TEMA 3.2. VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTE. La corriente i, es una característica de un conductor en particular. Es una cantidad macroscópica, al igual que la masa de un objeto, el volumen de un objeto o la longitud de una barra. Una cantidad microscópica relacionada es la densidad de corriente j . Es un vector, y es una característica de un punto dentro de un conductor y no de todo el conductor. Si la corriente se distribuye uniformemente en un conductor de área transversal A, como en la figura siguiente, la magnitud de la densidad de corriente para todos los puntos en esa sección transversal es: j i / A
El vector j en cualquier punto está orientado en la dirección en que se movería un portador de carga positiva en ese punto. Un electrón en ese punto se mueve en dirección – j. En la figura siguiente, j es un vector constante y apunta hacia la izquierda; los electrones se arrastran hacia la derecha.. En general, para una superficie en particular (que no necesita ser plana) que corte de un lado al otro un conductor, i es el flujo del vector j sobre esa superficie, o sea:
i j.dA .
i L
-
-
-
A
E El campo eléctrico causa que los electrones se muevan hacia la derecha. La corriente convencional, es hacia la izquierda. La densidad de corriente j, se traza igualmente como si los portadores de carga fuesen positivos, de modo que i y j están en la misma dirección.
Donde dA es un elemento de área superficial y la integral se lleva a cabo sobre la superficie en cuestión, Se considera que el vector dA, es perpendicular al elemento de superficie, de modo que j.dA, es positiva, dando una corriente i positiva. Podemos calcular la velocidad de arrastre vd, de los portadores de carga en un conductor, a partir de la densidad de corriente j. La figura anterior, muestra los electrones de conducción en un conductor, los cuales se mueven hacia la derecha a una velocidad de arrastre vd, que se supone constante. El número de electrones de conducción en una longitud L, del conductor es electrones de conducción por unidad de volumen y
nAL, AL
en donde
n
es el número de
es el volumen de la longitud L
del conductor. Una carga de magnitud: q = (nAL)e sale de este segmento del alambre, a través de su extremo derecho, en un tiempo t dado por: t
L vd
La corriente i es: i
q t
nALe L / vd
nAevd
Al despejar vd, y recordando que j= i/A, obtenemos: vd
i nAe
j ne
Puesto que vd, como j, son vectores, podemos reescribir la ecuación anterior como una ecuación vectorial. Seguimos nuestra convención adoptada para la densidad de corriente positiva, lo cual significa que debemos considerar que la dirección de j es opuesta a la de vd. El vector equivalente de la ecuación anterior es por lo tanto: j nevd
La figura anterior, muestra realmente que para los electrones, estos vectores tienen realmente sentidos opuestos. Como lo muestran los siguientes problemas, la velocidad de arrastre en los conductores típicos es realmente pequeña, con frecuencia del orden de cm/s. En contraste, el movimiento térmico aleatorio de los electrones de conducción en un metal 6
ocurren con velocidades típicas de 1 x 10 m/s.
PROBLEMAS DE DENSIDAD DE CORRIENTE 1. El extremo de un alambre de aluminio cuyo diámetro es de 2.5 mm está soldado al extremo de un alambre de cobre, cuyo diámetro es de 1.8 mm. Por el alambre compuesto fluye una corriente estable de 1.3 Amperes. ¿Cuál es la densidad de corriente en cada alambre?
j= i/A El área de la sección transversal del alambre de aluminio es: 2
-3
2
-4
2
A Al= ¼ πd = (3.14/4)(2.5 x 10 m) = 4.91 x 10 m . -4
2
5
2
j Al = 1.3 A/4.91 x 10 m .= 2.6 x 10 A/m . 2
-3
2
-6
2
A Cu== ¼ πd = (3.14/4)(1.8 x 10 m) = 2.54 x 10 m . -6
2
5
2
j Cu = 1.3 A/2.54 x 10 m .= 5.1 x 10 A/m .
2. ¿Cuál es la velocidad de arrastre de los electrones de conducción en el alambre de cobre del problema 1? j
v d
ne
En el cobre existen aproximadamente un electrón de conducción por átomo en promedio. El número n de electrones por unidad de volumen es, por lo tanto, el mismo que el número de átomos por unidad de volumen y está dado por:
n nA
Donde
m
ó
M m
átomos / m 3
masa / m 3
átomos / mol
masa / mol
es la densidad del cobre, nA es el número de Avogadro, y M es la
masa molar del cobre entonces:
n
m NA
3
3
23
(8.96 x10 kg / m )(6.022 x10 electrones / mol )
M
Tenemos entonces que:
3
(63.5 x10 kg / mol )
28
8.49 x10 electrones / mol
5
vd
2
(5.1 x10 A / m ) 28
(8.49 x10 electrones / mol)(1.6 x10
19
C )
3.8 10 5 m / s.
3. Por una tira de silicio de ancho 3.2 mm, y espesor de 250 μm, fluye una corriente de 190 mA. En este caso n= 8 x 10
21
-3
m . ¿Cuál es la densidad de la
corriente en la tira? ¿Cuál es la velocidad de arrastre? j
i A
vd
j ne
i axe
3
190 10 A 3
(3.2 10 m)(250 x10 m) 2.4 10 A / m 5
6
3
2
8 10 m )(1.6 x10 21
2.4 105 A / m 2 .
19
C )
190m / s.
