Clasificación de las funciones por su naturaleza Función Polinomial Como se mencionó, dentro de las funciones algebraicas tenemos un conjunto de funciones que llamamos ³funciones polinomiales y son aquellas cuya regla de correspondencia es un polinomio´. Recordando que el grado de un polinomio es el exponente mayor de la variable, podemos hablar de una función polinomial de grado n. Definición:
Llamamos a una función po linomial linomial de grado n, si tiene la forma
Función Polinomial en donde n es un entero posi po sitivo. tivo. Todas las funciones polinomiales tienen como dominio al conjunto de números reales R , pero su contradominio varía dependiendo del tipo de función que sea. Una función polinomial puede considerarse como una suma de funciones cuyos valores son del tipo cxk , donde c es un número real y k es un entero no negativo. Ejemplos particulares de la función polinomial son, la función lineal (función polinomial de grado uno), la función cuadrát ica (función polinomial de segundo grado), función cúbica (función polinomial de tercer grado)
Función racional Las funciones racionales son funciones obtenidas al dividir una función polinomial por otra no idénticamente nula. Están definidas en todos los números que no anulan el polinomio denominador, es decir, en todos to dos los números reales menos una cantidad finita, que será igual al número de raíces reales del polinomio denominador. Una función racional es aquella que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales. Esto es, una función racional es de la forma
El consist e de tod os l os númer os reales, a excepción de dominio de la función racional aquell os para l os cuales: Q( x) = 0. Definición:
donde P(x) y Q(x) son po linomios de grados n y m respectivamente. Nótese que el Dominio de una función racional f viene dado por: Df = {x
/ Q(x) 0} =
- {x
/ Q(x) = 0}.
Es decir, ³el Dominio f l o constit uye el conjunto de l os númer os reales, excepto l os val ores que anulan el denominad or´. Conviene a veces incluir las funciones como casos especiales de las relaciones en donde el denominador es la unidad.
Función raíz Definición:
Son ejemplos:
na ³U
función es irracional si no es posible expresarla como el cocient e de d os pol inomios f initos de coef icient e ent er os´.
De una manera general, dada una función irracional , la expresión dentro de la raíz no puede ser negativa porque daría resultados imaginarios. El do minio contiene a todos los números x mayores o iguales que b/a. Es dec ir:
Función trigonométrica Función trigonométrica: Las funciones trigonométricas son el resultado del coc iente de dos números (cateto sobre hipotenusa, hipotenusa sobre cateto, cateto sobre cateto). Esto hace necesario, para el do minio de definición, restringir el eje en aquellos números que anulen el denominador.
Funciones Trigonométricas Directas. Seno Coseno Tangente
La función seno es la asociación entre un ángulo dado y el valor de su seno
f (x) = sen x
La función coseno es la asociación entre un ángulo dado x y el valor de su coseno.
f(x) = cos x
La función tangente es la asociación entre un ángulo dado x y el valor de su tangente.
f(x) = tg x
Cotangente La función cotangente es la asociación entre un
f(x) = cotg x
ángulo dado x y el valor de su cotangente.
Secante Cosecante
La función secante es la asociación entre un ángulo dado x y el valor de su secante. La función cosecante es la asociación entre un ángulo dado x y el valor de su cosecante.
Dominio
Función f(x) = sen x
f(x) = sec x f(x) = cosec x
de las Funciones Trigonométricas Directas
Dominio
Todo eje real
Contradominio. El denominador es la hipotenusa, la cual
-¥
Todo eje real. -¥ < x < ¥
siempre es diferente de cero, no así los catetos del triángulo La misma razón que el primer caso.
f(x) = tg x
Se restringe el dominio de manera que el denominador debe ser cos x ¹ 0.
f(x) = cotg x
Se restringe el dominio de manera que el denominador debe ser sen ¹ 0.
f(x) = sec x
Se restringe el dominio de manera que el denominador cos x ¹ 0.
f(x) = cosec x
Se restringe el dominio de manera que el denominador sen ¹ 0.
Función exponencial Definición:
³Los términos exponenciales son en sí aquellas potencias cuya base es un número fijo y el exponente es una variable´. En la siguiente tabla se presentan algunos ejemplos de funciones exponenciales.
Función
Título
f (x ) = 10x
Función exponencial de base 10
f (x ) = 2x
Función exponencial de base 2
Dominio y Contradominio de la Función Exponencial. Dominio
Contradominio
Función exponencial de base a
Todo número real -¥ < x < ¥
0< y < ¥
Función logarítmica Existen dos maneras distintas de abordar el concepto de logaritmo: y y
El logaritmo de un número como exponente asociado a tal número. El logaritmo como la función inversa exponencial.
