5.4 MATRIKS TRANSFORMASI LINEAR
Pada bagian ini kita memperhatikan bahwa jika V dan W adalah adalah ruang vektor berdimensi berhingga (tidak perlu Rn sebarang sebarang transforma transformasi si linear linear T:V
dan Rm) maka maka dengan dengan sediki sedikitt keliha kelihaian ian
W dapat ditinjau sebagai transformasi matriks.
Gagasan dasarnya adalah memilih basis untuk V dan W yang bekerja dengan matriks koordinat vektor terhadap basis ini dan bukan bekerja dengan vektor itu sendiri. Misalkan Misalkan bahwa V adalah ruang vektor berdimensi berdimensi n dan W adalah adalah ruang vektor berdimensi m. Jika kita memilih basis B untuk V dan basis B’ untuk W , maka untuk masingmasin masingmasing g x di V , matriks koordinat koordinat [x] B akan akan merupak merupakan an vektor vektor di Rn sedang sedangkan kan matri matriks ks koordin koordinat at [T ( x )] akan meru merupa pakan kan vekto vektorr di Rm. Jadi, proses )] B’ akan pemetaan x kedala kedalam m T ( x ), transformasi transformasi linear linear T !menghasilk !menghasilkan" an" sebuah pemetaan pemetaan )] B’ . #ita dapat memperlihatkan dari dari Rn ke Rm dengan dengan menempat menempatkan kan [x] B ke [T ( x )]
bahwa pemetaan yang dihasilkan ini selalu merupakan transformasi linear. $engan demikian pemetaan tersebut dapat dilaksanakan dengan menggunakan matriks A baku untuk transformasi tersebut% yakni, (&.')
x ] B = [T ( x )] A[ x )] B’
ntuk ntuk men*ar men*arii matri matriks ks A yang memenuhi memenuhi persamaa persamaan n ini, ini, misal misalkanl kanlah ah V adalah ruang berdimensi n dengan basis
berdimensi m denga dengan n basis basis matriks m n dengan
A =
[
a11 a12 ⋯
a1 n
a21 a 22 ⋯
a2 n
⋮
am 1
⋮
⋮
⋮
am 2 ⋯
amn
]
B ={ u1 , u2 , … , un }
B ' ={ v 1 , v2 , … , v m }
, dan W adalah ruang
. +elanjutnya, kita akan men*ari
sehingga (&.') memenuhi untuk semua vektor x di V . #hususnya, kita ingin agar u1 ,u 2 , … , un
persamaan ini dapat memenuhi vektor basis
, yakni
A[u1] B = [T (u1)] B’ , A[u2] B = [T (u2)] B’ , … , A[un] B = [T (un)] B’ ,
etapi
[] [] [] 1
0
0
0
1
0
[ u ]B = 0 1
[ u ]B = 0
,
2
⋮
⋮
0
0
sehingga
A [u1 ] B=
[ ]
A u2
[ [
= B
a11 a12 ⋯
a1 n
a21 a 22 ⋯ a2 n ⋮
⋮
⋮
am 2 ⋯
am 1
a11
a12
a21
a 22 ⋮
am 1
⋮
⋮
am 2
⋯
a2 n
⋯
⋮
=
0
⋮
amn 0
⋮
a12
1 0
a 11 a21
am 1
amn 0
a1 n
⋮
0 ⋮
⋯
⋮
][ ] [ ] ][ ] [ ] 1 0
=
a22 ⋮
am 2
, / ,
[u ]
n B
=
0
⋮
1
(&.'-)
[ ]
A un
B
[
=
a 11
a 12
a21
a22 ⋮
am1
⋮
am 2
⋯
a1 n
⋯
a 2n
⋮
⋮
⋯
][ ] [ ] 0
a 1n
0 0
=
⋮
a 2n ⋮
amn
amn 1
$engan menyulihkan hasil ini ke dalam (&.'-) menghasilkan
[] a11 a 21 ⋮
[] a 12 a 22
0 [T (u1)] B’ ,
am 1
0 [T (u2)] B’ , … ,
⋮
am 2
[] a 1n a 2n
= [T (un)] B’
⋮
amn
yang menunjukkan bahwa kolom A yang berurutan merupakan matriks koordinat dari T (u1), T (u2), … , T (un)
yang bertalian dengan basis B’ . $engan melanjutkan *ara ini kita peroleh matriks unik A yang kita namakan matriks untuk T yang bertalian dengan basis B dan B’ . se*ara simbolis, kita dapat menyatakan matriks ini dengan
A =
[
matriks untuk T yang bertaliandengan basisBdanB'
]
=[ [ T ( u1 ) ] B ∨[ T ( u 2) ]B ∨⋯∨[ T ( un ) ] B ] '
'
'
Matriks A tersebut pada umumnya dinyatakan dengan symbol
[T ]B,B ' sehingga dengan demikian rumus yang baru saja kita peroleh dapat juga kita tuliskan sebagai
[
[T ]B,B ' =
matriks untuk T yang bertalian dengan basis B dan B'
]
=[ [ T ( u1 ) ] B ∨[ T ( u 2) ]B ∨⋯∨ [ T ( un ) ]B ] '
'
'
(&.'1a) di mana
B ={ u1 , u2 , ⋯ , un }
.
