UNIVERSID AD AUTONOMA DE SINALO UNIVERSIDAD SINALOA A ESCUELA DE INGENIERIA MAZATLAN Asesor: Equipo 7 Tema: Unidad VII Vira!iones Me!"ni!as
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In#e$ran#es: Gerardo Ro%as Romero Ae& O&i'as Ara&&o Mar!o (ra'o O'a&&e Car&os A$ui&ar Ismae& Na'arro Mar#)ne* +,re* -os, Car&os Danie& Coronado Ram)re*
VI(RACIONES MEC.NICAS
%onceptos previos Mo'imien#o peri/di!o01 Es el tipo de evolución temporal que presenta un sistema cuyo estado se repite exactamente a intervalos de tiempo regulares, el tiempo mínimo T necesario para que el estado del sistema se repita se llama periodo. Mo'imien#o os!i&a#orio01 Es el movimiento periódico de un lado a otro en torno a una posición central, o posición de equilibrio estable. Vira!i/n01 Es el movimiento periódico de un cuerpo o de un sistema de cuerpo conectados desplazados desde una posición de equilibrio; es un movimiento oscilatorio pero con desplazamientos relativamente pequeños con respecto a su posición de equilibrio. !sicamente existen dos tipos de vibraciones" vibraciones libres y vibraciones #orzadas. Mo'imien#o arm/ni!o simp&e .$ Es un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio en ausencia de #ricción, producido por la acción de una #uerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición pero en sentido opuesto.
&ibraciones libres sin amortiguamiento Es el movimiento vibratorio m!s simple, representado en la siguiente 'gura, muestra que el bloque tiene masa m y est! unido a un resorte con rigidez (. El movimiento vibratorio ocurre cuando el bloque es liberado desde una posición desplazada x de manera que el resorte tire de )l. El bloque alcanzara una velocidad tal que no estar! en equilibrio cuando x *+, y si la super'cie de soporte es lisa, la oscilación continuara in de'nidamente.
a trayectoria de movimiento dependiente del tiempo del bloque puede ser determinada aplicando la ecuación de movimiento al bloque cuando est) en la posición desplazada. a #uerza el!stica restauradora -*(x est! dirigida siempre acia la posición de equilibrio, mientras que la aceleración a se supone actuando en la dirección del desplazamiento positivo. a aceleración es proporcional al desplazamiento del bloque. El movimiento se denomina movimiento armónico simple. /eordenando los t)rminos de una 0#orma est!ndar1 obtenemos 2 3 4n5x * +
a constante 4n es llamada #recuencia circular o #recuencia natural, expresada en rad6s, y en ese caso
a primera ecuación puede obtenerse considerando que el bloque est! suspendido y midiendo el desplazamiento desde la posición de equilibrio del bloque. %uando el bloque esta en equilibrio, el resorte e7erce una #uerza acia arriba de -*4*mg sobre el bloque. 8or consiguiente, cuando el bloque es desplazado una distancia y acia aba7o desde esta posición, la magnitud de la #uerza en el resorte es -*43(y. 9e puede mostrar, usando los m)todos de las ecuaciones di#erenciales, que la solución general es
:onde y representan dos constantes de integración. a velocidad y la aceleración del bloque son determinadas tomando derivadas sucesivas con respecto al tiempo. Estas constantes de integración y , generalmente son determinadas a partir de las condiciones iniciales del problema. Esta ecuación tambi)n puede ser expresada en t)rminos de un movimiento senoidal simple. 9ea
:onde y son nuevas constantes por determinar en vez de y . sustituyendo en una ecuación anterior resulta. 9i esta ecuación es gra'cada sobre un e7e x contra un e7e , se obtiene la gra'ca mostrada. El desplazamiento m!ximo del bloque desde su posición de equilibrio es de'nido como la amplitud de la vibración.
partir de la 'gura o de la ecuación la amplitud es . El ngulo se llama !ngulo de #ase ya que representa la cantidad que la curva es desplazada desde el origen cuando t* +. as constantes y est!n relacionadas con y mediante otras ecuaciones. Elevando al cuadrado y sumando estas 5 ecuaciones la amplitud se convierte en
, este intervalo de tiempo se llama periodo, puede
ser representado tambi)n como
a #recuencia # es de'nida como el n=mero de ciclos completados por unidad de tiempo, y es el reciproco del periodo"
o bien a #recuencia es expresada en ciclos6s. esta razón de unidades se llama ertz >?z@, donde %uando un cuerpo o un sistema de cuerpos conectados, experimenta un desplazamiento inicial desde su posición de equilibrio y es liberado, vibrara con la #recuencia natural . 9i el cuerpo tiene un solo grado de libertad, esto es, si =nicamente requiere de una coordenada para especi'car completamente la posición del sistema en cualquier momento, entonces el movimiento vibratorio del cuerpo tendr! las mismas características que el movimiento armónico simple del bloque y el resorte que acabamos de presentas. En consecuencia, el movimiento del cuerpo es descrito por una ecuación di#erencial de la misma 0#orma est!ndar1 , esto es"
9istema masa$resorte %onsiste en una masa 0m1 unida a un resorte, que a su vez se alla '7o a una pared, como se muestra en la 'gura. 9e supone movimiento sin rozamiento sobre la super'cie orizontal.
