VARIABLE ALEATORIA Concepto de variable aleatoria. Se llama variable aleatoria a toda aplicación que asocia a cada elemento del espacio muestral de un experimento, un número real. Ejemplo: Sea el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. El espacio muestral será: E = {ccc , ccx , cxc , xcc , cxx , xcx , xxc , xxx } Si a cada elemento de E le hacemos corresponder, por ejemplo, el número de caras, hemos definido una variable aleatoria. ccc →3; xcc → 2; xxc →1; ccx → 2 cxx →1; xxx →0; cxc → 2; xcx →1
Se utilizan letras mayúsculas para designar las v.a. y sus respectivas letras minúsculas para los valores concretos de las mismas.
Variable aleatoria discreta. Es la que solo puede tomar determinados valores La variable aleatoria número de caras en el lanzamiento de tres monedas sólo puede tomar los valores 0, 1, 2 y 3. (Es discreta). La variable aleatoria suma de las caras superiores en el lanzamiento de dos dados puede tomar solamente los valores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12. (Es también discreta)
Función de probabilidad de una v.a. discreta. Es la aplicación que asocia a cada valor x de la v.a. X su probabilidad p. Los valores que toma una v.a. discreta X y sus correspondientes probabilidades suelen disponerse en una tabla con dos filas o dos columnas llamada tabla de distribución de probabilidad:
X
x1
P ( X = x i )
p1
x2
p2
x
x
3
p3
n
pn
En toda función de probabilidad se verifica que p1 + p 2 + p 3 +
+ pn =1
Ejemplo: La v.a. “número de caras en el lanzamiento de tres monedas” tiene la siguiente función de probabilidad: Nº de caras 0 1 2 3 f(x)= 3 3 1 1 P ( X
= xi )
8
8
8
8
Función de distribución de una v.a. discreta. Sea X una v.a. cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Se llama función de distribución de la variable X a la función que asocia a cada valor de la v.a. la probabilidad acumulada hasta ese valor, es decir, F ( x) = p( X ≤ x)
Media, varianza y desviación típica de una variable aleatoria discreta.
Se llama media o esperanza matemática o valor esperado de una v.a. discreta X, que toma los valores x1 , x 2 , x 3 ........ x n con probabilidades p1 , p 2 , p 3 .......... .. p n al valor de la siguiente expresión: x .p ∑
= µ
i
i
La varianza viene dada por la siguiente fórmula:
2
σ
= ∑( xi − µ ) 2 . p i , bien
La desviación típica es la raiz cuadrada de la varianza :
2
σ
xi =∑
2
. pi
2
−µ
2
σ = σ
Ejercicio. La distribución de probabilidad de una v.a. X viene dada por la siguiente tabla: xi pi
1
2
0,1
0,3
3
4
5
0,2
0,3
¿Cuánto vale p(X=3) Calcula la media y la varianza.
Solución: La suma de todas las probabilidades es 1, por tanto, 0,1 + 0,3 + p( X = 3) + 0,2 + 0,3 = 1 luego p(X=3)=0,1 Formamos la siguiente tabla:
σ
pi
xi . pi
x i2 . p i
1 2 3 4 5
0,1 0,3 0,1 0,2 0,3
0,1 0,6 0,3 0,8 1,5
0,1 1,2 0,9 3,2 7,5
∑x . p = 0,1 + 0,6 + 0,3 + 0,8 + 1,5 = 3,3 = ∑ xi2 . p i − µ 2 = 12,9 − (3,3) 2 = 2,01
µ = 2
xi
i
i
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. Experimento de Bernoulli Es un experimento que tiene las siguientes características: 1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso ha llamado A llamado éxito y el suceso A llamado fracaso. 2. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados anteriores. 3. La probabilidad del suceso A es constante y no varía de unas pruebas a otras. La distribución de probabilidad de este experimento recibe el nombre de distribución binomial de parámetros n y p n es el número de pruebas del experimento y p es la probabilidad del éxito. Si representamos por X la variable aleatoria binomial que representa el número de éxitos obtenidos en las n del experimento, podemos escribir:
p(obtener r éxitos )=p(X=r)=
( )
m Recuerda: Un número combinatorio: n
=
n r −rn p . 1 − p) ( r m! n !.(m − n)!
