UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL
APOSTILA DE Álgebra Linear
Realização:
Fortaleza, Fevereiro/2010
II Curso Pré-Engenharia
Apostila de Álgebra Linear
Sumário 1.
Matrizes .......................................................................................................................................................... 3
1.1.
Operações com matrizes ............................................................................................................................. 4
1.2.
Operações elementares com linhas de uma matriz...................................................................................... 5
1.3. 2.
Questões ..................................................................................................................................................... 6 Determinantes ................................................................................................................................................ 7
2.1.
Regra de Chió .............................................................................................................................................. 8
2.2.
Teorema de Laplace .................................................................................................................................... 9
2.3.
Questões ....................................................................................................................................................10
3.
Sistemas Lineares ........................................................................................................................................... 11
3.1.
Método do escalonamento .........................................................................................................................11
3.2.
Regra de Cramer ........................................................................................................................................13
3.3. 4.
Questões ....................................................................................................................................................13 Vetores...........................................................................................................................................................14
4.1.
Adição de Vetores ......................................................................................................................................15
4.2.
Multiplicação por escalar ...........................................................................................................................15
4.3. 5.
Questões ....................................................................................................................................................16 Operações com vetores ..................................................................................................................................16
5.1. 5.2.
Módulo .......................................................................................................................................................16 Produto escalar (ou produto interno) .........................................................................................................16
5.3.
Produto vetorial (ou produto externo)........................................................................................................17
5.4.
Questões ....................................................................................................................................................19
6. 6.1. 7. 7.1. 8.
Espaços vetoriais ............................................................................................................................................ 19 Questões ....................................................................................................................................................21 Subespaços vetoriais ...................................................................................................................................... 22 Questões ....................................................................................................................................................24 Interseção, união e soma de subespaços ........................................................................................................25
8.1.
Interseção ..................................................................................................................................................25
8.2.
Soma ..........................................................................................................................................................26
8.3.
União .........................................................................................................................................................27
8.4. Questões ....................................................................................................................................................27 9. Combinação linear ..........................................................................................................................................27 9.1.
Questões ....................................................................................................................................................28
10.
Subespaços gerados ................................................................................................................................... 29
10.1.
Questões ....................................................................................................................................................30
11.
Dependência e Independência Linear .........................................................................................................31
11.1.
Questões ....................................................................................................................................................32
12.
Base de um espaço vetorial ........................................................................................................................33
12.1.
Questões ....................................................................................................................................................36
13.
Dimensão ................................................................................................................................................... 36
13.1.
Questões ....................................................................................................................................................37
14.
Mudança de base ....................................................................................................................................... 38
14.1.
A inversa da matriz de mudança de base ...................................................................................................39
14.2.
Questões ....................................................................................................................................................40
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II Curso Pré-Engenharia
Apostila de Álgebra Linear
1. Matrizes Sejam m e n inteiros positivos. Chama-se matriz m × n (sobre R) qualquer lista ordenada de m-n números reais, dispostos em m linhas e n colunas. Os números que constituem uma matriz são chamados de termos da matriz. Uma matriz A, m × n, pode ser denotada como se segue:
⋮ ⋯⋱ ⋮
A=
a11
a1n
am1
amn
Ou, simplesmente, A=(a ij ), onde 1 < < e 1 < < . Notamos que os índices i e j indicam a posição que o termo ocupa na matriz. O termo aij está na i-ésima linha e na j-ésima coluna. Seja A=(a ij ) uma matriz n × n. Chama-se diagonal principal, ou simplesmente diagonal da matriz A, a lista ordenada (a11 , a22 ,...,a nn ). Chama-se diagonal secundária da matriz A, a lista ordenada (a1n , a2(n 1) , an1 ). A soma dos índices dos termos da diagonal secundária é sempre igual a n+1.
−
Igualdade de Matrizes:
Sendo A=(a ij ), e B=(b valores de i e de j.
Tipos de Matrizes: o o
o o o
o
o
o
o
o
o
ij ),
matrizes, A e B são iguais, se e somente se, aij = bij para quaisquer
Chama-se matriz linha toda matriz 1 × , ou seja, toda matriz constituída de uma só linha. Chama-se matriz coluna toda matriz × 1, ou seja, toda matriz constituída de uma só coluna. Chama-se matriz nula aquela cujos termos são todos nulos. Uma matriz × chama-se quadrada se = . Uma matriz quadrada = ( ) chama-se triangular superior se todos os termos que ficam abaixo da diagonal principal são iguais a zero, ou seja, = 0 sempre que > .
≠ − − −
Uma matriz quadrada = ( ) chama-se triangular inferior se todos os termos que ficam acima da diagonal principal são iguais a zero, ou seja, = 0 sempre que < . Uma matriz quadrada = ( ) chama-se diagonal se todos os termos fora da diagonal principal são iguais a zero, ou seja, . = 0 sempre que Chama-se matriz identidade × a matriz diagonal × cujos termos da diagonal principal são todos iguais a 1. Ela é denotada por ou simplesmente por I. Uma matriz quadrada = ( ) chama-se simétrica se = para quaisquer que sejam i e j, isto é, se os termos simetricamente situados em relação à diagonal principal são iguais. 5 1 3 2 1, Exemplos: 1 0 2 , , toda matriz diagonal. 1 0 3 2 1 Uma matriz quadrada = ( ) chama-se anti-simétrica se = para quaisquer que sejam i e j, ou seja, se os termos simetricamente situados em relação à diagonal principal são números reais simétricos e os termos da diagonal são todos nulos.
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o
Exemplos:
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− − − 0 4 0 1 , 4 0 1 0 8 1
8 1 , matriz quadrada nula. 0
1.1. Operações com matrizes
Adição de Matrizes:
Sejam A=(a ij ), e B=(b ij ) matrizes m × n. Definimos a soma das matrizes A e B como sendo a matriz A+B=(c ij ), em que cij = aij + bij . Ou seja, somar A com B consiste em somar termos correspondentes. Propriedades (1): Para quaisquer matrizes m × n, A=(a propriedades são válidas: o o o o o
ij ),
B=(b ij ) e C=(c
Propriedades (2): Para quaisquer que sejam as matrizes m × n, A=(a reais x e y, valem as seguintes propriedades:
o o o
as seguintes
Associatividade: A + (B + C) = (A + B) + C; Comutatividade: A + B = B + A; Elemento neutro: A + O = A, onde O é a matriz m × n nula; Matriz oposta: A + (-A) = O, onde A=(a ij ). Chamamos (–A) de matriz oposta de A; Multiplicação de um escalar por uma matriz: Sejam x R e A=(a ) uma matriz ij m × n. Definimos o produto da matriz A pelo escalar x como x.A = (x.a ij ). Isto é, multiplicar x por A consiste em multiplicar x por todos os termos de A.
−
o
ij ),
∈
ij )
e B=(b
e os números
ij )
x.(A + B) = x.A + x.B (Distributiva para escalar) (x + y).A = x.A + y.A (Distributiva para matrizes) x.(y.A) = (xy).A (Associativa) 1.A = A (1 é o escalar que representa o elemento neutro dessa operação)
Multiplicação de Matrizes:
Seja A=(a Isto é:
ij ) uma
matriz m × n. Denotaremos por Ai a i-ésima linha de A e Aj a j-ésima coluna de A.
