2.6 VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUACIÓN AMORTIGUACIÓN VISCOSA 2.6.1 Ecuación de movimiento Como se se indicó indicó en la sección sección 1.9, la la fuerza de amortiguación viscosa F es proporcional a la velocidad x´ o v y puede ser expresada como F =− =−c x ´
!onde
c es la constante de amortiguación o coeficiente de amortiguación viscosa y el
signo negativo indica "ue la fuerza de amortiguación es opuesta a la dirección de velocidad. #istema de un solo grado de li$ertad con un amortiguador viscoso se muestra en la figura x m 2.21. #i es medido desde la posición de e"uili$rio de la masa , la aplicación de la ley de %e&ton da la ecuación de movimiento: m x´ =−c ´ x −kx ' m x´ + c ´ x + kx =0 ( 2.59 ) 2.6.2 #olución (ara resolver la ecuación )2.*9+, asumimos una solución en la forma st x ( t )=C e ( 2.60 )
!onde
C
s son constantes indeterminadas. nsertando esta función en la ecuación
y
)2.*9+ conduce a la ecuación caracter-stica 2 m s + cs + k =0 ( 2.61 ) Cuyas ra-ces son −c ± √ c −4 mk −c s 1,2= = ± 2
2m
2m
√( )
2
c k − ( 2.62 ) 2m m
Estas ra-ces dan dos soluciones a la ecuación )2.*9+ s t s t x 1 ( t )=C 1 e y x 2 ( t ) =C 2 e ( 2.63 ) 1
2
Figura 2.21 #istema de un solo grado de li$ertad con amortiguador viscoso. s-, la solución general de la ecuación )2.*9+ est/ dada por una com$inación de las dos x 1 ( t ) x 2 ( t ) soluciones and −c
s1 t
s2t
x ( t )=C 1 e + C 2 e =C 1 e
!onde
C 1
y
C 2
2m
+
√( ) c 2m
2
−
k t m
+ C 2 e
−c
2m
−
√( ) c 2m
2
−
k t m
( 2.64 )
son son const constant antes es ar$i ar$itr trar aria iass "ue "ue se deter determi mina nan n a parti partirr de las las
condiciones iniciales del sistema. Constante amortiguamiento cr-tico y la relación de amortiguamiento. 0a amortiguación cc c cr-tica se define como el valor de la constante de amortiguamiento por lo cual el radical en la ecuación )2.62+ se vuelve cero 2 cc k − =0 m 2m
( )
'
c c =2 m
√
k =2 √ km=2 m ωn ( 2.65 ) m
(ara cual"uier sistema amortiguado, la relación de amortiguamiento
ζ
se define como la
relación de la constante de amortiguamiento a la constante de amortiguamiento cr-tico ζ =c / c c ( 2.66 ) sando las ecuaciones )2.66+ y )2.6*+, podemos escri$ir c c c c = ∙ = ζ ω n (2.67 ) 2 m cc 2 m por consiguiente
s 1,2=( −ζ ± √ ζ −1 ) ωn ( 2.68 ) 2
s- la solución, ecuación )2.63+, se puede escri$ir como
x ( t )=C 1 e
(−ζ +√ ζ −1) ωn t 2
(−ζ −√ ζ −1) ωn t
( 2.69 )
s1
s2
2
+ C 2 e
0a naturaleza de las ra-ces
y
y por consiguiente el comportamiento de la
solución, ecuación )2.69+, depende so$re la magnitud de amortiguamiento. #e puede o$servar "ue el caso ζ =0 conduce a las vi$raciones no amortiguadas analizadas en la sección 2.2. (or consiguiente asumimos "ue
ζ≠0
y considerando los tres casos
siguientes. Caso 1. #istema de $a4o amortiguado
( ζ −1 ) 2
s1
es negativo y las ra-ces
ζ < 1 o c < c c o c / 2 m< √ k / m . (ara esta condición, y
s2
se puede expresar como
s 1=( −ζ + i √ 1−ζ ) ω n 2
s 2=( −ζ −i √ 1− ζ ) ωn 2
la solución, ecuación )2.69+, puede ser escrita en formas diferentes
x ( t )=C 1 e −ζ ω nt
¿e
(−ζ +i √ 1−ζ ) ωn t 2
{C e √
2
i 1 −ζ ωn t
1
−i √ 1− ζ
2
+C 2e
(−ζ −i √ 1−ζ ) ωn t 2
+ C 2 e ωn t
( C + C )cos √ 1−ζ ωn t + i( C −C ) sin √ 1−ζ ωn t 2
−ζ ω nt
¿e
− ζ ω nt
¿e
1
1
2
C 1 cos √ 1− ζ ωn t + C 2 sin √ 1 − ζ ω n t '
'
2
−ζ ω nt sin
¿ X e
¿ X 0 e
2
( √ 1−ζ ω t +ϕ )
− ζ ω nt cos
!onde
2
2
2
n
(√ 1−ζ ω t −ϕ ) 2
n
(C , C ) '
'
1
2
,
0
( 2.70 )
( X , ϕ ) , y ( X 0 , ϕ 0 ) son constantes ar$itrarias "ue se determinan a
partir las condiciones iniciales. (ara las condiciones iniciales encontrar
x ( t =0 )= x 0
y
x´ ( t =0 )=´ x 0
'
'
,
C 1
y
C 2 se puede
'
'
C 1 = x0 y C 2=
x´ 0 + ζ ωn x 0
√ 1−ζ 2 ω n
( 2.71 )
por consiguiente la solución se vuelve ´ 0 + ζ ωn x0 − ζ ω { x cos √ 1− ζ ω t } x 2 sin √ 1−ζ ω n t + ϕ ( 2.72 ) + x ( t )=e 2 √ 1 −ζ ωn
(
2
n
n
0
)
Figura 2.22 #olución su$amortiguada.