Esta expresión recibe el nombre de función de probabilidad de una distribución binomial o de Bernoulli. Dado que en este tipo de experiencias los cálculos pueden ser laboriosos, se han construido unas tablas que nos proporcionan la probabilidad de que la variable X tome distintos valores, según los distintos valores de n y r.
Media y varianza de una distribución binomial. Media:
µ
Varianza:
n p
=.
2
n. p.q;
σ =
Desviación típica:
q
σ =
1
p
=−
n
p q
. .
Ejercicios resueltos. 1.- Calcula la probabilidad de que una familia que tiene 4 hijos, 3 de ellos sean varones. Solución: Se trata de un experimento de Bernoulli donde n=4 y p=1/2
p(obtener 3 varones)=P(X=3)=
4 3 1 1 .05 .0,5 = 3 4
2.- Se tiene una moneda trucada de modo que la probabilidad de sacar cara es cuatro veces la de sacar cruz. Se lanza 6 veces la moneda. Calcula las siguientes probabilidades: Obtener dos veces cruz. • Obtener a lo sumo dos veces cruz. • Solución: Calculamos en primer lugar la probabilidad de cara y de cruz: p(cara)+p(cruz)=1. Si llamamos x a la probabilidad de sacar cruz, podemos escribir:
4x+x=1; 5x=1; x=0,2 Así resulta: p(cruz)=0,2 y p(cara)=0,8 Es una distribución binomial de parámetros n=6 y p=0,2 Probabilidad de obtener dos veces cruz:
6 2 4 p(X 2)== .0,2) .0(,8) = (1 . 0, ) 0(, )4 5= .0,24 2 Probabilidad de obtener a lo sumo dos veces cruz:
p( X ≤ 2) = p( X = 0) + p( X =1) + p( X = 2) =
6 0 6 1 56 2 4 .0,2)8 .0,) 28(0,9 012
3.- La probabilidad de que un alumno de 1º de Bachillerato repita curso es de 0,3. Elegimos 20 alumnos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 4 alumnos repetidores? Solución: Se trata de una binomial de parámetros 20 y 0,3, es decir, B(20; 0,3)
Si X es el número de alumnos que repiten,
2 4 1 0 2 !6 4 1 0 p(X 4)== .0,3 .0,7 = .0,3.0,7 = 0,1 4 4!1 ! . 6
4.- Calcula la esperanza matemática, la varianza y la desviación típica de la variable aleatoria X, cuya función de probabilidad viene dada por la siguiente tabla: xi
-4 0,1
p( X = xi )
-1 0,5
2 0,3
5 0,1
Solución: La esperanza matemática es la media: µ = ( −4). 0,1 + ( −1). 0,5 + 2.0,3 + 5.0,1 = 0,2 2 2 2 2 2 2 2 2 La varianza: σ = ∑ xi . pi − µ = (−4) .0,1 + (−1) .0,5 + 2 .0,3 + 5 .0,1 − 0,2 = 5,76 La desviación típica: σ 5,76 2,4 =
=
5.- Sea la siguiente función de probabilidad:
xi pi
1 0,2
3 0,2
5 0,4
7 0,1
9 0,1
Escribe la función de distribución y calcula: p ( X ≤ 5) y p (3 ≤ X ≤ 7) Solución:
xi F(x)=P(X ≤ xi) p( X ≤ 5) = 0,8 ;
1 0,2
3 0,4
5 0,8
7 0,9
p(≤ X ≤ 7) = p ( X = 3) + p( X = 5) + p( X = 7) =
9 1 0, 2 + 0, 4 + 0,1 = 0, 7
Ejercicios propuestos. 1.- La probabilidad de que un reloj salga de fábrica defectuoso es del 5 %. Halla: a) El número de relojes defectuosos esperados en un lote de 1000 b) La varianza y la desviación típica. ( Solución: 50, 47’5, 6’892)
2.- Una determinada raza de perros tiene 4 cachorros en cada camada. Si la probabilidad de que un cachorro sea macho es de 0,55, se pide: a) La probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembras b) Probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras. (Solución: 0,3675; 0,609 )
3.- Considera una variable aleatoria discreta X cuya distribución de probabilidad es la siguiente: xi 1 2 3 P(X = xi) k 0,45 k a) Calcula el valor de k
b) Halla la función de probabilidad c) Halla la función de distribución F. Solución k = 0,275. Función de probabilidad:
xi f(x)=P(X = xi)
1 0,275
2 0,45
3 0,275
1 0,275
2 0,725
3 1
Función de distribución:
xi F(x)=P(X ≤ xi)