… ⋮ 1
=
1
Sejam A = (aij ) uma matriz m × n e B=(b matriz B como A.B=C=(c ij ) = nj=1 aij bjk .
e
2
jk ) uma matriz
2
=
n × p. Definimos o produto da matriz A pela
Observação 1: O produto A.B é uma matriz m × p; Observação 2: O termo de A.B que se situa na i-ésima linha e na j-ésima coluna é Ai . B k .
−
−
Observação 3: Quando existe uma matriz A 1 tal que A. A 1 = I, dizemos que A é uma matriz
−
invertível, e chamamos A
1
de matriz inversa de A.
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Propriedades: o
o
o
o o
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Se A é uma matriz m × n, então A. In = Im . A. Isso indica que a matriz identidade é o elemento neutro para a multiplicação de matrizes. Se A é uma matriz m × n e B e C são matrizes n × p, então A(B + C) = AB + AC, ou seja, a multiplicação se distribui à esquerda em relação à soma de matrizes. Para as mesmas matrizes A, B e C, temos (A + B) = BA+ CA, ou seja, a multiplicação
∈ℝ
se distribui à direita em relação à soma de matrizes. Seja A uma matriz m × n, B uma matriz n × p e x , então x. (AB) = A(x. B). Se A, B e C são, respectivamente, matrizes m × n, n × p e p × q, então A(BC) = (AB)C (comutatividade).
Transposição de Matrizes:
Seja A uma matriz m × n, definimos a transposta de A como sendo a matriz n × m At = (bji ), em que bji = aij . Exemplo:
−
−
3 2 3 4 5 = 2 4 1021 5
01 2 1
Propriedades: Sejam x um número real, A e B matrizes m × n e C uma matriz n × p. Então valem as seguintes propriedades: o o o o
At t = A (A+B) t = At + B t (xA)t = x(A)t (BC)t = C t B t
1.2. Operações elementares com linhas de uma matriz
Seja A uma matriz m × n. Chama-se operação elementar com linhas de A qualquer uma das operações descritas a seguir: Permutação de duas linhas de A; Multiplicação de uma linha de A por um número real não nulo; Substituição de Ai por Ai + xAj , em que j Exemplo:
≠
i e x é um número real qualquer.
1 2
1
− 30 1 2
31 12 3
3
1 1 0 2
− 2
− − 11 3 4
1
1 1 01 0
− − 3
45
A primeira operação acima consistiu em multiplicar a primeira linha por 1/3 e a segunda operação em substituir a segunda linha por ela mais (-2) vezes a primeira ( A2 2A1 ).
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Sejam A e B matrizes m × n. Dizemos que A é linha-equivalente a B se B pode ser obtida a partir de A através de operações elementares com linhas. (No exemplo anterior, notamos que a primeira matriz é linha-equivalente à terceira) Matriz na forma escada: Seja A uma matriz m × n. Dizemos que A é uma matriz na forma escada, se as seguintes condições são satisfeitas: As possíveis linhas nulas ficam abaixo das possíveis linhas não nulas. O primeiro termo não nulo de cada linha não nula é igual a 1. Os demais termos da coluna à qual pertence o primeiro termo não nulo de uma linha não nula são todos nulos. A coluna à qual pertence primeiro termo não nulo de uma linha não nula fica à direita do primeiro termo não nulo da linha anterior, isto é, se p é o número de linhas não nulas e se o primeiro termo não nulo da i-ésima linha não nula ocorre na k i -ésima coluna, então k1 < k 2 < < k p .
⋯ − −
Exemplos:
−
1 0 0 1 4 , 0 0 1 3 5 0 0 0
1 0 0 1
1 1 5 , 0 0 0
2 0 0 0 1 3 ,O,I. 0 0 0
Teorema: Toda matriz m × n é linha-equivalente a uma matriz na forma escada. Exemplo:
− − − − − − − − − − − − 2 3 4 0 1 1
1 2 3
1A 1 2
1 3/2 4 0 1 1
1/2 2 3
A 2 +4A 1 A3 A1
3 A 2 2 1 A 3+ A 2 2
A1
1 0 0
1 0 0 1 0 0
3/2 6 1/2
1/2 0 7/2
1/2 0 7/2
1 A 6 2
1 A 7 3
1 0 0 1 0 0
1 0 0
3/2 1 1/2
1/2 0 1
1/2 0 7/2
1 A1+ A3 2
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1.3. Questões
1) Se A =
−− 1 3
2 e B = 4 2 , calcule AB e BA. 6 2 1
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− −
2) Se A=
3 4
2 , ache B, de modo que 2 B = A. 3
3) Suponha que A 0 e AB=AC onde A,B,C são matrizes tais que a multiplicação esteja definida. a) B=C? b) Se existir uma matriz Y, tal que YA=I, onde I é a matriz identidade, então B=C?
≠
4) Diz-se que as matrizes A e B são comutativas se AB = BA. Encontre todas as matrizes sejam comutativas com
1 1 0 1
− − −− − − − − −−− −−
x y que z w
2 2 . 3 1 a) Encontre A2 e A3 . b) Se f x = x 3 3x 2 2x+4 , encontre f A c) Se g x = x 2 x 8, encontre g(A)
5) Seja A =
6) Para cada uma das matrizes a seguir, encontra uma matriz na forma escada, à qual a matriz dada é linha equivalente. 2 1 5 a) 6 3 15 2 0 2 0 b) 0 2 1 0 2 1 5 c) 1 3 6 1 21 0 d) 1 0 3 5 1 2 1 1 2 1 3 1 4 2 e) 1 5 1 4 16 8 0 2 0 2 1 1 0 3 f) 3 4 0 2 2 3 0 1 7) Sejam A e B matrizes quadradas do mesmo tamanho, em que A é invertível. Mostre, por indução, 1) = 1 para todo inteiro positivo n. que (
− −
2. Determinantes
Determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um escalar. Seu cálculo é feito somando os termos ligados pelas diagonais paralelas à diagonal principal, e subtraindo deste valor a soma dos produtos dos termos ligados pelas setas paralelas à diagonal secundária:
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Temos que:
∙∙∙
∙ ∙
∙ ∙ − ∙ ∙
detA = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 ) a11 )
∙ ∙
∙
(a13 a22 a31 + a12 a21 a33 + a23 a32
Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem n, e x um escalar qualquer, essas são algumas das propriedades dos seus determinantes: o o o
o o o
∙ ∙
det(x A)=x n detA detA = det (At ) Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante desta matriz será zero. Se A tem duas filas iguais, então detA = 0 Se permutarmos duas linhas ou colunas de A, então o determinante muda de sinal. Se A e B são matriz quadradas da mesma ordem, então det AB = detA. det B
Observação 1: O determinante de uma matriz triangular ou diagonal é o produto dos termos de sua
diagonal principal. Observação 2: O determinante permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são
precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.