( X , ϕ ) y ( X 0 , ϕ 0 ) se puede expresar como
0as constantes
X = X 0= −1
ϕ = tan
√ ( C ) + ( C ) ( 2.73 ) ( C / C ) ( 2.74 )
−1
ϕ 0= tan
' 2
' 2
1
2
'
'
1
2
(−C / C ) ( 2.75 ) '
'
2
1
El movimiento descrito por la ecuación )2.52+ es un movimiento armónico amortiguado de 2 −ζ ω −ζ ω n 1 √ frecuencia angular , pero por"ue del factor e , la amplitud disminuye n
exponencialmente con tiempo, como se muestra en la figura 2.22. 0a cantidad 2 ω d= √ 1− ζ ωn ( 2.76 ) Es llamada la frecuencia de vi$ración amortiguada. #e puede o$servar "ue la frecuencia de ωd vi$ración amortiguada es siempre menos "ue la frecuencia natural no amortiguada
ωn
. 0a reducción en la frecuencia de vi$ración amortiguada con la creciente cantidad de
amortiguamiento, dado por la ecuación )2.56+, se muestra gr/ficamente en la figura 2.2. El caso su$amortiguado es muy importante en el estudio de vi$raciones mec/nicas, como es el 7nico caso "ue conduce a un movimiento oscilatorio 82.1:.
( ζ =1 o c =c c o c / 2 m=√ k / m )
Caso 2. #istema cr-ticamente amortiguado
s1
las dos ra-ces
s 1= s2=
y
s2
. En este caso
en la ecuación )2.6;+ son iguales
−c c =−ω n (2.77 ) 2m
ωd
Figura 2.2
con amortiguamiento.
(or"ue de las ra-ces repetidas, la solución de la ecuación )2.*9+ es dada por 82.6: − ω t x ( t )=( C 1+ C 2 t ) e ( 2.78 ) n
0a aplicación de las condiciones iniciales
x ( t =0 )= x 0
y
x´ ( t =0 )=´ x 0
para este caso
da C 1 = x0
C 2 =´ x0 + ωn x0 ( 2.79 ) la solución se vuelve − ω t ( 2.80 ) x ( t )= x 0 + ( x´ 0 + ω n x 0 ) t e
[
]
n
#e puede o$servar "ue el movimiento representado por la ecuación )2.;+ es aperiódico )es −ω t → 0 a medida "ue t → ∞ , el movimiento finalmente decir, no periódico+. Como e n
se disminuye a cero, como se indica en la figura 2.23. Caso . #istema so$reamortiguado
( ζ > 1 o c > c c o c / 2 m> √ k / m )
la ecuación )2.6;+ muestra "ue las ra-ces
s 1=( −ζ + √ ζ −1 ) ω n< 0 2
s1
y
s2
. Cuando √ ζ −1 > 0 , 2
son reales y distintas y est/n por
s 2=( −ζ −√ ζ −1 ) ωn < 0 2
Figura 2.23 Comparación del movimiento con diferentes tipos de amortiguamiento.
s2 ≪ s1
Con
x ( t )=C 1 e
. En este caso, la solución, ecuación )2.69+, se puede expresar como
(−ζ +√ ζ −1) ωn t
(−ζ −√ ζ −1) ωn t
2
2
+ C 2 e
(ara las condiciones iniciales
C 2
( 2.81 )
x ( t =0 )= x 0
y
x´ ( t =0 )=´ x 0
, las constantes
C 1
y
se puede o$tener
x 0 ωn ( ζ + √ ζ −1 ) + x´ 0 C 1 = 2 2 ω n √ ζ −1 2
C 2 =
− x 0 ω n
( ζ −√ ζ −1 ) −´ x 2
2 ωn √ ζ −1 2
0
( 2.82 )
0a ecuación )2.;1+ muestra "ue el movimiento es periódico independientemente de las s1 s2 condiciones iniciales impuestas en el sistema. Como las ra-ces y son am$os negativos, el movimiento disminuye exponencialmente con tiempo, como se muestra en la figura 2.23. '$servar los siguientes aspectos de estos sistemas 1. 0a naturaleza de las ra-ces
c
o
ζ
s1
y
s2
con valores varia$les de amortiguamiento
se muestran en un plano comple4o. En la figura 2.2*, los e4es
=orizontales y verticales son elegidos como el real y e4e imaginario. El semic-rculo
representa el sitio de las ra-ces rango
0 < ζ < 1
par/metro
s1
y
s2
ζ en el
por diferentes valores de
. Esta figura nos permite ver instant/neamente el efecto del
ζ en el comportamiento del sistema. Encontramos "ue para
o$tenemos las ra-ces imaginarias
s 1=i ωn
s 2=−iω n
y
ζ =0 ,
, "ue conduce a la
solución dada en la ecuación )2.1*+. (ara 0 < ζ < 1 , las ra-ces
s1
y
s2
son
con4ugaciones comple4as y son localizadas sim>tricamente cerca del e4e real. Como −i ωn el valor de ζ se aproxima a 1, am$as ra-ces se aproximan al punto en el e4e real. #i
ζ > 1
, am$as ra-ces yacen so$re el e4e real, uno incrementa y el otro
disminuye. En el l-mite cuando
ζ =1
ζ→∞
s1 → 0
,
y
s 2 → −∞
. El valor
se puede o$servar para representar una etapa de transición, por de$a4o del
cual am$as ra-ces son comple4as y por arri$a del cual am$as ra-ces son reales.