$alam kasus di mana V = W (sehingga dengan demikian T:V
V adalah
operator linear x) biasanya untuk mengambil B = B’ apabila kita membentuk matriks untuk T . Jika hal ini 2nda lakukan, maka matriks yang dihasilkan kita namakan matriks untuk T yang bertalian dengan basis B . ntuk menyederhanakannya, kita
akan menulis
[ T ] B
dan bukan
[
[ T ] B =
[ T ] B ,B'
. Jadi, untuk operator linear T, kita peroleh
] [[
matriks untuk T yang bertalian dengan = T ( u 1) basis B dan B '
] ∨[ T (u ) ] ∨⋯∨[ T (u ) ] ] B
2
B
n
B
(&.'1b) di mana
B ={ u1 , u2 , ⋯ , un }
.
Contoh 30
Misalkan T: P 1
P 2 adalah transformasi linear yang didefinisikan oleh
T(p(x)) = xp(x)
3arilah matriks untuk T yang bertalian dengan basis, B ={ u1 , u2 }
B ' ={ v 1 , v2 , v 3 }
dan
di mana u1=1, u2= x ; v 1=1, v 2= x , v 3= x
2
Penyelesaian $ari rumus T kita peroleh T (u1 ) =T ( 1 ) =( x ) ( 1 )= x
T ( u2 ) =T ( x ) =( x ) ( x ) = x
2
$engan pemeriksaan, kita dapat menentukan matriks koordinat untuk T (u2 )
relatif terhadap B’ , yakni
[] 0
[ T ( u ) ] 1
B
=
'
1 0
[] 0
,
[ T ( u ) ] 2
B
=
'
0 1
Jadi, matriks untuk T yang bertalian dengan basis B dan B’ , adalah
[
]
[ ]
[ T ]B,B ' = [ T ( u 1) ]B ∨[ T ( u2 ) ]B =
Contoh 3
'
'
0
0
1
0
0
1
T ( u1 )
dan
B ={ u1 , u2 , … , un }
Jika
adalah sebarang basis untuk ruang vektor V berdimensi
berhingga dan I : V
V adalah operator identitas pada V , maka
I ( u1 ) =u1 , I ( u2 )=u 2 ,… , I ( un ) =un
Maka
[ I ( u ) ] 1
B
[] [] [] 1
0
0
0
1
0
= 0 , [ I ( u ) ]B = 0 , …, [ I ( u n ) ]B = 2
0
⋮
⋮
⋮
0
0
1
Jadi,
[ ] 1
0
⋯
0
0
1
0
[ I ] B = 0
⋯
0
⋯
0
⋮
⋮
⋮
0
0
⋯
= I n
⋮
1
2kibatnya, matriks operator identitas yang bertalian dengan sebarang basis adalah n ×n .
matriks identitas Contoh 3!