−
A. A
1
= I, aplicando determinante dos dois lados, temos:
−
det A. A
1
= detI
− −
detA.detA det A
1
=
1
=1
1 detA
Assim, se o determinante da matriz A for nulo, a matriz inversa não pode existir. 2.1. Regra de Chió
Através dessa regra é possível diminuir de n para (n alterar o valor do seu determinante.
−
1) a ordem de uma matriz quadrada A sem
A regra prática de Chió consiste em: 1) Escolher um elemento aij = 1 (caso não exista, aplicar as propriedades para que apareça o elemento 1). 2) Suprimir a linha i e a coluna j do elemento aij = 1, obtendo-se o menor complementar do referido elemento.
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3) Subtrair de cada elemento do menor complementar obtido o produto dos elementos que ficam nos pés das perpendiculares traçadas do elemento considerado às filas suprimidas. 4) Multiplicar o determinante obtido no item anterior por ( 1)i+j onde i e j designam as ordens da linha e da coluna às quais pertence o elemento aij = 1 do primeiro item.
−
Exemplo:
det
− − − −− − − − 1 5 7 = 2 4 3 = 4 2 3 2 4
5.2 3 3.5 4
6 13
2.7 . ( 1)1+1 = 3.7
11 = 6.17 17
13.11 = 41
2.2. Teorema de Laplace
Chama-se de menor complementar (Dij ) de um elemento aij de uma matriz quadrada A o determinante que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz. Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem a seguir:
2 0 3 A = 5 7 9 , podemos escrever:
− −
3 5 1 D23 = menor complementar do elemento a23 = 9 da matriz A. Pela definição, D23 será igual ao determinante que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja: D23 =
2 0 = 2.5 3 5
3.0 = 10
Chama-se de cofator de um elemento aij de uma matriz o seguinte produto:
cof aij = ( 1)i+j . Dij
Assim, por exemplo, o cofator do elemento a23 = 9 da matriz do exemplo anterior é igual a: 2+3
−
cof a23 = ( 1) Observações sobre o teorema: o
o
o
5
− −
. D23 = ( 1) .10=
10
O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já conhecemos as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só recorremos à este teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. Seu uso possibilita diminuir a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de 4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatro determinantes de 3ª ordem. Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha ou coluna) que contenha mais zeros, para que seu produto seja nulo.
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2.3. Questões
−
1) Dadas as matrizes A =
1 2 3 eB= 1 0 0
1 , calcule 1
a) det + det b) det(A + B)
2) Sejam A e B matrizes do tipo n × n. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas: a) det(AB) = det(BA) b) c) det(2A) = 2 det A d) det(A²) = (det A)²
detA’ = det A
− − − − − −
3) Calcule o detA , onde: 3 1 0 2 a) A = 2 0 1 1 i 3 b) A = 3 2 i
4) Prove que 0 0 1 1
2
1
2
1
2
i 1 i
5 0 1 2 2 1 1 01
0 1 3 0
2
3
4
1
2
3
4
2
3
4
i 0
0
3
4
3
4
3
4
=
i
1 1 1 5) Mostre que det a b c = a a² b² c²
− − − b b
c (c
a).
6) Verdadeiro ou falso? a) Se det A = 1, então A-1 = A. b) Se A é uma matriz triangular superior e A-1 existe, então também A-1 será uma matriz triangular superior. c) Se A é uma matriz escalar n × n da forma kI n , então detA = k n . d) Se A é uma matriz triangular, então det A = a 11 +...+a nn . 2
a 7) Calcule (a+2) (a+4)
2 2 2
(a+2) (a+4) (a+6)
2 2
2
(a+4) (a+6) (a+8)
2 2
.
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cos2a cos 2 a sen2 a 8) Mostre que cos2b cos2 b sen2 b = 0. cos2c cos 2 c sen2 c
3. Sistemas Lineares
Definição 1: Seja
um inteiro positivo. Chama-se equação linear a incógnitas toda equação do tipo + + = em que , , ..., , são constantes reais e , , ..., 1 1 2 2 1 2 1 2 são incógnitas. Chamamos cada de coeficiente de e de termo independente da equação. Definição 2: Sejam e inteiros positivos. Chama-se sistema linear a equações e incógnitas todo sistema com m equações lineares, todas às mesmas n incógnitas. Denotaremos o sistema citado como se segue:
⋯ ⋯ ⋮⋯⋯ … a11 x1 + a12 x2 + a21 x1 + a22 x2 +
+ a1n xn = b1 + a2n xn = b2
a31 x1 + a32 x2 +
+ a3n xn = b3
Chama-se solução do sistema toda lista ordenada (x1 , x2 ,
, xn ) de números reais que satisfaz a
todas as equações do sistema linear e chama-se conjunto solução do sistema o conjunto constituído de todas as soluções. Dizemos que o sistema linear é, respectivamente, impossível, possível determinado ou possível indeterminado conforme seu conjunto solução seja vazio, unitário ou tenha pelo menos dois elementos. 3.1. Método do escalonamento
O método do escalonamento consiste em transformar uma matriz qualquer em uma matriz na forma escada através de operações elementares com linhas. O objetivo disso é resolver sistemas lineares. Para tanto, devemos saber que cada sistema linear tem duas matrizes correspondentes: uma chamada matriz dos coeficientes ou matriz incompleta do sistema e outra chamada matriz completa do sistema. Listemos a seguir as matrizes referentes a um sistema genérico:
… ⋮ ⋮ …… a11 a21
a12 a22
a1n a2n
am1
am2
amn
Matriz incompleta
Matriz completa
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Se A é a matriz dos coeficientes, X =
x1 x2
⋮ ⋮ eB=
xn
(matricialmente) pelas seguintes equações:
b1 b2
, então o sistema pode ser representado
bm
A1 .X=b
⋮
A2 .X=b Am .X=b
1 2 m
O método do escalonamento para resolver um sistema linear cuja matriz completa é C consiste em encontrar uma matriz C’, tal que C’ seja linha-equivalente a C e o sistema cuja matriz é C’ já explicite o
seu conjunto solução. Para tanto, essa matriz deverá estar na forma escada. Exemplo: Resolvamos o sistema
− − −
2x+3y z=6 4x+2z= 1 , que tem a seguinte matriz completa: x+y+3z=0 2 3 4 0 1 1
1 2 3
6 1 0
− − − − − − →− − − → → − − → − − → → − − → −− − → − −
Devemos operar essa matriz com linhas, de maneira a deixar a matriz dos coeficientes na forma escada.
2 3 4 0 1 1
1 0 0
1 0 0 1 0 0
1/2
0 7/2
3/2 6 1/2
1 2 3
6 1 0
1 3/2 4 0 1 1
1/2 3 0 11 7/2 3
1 0 0
1/2 2 3
3/2 1 1/2
3 1 0
1/2 3 0 11/6 7/2 3
1/4
1 0
1/2
1/4
1 0 0
1/21
11/6 25/12
0 1 0 0
0 1
11/6 25/42
0 1 0 0 0 1
11/6 25/42
Assim, o sistema inicial é equivalente a
x = 1/21 y = 11/6 . Portanto, está resolvido. z = 25/42
Observações: o
o
o
Um sistema linear AX = B chama-se homogêneo se B = O. Isto é, se todos os termos independentes são nulos. Neste caso, uma solução óbvia é a trivial, composta apenas de zeros. (Por exemplo, para n = 3, a solução trivial é (0,0,0).) Se, num sistema linear homogêneo, o número de incógnitas é maior do que o número de equações, ele admite solução não trivial. Se m = n, então o sistema linear AX = B tem uma única solução, então A é linhaequivalente a In .