4.- Considera una variable aleatoria X cuya función de probabilidad viene dada por la siguiente tabla: x -25 -10 0 5 f(x) a 2a 3a 4a a) Deduce el valor de a. b) Halla la función de distribución F c) Calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica. Solución:
a) 0,1;
c) –2,5; 86,25; 9,29
5.- La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de arquitecto es 0,3. Calcula la probabilidad de que un grupo de 7 estudiantes matriculados en primer curso: a) Ninguno de los 7 finalice la carrera. b) Finalicen los 7. c) Al menos 2 acaben la carrera. d) Sólo finalice uno la carrera. Solución: 0,0824; 0,0002; 0,6705; 0,2471
6.- El 20 % de los tornillos de un gran lote so defectuosos. Se cogen tres tornillos al azar y se pide calcular razonadamente: a) La probabilidad de que los tres sean defectuosos. b) La probabilidad de que ninguno sea defectuoso. c) La probabilidad de que solamente uno sea defectuoso. (Propuesto en Selectividad, septiembre de 2001) Solución: 0’0080, 0’5120, 0’3840
7.- Una empresa vendedora de automóviles recibe el pago al contado del 20% de sus ventas. En un determinado día ha vendido 5 unidades: ¿Qué tipo de variable aleatoria es la forma de pago? ¿Qué probabilidad de que al menos dos unidades se hayan vendido al contado? ¿Qué probabilidad hay de que un máximo de 2 unidades se hayan vendido a plazos? Hallar el número esperado de ventas al contado. Hallar la varianza de la variable Solución: B(5, 0'2), 0'2627, 0'0579, 1, 0'8
8.- A nivel nacional el 70% de los clientes de una entidad bancaria declara estar satisfecho de los servicios de la misma. Una sucursal realiza un sondeo a 10 clientes de la misma. ¿Qué tipo de variable aleatoria es el nº de clientes que contestan estar satisfechos? ¿Qué probabilidad hay de que a lo sumo 6 clientes respondan estar satisfechos? ¿Qué probabilidad hay de que entre 3 y 6 clientes declaren estar satisfechos? Hallar el nº esperado y la varianza de la variable. Solución: B(10,0'7), 0'3503, 0'3488, 7 y 2'1
9.- El 5% de los disquetes de un ordenador que fabrica una determinada empresa resulta defectuoso. Los disquetes se distribuyen en cajas de 5 unidades. Calcular la probabilidad de que en una caja no haya ninguno defectuoso. Solución: 0'7738
10.- La probabilidad de que salga cara con una moneda trucada es 0'45. Se lanza la moneda 7 veces. Calcula la probabilidad de que: Salgan exactamente 3 caras. Salgan al menos 3 caras. Salgan a lo sumo 3 caras. Solución: 0'2918, 0’ 6835, 0’ 6082
11.- Se lanza 1 veces un dado de 4 caras y se considera el suceso salir cara 1. Calcula la esperanza matemática y la varianza, mediante la distribución de probabilidad. Solución:
12.- En una bolsa hay bolas numeradas: nueve con un 1, cinco con un 2 y seis con un 3. Sacamos una bola y vemos que número tiene: a) Escribe su distribución de Probabilidad. b) Calcula su media y su desviación típica. Solución:
13.- En una cierta población se sabe que el 20% de las personas adultas habla correctamente el inglés. Se eligen al azar 10 personas. Halla la probabilidad de: a) Al menos tres personas hablen correctamente el inglés. b) Alguna persona hable correctamente el inglés. c) Tan solo dos personas hablen correctamente el inglés. Solución: 0’2013, 0’8926, 0’3020
14.- El 10 % de los billetes de lotería de Navidad reciben algún premio. En una familia se juegan diez participaciones de distintos números. Hallar la probabilidad de: a) Les toquen tres premios únicamente. b) Les toque algún premio. Solución: 0’0574, 0’6513