Figura 2.2* $icación de
s1
y
s2
.
2. n sistema cr-ticamente amortiguado tendr/ el amortiguamiento m-nimo re"uerido para movimiento aperiódico? por consiguiente la masa regresa a la posición de reposo en el m-nimo tiempo posi$le sin excederse. 0a propiedad de amortiguamiento cr-tico en muc=as aplicaciones pr/cticas. (or e4emplo, las armas grandes tienen amortiguadores con valor de amortiguamiento cr-tico, de modo "ue regresen a su posición original despu>s de retroceder en el m-nimo tiempo sin vi$ración. #i el amortiguamiento fuera siempre mayor "ue el valor cr-tico, alg7n retraso ser-a causado antes del siguiente disparo.
. 0a respuesta de un sistema li$re amortiguado de un solo grado de li$ertad se puede representar en el plano de fase o espacio de estado como se indica en la figura 2.26. 2.6. !ecremento logar-tmico El decremento logar-tmico representa la velocidad a la cual disminuye la amplitud de vi$ración li$re amortiguada. #e define como el logaritmo natural de la relación de t t cual"uiera de las dos amplitudes sucesivas. #ean 1 y 2 los tiempos correspondientes a dos amplitudes consecutivas )desplazamientos+, medidos un ciclo aparte para un sistema su$amortiguado, como en la figura 2.22. sando la ecuación )2.5+, podemos formar la relación − ζω t cos ( ωd t 1− ϕ0 ) x 1 X 0 e n 1
x 2
=
− ζω n t 2
X 0 e
cos ( ωd t 2− ϕ0 )
( 2.83 )
Figura 2.26 (lano de fase de un sistema amortiguado. (ero
t 2 =t 1 + τ d
puede escri$ir como −ζ ω t x 1 e ζω = ζ ω t τ = e x 2 e− ( + ) n 1
1
d
n
τ d
x1 x2
, y la ecuación )2.;+ se
( 2.84 )
El decremento logar-tmico
δ =ln
es el periodo de vi$ración amortiguada. (or
cos ( ω d t 2−ϕ 0 ) =cos ( 2 π + ωd t 1− ϕ0 ) =cos ( ωd t 1−ϕ 0 )
consiguiente
n
τ d =2 π / ωd
donde
=ζ ω n τ d =ζ ω n
δ se puede o$tener de la ecuación )2.;3+ 2 π
=
2 π ζ
√ 1 −ζ ωn √ 1−ζ 2
2
=
2 π
ωd
∙
c (2.85 ) 2m
(ara amortiguamiento pe"ue@o, la ecuación )2.;*+ se puede aproximar
δ ≃ 2 π ζ siζ ≪ 1 ( 2.86 ) En la figura 2.25 se muestra la variación del decremento logar-tmico δ con
ζ como ζ =0.3
dada por la ecuación )2.;*+ y )2.;6+. #e puede notar "ue para valores de =asta
,
las dos curvas son dif-ciles de distinguir. El decremento logar-tmico es adimensional y en realidad es otra forma de la relación de amortiguamiento ζ adimensional. na vez conocida δ , ζ se puede encontrar por la solución de la ecuación )2.;*+ δ ( 2.87 ) ζ = 2 2 √ ( 2 π ) + δ
Figura 2.25
x 2
. Aomando el logaritmo natural de la relación de
x 1
y
x 2
, o$tenemos
δ .
sando la ecuación )2.;5+, podemos calcular la relación de amortiguamiento. !e =ec=o, la ζ relación de amortiguamiento tam$i>n se puede encontrar midiendo dos desplazamientos separados por cual"uier n7mero de ciclos completos. #i
x 1
y
x m+1
indican las amplitudes correspondientes a los tiempos
t 1
y
t m+1=t 1 + m τ d
donde
m
es un n7mero entero, o$tenemos x 1 x 1 x2 x 3 xm =
x m +1 x 2 x 3 x 4
⋯
x m +1
( 2.89 )
Como cual"uiera de los dos desplazamientos sucesivos separados por un ciclo satisfacen la ecuación x j ζ ω τ ( 2.90 ) =e x j+1 n d
0a ecuación )2.;9+ se vuelve x 1 ζ ω τ m ) =e mζ ω τ ( 2.91 ) =( e x m +1 n d
n d
0as ecuaciones )2.91+ y )2.;*+ dan x1 1 ( 2.92 ) δ = ln m x m+1
( )
#e puede sustituir en la ecuación )2.;5+ o la ecuación )2.;;+ para o$tener la relación de amortiguamiento viscoso ζ . 2.6.3 Energ-a disipada en amortiguamiento viscoso En un sistema viscosamente amortiguado, la velocidad de cam$io de energ-a con tiempo ( dW / dt ) es dado por
( )(
dW dx 2 = !e"#$% ve&ocid$d = Fv =−c v =−c dt dt
2
2.93 )
sando la ecuación )2.*;+. El signo negativo en la ecuación )2.9+ denota "ue la energ-a se x ( t )= X sin ω d t disipada con tiempo. #uponga un movimiento armónico simple como , donde X es la amplitud de movimiento y la energ-a disipada en un ciclo completo est/ dado por (2 π / ω d )
W =
∫ t =0
( )
2
2 π
dx 2 2 2 c dt =∫ c X ω d cos ω d t ∙ d ( ωd t )= πc ωd X ( 2.94 ) dt 0
Esto demuestra "ue la energ-a disipada es proporcional al cuadrado de la amplitud de movimiento. '$serve "ue no es una constante para valores dados de amortiguamiento y ωd amplitud, ya "ue W es tam$i>n una función de la frecuencia . k
0a ecuación )2.93+ es v/lido aun cuando =aya un resorte de rigidez
paralelo al