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3.2. Regra de Cramer
A regra de Cramer é utilizada para a resolução de um sistema linear a partir do cálculo de determinantes. Vamos considerar aqui um sistema linear Ax=B , sendo x uma matriz de incógnitas.
∈ℝ
n . Seja A a matriz obtida substituindo a i-ésima Seja A uma matriz invertível n × n e seja B i coluna de A por B. Se x for a única solução de Ax=B , então
xi =
det (Ai ) para i = 1,2, det (A)
…
,n
Com i variando até n, é possível encontrar as matrizes-solução do sistema, e descobrir se ele é possível determinado (quando há somente uma matriz-solução), possível indeterminado (infinitas matrizes-solução) ou impossível (nenhuma solução). Exemplo: Considerando o sistema de equações:
x1 + 2x2 + x3 = 5 2x1 + 2x2 + x3 = 6 x1 + 2x2 + 3x3 = 9 Solução:
− − − − 1 2 1 det A = 2 2 1 = 4 1 2 3
5 2 1 det A1 = 6 2 1 = 9 2 3
1 5 1 4 det A2 = 2 6 1 = 1 9 3
1 2 5 det A3 = 2 2 6 = 1 2 9
4
8
Portanto:
4
x = 1
−
=1
4
x =
4
−
2
4
=1
x = 3
8
=2
−
4
1 Então temos como solução a matriz x = 1 e o sistema é possível determinado. 2 3.3. Questões
1) Determine os valores de k tais que o sistema nas incógnitas x, y e z tenha: (i) única solução, (ii) nenhuma solução, (iii) mais de uma solução. + + =1 + + =1 a) + + =1 + + =2 b) 3 + 4 + 2 = 2 +3 =1
−
2) Ache as soluções dos problemas dados ou prove que não existem soluções
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−−− − −−
+ + =1 2 3 +7 = 0 3 2 +8 = 4 x y+2z=4 d) 3x+y+4z=6 x+y+z=1 2x y+5y=19 3z=4 e) x+5y 3x + 2y + 4z = 25 x+3y+z=0 f) 2x+7y+4z=0 x + y 4z = 0 c)
3) Dado o sistema:
a) b) c) d)
1 1 1 3
2 0 2 4
0 2 2 4
−−− − 1 1 1 3
2 = 2 4 8
Encontre uma solução dele sem resolvê-lo (atribua valores para x, y, z e w). Resolva efetivamente o sistema, isto é, encontre sua matriz-solução. Resolva também o sistema homogêneo associado. Verifique que toda matriz-solução obtida em (b) é a soma de uma matriz-solução encontrada em (c) com a solução particular que você encontrou em (a).
4) Dado o sistema linear:
−− −− 3 + 5 + 12 + +4 2 +2 +
= 3 = 6 =5
a) Discuta a solução do sistema. b) Acrescente a equação 2z + kw = 9 a este sistema, encontre um valor de k que torne o sistema impossível. 5) Dê o conjunto solução do seguinte sistema linear:
− − −− −
+ 2 +5 3 8 4 =1 + 4 2 + 13 3 3 4 = 1 2 1 + 2 2 3 + 21 4 = 2 3 2+8 3+5 4 =0 1
1
4. Vetores
Um vetor é definido por três características: intensidade, direção e sentido. Força, deslocamento e velocidade são representados por vetores, mas um vetor pode ser bem mais do que isso. Ao longo do curso de Álgebra Linear, o seu conceito será desenvolvido de forma bem mais ampla. Soluções de sistemas lineares poderão, por exemplo, ser representadas por vetores.
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Desenhando um vetor no plano cartesiano, ele deve apresentar uma srcem e uma extremidade. Os segmentos orientados cuja srcem é o ponto (0,0) são chamados de vetores no plano, e são muito mais fáceis de trabalhar. Para representá-lo, basta indicar o par ordenado que corresponda à sua extremidade, pois já conhecemos seu ponto inicial. A definição segue para vetores no espaço, caso em que a srcem dos vetores é o ponto (0,0,0), e assim por diante. De tal forma, para representar um vetor
com ponto inicial na srcem, usa-se usualmente V=OP a a notação de coordenadas V = (a,b,c ), mas também existe a notação de matriz coluna V = b e matriz c linha V = a b c .
Com essas notações, a soma de vetores e a multiplicação do vetor por um escalar são operações que ficam bem mais simples. 4.1. Adição de Vetores
Propriedades: o
Associatividade: A + B + C = A + B + C,
A,B,C
n
∀ ∈ ℝ ∀ ∈ ∈ℝℝ ℝ … − − − − – − − … − ⟹ ⟹ ⟹ − … ∈ℝ λ∙λ∈ℝ λ λ … λ λ o o o
o o
o
n . Comutatividade: A+B=B+A, A, B Elemento neutro: n . Assim, O é o elemento neutro Seja O o vetor nulo. Então A+O=A, para qualquer A em relação à operação de adição, o qual chamaremos de elemento nulo de n . Elemento oposto:
Dado A = a1 , a2 , , an , denotaremos por A o vetor ( a1 , a2 , , an ). Então A + ( A)=O . Chamaremos ( A) de elemento oposto a A. Considerando que: A B=A+ B e as quatro propriedades anteriores, teremos três propriedades conseqüentes: 1. + = + = 2. + = = 3.
+
=
=
Exemplo:
Sendo v = 1,2 e w = (3,5), temos:
v + w = 1,2 + 3,5 v + w = (4,7)
Do mesmo modo, 2v = (2,4).
4.2. Multiplicação po r escalar
Sejam A=(a 1 , a2 ,
, an )
n
e
. Definimos a multiplicação de A por como sendo:
A = ( a1 , a 2 ,
, an )
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A seguir as propriedades de vetores: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Associativa na adição: Comutativa: Existência de elemento neutro na adição: Existência de elemento oposto: Distributiva por vetor: Distributiva por escalar: Associativa na multiplicação: Existência de elemento neutro na multiplicação:
4.3. Questões
1) Determine o vetor X, tal que
, para vetores V e U dados.
2) Determine os vetores X e Y, tal que dados.
e
para vetores V e U
5. Operações com vetores 5.1. Módulo
Seja
, definimos o módulo ou a norma de um vetor como sendo:
Observação: para , note que o módulo de um vetor é o seu comprimento. Chamaremos de vetor unitário todo vetor cuja norma é 1. 5.2. Produto escalar (ou produto interno)
Sejam A+B e A - B.
e
dois vetores não nulos nos reais. Considere os vetores
Temos que se, e somente se , pois as diagonais de um paralelogramo só são iguais se o paralelogramo é um retângulo. Como consequência dessa condição podemos observar que:
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⊥⟺ … 1 1
+
2 2
+
+
=0
Esta condição é necessária para que dois vetores sejam perpendiculares.