15.- Sea X binomial con n = 10 y p = 0.4. Comprobar las probabilidades siguientes: a) P [X ≤ 4].=0,633104 b)P [X < 4].=0,382281 c)P [X = 4].=0,250823 d )P [X ≥ 5].=0,366896 e)P [X > 6].=0,0547617 f )P [3 ≤ X ≤ 6].=0,77 g )P [4 ≤ X ≤ 7].=0,6 h)P [3 ≤ X < 6].=0,66 i)P [4 < X ≤ 7].=0,35 16.- Una moneda está trucada de forma que la probabilidad de sacar cruz es 7/10. Se lanza la moneda 10 veces. Encontrar: La probabilidad de sacar 8 caras. La probabilidad de sacar al menos una cruz. Solución: 0’0014, 0’9999
17.- La probabilidad de aprobar selectividad es del 80%. ¿Cuál es la probabilidad de que de un grupo de 6 alumnos de un colegio aprueben al menos la mitad? Solución: 0’9830
18.- Sabemos que la probabilidad de que un turista que ha visitado Gran Canaria, haya quedado satisfecho es 0,9. Si un grupo de 7 turistas abandona hoy la isla, ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 6 de ellos estén satisfechos? Solución: Puesto que la probabilidad de estar satisfecho es superior a 0,5 planteamos como éxito el estar insatisfecho, es decir, calculamos la probabilidad de un insatisfecho y habrá que ir a la tabla con n=7, p=0,1 y X=1, obteniéndose: p=0,3720
19.- Una cierta enfermedad tiene una tasa de mortalidad del 10%. Al ensayar un nuevo tratamiento en un grupo de 10 pacientes, 5 de ellos fallecieron. ¿Hay evidencia suficiente para indicar que el tratamiento es inadecuado?
Solución: En este caso, calculamos la esperanza matemática de la distribución binomial B(10,0’1), E(x) = 10x0’1= 1 lo que significa que el número de pacientes que se espera que no responda al fármaco es de uno, como ha habido 5 pacientes que no han respondido, hay evidencia de que el tratamiento no es adecuado.
20.- La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X es: x p
0 0,1 5
1 0,3 5
2 0,2 0
3 0,30
Hallar la función de distribución. Utilizarla para responder al apartado a). b) Hallar P(X≤2). c) Hallar la media y la desviación típica de X. a)
21.- Un examen de tipo test contiene 20 preguntas con cuatro respuestas posibles de las que solo una es correcta. Un alumno contesta aleatoriamente a las veinte preguntas. Se pide: a) Probabilidad de que acierte al menos 5. b) Probabilidad de que acierte a lo sumo 7. c) Probabilidad de que acierte entre 3 y 8, ambas inclusive. d) Media y desviación típica de la variable aleatoria X=número de preguntas acertadas. 22.- El 5% de los artículos fabricados por una empresa son defectuosos. Un cliente mayorista compra en lotes de 20, rechazando todo el lote si de cinco elegidos al azar entre los 20 sale alguno defectuoso. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un lote sea rechazado? b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 8 lotes se rechacen dos? 23.- El gimnasio El primo de sumosol ha comprobado que el 20% de sus alumnos se dan de baja durante el primer mes y el 80% restante permanecen todo el año. Supongamos que este año se inscribieron 13 alumnos. (a) Identifica la variable aleatoria del problema e indica qué distribución sigue. (b) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 o menos se den de baja? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente se den de baja 4 alumnos? (d) ¿Cuál es la probabilidad de que se den de baja más de 3 alumnos? Sol:”número de alumnos que se dan de baja el primer mes”, B(13, 0.2). 24.- El temario de una oposición consta de 100 temas. Un opositor sólo sabe 40. Se sortean 3 temas de los 100. • • •
Calcula la probabilidad de que ignore los tres Probabilidad de que sepa al menos uno de los tres. Probabilidad de que sólo sepa uno de los tres.
