengan inversnya [ T 1 ] . Juga β,α
T 1
β ,α
T α ,β 1 .
Yang kedua, diandaikan bahwa A = [ T ]α,β mempunyai invers B. Jika α = { v1, …, vn} dan β = {w1, …, wn}, maka didefinisikan S : W V oleh n
S (w j) =
( B)
ij u i
.
i 1
Secara jelas [S ]β,α = B = A 1 . Juga [S T ]α = [S ]β,α [T ]α,β = BA = I n = [ I V] α, dan [T S ]β = [T ]α,β [S ]β,α = AB = I n = [ I W] β. Jadi S T = I V dan T S = I W dan juga S = T 1 .
© 2010 Didit B. Nugroho
174
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
Tunjukkan bahwa T adalah inversibel dan tentukan T 1 untuk: 2a b T : P1( R) R2, T (a + bx) = . a b 2
CONTOH 6.7.1
.Penyelesaian. Diambil basis baku untuk P1[ x]( R) dan R2 berturut-turut adalah
α = {1, x}, T (1) =
2 1
1 0 0 , 1 . 1 1 T ( x) = = 1 2 0
β=
1 0 – 1 0 1
= 2
,
0 . 1
+ 2
Jadi [T ]α,β =
2 1
1
2
= A.
Matriks tersebut inversibel dan A
1
1 2 5 1
1
.
2
Dapat disimpulkan bahwa T 1 ada dan [ T 1 ]β,α = A 1 . Ini berarti bahwa,
1 T 1 = 0
2 1 + 1 x 5 5
0 T 1 = 1
dan
1 1 + 2 x. 5 5
Berdasarkan linearitas diperoleh
c 2c d c 2d T 1 = x. 5 5 d 6.8 Aplikasi Transfomasi Linear: Kriptografi Diandaikan kita ingin mengirim pesan kepada teman kita: M E E T T O M O R R O W . Untuk keamanan, kita pertama kali mengkodekan alfabet sebagai berikut: A B X Y … 1 2 … 24 25 Jadi kode pesan adalah
Z 26
M E E T T O M O R R O W
M 13 Barisan
E 5
E 5
T 20
T 20
O 15
M 13
O 15
R 18
R 18
O 15
W 23
13 5 5 20 20 15 13 15 18 18 15 23 adalah kode asli untuk pesan. Untuk menyamarkan kode asli, kita dapat menerapkan suatu transformasi linear untuk kode asli. Diambil T : R3 R3, T ( x) = Ax, dengan 1 2 3
0
A 1
© 2010 Didit B. Nugroho
1 1
2 . 2
175
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
Selanjutnya kita memecah pesan asli menjadi 4 vektor: 13 20 13 18
5, 5
20 , 15
15 , 18
15 , 23
dan digunakan transformasi linear untuk memperoleh kode tersamarkan:
13 38 T 5 28 , 5 15
20 105 T 20 70 , 15 50
13 97 T 15 64 , 18 51
13 97 T 15 64 . 18 51
Selanjutnya kita dapat mengirimkan kode pesan t ersamarkan: 38 28 15 105 70 50 97 64 51 117 79 61 Diandaikan teman kita ingin mengkodekan pesan tersamarkan. Pertama kali, teman kita dapat mencari matriks invers dari A: 1 1 2 3 0 1 1 2 2 1 , A 1 1 1 2
0
1
1
2
1
1
dan selanjutnya 38 13 105 20 97 13 117 18 A 1 28 5 , A 1 70 20 , A 1 64 15 , A 1 79 15 .
15 5
80 15
51 18
Jadi, teman kita dapat menemukan kode asli: 13 5 5 20 20 15 13 melalui matriks invers A.
15
18
61 23
18
15
23
Sebagai contoh lain, jika kita menerima kode pesan berikut ini dari teman kita 77 54 38 71 49 29 68 51 33 76 48 40 86 53 52 dan kita mengetahui bahwa pesan dari teman kita ditransformasikan oleh transformasi linear yang sama 1 2 3
0
T : R3 R3, T ( x) Ax 1
maka pertama kali pesan dipecah menjadi 5 vektor: 77 71 68 76
54 , 38
49 , 29
51 , 33
48 , 40
1 1
2
2 ,
86 53 , 52
dan selanjutnya dapat diperoleh kode pesan asli: 77 16 71 20 68 18 76 8 86 1 A 1 54 8 , A 1 49 15 , A 1 51 1 , A 1 48 16 , A 1 53 14 .