amortiguador viscoso. (ara ver esto, considere el sistema mostrado en la figura 2.2;. 0a fuerza total "ue resiste el movimiento se puede expresar como F =−kx −cv =−kx −c ´ x ( 2.95 ) #i suponemos un movimiento armónico simple x ( t )= X sin ω d t ( 2.96 ) Como antes, la ecuación )2.9*+ se vuelve F =−kX sin ωd t − c ω d X cos ω d t ( 2.97 )
Figura 2.2; Besistencia y amortiguador en paralelo. 0a energ-a disipada en un ciclo completo ser/ 2 π / ω d
W = ∫ Fv dt = t = 0
2 π /ω d
∫ 0
2 π / ω d
k X ωd sin ω d t ∙ cos ω d t ∙ d ( ωd t ) + 2
∫
c ω d X cos ωd t ∙d ( ω d t ) = πc ω d X ( 2.98 ) 2
2
2
0
(uede ser visto para ser id>ntico con la ecuación )2.93+. Este resultado es de esperarse, ya "ue la fuerza no realizar/ ning7n tra$a4o neto so$re un ciclo completo o en cual"uier n7mero integral de ciclos. (odemos tam$i>n calcular la fracción de la energ-a total del sistema vi$ratorio "ue se disipa en cada ciclo de movimiento ( W / W ) , como sigue. 0a energ-a total del sistema W se puede expresar tampoco como la energ-a potencial m/xima
(
1 2
2
k X
)
o como la
energ-a cin>tica m/xima
(
1 1 2 2 2 m v m$x = m X ω d 2 2
)
, los dos comienzan aproximadamente
iguales con valores pe"ue@os de amortiguamiento. s- 2 π ωd X W c 2 π = =2 =2 δ 4 πζ = const$nte ( 2.99 ) 1 W ωd 2 m 2 2 m ω d X
( )( )
≃
2
sando las ecuaciones )2.;*+ y )2.;;+. 0a cantidad
W / W se llama la capacidad de
amortiguamiento espec-fica y es 7til para comparar la capacidad de amortiguamiento de materiales de ingenier-a. Aam$i>n se utiliza otra cantidad conocida como coeficiente de p>rdida para comparar la capacidad de amortiguamiento de materiales de ingenier-a. El coeficiente de p>rdida se define como la relación de la energ-a disipada por radi/n y la energ-a total de deformación ( W / 2 π ) W ( 2.100 ) coeiciente de ()"did$= = W 2 πW 2.6.* #istemas torsionales con amortiguamiento viscoso 0os m>todos presentados en las secciones 2.6.1 a 2.6.3 para vi$raciones lineales con amortiguamiento viscoso se puede extender directamente a vi$raciones torsionales )angulares+ viscosamente amortiguadas. (ara esto, considere un sistema torsional de un solo grado de li$ertad con un amortiguador viscoso, como se muestra en la figura 2.29)a+. El par de torsión de amortiguamiento viscoso est/ dado por )figura 2.29$+ * =−c t +´ ( 2.101 )
!onde
c t
es la constante de amortiguamiento torsional viscoso,
+´ = d+ / dt es la
velocidad angular del disco, y el signo negativo denota "ue el par de torsión de amortiguamiento es opuesto a la dirección de la velocidad angular. 0a ecuación del movimiento se puede derivar como 0 +´ + c t +´ + k t + =0 ( 2.102 )
!onde
0=¿
momento de inercia de masa del disco,
k t =¿
constante de resorte del
sistema )par de torsión de restauración por unidad de desplazamiento angular+, y
+=¿
desplazamiento angular del disco. 0a solución de la ecuación )2.12+ se puede encontrar exactamente como en el caso de vi$raciones lineales. (or e4emplo, en el caso su$amortiguado, la frecuencia de vi$ración amortiguada est/ dado por 2 ω d= √ 1− ζ ωn ( 2.103 )
Figura 2.29 mortiguador viscoso torsional. !onde
ω n=
√
k t (2.104 ) 0
ζ =
ct ctc
!onde
=
c t 2 0 ωn
c tc
=
c t 2 √ k t 0
( 2.105 )
es la constante de amortiguamiento torsional cr-tica.
E4emplo 2.1 Bespuesta del yun"ue de un martillo de for4a El yun"ue de un martillo de for4a pesa *, % y es montado so$re una $ase "ue tiene una 6 5 10 % - / m rigidez de y una constante de amortiguamiento viscoso de 10,000 - − s / m
. !urante una operación de for4a particular, el mazo pesa 1, % )es
decir, el peso "ue cae o el martillo+, se =ace caer desde una altura de 2m so$re el yun"ue )figura 2.a+. #i el yun"ue est/ en reposo antes del impacto del mazo, determine la respuesta del yun"ue despu>s del impacto. #uponga "ue el coeficiente de restitución entre el yun"ue y el mazo es .3. #olución (rimero usamos el principio de conservación de momento y la definición del coeficiente de restitución para encontrar la velocidad inicial del yun"ue. 0as velocidades v t 1 v t 2 del mazo 4usto antes y despu>s del impacto con el yun"ue sean y , respectivamente. #imilarmente, sean
v$1
y
v$2
las velocidades del yun"ue 4usto antes
y despu>s del impacto, respectivamente )figura 2.$+. '$servar "ue el desplazamiento del yun"ue es medido desde la posición del e"uili$rio est/tico y todas las velocidades se
suponen "ue son positivas cuando act7an =acia a$a4o. El principio de conservación de momento da . ( v $ 2− v $ 1) =m ( v t 1 −v t 2 ) ( / 0 1 )
Figura 2. artillo de for4a.