25.- La probabilidad de que un estudiante que ingrese en la Universidad se licencie es 0´4. Hallar la probabilidad de que en un grupo de 6 estudiantes elegidos al azar: a.- Ninguno se licencie. b.- Al menos uno se licencie. c.- Todos se licencien. d.- Exactamente se licencien dos.
Variable aleatoria continua. Es aquella que puede tomar infinitos valores dentro de un intervalo de la recta real . Por ejemplo, la duración de las bombillas de una determinada marca y modelo. En el caso de variables aleatorias continuas no tiene sentido plantearse probabilidades de resultados aislados, por ejemplo, probabilidad de que una bombilla dure 100 horas, 22 minutos y 16 segundos. La probabilidad sería 0. El interés de estas probabilidades está en conocer la probabilidad correspondiente a un intervalo . Dicha probabilidad se conoce mediante una curva llamada función de densidad y suponiendo que bajo dicha curva hay un área de una unidad . Conociendo esta curva, basta calcular el área correspondiente para conocer la probabilidad de un intervalo cualquiera.
Función de distribución. Como en el caso de la v.a. discreta, la función de distribución proporciona la probabilidad acumulada hasta un determinado valor de la variable, es decir, F ( x) = p ( X ≤ x) .
Distribución normal. Hay muchas v.a. continuas cuya función de densidad tiene forma de campana. Ejemplos: - La variable peso en una población de personas de la misma edad y sexo. - La variable altura de la población citada. Se dice que estas variables tienen una distribución normal y la función de densidad recibe el nombre de curva normal o campana de Gauss. Para expresar que una v.a. continua X, tiene una distribución normal de media µ y desviación típica σ , escribimos N ( µ , σ ) .
Representación gráfica de la función de densidad de una distribución
Distribución normal estándar. De las infinitas distribuciones N (µ , σ ) , tiene especial interés la de media 0 y desviación típica 1, es decir, N (0,1) . Esta distribución recibe el nombre de estándar o reducida y se designa con la letra Z. Existen unas tablas que permiten calcular probabilidades en distribuciones normales reducidas. Para cualquier otra v.a. X que sigue que sigue una distribución N ( µ , σ ) hay que transformarla en una variable Z (N(0,1)) . El cambio de variable que es necesario hacer se llama
tipificar la variable y es:
Z =
X − µ σ
Cálculo de probabilidades en distribuciones normales reducidas. Sea Z una variable que sigue una distribución normal N(0,1). Vamos algunos ejemplos que nos permiten calcular determinadas probabilidades en las tablas: a) p( Z ≤1,23 ) La probabilidad pedida se encuentra directamente en las tablas. Basta buscar 1,2 en la columna y 0,03 en la fila. Su intersección nos da la probabilidad.
b) p( Z ≥1,24 )
En este caso la probabilidad pedida no está en las tablas. Sin embargo, si tenemos en cuenta que el área total bajo la gráfica ha de ser 1, deducimos de la figura que: p( Z ≥1,24 ) =1 − p( Z ≤1,24 ) =1 − 0,8925 = 0,1075 . c) p( Z ≤ −0,72 ) Como la gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas, p ( Z ≤ −0,72 ) = p ( Z ≥ 0,72 ) y ya estamos en el caso anterior. Comprueba que el resultado final es 0,2358. d) p (0,5 ≤ Z ≤1,76 ) Observando la figura se deduce que
p(0,5 ≤ Z ≤1,76 ) = p( Z ≤1,76 ) − p( Z ≤ 0,5) = 0,9608 − 0,6915 = 0,2693
Ejercicio 1 El peso de los individuos de una población se distribuye normalmente con media de 70 Kg. y desviación típica 6 Kg. De una población de 2000 personas, calcula cuántas tendrán un peso comprendido entre 64 y 76 Kg. Solución: Se trata de una distribución N(70,6) p (64
64 − 70 76 − 70 ≤ X ≤ 76) = p ≤ Z ≤ = p(−1 ≤ Z ≤ 1) = p( Z ≤ 1) − p( Z ≤ −1) 6 6
p( Z ≤1) = 0,8413 (directamente en las tablas) p(Z ≤ −1) = p( Z ≥1) =1 − p(Z ≤1) =1 − 0,8413 .