Sin embargo, independientemente del camino elegido, al poco tiempo se verifica la equivalencia conceptual de ambos. Antes de definir veamos algunos ejemplos que nos permitan intuir el concepto. Observa la tabla 20 en donde se dan algunas potencias de 10 y de 5. Basándose en ella, deseamos encontrar a una base dada, el exponente asociado a cada número. Por ejemplo, el exponente para la base 10, asociado al número 100, es 2 ya que 102 = 100. O bien, el exponente asociado el número 125, en base 5 es 3, ya que 125 = 53. Sin embargo, los exponentes no necesitan ser números enteros, de hecho pueden ser cualquier número real. De esta manera, por ejemplo, nos atrevemos a expresar al número 3000 como una potencia de 10; o si lo deseamos, una potencia de 5. En la tabla se proporcionan los exponentes asociados al número 3000 tanto en la base 10 como en la base 5.
Potencia 10 10-2 10-1 100 101 102 103 103.477121
Número 0.01 0.1 1 10 100 1000 »3000
st e exponent e, asociad oa ³E
Potencia 5 5-2 5-1 50 51 52 53 54.974636
Número. 0.04 0.2 1 2 25 125 »3000
un númer o en una base dada, es l o que recibe el nombre de
logaritmo´. Logaritmo:
El logaritmo de un número N, en una base a, se representa como sigue: Loga N. Léase ³logaritmo en base a de N ´ y se define como el exponente al cual se eleva la base a para que su potencia sea el número N .
Función logarítmica.- Llamamos función logarítmica de base a, a aquella cuya regla de correspondencia sea de la forma f(x) = loga x .
Propiedades de los Logaritmos.
Enunciado Propiedad. El logaritmo en cualquier base de la unidad es cero.
1.
El logaritmo, en una base dada, de la base es la unidad.
2.
El logaritmo de un número en una base b, es igual al cociente del logaritmo del número en base a, dividido entre el logaritmo en base a, de b.
3.
El logaritmo, en una base dada de un producto de dos números, es igual a la suma de los logaritmos en la misma base de cada uno de los factores.
4.
El logaritmo, en una base dada, del cociente de dos números, es igual a la d iferencia de los logaritmos, en la misma base, del numerador, menos el logaritmo del denominador.
5.
El logaritmo, en una base dada, del recíproco de un número es igual al simétrico (negativo) del logaritmo, en la misma base, del número.
6.
El logaritmo, en una base dada, de la potencia de un número, es igual al producto de la potencia por el logaritmo en la misma base, de l número.
7.
Función definida parte por parte Función Escalón La función escalón en su forma más elemental se define como sigue. Definición:
Función Escalón
La función escalón es una asociación entre números reales, tal que para cada x < 0, se le asocia el cero, y a cada x 0, se le asocia la unidad; o sea,
0 si x< 0
f(x) = 1 si x 0
Como se observa, la imagen asociada a cada número real x sólo puede ser cero, si x es negativo o 1, si x es cero o positivo. En otras palabras:
FUNCIÓN
DOMINIO
CONTRADOMINIO
Todo número real
Los números 0 y 1 {0, 1}
0 si < 0 f(x) = 1 si x 1 Desde luego, de manera más general, ³las funciones escalonadas pueden consistir en más de un escal ón, como fue el caso del ejempl o cit ad o; y en est e sentid o, el d ominio de def inición de cualquiera de ést as, general ment e abar car á tod o númer o real , a menos que por alguna razón se desee rest ri ng irl o. E n cambio, el cont rad ominio depender á de cómo se def ina la función´. Esto se comprenderá mejor al analizar el ejemplo siguiente y resolver los ejercicios propuestos en la siguiente sección.
Función inversa El concepto de función inversa está asociado al cambio de roles que experimentan el primero y el segundo conjunto de una función. Es decir, la conversión del contradominio de una función f , es el dominio de su inversa; además, el dominio de este tomará en su inversa el rol de contradominio, la asociación elemento; a consecuencia de lo anterior, también invierte su rol. Así, si para una función f la imagen del argumento x es y entonces para la inver sa de f , el argumento ser á ahora y, y su imagen asociada ser á x.
En la figura se ejemplifica lo anterior; observa que: 1. f es una función con dominio A y contradominio B. Es decir, f: A B. 2. g es una función con dominio B y contradominio A. O sea, g: B A. 3. Todax del conjunto A y del conjunto B, se asocian de tal manera que: 3.1 y = f (x ) 3.2 x = g ( y) Si todo esto ocurre, entonces la función g es inversa de la función f . Definición:
Función Inversa
La inversa de una función f: AB es una función g : BA, tal que para cada elemento x del conjunto A y y del conjunto B, se verifique que si y = f (x ), entonces x = g ( y).
Función implícita Según la manera de expresar o definir a las funciones, éstas se c lasifican en funciones explícitas o implícitas . La mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación:
Dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Definición:
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