v $ 1= 0
!onde
)el yun"ue est/ en reposo antes del impacto+ y
v t 1
se puede determinar
igualando su energ-a cin>tica 4usto antes del impacto a su energ-a potencial antes de la ca-da 1 =2 m desde una altura de 1 2 m v t 1=m21 ( / 0 2 ) 2
' v t 1 =√ 2 21= √ 2 % 9.81 % 2 =6.26099 m / s s- la ecuación )E. 1+ se vuelve 5000 1000 v $ 2 − 0 )= ( ( 6.26099 − v t 2 ) 9.81 9.81
Es decir 510.204082 v $ 2= 638.87653 −102.040813 vt 2 ( / 0 3 )
0a definición del coeficiente de restitución
(
" =−
v $ 2− v t 2 v $ 1− v t 1
Es decir
)(
/ 0 4 )
( " ) produce
(
0.4 =−
v $ 2− v t 2 0− 6.26099
)
Esto es v $ 2= v t 2 + 2.504396 ( / 0 5 ) 0a solución de las ecuaciones )E. + y )E. *+ dan v $ 2= 1.460898 m / s 3v t 2 =−1.043498 m / s s- las condiciones iniciales del yun"ue son dadas por x 0=0 3 x´ 0=1.043498 m / s El coeficiente de amortiguamiento es igual a c 1000 = =0.0989949 ζ = 2 √ k. 5000 6 2 ( 5 % 10 )
√
( ) 9.81
0as frecuencias naturales no amortiguadas y amortiguadas del yun"ue son dadas por
√
√ ( ) 6
5 % 10 k = =98.994949 "$d / s ω n= . 5000 9.81
ω d= ωn √ 1 −ζ = 98.994949 √ 1−0.0989949 =98.024799 "$d / s 2
2
0a respuesta de desplazamiento del yun"ue est/ dada por la ecuación )2.52+ x´ 0 + ζ ω n x 0 −ζ ω t − 9.799995 t cos ω$ t + sin ω $ t =e x ( t )=e { cos 98.024799 t + 0.01490335 sin 98.024799t } m ωd n
{
}
E4emplo 2.11 mortiguador para una motocicleta n amortiguador su$amortiguado se va a dise@ar para una motocicleta de masa 2Dg )figura 2.1a+. Cuando el amortiguador es sometido a una velocidad vertical inicial de$ido a un $ac=e en el camino, la cura desplazamientotiempo resultante de$e ser como se indica en la figura 2.1)$+. Encuentre las constantes de rigidez y amortiguamiento necesarias del x 1 amortiguador si el periodo de vi$ración amortiguada es de 2s y la amplitud se =a
reducido a un cuarto en un medio ciclo )es decir,
x 1.5= x 1 / 4
+. Aam$i>n encuentre la
velocidad inicial m-nima "ue conduce a un desplazamiento m/ximo de 2* mm. (lanteamiento, utilizamos la ecuación para el decremento logar-tmico en t>rminos de la relación de amortiguamiento, la ecuación para el periodo de vi$ración amortiguada, el tiempo correspondiente al desplazamiento m/ximo para un sistema su$amortiguado, y el envolvente "ue pasa por los puntos m/ximos de un sistema su$amortiguado. #olución Como
x 1.5= x 1 / 4
,
x 2= x 1.5 / 4 = x 1 /16
. (or consiguiente el decremento
logar-tmico se vuelve x 1 2 πζ ( / 0 1 ) δ =ln = ln (16 )=2.7726 = 2 x 2 √ 1− ζ
( )
partir de los cuales el valor de
ζ se puede encontrar como
ζ =0.4037 . El periodo
de vi$ración amortiguada es de 2s. (or consiguiente 2 π 2 π 2= τ d = = ωd ω √ 1 −ζ 2 n
ω n=
2 π 2 √ 1− ( 0.4037 )
2
=3.4338 "$d / s
Figura 2.1 mortiguador de una motocicleta. 0a constante de amortiguamiento cr-tico se puede o$tener c c =2 mω n=2 ( 200 ) ( 3.4338 )=1373.54 - −s / m s- la constante de amortiguamiento est/ dada por c =ζ cc = ( 0.4037 ) (1373.54 )=554.4981 - − s / m
la rigidez por 2 2 k =mω n=( 200 ) ( 3.4338 ) =2358.2652 - / m
El desplazamiento de la masa alcanzar/ su m/ximo valor en el tiempo
t 1
, dado por
sin ω d t 1= √ 1− ζ
2
)
' t 1 =
sin
−1
( 0.9149 ) π
=0.3678 se2
El envolvente "ue pasa por los puntos m/ximos )vea el pro$lema 2.;6+ est/ dado por 2 −ζ ω t ( / 0 2 ) x =√ 1−ζ X e n
Como
x =250 mm
, la ecuación )E. 2+ da en
0.25= √ 1 −( 0.4037 ) X e 2
t 1
−( 0.4037 )( 3.4338 )( 0.3678 )
' X =0.4550 m 0a velocidad de la masa se puede o$tener diferenciando el desplazamiento − ζ ω t sin ω d t x ( t )= X e n
Como − ζ ω t x´ ( t )= X e (−ζ ωn sin ωd t + ω d cos ω d t ) ( / 0 3 ) n
Cuando
t =0
, la ecuación )E. + da
x´ ( t =0 )=´ x 0= X ω d = X ωn √ 1−ζ =( 0.4550 ) (3.4338 ) √ 1−( 0.4037 ) =1.4294 m / s 2
2
E4emplo 2.12 n/lisis de un ca@ón El diagrama es"uem/tico de una ca@ón largo se muestra en la figura 2.2 82.;:. Cuando se dispara el ca@ón, gases a alta presión aceleran el proyectil en el interior del ca@ón a una velocidad muy alta. 0a fuerza de reacción empu4a el ca@ón en la dirección opuesta del proyectil. Como lo desea$le es "ue el ca@ón llegue en reposo en un corto tiempo sin