Por tanto, p(64 ≤ X ≤ 76 ) = 0,8413 − (1 − 0,8413 ) = 0,8413 −1 + 0,8413 = 0,6825 Esto significa que el 68,25 % de las personas pesan entre 64 y 76 Kg.. Como hay 2000 personas, calculamos el 68,25% de 2000 y obtenemos 1365 personas.
Ejercicio 2. La duración media de un lavavajillas es de 15 años y su desviación típica 0,5. Sabiendo que su vida útil se distribuye normalmente, halla la probabilidad de que al adquirir un lavavajillas dure más de 15 años. Solución: Es una distribución normal de media 15 y desviación típica 0,5, es decir, N(15; 0,5). p( X ≥15 ) = p( Z ≥
15 − 15 0,5
) = p( Z ≥ 0) = p( Z ≤ 0) = 0,5
Aproximación de la distribución binomial mediante la normal. (Corrección de Yates) Cuando n es grande y p está próximo a 0,5 el comportamiento de una distribución binomial B(n, p) es aproximadamente igual a una distribución normal, N (np , npq ) Esto permite sustituir el estudio de una B (n, p ) por el de una N ( np , npq ) . Suele considerarse que la aproximación es buena cuando np>5 y nq>5 Dado que por mucho que se parezca nunca es igual una binomial que una normal, es necesario aplicar en el cálculo de probabilidades un ajuste que recibe el nombre de corrección de Yates.
Si X es la binomial y X ’ la normal, la corrección consiste en lo siguiente:
p ( X = r ) = p r −
1 ≤ X ′ ≤ r + 2 2
1
(Se asocia un intervalo unidad centrado en el punto)
p(a ≤ X ≤ b) = p a −
1 ≤ X ′ ≤ b + 2 2
1
(se alarga el intervalo ½ por la izquierda y ½ por la derecha.) Para valores de n mayores de 1.000 se puede suprimir la corrección.
Ejercicio 3. Se lanza una moneda correcta al aire 400 veces. Calcula la probabilidad de obtener un número de caras comprendido entre 180 y 210, ambos inclusive. Solución: Calculamos la media y la desviación típica de la distribución binomial: 1
1 1 . = 10 . Por tanto, 2 2 2 179 ,5 − 200 ≤ Z ≤ 210 ,5 − 200 p (180 ≤ X ≤ 210 ) = p (179 ,5 ≤ X ′ ≤ 210 ,5) = p 10 10 = p(−2,05 ≤ Z ≤1,05 ) = p( Z ≤1,05 ) − p ( Z ≤ −2,05 ) pero p( Z ≤1,05 ) = 0,8531 y p( Z ≤ −2,05 ) = p( Z ≥ 2,05 ) =1 − p( Z ≤ 2,05 ) =1 − 0,9798 = 0,0202 µ
= np = 400 . = 200 ;
σ
=
npq
=
400 .