Jika
n
T : R → R
baku untuk R
n
m
adalah transformasi linear r dan jika B dan B’ merupakan basis dan R
m
maka matriks untuk T yang bertalian dengan B dan B’
adalah matriks baku untuk T yang kita bahas dalam bagian sebelumnya (4atihan '5).
Contoh 33 2
T : R → R
Misalkan
( [ ]) [
T
x 1 x 2
=
2
adalah operator linear yang didefinisikan oleh
x 1+ x 2
−2 x 1 + 4 x 2
]
3arilah matriks untuk T yang bertalian dengan basis
a)
b)
[] =[ ]
u1=
u1
1 0
,
1 1
,
[] =[ ]
u2=
u2
B ={ u1 , u2 }
di mana
0 1
(basis baku)
1 2
Penyelesaian a) #arena B adalah basis baku untuk R2, berikutnya dari 3ontoh 56 bahwa 7T 8 B adalah matriks baku untuk T . etapi u
[ ]
T (¿¿ 1)=
¿ sehingga T
¿ ¿
u u T (¿¿ 2) T (¿¿ 1 )∨¿
¿=
[− ] 1 2
¿
1 4
1 −2
,
u dan
[]
T (¿¿ 2)=
¿
1 4
#arena B adalah basis baku untuk R2, berikutnya bahwa
[
T ( u2 ) = T ( u 2)
]
B
[
T ( u1 ) = T (u 1)
]
B
dan
, sehingga dengan demikian matriks yang sama akan
menghasilkan jika kita menggunakan rumus (&.'1b). b) $ari definisi T u u
[]
T (¿¿ 1)=
2 2
= 2 u1 ,
dan
¿ Maka, u T (¿¿ 1)
¿ ¿ ¿ ¿
[ ]=
T (¿¿ 2)=
3 6
3 u2
¿ u T (¿¿ 2)
dan
¿ ¿ ¿ ¿
2kibatnya T
¿ ¿
u T (¿¿ 1 )
¿ ¿
u T (¿¿ 2 )
¿
[ ]
[ ¿¿B] = 2 0
0 3
¿ ¿ ¿
P9:;<222; 2matilah bahwa basis pada bagian (b) dari *ontoh terakhir menghasilkan matriks tersederhana untuk T dibandingkan dengan basis baku pada bagian (a). sebagaimana akan kita lihat nanti, satu masalah yang paling penting dalam aljabar linear adalah
men*ari basis untuk ruang vektor yang menghasilkan !penyederhanaan" yang memungkinkan matriks untuk operator linear diberikan pada ruang tersebut. Contoh 34
Misalkan T = R6 > R5 adalah transformasi linear yang didefinisikan oleh
( [ ]) [
x T 1 x 2
x2
= −5 x1 + 13 x 2 −7 x1 + 16 x 2
]
entukan matriks untuk transformasi T berkenaan dengan basis B 0
{v
R2 dan basis B? 0
u1 =
[] [] 3 1
,u 2=
5 2
1
, v2 , v3 }
{u
1
,u 2 }
untuk
untuk R3, dimana
[ ] [ ] [] 1
−1
0
; v 1 = 0 , v 2= 2 , v 3= 1
−1
2
2
Penyelesaian $ari rumus untuk T ,
[] [] 1
2
T (u1 ) = −2 , T ( u2 ) = 1
−5
−3
$engan menyatakan kedua vektor ini sebagai kombinasi linear dari kita memperoleh (buktikan) T (u1 ) =v 1−2 v 3 , T ( u 2) =3 v 1 + v2 −v 3 $engan demikian,
v 1 , v 2 ,danv3
[] 1
[ T ( u ) ] 1
B
=
'
0
−2
[] 3
[ ( )]
, T u 2
B
=
'
1
−1
sehingga
[ T ] B . B ' = [|T ( u )|B |T ( u )|B ]= 1
Jika T:V
'
2
'
[ ] 1
3
0
1
−2 −1
W adalah transformasi linear, maka dengan notasi (&.'1a), rumus (&.')
dapat kita tulis sebagai
[ T ] B . B ' [ x ] B =[ T ( x ) ]B dan jika T:V
'
(&.'@a)
V adalah operator linear, maka dari (&.'1b) dan (&.')