Sejam
= ( 1,
2,
,
)e
= ( 1,
2,
,
) dois vetores quaisquer em
. O produto escalar é
… ∙ ℝ… … ∙ℝ
definido como a multiplicação termo a termo e a soma dos produtos: = 1 1+ 2 2+ + Assim, dois vetores não nulos
e
em
são perpendiculares apenas se
= 0.
Propriedades do produto escalar:
∙∙ ∙ ∙ ∙ ∈ℝ ∈ℝ ∙ ∙ ∙ ∈ ℝ ∈ℝ ∙≥ ∈ℝ ∙ ⟺ ∙ ∙ … ∙ … ∙
i. ii. iii. iv.
= +
, para quaisquer , , para quaisquer , , = + = = , para quaisquer , 0, para qualquer e =0 =
e qualquer
A norma (ou módulo) de um vetor pode ser caracterizada pelo produto escalar: provado a seguir:
=
1 1
=
+
1
2
2 2
+
2
+
2
=
, como é
+
+
2
+
=
5.3. Produto vetorial (ou produto externo)
ℝ
−
Consideremos dois vetores em = ( 1 , 2 , 3 ) e = ( 1 , 2 , 3 ). Queremos encontrar um vetor , em 3 , de preferência não nulo, de tal forma que C seja simultaneamente perpendicular a A e a B. Devemos ter .
=0e .
= 0. Se
= ( , , ), então: 1
1
+ +
2
2
+ +
3
3
=0 =0
Tentaremos resolver este sistema. Para isso, começaremos multiplicando a primeira equação por segunda por 2 e, em seguida, somaremos as duas equações.
2,
a
A seguinte equação é obtida:
− −− 1 2
2 1
. = 2 3 Depois, multiplicando a primeira equação do sistema acima por somando as duas equações, chegamos a:
3 2
.
1 , a segunda por
1
e, em seguida,
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Enfim, temos as seguintes equações:
Agora fica fácil visualizar os valores das variáveis. Se x assumir o valor do coeficiente de z na primeira equação, y assumi o valor do coeficiente de z na segunda equação, basta que z assuma o valor dos coeficientes de x e de y (que são iguais) para as equações serem verdadeiras. O conjunto-solução é:
Há mais soluções do sistema. Contudo, esta é especialmente chamada de produto vetorial de A por B e será denotado por × .
Note que
×
é o determinante formal:
em que Observe ainda que: três vetores que formam a base de
, visto que cada gerador (pois temos os ) está num eixo diferente, x, y ou z.
Nós o chamamos de determinante formal uma vez que não é um determinante formado só por números. A primeira linha é constituída de vetores.
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Como vimos, o produto vetorial de dois vetores já surgiu com uma propriedade importante: é um vetor simultaneamente perpendicular aos dois vetores. Vejamos a seguir mais propriedades do produto vetorial: i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii.
− ∈ℝ − ∈ℝ − ℝ θ
∈ℝ ∈ℝ ∈ℝ∈ℝ ∈ℝ
3 × = ( × ) × ( ) = ( × ) = ( ) × , para quaisquer , 3 e qualquer × = 0, para qualquer
× + ( + )×
3
e qualquer
= × +( × )e = ( × ) + ( × ), para quaisquer , ,
3
3 ( × )× =( . ) ( . ) , para quaisquer , , 2 ( × ). ( × ) = ( . )( . ) ( . ) Se A e B são dois vetores não nulos de 3 e θ é a medida do ângulo formado por A e B, então : × = . .
(Produto misto) .
= ( 1,
×
2, 3)
=
1
2
3
1
2
3
1
2
3
, em que
= ( 1,
2 , 3 ),
= ( 1,
2 , 3 ),
e
5.4. Questões
1) Ache dois vetores mutuamente ortogonais e ortogonais ao vetor (5, 2, -1).
−− − − − − − −–
2) Calcule . , onde: a) b) c)
3) Sejam
= (2, 3,6) e = (8,2, 3) = (1, 8,0,5) e = (3,6,4) = (3, 5,2,1) e = (4,1, 2,5)
= (1, 2,5),
= (3, 1, 2). Encontre:
a) + b) 6 c) 2 5 d) .
4) Ache dois vetores mutuamente ortogonais de comprimento unitário, e ambos ortogonais ao vetor (2,1,3).
− − −
5) Determine o número real positivo c de maneira que os pontos ( 1,1, ) e ( 1,1, vértices de um triângulo retângulo em (0,0,0).
) e a srcem sejam
6) Sabendo que o ângulo entre os vetores (2, 1,-1) e (1,-1,m+2) é 60°, determine .
7) Determine os ângulos do triângulo cujos vértices são (-1,-2,4), (-4,-2,0) e (3,-2,1).
6. Espaços vetoriais
Um espaço vetorial é um conjunto de vetores. As oito propriedades citadas acima devem ser satisfeitas, além de duas operações: soma e multiplicação por escalar. Considerando dois vetores quaisquer de um
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espaço vetorial V, a soma deles deve ser um terceiro vetor que ainda faz parte de V. Se multiplicarmos um vetor de V por um escalar, o resultante também deve ser elemento de V. Em resumo, um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações: Soma: Se , , então + ; Se Produto por escalar: é escalar e , então . Se uma dessas duas operações não for válida para um conjunto W, então é porque o conjunto não é um espaço vetorial. Dizemos que um espaço vetorial é fechado em relação às duas operações (soma e
→ ℝ →∈ ∈ ∈ ∈
multiplicação por escalar). Para saber se um conjunto é um espaço vetorial, verifica-se se as duas operações são válidas e depois se as oito propriedades dos vetores também são válidas.
Observação: O conjunto de todas as matrizes de ordem 2 é um espaço vetorial. Deste modo, os vetores desse espaço são matrizes 2x2.Tal conjunto é designado assim: = 2,2 .
∈ℝ ∈ ∉∉ ≠ ℝ ℝ ∈ℝ ∈ℝ∈ℝ ∃∃−− −∈ℝ −− − −∈ℝ − − − −
Exemplo: Seja o conjunto W = { , 1 / }. Com as duas operações de soma e multiplicação por escalar definidas, verifique se W é um espaço vetorial. Solução: Considere os elementos 3,1 e (5,1) . Assim, i) Soma: 3,1 + 5,1 = (8,2) ii) Produto: 3,1 = 3 , 1, assim não é válido para todo Logo, W não é um conjunto fechado em relação a essas duas operações e, portanto, não é um espaço vetorial.
Exemplo: Verifique se o conjunto 3 é um espaço vetorial. Solução: Sejam = 1 , 1 , 1 , = 2 , 2 , 2 e = ( 3 , 3 i) Soma: + = ( 1 + 2 , 1 + 2 , 1 + 2 ) 3 Multiplicação por escalar: = ( 1, 1, 1) ii) 1. + = 1 + 2, 1 + 2, 1 + 2 = 2 + 1, 2 + 1, 2 + 1 = + 2. + + = 1+ 2 , 1+ 2 , 1+ 2 + = 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 = 1 + ( 2 + 3 , 1 + ( 2 + 3 ), 1 + ( 2 + 3 )] = +( + ) 3. 4.
5.