38 15
29 7
Jadi, pesan asli dari teman kita yaitu 16 8 15 20 15 7 18 P H O T O G R
33 16 1 A
16 P
40 12
8 H
16 P
12 L
52 19
1 A
14 N
19 S
P H O T O G R A P H P L A N S
© 2010 Didit B. Nugroho
176
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
SOAL-SOAL UNTUK BAB 6 1.
Nyatakan yang mana dari fungsi-fungsi berikut yang merupakan transformasi linear. (a) f 1 : R R, f 1( x) = sin x (b) f 2 : R R, f 2( x) = 2 x + 3 (c) f 3 : R2 R2, f 3( x, y) = ( x + 2 y, 3 x + 4 y) (d) f 4 : P2( R) R2, f 4(a + bx + cx2) = (a + 2b – 1, c + 2)
2.
Apakah mungkin dipunyai transformasi linear T dari R2 ke R2 dengan sifat: (a) T (1, 2) = ( – 2, – 3) dan T (3, 6) = ( – 4, 6), (b) T (1, 2) = ( – 2, – 3) dan T ( – 1, 2) = (1, – 3), (c) T (1, 2) = ( – 2, – 3), T ( – 1, 2) = (2, 1), dan T ( – 1, 6) = (2, – 1)?
3.
Buktikan bahwa T adalah linear untuk T : R3 R3 yang didefinisikan oleh x x y z
x y z . z z
T y
4.
Diberikan (V , , ) adalah suatu ruang hasil kali dalam dan W adalah ruang bagian berdimensi hingga dari V . Buktikan bahwa fungsi T : V W yang didefinisikan oleh T(v) = proyW (v) adalah transformasi linear.
5.
Diberikan T : V W adalah transformasi linear. Diandaikan v1, v2 V dan {T (v1), T (v2)} adalah bebas linear. Tunjukkan bahwa { v1, v2} adalah bebas linear.
6.
Diberikan T : V W adalah transformasi linear. Diberikan S : W X adalah transformasi linear. Buktikan bahwa fungsi komposisi S T yang didefinisikan oleh (S T )(v) = S (T (v)) adalah transformasi linear.
7.
Diberikan T : M 2( R) M 2( R) yang didefinisikan oleh T ( A) = AB – BA dengan B adalah suatu elemen dari M 2( R). Tentukan range dari T dan rank dari T untuk: 2 0 0 2 (a) B = (b) = B 0 0 0 2 (c)
B=
2 0
0
4
(d)
B=
2 0
2
.
4
8.
Diberikan T : R3 R3 yang dirumuskan oleh T (a, b, c) = (a + b – c, 2a – b + 2c, – 3b + 4c). Tentukan suatu basis untuk range dari T . Apakah T pada?
9.
Diberikan T : C 2 C 2 yang dirumuskan oleh
z1 (1 i) z1 (2 i) z 2 T = z 2 (3i 1) z1 (4 3i) z 2 . Tentukan suatu basis untuk range dari T . Apakah T pada?
© 2010 Didit B. Nugroho
177
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
10.
Diberikan T : R2 R2 yang dirumuskan oleh T ( x, y) = ( x – 2 y, 3 x – 4 y). Tentukan suatu basis untuk Im(T ). Apakah T pada?
11.
Diberikan T : R2 P2( R2) yang dirumuskan oleh T ( x, y) = ( x + y) + ( x – y)t + (3 x – 4 y)t 2. Tentukan suatu basis untuk Im(T ). Apakah T pada?
12.
Diberikan (V , , ) sebagai suatu ruang hasil kali dalam dan untuk setiap v didefinisikan fungsi Lv : V F oleh Lv(w) = w , v. (a) Tunjukkan bahwa Lv adalah suatu transformasi linear. (b) Tunjukkan bahwa Lv adalah pada kecuali v = 0.
13.
Tentukan basis untuk ruang nol untuk transformasi linear pada pertanyaan 7 sampai 11, dan nyatakan apakah satu-satu.
14.
Diberikan T : V W dan L : W X adalah transformasi linear. (a) Tunjukkan bahwa jika T dan L adalah satu-satu, maka LT adalah satu-satu. (b)
Jika LT adalah satu-satu, maka apakah T satu-satu?
(c)
Jika LT adalah satu-satu, maka apakah L satu-satu?
V
15.
Berikan suatu contoh transformasi linear T : R2 R2 dengan sifat Ker(T ) = Im(T ).
16.
(a) (b)
Tunjukkan bahwa jika T : R3 R adalah suatu transformasi linear, maka a, b, c R sehingga T ( x, y, z) = (a, b, c)( x, y, z). Nyatakan secara geometris ruang nol yang mungkin dari transformasi linear T : R3 R.
17.
Ujilah teorema dimensi untuk transformasi linear pada soal no 7 sampai 11.