[ T ] x [ x ] B=[ T ( x ) ] B
(&.'@A)
$engan menggunakan fase informal, rumus ini menetapkan bahwa matris T ali matris !!r"inat x a"ala# matris !!r"inat $nt$ T ( x). Jika T adalah transformasi linear, maka sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar &.'6, matriks
[ T ] B . B '
dapat 2nda gunakan untuk menghitung T ( x) dalam
tiga tahap dengan menggunakan prosedur tak langsung berikut= a. Bitunglah matriks koordinat 7x8 B? b. #alikanlah 7 x8 B pada bagian kiri dengan 7T 8 B, B’ untuk menghasilkan 7T ( x)8 B’ . *. Aentuklah kembali T ( x) dari matriks koordinatnya 7T ( x)8 B’ .
Gambar &.'6 2da dua alasan utama mengapa prosedur taklangsung ini begitu penting, satu dan lain hal untuk alasan praktis dan teoritis= '. Prosedur ini memungkinkan untuk menghasilkan transformasi linear pada komputer dengan menggunakan perkalian matriks. 6. Prosedur tersebut menunjukkan bahwa apabila kita mengerjakannya dengan vektor koordinat, maka semua transformasi linear pada ruang vektor berdimensi berhingga dapat direpresentasikan sebagai transformasi matriks. Jadi, jawaban mengenai pertanyaan teoritis terhadap transformasi linear yang umum pada ruang vektor berdimensi berhingga sering dapat dihasilkan hanya dengan menelaah transformasi matriks. Pembahasan yang lebih terin*i akan kita berikan pada aljabar linear lanjut. Contoh 35
Misalkan T = P 1
P 2, B, dan B’ adalah basis dalam 3ontoh 5C, dan misalkan
x =1−2 x
Gunakanlah matriks 7T 8 B, B’ yang diperoleh dari 3ontoh 5C untuk menghitung T ( x) menurut prosedur taklangsung pada Gambar &.'6. Penyelesaian Menurut pemeriksaan, matriks koordinat dari x pada B adalah
[ x ]B =
[− ] 1
2
+ehingga, dari (&.'@a), kita peroleh
[ T ( x ) ]B' =[ T ]B , B ' [ x ] B=
[ ][ ] [ ] 0
0
1
0
0
1
1
−2
0
=
1
−2
Jadi, T ( x ) =0 v 1+ 1 v 2− 2 v 3=0 ( 1 ) + 1 ( x )−2 ( x
2
)= x −2 x
2
Contoh 3"
Misalkan T = R2
( [ ]) [
T
x 1 x 2
dan B 0
=
R2 adalah operator linear yang didefinisikan dengan
x 1+ x 2
−2 x + 4 x 1
{u
1
,u 2 }
2
]
basis untuk R2 dengan vektor
u1=
[] 1 1
dan
u2=
[] 1 2
Gunakanlah prosedur taklangsung dalam Gambar &.'6 (dengan B’ 0 B dan 7T 8 B, B’ = 7T 8 B) untuk men*ari T ( x), di mana
x =
[] 3 9
Penyelesaian Matriks koordinat untuk x yang bertalian dengan B adalah (Auktikan)=
[ ]
[ x ]B = −3 6
+ehingga, dengan menggunakan rumus (&.'@b) dan matriks 7T 8 B yang di*ari dalam bagian (b) dari 3ontoh 55, kita peroleh
[ ][− ]=[− ]
[ T ( x ) ]B= [ T ]B [ x ]B = 2 0
0 3
3
6
6
18
Jadi, T ( x ) =−6
[ ]+ [ ]=[ ] 1 1
18
1
12
2
30
2nda di minta memeriksa hasil ini dengan menyulihkan x ke dalam rumus untuk T se*ara langsung. P9:;<222; 3ontoh terakhir sengaja kami perluas sebagai suatu latihan agar 2nda lebih memahami konsep ini, prosedur untuk menghitung T ( x) tidak segampang yang 2nda pikirkan. +ebaliknya, menghitung T ( x) dengan prosedur langsung akan lebih gampang ketimbang menggunakan prosedur taklangsung.