9istema masa$resorte
E7emplo para demostración
Vibraciones forzadas sin amortiguamiento
a vibración #orzada proviene de una #uerza externa periódica o intermitente aplicada al sistema, esta al no ser amortiguada, puede continuar inde'nidamente ya que los e#ectos de #ricción son despreciados en el an!lisis. a vibración #orzada sin amortiguamiento es de los tipos mas importante de movimiento vibratorio en los traba7os de ingeniería. os principios que describen la naturaleza de este movimiento pueden ser usados para analizar las #uerzas que causan las vibraciones en mucos tipos de maquinas y estructuras.
El bloque y el resorte mostrados en la 'gura proporcionan un modelo conveniente que representa las características vibratorias de un sistema sometido a una #uerza periódica
Esta #uerza tiene una amplitud de y #recuencia #orzada plicando la ecuación de movimiento resulta o bien
Esta ecuación es una ecuación di#erencial de segundo orden no omog)nea. 9u solución general consta de una solución particular , m!s una solución complementaria en donde" 8or lo tanto"
A describe 5 tipos de movimiento vibratorio del bloque. a solución complementaria de'ne la vibración libre, que depende de la #recuencia circular y de las constantes y , la solución particular describe la vibración #orzada del bloque causada por la #uerza aplicada.
&ibraciones libres con amortiguamiento
En mucos casos, el amortiguamiento es atribuido a la resistencia creada por la sustancia, digamos agua, aceite o aire, en que vibra el sistema. 9i el cuerpo se mueve lentamente a trav)s de la sustancia, la resistencia al movimiento es directamente proporcional a la rapidez del cuerpo. El tipo de #uerza desarrollada ba7o esas condiciones se llama #uerza de amortiguamiento viscoso. 9u magnitud es" :onde c se llama coe'ciente de amortiguamiento viscoso.
Este movimiento vibratorio puede ser caracterizado por la siguiente 'gura"
El e#ecto de amortiguamiento es proporcionado por el amortiguador conectado al bloque
El e#ecto de amortiguamiento es proporcionado por el amortiguador conectado al bloque en su lado dereco. El cilindro 8 contiene un Buido, y el movimiento del pistón se retarda ya que el Buido debe Buir alrededor del pistón. 9e supone que el amortiguador tiene un coe'ciente c de amortiguamiento viscoso.
Tanto la #uerza del resorte (x como la #uerza de amortiguamiento se oponen al movimiento acia adelante del bloque, por lo que al aplicar la ecuación del movimiento resulta y tiene su solución de la #orma" en donde lambda es una constante. 9ustituyendo para conocer el valor de lambda se obtiene mediante la #ormula cuadr!tica los valores de lambda son"
a solución general de la ecuación es una combinación lineal de #unciones exponenciales que contienen estas dos raíces. Existen tres combinaciones posibles de las raíces. Cue dan como resultado los sistemas" soreamor#i$uamien#o2 amor#i$uado !r)#i!amen#e 3 suamor#i$uado. ntes que nada debemos conocer el coe'ciente de amortiguamiento critico mediante" Sis#ema soreamor#i$uado
%uando cDcc ambas raíces lambda son reales y su solución general es" el movimiento correspondiente a esta solución no es vibratorio. El e#ecto del amortiguamiento es tan #uerte que cuando el bloque es desplazado y liberado, simplemente regresa a su posición original sin oscilar.
Sis#ema amor#i$uado !r)#i!amen#e 9i c*cc entonces las raíces de lambda son iguales, representa una condición donde c tiene el mínimo valor necesario para que el sistema no vibre. 9u solución es"
Sis#ema suamor#i$uado %uando ccc en estas circunstancias las raíces de lambda son n=meros comple7os, y su solución es" :onde : y el !ngulo de des#ase son constantes generalmente determinadas a partir de las condiciones iniciales del problema. a constante 9e llama #recuencia natural amortiguada del sistema y tiene el valor"
:onde la razón c6c c se llama #actor de amortiguamiento. en la 'gura el limite inicial de movimiento, :, disminuye con cada ciclo de vibración, ya que el movimiento est! con'nado dentro de los limites de la curva exponencial. Fsando la #recuencia natural amortiguada, el periodo de vibración amortiguada puede escribirse como
&ibraciones #orzadas con amortiguamiento El an!lisis de este tipo particular de vibración es de valor practico cuando se aplica a sistemas con características importantes de amortiguamiento.
9i un amortiguador es unido al bloque y al resorte mostrados en 'gura, la ecuación di#erencial que describe el movimiento se convierte en" "
%omo la ecuación es no omog)nea, la solución particular general es la suma de la solución complementaria una solución particular