18.
Tentukan Ker(T ) dan Im(T ) pada soal no 3.
19.
Diberikan T : M 2( R) M 2( R) yang didefinisikan dengan T ( A) = AT – A. Tunjukkan bahwa T adalah linear dan selanjutnya tentukan dim(Im(T )).
20.
Tentukan Ker(T ) dan Im(T ) untuk T : R3 R4 yang memenuhi 1 2 1 1 0 0 1 1 0 T 1 , T 1 , T 0 . 1 1 1 0 1 1 0 0 0
21.
. Tentukan Ker(T ) dan Im(T ) untuk transformasi linear T : R2 R3 yang didefinisikan oleh x 2 y x T x 2 y . y 0
© 2010 Didit B. Nugroho
178
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
22.
Tentukan Ker(T ) dan Im(T ) untuk T : R2 R3, x y x T x y . y 0
23.
Tentukan Ker(T ) dan Im(T ) untuk T : R3 R2,
x x y z T y 2 y z z 24.
Diberikan T : M 2( R) R yang didefinisikan dengan T ( A) = tr( A). Tentukan Ker(T ) dan Im(T ).
25.
(a) (b) (c)
Tunjukkan bahwa T : M 2( R) M 2( R) yang didefinisikan oleh T ( A) = AT + A adalah suatu transformasi linear. Tentukan suatu basis untuk Ker(T ) dan tentukan dim(Ker( T )). Tentukan suatu basis untuk Im(T ) dan tentukan dim(Im(T )).
26.
Tunjukkan bahwa tidak ada transformasi linear T : P 4[ x](C ) M 2( R) yang satusatu.
27.
Tentukan matriks representasi dari transformasi linear di bawah ini terhadap basis yang diberikan. a) T : R3 R3,
(i)
[T ] B, B =
x T y z
x y z = 2 x 3 y 4 z 3 x y 2 z 1 1 1 T B , B = 0, 1, 1 0 0 1
1 0 0 0 , 1 , 0 0 0 1
(ii)
T : C 2 C 2,
z1 z1 iz 2 T = z 2 2iz 2 3z1
1 0 0 , 1
(ii)
b)
T B , B
i 1 1, i
(i)
[T ] B, B =
(i) (ii)
T : P2[ x]( R) P2[ x]( R), T (a + bx + cx ) = (a + 2b + 2c) + (2a + b + 2c) x + (2a + 2b + c) x2 [T ] B, B = {1, x, x2} T B , B = {1 + x + x2, 1 – x, 1 – x2}
c)
2
© 2010 Didit B. Nugroho
=
179
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
28.
Gunakan penyelesaian pertanyaan soal 27 untuk menghitung (a)
(i)
(b)
(i)
(c)
(i) (ii)
29.
1 T 2 3 B 1 i T 2 i B
(ii)
(ii)
1 T 2 3 B 2 i T i 2 B
2 i i 2
dan T
[T (1 + 2 x + 3 x2)] B dan T (1 + 2 x + 3 x2) T (2 2 x 2 x
2
B
dan T (2 + 2 x – 2 x2).
Diberikan T : M 2( R) M 2( R) yang dirumuskan oleh T ( M ) = AM – MA 1 2 dengan A . 2 1 Diberikan B =
B = (a) (b)
Tentukan (i) [T ] B
T B,B
(iii)
T B,B
(iv)
T B
2
. 4
(a)
Buktikan T : P3[ x]( R) P1[ x]( R) adalah suatu transformasi linear untuk T ( p( x)) = p ( x )
(b)
Tentukan matriks dari T menggunakan basis {1, x, x2, x3} untuk P3[ x]( R) dan {1, x} untuk P2[ x]( R). Tentukan matriks dari T menggunakan basis {1, x, x2, x3} untuk P3[ x]( R) dan {1, x + 2} untuk P1[ x]( R). Tentukan basis untuk Ker(T ) dan tentukan dim(Ker( T )). Tentukan basis untuk Im(T ) dan tentukan dim(Im(T )).
(c) (d) (e) 31.
(ii)
Gunakan Teorema 6.5.1 dan penyelesaian pada bagian (a) untuk mencari
1 T 3 30.
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 , 0 0 , 1 0 , 0 1 , 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1, 1 0, 1 1, 1 1
(a)
Suatu transformasi linear T : R3 R3 mempunyai range berupa bidang dengan persamaan x + y + z = 0 dan ruang nol berupa garis x = y = z. Jika
1 a 2 3 1 1 T 1 0 , T 1 b , T 2 2 . 2 1 1 5 1 c (b)
Tentukan a, b, c. Tentukan matriks representasi dari T terhadap basis baku.