6.
= [( = [
1 1 1 , 1 , ,1
+ =
1 ), (
1 +( + 1,
1, 1, 1
1 ), (
1, 1, 1
]
1, 1 1 1 ,
1 )]
=
3
e ,
1
+0
.
3, 3, 3
3 / +0 = 1 , 1 , 1 + 0,0,0 = 1 + 0, 0 = 0,0,0 = 1, 1, 1 3/ + = = 1, 1, 1 + 1, 1, 1 = 1 1, 1 1, 1 1 = 0,0,0 = 0 + = 1+ 2 , 1+ 2 , 1+ 2 = 1+ 2 , 1+ 2 , 1+ 2 = ( 1 + 2, 1 + 2, 1 + 2) = ( 1, 1, 1) + ( 2, 2, 2) = 1, 1, 1 + 2, 2, 2 = + + = + + + 1, 1, 1 =[ 1, 1, = [ 1 + 1, 1 + 1, 1 + 1]
= = 7.
3 , 3 ) vetores de
1
+ 0,
1,
1,
+
1
1]
1)
1,
1,
1
=[
1
,
1
,
1
]
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ℝ ∈ ∈ ∈ℝ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ β = ( ) 1 = 1 1,
8.
1, 1
= 1 1, 1 1, 1
1
=
1, 1, 1
=
Exemplo: Considere em V = 2 o produto por escalar usual, mas com a adição, a operação definida por: 1, 1 + 2 , 2 = ( 1 + 2 , 1 + 2 2 ). Determine se V, com essas operações, é um espaço vetorial. Solução: i) 1. Soma: 1 , 1 + 2 , 2 = ( 1 + 2 , 1 + 2 2 ) 2. Produto por escalar: 1, 1 = ( 1, 1) Logo, V é um espaço fechado em relação a essas duas operações. Portanto, temos que verificar as oito propriedades. ii) 1. Associativa na adição: + = 1 , 1 + 2 , 2 = ( 1 + 2 , 1 + 2 2 ) + = 2, 2 + 1, 1 = ( 2 + 1, 2 + 2 1) Como + = + já não é satisfeita, não precisamos mais testar as outras propriedades. V não é espaço vetorial. Exemplo: O conjunto que contém um único objeto, com as operações definidas por: + = = , com Solução: i) Da própria definição no enunciado, o conjunto é fechado em relação às operações de soma e multiplicação por escalar e, portanto, não precisamos verificá-las; ii) Substituindo por : + = + = 1. + = + + = + = + + = + + = + = 2. + + = + + + + = + + = + = 3. Seja o vetor nulo. Logo, + = + = = . Assim, existe vetor nulo, que equivale ao próprio . 4. Seja o vetor oposto. Logo, + = + = = . Assim, existe vetor oposto, que também equivale ao próprio . O vetor oposto de é . + = + = = 5. + = + + = + = + = + = + = 6. ( + ) = + + = + = + = = = = 7. = = = 8. 1 =1 = =
6.1. Questões
∈ℝ ℝ→ℝ ∈ℝ ∈ 1) Verifique que 2) Seja
2,2 =
, , e
é um espaço vetorial com as operações.
o conjunto de todas as funções reais, de variável real, ou seja
+ , para quaisquer funções e
em
e qualquer
}. O vetor soma
é definido por:
+
e para qualquer escalar
={ :
=
o produto
+
é tal que:
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= .
Mostre que , com essas operações, é um espaço vetorial.
7. Subespaços vetoriais Dado um espaço vetorial V, há subconjuntos de V tais que eles próprios também são espaços vetoriais, só que menores. Esses subconjuntos são chamados de subespaços de V. Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não-vazio, será um subespaço vetorial de V se forem válidas as mesmas duas operações de antes: Soma: Se , , então + ; Se Produto por escalar: é escalar e , então . Se ambas as operações forem válidas em W, não é necessário verificar as oito propriedades dos vetores para dizer que W é espaço vetorial, pois elas já são válidas em V, que contém W.
→ ℝ →∈ ∈ ∈ ∈
Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (que são chamados triviais): 1. O conjunto formado somente pelo vetor nulo (a srcem). 2. O próprio espaço vetorial: V é subconjunto de si mesmo. Todo subespaço vetorial tem como elemento o vetor nulo, pois ele é necessário à condição de
∈ ∈ℝ ⇒ ℝℝ =0
multiplicação por escalar: quando
= 0.
∈
Para conferirmos se um subconjunto W é subespaço, basta verificar que + e qualquer , em vez de checar as duas operações separadamente. Exemplo: Em próprio 3 .
, para quaisquer
3 , os únicos subespaços são a srcem, as retas e os planos que passam pela srcem e o
Exemplo: Seja = (3,3), ou seja, o conjunto das matrizes de ordem 3, e W o subconjunto das matrizes triangulares superiores. W é subespaço de V? Solução: Está implícito que V é um espaço vetorial. Assim, verificamos as duas operações para W: + + +
∈ ∈
i) 0 0
0
+ 0 0 0
=
0 0
+ 0
+ +
0 = 0 0 0 0 0 Logo, W é subespaço de V. Observação: as matrizes triangulares inferiores formam um conjunto que também é subespaço, o que também é o caso das matrizes diagonais e das simétricas. ii)
Exemplo: Verifique se o conjunto-solução do sistema linear homogêneo abaixo é um subespaço de = (3,1). 2 +4 + =0 + +2 = 0
− −
2 4 Solução: Temos o seguinte sistema: 1 1 1 3
1+3 0= 0 = 0 2 1 0
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Desta forma, estamos procurando, dentro do espaço vetorial (3,1), os vetores que satisfazem o sistema, isto é, o conjunto dos vetores-solução. Depois precisamos saber se esse conjunto é subespaço de (3,1).
−− −− − ℝ ∈ℝ ∉ − − − − − ℝ ℝ ∈ ∈ − ℝ ℝ ∈ℝ ∉ − ℝ ∈ℝ − − ℝ 1
Assim, considere os vetores-solução:
1
2
e
1
2
2
2 4 1 1 2 2 4 1 1 2 4 1 2 0 0 0 i) 1 1 2 = 1 1 2 2 1 + 2 1 + 1 1 2 = 0 + 0 = 0 1 2 1 3 1 1 3 1 1 1 3 1 2 0 0 0 2 4 1 2 4 1 0 0 1 1 ii) 1 1 2 = = 0 = 0 1 1 1 2 1 1 3 1 1 1 3 1 1 0 0 O resultado de (i) e (ii) ainda pertence ao conjunto dos vetores-solução e, portanto, ele é subespaço de (3,1). Exemplo: Seja = 2 e Solução: Se escolhermos Exemplo: Seja = subespaço de V. Solução:
={ , 2 / }. Verifique se W é subespaço de V. = 1,1 e = (2,4), temos + = (3,5) . Logo, W não é subespaço.
( , ) e W o subconjunto de todas as matrizes em que
11
< 0. Verifique se W é
i) é satisfeita, poisque ainda gera uma matriz em que 11 < 0. ii)ASecondição fizermosde soma , com < 0, temos 11 da nova matriz será maior que zero. Assim, W não é subespaço.