=
luego p(180 ≤ X ≤ 210 ) = 0,8531 − 0,0202 = 0,8329
Ejercicio 4. Un tirador acierta en el blanco en el 70% de los tiros. Si el tirador participa en una competición y tira 25 veces, ¿cuál es la probabilidad de que acierte más de 10 tiros? Solución: Es una distribución B(25; 0,7) que podemos aproximar a través de la normal: µ = n. p = 25 .0,7 =17 ,5 >5
n.q
= 25 .0,3 = 7,5 >5
La aproximación será buena. σ =
npq
=
25 .0,7.0,3
2, 29
=
10 ,5 −17 ,5 >10 ) = p( X ≥11) = p( X ′ ≥10 ,5) = p Z ≥ = p( Z ≥ −3,06 ) = 2,29 = p(Z ≤ 3,06 ) = 0,9998 p ( X
Ejercicios propuestos. 1.- Un profesor de matemáticas ha observado que las notas obtenidas por sus alumnos en los exámenes de Estadística siguen una distribución N(6; 2,5). Se han presentado al último examen 32 alumnos, ¿cuántos sacaron al menos un 7?. ( Sol. 11 )
2.- Una empresa lleva a cabo una prueba para seleccionar nuevos empleados. Por la experiencia de pruebas anteriores, se sabe que las puntuaciones siguen una distribución normal de media 80 y desviación típica 25. ¿Qué porcentaje de candidatos obtendrá entre 75 y 100 puntos? (Sol. 36,74% )
3- Calcula el valor de k para que la función f ( x) =
1 5
− kx si x ∈[0, 10 ] sea función de densidad.
Obtenido el valor de k, calcula la media y la desviación típica de la distribución. ( Sol. k = 1/50 ;
media = 3,33;
desviación típica = 2,36 )
4.- El peso de los toros de una determinada ganadería se distribuye normalmente con una media de 500 Kg. y 45 Kg. de desviación típica. Si la ganadería tiene 2000 toros, a) Cuántos pesarán más de 540 Kg.? b) Cuántos pesarán menos de 480 Kg.? c) Cuántos pesarán entre 490 y 510 Kg.? ( Sol. 373; 660; 348 )
5.- Una de las pruebas de acceso a la Universidad para mayores de 25 años consiste en un test con 100 preguntas, cada una de las cuales tiene 4 posibles respuestas y sólo una correcta. Para superar esta prueba deben obtenerse, al menos, 30 respuestas correctas. Si una persona contesta al azar, ¿cuál es el número esperado de respuestas correctas?. ¿Qué probabilidad tendrá de superar la prueba? (Sol. 25; Utilizando la aproximación a través de la normal: p= 0,1492)
6.- Después de realizar varios sondeos sobre una población con escasa cultura, se ha conseguido averiguar que únicamente el 15 % de la misma es favorable a los tratamientos de psicoterapia. Elegida al azar una muestra de 50 personas de dicha población, se desea saber: a) La probabilidad de que haya más de 5 personas favorables a dichos tratamientos. b) La probabilidad de que a lo sumo haya 6 personas favorables. (Sol. 0,7852;
0,3446 )
7.- Supónga que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamble es de 0.05. Si el número de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes: a) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 20 unidades dos se encuentren defectuosas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 20 unidades, dos como límite se encuentren defectuosas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa?
8.- Supóngase que un examen contiene 15 preguntas de tipo falso o verdadero. El examen se aprueba contestando correctamente por lo menos nueve preguntas. Si se lanza una moneda para decidir el valor de verdad de cada pregunta, ¿cuál es la probabilidad de aprobar el examen?
Una agencia automotriz recibe un embarque de 20 automóviles nuevos. Entre éstos, dos tienen defectos. La agencia decide seleccionar, aleatoriamente, dos automóviles de entre los 20 y aceptar el embarque si ninguno de los dos vehículos seleccionados tiene defectos. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar el embarque?.
Un saco que contiene 400 monedas es vaciado sobre una mesa. Hallar la probabilidad: a) de que aparezcan más de 210 caras; b) de que el número de caras sea menor que 180; c) de que el número de caras esté comprendido entre 190 y 210, ambos inclusive. Solución: a) p = 0,1587 ; b) p = 0,0228 ; c) p = 0,6826 La probabilidad de que un golfista haga hoyo en un cierto tipo de lanzamiento es 0,2. Si lo intenta 5 veces, calcular la probabilidad de que: i) no acierte ninguna vez; ii) acierte por lo menos dos veces . Supongamos que lanzara 10.000 veces y su capacidad de acierto se mantuviera ( ni aumentara por la práctica ni disminuyera por el cansancio). ¿ Qué probabilidad hay de que acierte más de 2.080 veces ?.