oscilación, se =ace "ue retroceda =ac-a un sistema de resorte y amortiguador cr-ticamente amortiguado llamado mecanismo de retroceso. En un caso particular, el ca@ón y el mecanismo de retroceso tienen una masa de *Dg con un resorte de retroceso de 10,000 - / m de rigidez. El ca@ón retrocede .3m al disparar. Encuentre )1+ el coeficiente de amortiguamiento cr-tico del amortiguador, )2+ la velocidad de retroceso inicial del ca@ón, y )+ el tiempo "ue re"uiere el ca@ón para regresar a .1m de su posición inicial. #olución 1. 0a frecuencia natural no amortiguada del sistema es 10000 k = = 4.4721 "$d / s ω n= . 500
√ √
Figura 2.2 Betroceso de un ca@ón. el coeficiente de amortiguamiento cr-tico )ecuación 2.6*+ del amortiguador es c c =2 mω n=2 ( 500 ) ( 4.4721 )= 4472.1 - −s / m 2. 0a respuesta de un sistema cr-ticamente amortiguado est/ dada por la ecuación )2.5;+ − ω t x ( t )=( C 1+ C 2 t ) e ( / 0 1 ) n
C 1 = x0
!onde
y
C 2 =´ x0 + ωn x´ 0
. El tiempo
t 1
en "ue
x ( t )
alcanza un valor
m/ximo se puede o$tener esta$leciendo x´ ( t )= 0 . 0a diferenciación de la ecuación )E. 1+ da − ω t − ω t x´ ( t )=C 2 e −ωn ( C 1+ C 2 t ) e n
n
(or consiguiente x´ ( t )=0 produce
(
t 1 =
1
ωn
−
C 1 C 2
)(
/ 0 2 )
En este caso,
x 0=C 1=0
t 1 =1 / ωn
.
x m4x= 0.4 m
,
? por consiguiente la ecuación )E. 2+ conduce a
Como el valor m/ximo de
x ( t )
o la distancia de retroceso de$en ser
tenemos −ω n t 1
x m4x= x ( t =t 1) =C 2 t 1 e
=
x´ 0 ωn
−1
e =
x´ 0 e ωn
' x´ 0= x m4x ω n e =( 0.4 ) ( 4.4721 ) ( 2.7183 )=4.8626 m / s
. #i
t 2
indica cuanto tiempo re"uiere el ca@ón para regresar a .1m de su posición
inicial, tenemos −ω t − 4.4721 t ( / 0 3 ) 0.1=C 2 t 2 e =4.8626 t 2 e n 2
2
0a solución de la ecuación )E. + da
t 2 =0.8258 s
.
2.7 VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO DE COULOMB En muc=os sistemas mec/nicos, los amortiguadores de Coulom$ o de fricción seca son utilizados de$ido a su sencillez y comodidad mec/nica 82.9:. dem/s en estructuras de vi$raciones, siempre "ue los componentes se deslicen entre ellos, el amortiguamiento de fricción seca aparece internamente. Como se indicó en la sección 1.9, el amortiguamiento de Coulom$ surge cuando los cuerpos se deslizan so$re superficies secas. 0a ley de Coulom$ de la fricción seca esta$lece "ue, cuando dos cuerpos est/n en contacto, la fuerza re"uerida para producir deslizamiento es proporcional a la fuerza normal "ue act7a en el plano de contacto. s- la fuerza de fricción F est/ dada por F = 5- = 5W = 5m2 ( 2.106 )
( W = m2 ) y es el coeficiente de deslizamiento o fricción cin>tica. El valor del coeficiente de fricción ( 6 ) depende de los !onde % es la fuerza normal, igual al peso de la masa
materiales en contacto y la condición de la superficie en contacto. (or e4emplo,
6
≃
0.1
para metal so$re metal )lu$ricado+, . para metal so$re metal )no lu$ricado+, y casi 1. para cauc=o so$re metal. 0a fuerza de fricción act7a en una dirección opuesta a la dirección de velocidad. El amortiguamiento de Coulom$ es algunas veces llamado amortiguamiento constante, como la fuerza de amortiguamiento es independiente del desplazamiento y la velocidad? depende solo de la fuerza normal % entre las superficies de desplazamientos.
2.5.1 Ecuación de movimiento Considere un sistema de un solo grado de li$ertad con fricción seca como se muestra en la figura 2.)a+. Como la fuerza de fricción varia con la dirección de velocidad, necesitamos considerar dos casos, como est/ indicado en la figura 2.)$+ y )c+. Caso 1. Cuando x
y
dx / dt
son positivas o cuando x es negativa y
dx / dt
es
positiva )es decir, para el semiciclo durante el cual la masa se mueve de iz"uierda a derec=a+ la ecuación de movimiento se puede o$tener utilizando la segunda ley de %e&ton )vea la figura 2.$+ m x´ =−kx − 5- o m x´ + kx =− 5- ( 2.107 ) Esto es una ecuación diferencial no =omog>nea de segundo orden. 0a solución se puede verificar sustituyendo la ecuación )2.1;+ en la ecuación )2.15+ 5- ( 2.108 ) x ( t )= 71 cos ω n t + 72 sin ωn t − k
!onde
ω n=√ k / m es la frecuencia de vi$ración y 7 1
y
7 2
son constantes cuyos
valores dependen de las condiciones iniciales de este semiciclo.