© 2010 Didit B. Nugroho
180
32.
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
(a)
Buktikan bahwa T : R2 R3 adalah suatu transformasi linear untuk x y x T x y y 2 x 3 y
(b) (c)
Tentukan basis untuk Ker(T ) dan tentukan dim(Ker( T )). Tentukan basis untuk Im(T ) dan tentukan dim(Im(T )).
(d)
Tentukan matriks dari T terhadap basis B1
B2
33.
1 1 0 1 , 0 , 1 1 1 0
1 1 , 2 3
untuk R2 dan basis
untuk R3.
Diberikan transformasi linear T : R3 R2 yang didefinisikan oleh
x x 2 y T y z 3 x z Tentukan matriks representasi untuk T jika (a) Basis untuk R 3 dan R2 adalah basis baku.
34.
(b)
Basis untuk R 3 adalah
(c)
Basis untuk R 3 adalah
1 1 1 0, 1 , 1 0 0 1 1 1 1 0, 1 , 1 0 0 1
Suatu transformasi linear T :
2
R
R2
dan untuk R2 adalah basis baku.
dan untuk R2 adalah
1 1 0 , 1 .
yang memenuhi Ker(T ) = Im(T ), dan
1 2 T . Tentukan matriks representasi T terhadap basis baku. 1 3 35.
Tentukan matriks representasi untuk pemetaan linear T : M 2( R) didefinisikan dengan T ( A) = tr( A) terhadap basis baku
1 0
0 0 , 0 0
1 0 , 0 1
0 0 , 0 0
0
1
untuk M 2( R). 36.
(a)
Pada soal 20, hitunglah perubahan basis I B, B dan I B, B
(b)
Buktikan bahwa T B, B = I B,B T B ; (i) (ii) (iii)
T B,B = T B I B, B ; T B = I B,B T B I B,B .
© 2010 Didit B. Nugroho
R
yang
181
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
37.
Diberikan transformasi linear T : R2 P2( R) dan S : P2( R) M 22( R) yang didefinisikan oleh
a b
T
(a + 2b) + ( – a + 3b) x + (3a – 2b) x2,
=
p(1) p (0) p(1) p(2)
S ( p) =
. p (1) p (2) p (2)
Jika
1 0 0, 1 , γ = {1, x, x2}, 1 0 0 1 0 0 0 0 δ = , 0 0 , 1 0 , 0 1 . 0 0 Tentukan (a) [T ]β,γ , (b) [S ]γ ,δ, dan [S T ]β,δ dengan dua cara yang berbeda. β=
38.
Diberikan S : R3 R3 yang didefinisikan oleh a 2a 3b 3c
c
S b
3a 3b 2c
= 3a 2b 3c
dan diberikan basis
β=
39.
1 0 0 0, 1, 0 , γ = 0 0 1
1 1, 3 1
1
1 1, 2 0
1
1 1 . 6 2
1
(a) (b) (c)
Tentukan [S ]β . Tentukan [ I ]γ ,β dan [ I ]β,γ . Hitung [S ]γ dengan dua cara berbeda.
(a)
Diberikan T : V W adalah transformasi linear dari ruang vektor V berdimensi n dan ruang vektor W berdimensi m. Diberikan β i dan γ i berturutturut adalah dua basis untuk V dan W , i = 1, 2. Nyatakan suatu persamaan yang menghubungkan T β ,γ dan T β ,γ . 1 1
(b)
2
Jika T : R
2
2
M 2( R) didefinisikan oleh a a b T = b 2a b
a 2b
a 2b
dan
1 0 0, 1 , β2 = 1 0 0 1 0 γ 1 = , , 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 γ 2 = , 0 1, 1 0 1 β1 =
1 1 1, 1 , 0 0 0 , , 0 0 1 1 0 1 , . 0 1 0
Buktikan persamaan yang dituliskan pada bagian (a).
© 2010 Didit B. Nugroho
182
B a b 6 T r an s f o r m a s i L i n e a r
40.
Tunjukkan bahwa matriks yang serupa mempunyai trace yang sama.
41.
Yang manakah dari matriks-matriks di bawah yang serupa? (a)
(d)
42.
1 0 0 2 4 4 3 1 2
(b)
(e)
1 0 3 2
0
(c)
3 1
0
Diberikan T : P2[ x]( R) R3 yang didefinisikan oleh 5a 2b 2c
2a 2b 5c
T (a + bx + cx2) = 2a 5b 2c .
Tunjukkan bahwa T adalah inversibel dan tentukan T 1 .
© 2010 Didit B. Nugroho
32 12 1 3 2 2