Exemplo: Verifique se o conjunto solução do sistema linear não-homogêneo abaixo é um subespaço. 2 +4 + =1 + +2 = 1 +3 =0 Solução: 2 4 1 1 1 2 Temos o seguinte sistema: 1 1 2 = 1 e os seguintes vetores-solução: 1 e 2 . 1 3 1 0 1 2 Assim, 2 4 1 2 4 1 2 4 1 1 1 2 1 2 1 2
2 . 1 + 1 1 2 . 2 = 1 + 1 = 2 1 1 1 3 1 2 0 0 0 2 1 O vetor dos termos independentes resultante 2 é diferente do vetor do sistema linear 1 . 0 0 Logo, o conjunto dos vetores-solução não é um subespaço de M(3,1). i) 1 1 1 3
2 . 1
1 1
+
2 2
= 1 1 1 3
2 , verifique se S é subespaço de Exemplo: Seja = 1 , 2 / 2 = 2 1 . Sendo S subconjunto de Solução: i) 1 , 2 1 + 2 , 2 2 = 1 + 2 , 2 1 + 2 2 = 1 + 2 , 2( 1 + 2 ) ii) 1 , 2 1 = 1 , 2 1
Exemplo: Verifique se = Solução: i) = , 2 +1 / subespaço vetorial de 2 . Exemplo: Verifique se Solução:
=
,
2
= 2 + 1 é subespaço de
/
. Como (0,0)
, ,
3
2.
, pode-se concluir que o subconjunto
/
2
2.
4 = 6 é subespaço de
não é um
3.
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ℝ ℝ
= 6+2 +4 , , ; , . Tomando = 0 e = 0 temos (6,0,0). Como (0,0,0) , então não é um subespaço vetorial de 3 .
i)
∉
7.1. Questões
1) Mostre que os seguintes subconjuntos de a) W = {(x, y, z, t) b) U = {(x, y, z, t)
∈ℝ∈ℝ
4
4
ℝ
4
são subespaços
/ x + y = 0 e z – t = 0} / 2x + y – t = 0 e z = 0}
2) Considere o subespaço S = [(1, 1, -2, 4), (1, 1, -1, 2), (1, 4, -4, 8)] de 2
a) O vetor ( 3, 1, -1, 2) pertence a S? b) O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S?
ℝ
4.
3) Nos problemas que seguem, determine se W é ou não um subespaço do espaço vetorial: a) b)
ℝ ℝ ≤ ℝ =
3,
=
2;
1
=
= {( , );
0 ,
2
+
2
2
={ , ,
; =
= }e
3
={ , ,
; = }
1};
4) Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de
3?
a) (x,y,z), tais que z = x 3
b) (x,y,z), tais que z = x + y; c) (x,y,z), tais que z >= 0; d) (x,y,z), tais que z = 0 e xy >= 0; e) (x,y,z), tais que x = z = 0; f) (x,y,z), tais que x = -z; g) (x,y,z), tais que y = 2x + 1; h) (x,y,z), tais que z 2 = x2 + y2. 5) Determine se W é subespaço de a) a = 2b
ℝ
3
∈ℝ
ou não, onde W consiste nos vetores ( , , )
3 para os quais:
b)a ≤ b ≤ c
c)ab = 0 d)a = b = c
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6) Seja W o conjunto de todos os vetores em W é um subespaço de
ℝ
4?
ℝ
4 de forma (x, x+y, y, 2x + 3y), onde
3
7) Seja W o conjunto de todos os vetores do
∈ℝ
da forma (x, y, x 2 + y2), onde ,
,
.
ℝ ∈ℝ ∈ℝ ℝℝ ℝ ∈ℝ ℝ ∈ℝ ∈ℝ≤ ℝ ℝ ℝ
W é um subespaço de
3?
4
8) Seja W o conjunto de todos os vetores W é um subespaço de
.
da forma (x, y, x+1, 2x + y – 3), onde ,
.
4?
9) Dados os conjuntos W em cada espaço vetorial V indicado proceda assim: i) Reescreva W apresentando seu vetor genérico; ii) Verifique se W é subespaço vetorial de V. 4 ; = e = 2 } sendo = 4 ; a) = {( , , , ) b) W é o conjunto de todas as matrizes identidade de ordem × , sendo = 2; c) = {( , ) 0} sendo = 2 ; d = {( , 2 , 3 ); } sendo = 3 .
( , );
10) Considere o subespaço de 3 gerado pelos vetores v1=(1,1,0), v2=(1,-1,1) e v3=(1,1,1). O espaço gerado por esses vetores é igual ao 3 ? Por quê?
8. Interseção, união e soma de subespaços 8.1. Interseção
Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V, a interseção
∩ 1
2
sempre será subespaço de V.
Prova: Inicialmente observamos que 1 2 nunca é vazio, pois ambos contêm o vetor nulo de V. Assim, basta verificar as condições de soma e produto por escalar apresentadas anteriormente para os 1 2 subespaços. Suponha então + 1 W1 é subespaço ↔
∈∈∈∈∩ ∈ ℝ ∩
W2 é subespaço ↔
+
1
2
2
Exemplo: Seja
=
3,
1
2
∈ ∈ ∩∩
, deste modo →
+
é a reta de interseção dos planos
1
2
1
1
e
2
2.
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∩ ∈ ∈ ∈ ′ ′ ′ ∈∈ ′ ∈∈ ′∈∈ ′ ′ ′ ∈ ′ ∈ ′∈∈ ∩ ⨁ Exemplo: Seja
=
1
2
( , )e
= 2 ={
1
}
=
, então
.
8.2. Soma
Podemos construir um conjunto que contenha 1 e 2 e ainda é subespaço de V. Este conjunto será formado por todos os vetores de V que forem a soma de vetores de W1 com vetores de W 2. / = + 1+ 2 = 1 2 Prova:
Dados:
=
= Temos que:
+
1
+
2
+
1+
2
1
1
2
2
1+ 2 + = + + + = + + + = + = + 1 2 1+ 2 Caso os dois subespaços sejam retas não-colineares, a soma deles equivale ao plano formado por elas. Se as parcelas 1 e 2 têm interseção 1 2 = 0 , a soma 1 + 2 é dita soma direta e é denotada por 1 2.
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Exemplo: Seja
Apostila de Álgebra Linear
∩ ∈ℝ
e 0 0 Esta é uma soma direta, pois 1
=
=
2
1
0 0 , onde a, b, c, d 0 0 = 0. 2 = 0 0
, então
1
+
2
=
=
(2,2).
8.3. União
∈ℝ ∈ℝ ∈ℝ ∈ℝ
A união de dois subespaços 1 e 2 , diferente da soma, é um conjunto que contém exatamente todos os elementos de 1 e de 2 . Deste modo, nem sempre a união de subespaços é um subespaço. Exemplo:
1
2
= ( , 0) / = (0, ) /
= =
(1,0) / (0,1) /
∩ ∪ ℝ ∉ ∪
W1 e W2 são retas que passam pela srcem. Assim, 1 2 = 0 e 1 2 é o feixe formado pelas duas retas, que não é subespaço vetorial de 3 . De fato, se somarmos os dois vetores , vemos que + está no plano que contém 1 e 2 , mas + 1 2.