Figura 2. #istema resorte y masa con amortiguamiento de Coulom$. Caso 2. Cuando x es positiva y
dx / dt es negativa o cuando x
y
dx / dt
son
negativas )es decir, para el semiciclo durante el cual la masa se mueve de derec=a a iz"uierda+, la ecuación de movimiento se puede derivar de la figura 2.)c+ como −kx + 5- =m x ´ o m x ´ + kx = 5- ( 2.109 ) 0a solución de la ecuación )2.19+ est/ dada por 5- ( 2.110) x ( t )= 73 cos ω n t + 7 4 s ∈ ω n t + k
!onde
7 3
y
7 4
son constantes "ue se tienen "ue =allar a partir de las condiciones
iniciales de este semiciclo. El t>rmino
6- / k
"ue aparece en las ecuaciones )2.1;+ y
)2.11+ es una constante "ue representa el desplazamiento virtual del resorte sometido a la fuerza 6- , si fuera aplicada como una fuerza est/tica. 0as ecuaciones )2.1;+ y )2.11+ indica "ue en cada semiciclo el movimiento es armónico, con la posición de e"uili$rio cam$iando de 6- / k a −( 6- / k ) cada semiciclo, como se muestra en la figura 2.3.
Figura 2.3 ovimiento de la masa con amortiguamiento de Coulom$. 2.5.2 #olución 0as ecuaciones )2.15+ y )2.19+ se puede expresar como una sola ecuación )utilizando - = m2 +
m x´ + 5m 2 s2n ( x´ ) + kx =0 ( 2.111)
!onde y > 0
s2n ( y ) se conoce como función signum, cuyo valor est/ definido como 1 para ,1 para
y < 0
, y para
y =0
. 0a ecuación )2.111+ se puede ver "ue es una
ecuación diferencial no lineal para la cual no existe una solución anal-tica simple. #e pueden utilizar m>todos num>ricos para resolver la ecuación )2.111+ convenientemente )vea el e4emplo 2.19+. 0a ecuación )2.111+, sin em$argo, se puede resolver anal-ticamente si dividimos el e4e de tiempo en segmentos separados por x´ =0 )es decir, intervalos de tiempo con diferentes direcciones de movimiento+. (ara =allar la solución utilizamos este procedimiento, supongamos las condiciones iniciales como x ( t =0 )= x 0
x´ ( t =0 )=0 ( 2.112 )
Esto es, el sistema se inicia con velocidad y desplazamiento cero
t =0 . Como iz"uierda. #ean
x = x 0
en el instante
x 0 , x 1 , x 2 , 8
x 0
en el instante
t =0 , el movimiento se inicia de derec=a a
las amplitudes de movimiento en semiciclos sucesivos.
tilizando las ecuaciones )2.11+ y )2.112+, podemos evaluar las constantes
7 3
y
7 4
.
7 3= x 0−
5- , 7 4=0 k
s- la ecuación se vuelve 5- 5- ( 2.113 ) cos ωn t + x ( t )= x 0− k k
(
)
Esta solución es v/lida solo para el semiciclo, es decir, para
t = π / ωn
0 9t 9 π / ω n
. Cuando
, la masa estar/ en su posición extrema iz"uierda y su desplazamiento desde la
posición de e"uili$rio se puede encontrar a partir de la ecuación )2.11+ π 5- 5- 2 5- cos π + − x 1= x t = = x 0− =− x 0− ωn k k k
( )(
)
(
)
Como el movimiento se inició con un desplazamiento de valor de x se vuelve es
2 6- / k
[
− x 0 −( 2 5- / k )
]
x = x 0
y, en un semiciclo, el
, la reducción en magnitud de x en tiempo
π / ωn
.
En el segundo semiciclo, la masa se mueve de iz"uierda a derec=a, as- se va a utilizar la ecuación )2.1;+. 0as condiciones iniciales para este semiciclo son 2 5- π x ( t =0 )=v$&o" de x ene&inst$nte t = en&$ ec!$ci: n ( 2.132 )=− x 0− ωn k
(
x´ ( t =0 )=v$&o" de x´ en e&inst$nte t =
{
)
(
)
}
2 5- π π sin ωn tent = en&$ ec!$ci: n ( 2.132 )= v$&o" de −ωn x 0 − =0 ωn k ωn
s- las constantes en la ecuación )2.1;+ se vuelven 3 5- − 7 1=− x 0 − , 7 2 =0 k
!e modo "ue la ecuación )2.1;+ se puede escri$ir como 3 5- 5- ( 2.114 ) cos ωn t − x ( t )= x 0− k k
(
)
Esta ecuación es v/lida solo para el segundo semiciclo, es decir, para
π / ωn 9t 9 2 π / ωn
.
l final de este semiciclo el valor de x ( t ) es
( )
x 2= x t =
4 5- π en&$ec!$ci:n ( 2.133 )= x 0− ωn k
( )
x´ t =
π en&$ec!$ci:n ( 2.133 )=0 ωn
Estas se convierten en las condiciones iniciales para el tercer semiciclo, y el procedimiento contin7a =asta "ue el movimiento se detiene. El movimiento se detiene cuando x n 9 6- / k , como la fuerza de restauración e4ercida por el resorte ( kx ) ser/ entonces menor "ue la fuerza de fricción
6-
. s- el n7mero de semiciclos
( " ) "ue transcurren
antes del "ue el movimiento cese est/ dado por 2 5- 5- x 0=" 9 k k Es decir
{ }
5- x 0 − k ( 2.115 ) "; 2 5- k
'$serve las siguientes caracter-sticas de un sistema con amortiguamiento de Coulom$ 1. 0a ecuación de movimiento es no lineal con amortiguamiento de Coulom$, mientras "ue es lineal con amortiguamiento viscoso. 2. 0a frecuencia natural de un sistema no se altera con la incorporación del amortiguamiento de Coulom$, mientras se reduce con la adición de amortiguamiento viscoso. . El movimiento es periódico con amortiguamiento viscoso, mientras "ue puede ser no periódico en un sistema viscosamente amortiguado )so$reamortiguado+. 3. El sistema viene en reposo despu>s de cierto tiempo con el amortiguamiento de Coulom$, mientras "ue el movimiento teóricamente contin7a por siempre )tal vez con una amplitud infinitamente pe"ue@a+ con amortiguamiento viscoso e =ist>resis.
*. 0a amplitud se reduce linealmente con el amortiguamiento de Coulom$, mientras se reduce exponencialmente con amortiguamiento viscoso. 6. En cada ciclo sucesivo, la amplitud de movimiento se reduce por la cantidad 4 6- / k , de modo "ue las amplitudes en el final de cual"uiera de los dos ciclos consecutivos est/n relacionadas 4 5- ( 2.116 ) X m = X m −1− k
Como la amplitud se reduce por una cantidad 2 π / ω n
4 6- / k
en un ciclo )es decir, en tiempo
+, la pendiente de las l-neas rectas envolventes )se muestra punteado+ en la figura
2.3 es 4 5- 2 π −2 5- ω n − / = k ωn πk
( )( )
0a posición final de la masa usualmente se desplaza de su posición de e"uili$rio
( x =0 )
y representa un desplazamiento permanente en cual la fuerza de fricción est/ $lo"ueada. n leve golpeteo usualmente =ar/ "ue la masa llegue a su posición de e"uili$rio. 2.5. #istemas torsionales con amortiguamiento viscoso #i un par de torsión de fricción constante act7a en un sistema torsional, la ecuación "ue rige las oscilaciones angulares del sistema se puede derivar, similar a las ecuaciones )2.15+ y )2.19+, como 0 +´ + k t + =−* ( 2.117 ) 0 +´ + k t + =* ( 2.118 )
Cuando A denota el par de torsión de amortiguamiento constante )similar a
6- para
vi$raciones lineales+. 0as soluciones de las ecuaciones )2.115+ y )2.11;+ son similares a esas vi$raciones lineales. En particular, la frecuencia de vi$ración est/ dada por k ω n= t (2.119 ) 0
√
la amplitud de movimiento al final del semiciclo
+" = + 0 − "
2 *
k t
( 2.120 )
"t1
( +" )
est/ dado por
+0
!onde
es el desplazamiento angular inicial en
t =0 )con
+´ = 0 en
t =0 +. El
movimiento cesa cuando * + 0− k t ( 2.121 ) "; 2 * k t
{ }
E4emplo 2.1 Coeficiente de fricción a partir de posiciones medidas de la masa n $lo"ue de metal, colocado so$re una superficie rugosa, se une a un resorte y se le d/ un desplazamiento de 1cm desde su posición de e"uili$rio. !espu>s de cinco ciclos de oscilaciones en 2s, la posición inicial del $lo"ue de metal est/ a 1cm de su posición de e"uili$rio. Encuentre el coeficiente de fricción entre la superficie y el $lo"ue de metal. #olución Como se o$servó "ue en 2s ocurrieron cinco ciclos de oscilación, el periodo ( τ n) es 2 / 5=0.4 s , y por consiguiente la frecuencia de oscilación es
ω n=
√
4 5-
k
k 2 π 2 π = = =15.708 "$d / s . Como la amplitud de oscilación se reduce por m τ n 0.4
=
4 5 m2
k
En cada ciclo, la reducción de amplitud en ciclo ciclos es 4 5m2 5 =0.10− 0.01=0.09 m k
(
)
' 2
2
0.09 k 0.09 ωn 0.09 ( 15.708 ) 5= = = =0.1132 20 m2 20 2 20 ( 9.81 )
E4emplo 2.13 (olea sometida a amortiguamiento de Coulom$ na flec=a de =ierro de 1m de longitud y *mm de di/metro tiene un extremo fi4o y tiene una polea de momento de inercia de masa 2* Dgm2 en el otro extremo. n freno de mano e4erce un par de torsión de fricción constante de 3%m alrededor de la circunferencia de la polea. #i la polea se desplaza 6G y luego se suelta, determine )1+ la cantidad de ciclos antes de "ue la polea descanse y )2+ esta$lece la posición final de la polea.
#olución )1+ 0a cantidad de semiciclos "ue pasan antes del movimiento angular de la polea ces, est/ dada por la ecuación )2.121+ * + 0− k t ( / 0 1 ) "; 2 * k t
{ }
!onde
+0=¿
desplazamiento angular inicial H 6G H .1352 rad,
k t =¿
constante de
resorte torsional de la flec=a dada por ( 8 % 1010 ) π ( 0.05 )4 32 < = =49,087.5 - −m / "$d k t = 1 &
{
* =¿
par de torsión de fricción constante aplicado a la polea H 3%m. 0a ecuación
)E. 1+ da 0.10472−
";
}
(
(
400 49,087.5
8 00 49,087.5
)
)
=5.926
(or lo tanto el movimiento cesa despu>s de seis semiciclos. )2+ El desplazamiento angular despu>s de seis semiciclos est/ dada por la ecuación )2.12+
+= 0.10472−6 % 2
(
)
400 =0.006935 "$d =0.39734 = 49,087.5
(or lo tanto la polea se detiene en .953G desde la posición de e"uili$rio en el mismo lado del desplazamiento inicial.