8.4. Questões
1) Sejam
1
4|
= {( , , , )
+
=0e
= 0} e
2
= {( , , , )
4|
+ = 0}
ℝ ∩∈ℝ − ∈ℝ −− ∩ ℝ
subespaços de
4.
a) Determine
1
2
b) Exiba uma base para c) Determine
1
+
1
2
2
d)
1
+
2
é soma direta? Justifique.
e)
1
+
2
=
4?
9. Combinação linear Considere um conjunto de vetores qualquer, pertencente a um espaço vetorial V. Já foi mostrado que somar estes vetores entre si em qualquer combinação resultará em um vetor pertencente a V. Também
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foi mostrado que multiplicar cada vetor por um escalar também gera um resultado pertencente a V, caso contrário V não seria um espaço vetorial. De fato, sejam 1 , 2 , , e sejam os escalares 1 , 2 , , . Então qualquer vetor da forma = 1 1+ 2 2+ + é um elemento do mesmo espaço vetorial V. Por ter sido gerado pelos vetores primitivos 1 , , , o vetor é denominado o resultado de uma combinação linear de 1 , , .
… ∈ …… ∈ℝ … … … − − − − −
O conjunto de escalares { 1 , , } é arbitrário, mas sendo um conjunto de números reais, o vetor sempre pertencerá a V. O vetor não é único, pois para cada combinação de escalares pode gerar um vetor diferente. Exemplo: O vetor = ( 4, 18,7) é combinação linear dos vetores que pode ser escrito como = 2 1 3 2 .
9.1. Questões
1) Quais dos seguintes vetores são combinação linear de
− − − − − − − −− − − − 1
= 4,2, 3 , 2 = (2,1, 2) e a) (1,1,1)
3
2
= (2,4, 1), já
1, 2
e
3?
−−
2, 1,1
d) ( 1,2,3)
2) Escreva
= 1, 3,2 e
= ( 2, 1,0)
b) 4,2, 6 c)
1
como combinação linear de
a)
= 3
1
b)
1 2 2 1 = 1 2
3) Considere os vetores
− − − =
1 0
1 , 1
=
= (2, 1,1) em
1 0
1 , onde: 0
3.
a) Escreva (1,7, 4) como combinação linear de
e .
b) Escreva (2, 5,4) como combinação linear de
e .
o vetor (1, , 5) é uma combinação linear de
d) Procure uma condição para ,
4) Determinar o valor de 2 = (2,4,1).
=
− ℝ − −
= (1, 3,2) e
c) Para que valor de
1 1 , 1 0
e ?
e de modo que ( , , ) seja combinação linear de
para que o vetor
= ( 1, , 7) seja combinação linear de
1
e .
= (1,3,2) e
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10.Subespaços gerados
… … … ∈ … … ∈ ∈ℝ …≤≤ … ℝ ∈ ≠ ∈ℝ
Um conjunto de vetores { 1 , 2 , , } pode construir vetores por meio de combinação linear. Fazendo todas as combinações possíveis (isto é, fazendo cada escalar ter todos os valores reais possíveis), o conjunto constrói uma infinidade de vetores que compõem um conjunto expandido. Esse conjunto é um subespaço vetorial. O conjunto 1 , , é chamado de conjunto de vetores de base, pois, em termos formais, ele gerou o subespaço W, definido abaixo. Definição: Um subespaço gerado por um conjunto de vetores = 1 , , é o conjunto de todos os vetores V que são combinações lineares dos vetores 1 , , . = 1, , ={ / = 1 1 +...+ +...+ , ,1 } Obs.: A notação de colchetes informa que o conjunto W é o conjunto gerado por 1 , , . Não confundir com o próprio conjunto gerador 1 , , . Ou seja, 1 , 2 é um conjunto com infinitos vetores formados da combinação destes dois e { 1 , 2 } é um conjunto com apenas dois vetores. Exemplo: Seja = 3 e (sendo 0), então ={ , } é a reta que contém o vetor , pois é o conjunto de todos os vetores com a mesma direção de que tem srcem em (0,0).
∈ℝ ≠
3 são tais que Exemplo: Se 1 , 2 passa pela srcem e contém 1 e 2 :
1
2
qualquer que seja
∈ℝ , então
1, 2
será o plano que
≠
A condição 1 2 é importante para garantir que os dois vetores gerem um plano. Caso ela não seja satisfeita, os vetores 1 e 2 seriam colineares, e não existira nenhuma combinação deles que pudesse gerar um vetor que não pertencesse à reta que eles geram.
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Nota-se que um conjunto gerador de dois elementos que um é combinação linear do outro equivale a um conjunto gerador com apenas um desses dois elementos. Assim, se 3 1 , 2 , então 1 , 2 , 3 = 1 , 2 , pois todo vetor que pode ser escrito como combinação linear de 1 , 2 , 3 é uma combinação linear apenas de 1 e 2 , já que 3 é combinação linear de 1 e 2 .
∈
Exemplificando:
Seja = { 1 , 2 , 3 } tal que 3 = 1 + 2 . Um elemento qualquer do conjunto gerado por B é da forma: = 1 1+ 2 2+ 3 3= 1 1+ 2 2+ = 1+ 3 1+ 2+ 3 2= 1
3(
1
1+
+
2)
2 2
ℝ ∈ ∈ℝ
Exemplo: Seja = 2 , 1 = (1,0) e 2 Assim, = 1 , 2 , pois dado = ( , 1 0 e = 0 Exemplo: Seja 1 = 2 0 0 0
= (0,1). , temos ) 1 , então , 1 0
,
2
=
=
1,0 + (0,1), ou seja,
0 0
=
1
+
2.
,
Observa-se que se em um conjunto gerador existir algum vetor que é combinação linear de outros elementos do próprio conjunto gerador, esse elemento é inútil. Eliminá-lo do conjunto gerador não modifica o conjunto gerado. Tal propriedade pode ser verificada lembrando que a combinação linear é uma soma de vetores, e que a parcela da soma do vetor que é gerado por outros pode ser substituída pelos próprios vetores que o geram. Assim, qualquer elemento do conjunto gerado por B pode ser escrito como combinação linear de apenas
1
e
2 . Surge então a necessidade de verificar quando um vetor é combinação linear de outros.
10.1.
Questões
1) Quais dos seguintes conjuntos de vetores é um conjunto gerador de a) {(1,0,0,1); (0,1,0,0); (1,1,1,1); (0,1,1,1)}
− − −
ℝ
4?
b) {(1, 1,0,2); (3, 1,2,1); (1,0,0,1)} c) {(0,0,1,1); ( 1,1,1,2); (1,1,0,0); (2,1,2,1)}
2) Resolva o seguinte sistema, usando a Regra de Cramer:
2 +
−− 2 + 5
=1 =3 =4
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11. Dependência e Independência Linear Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (freqüentemente indicado por LI) quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros (lembrar o conceito de combinação linear apresentado anteriormente). Naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros.
… ∈ … … … ≠ … … 1,
Sejam V um espaço vetorial e 1,
Dizemos que o conjunto equação
,
,
.
ou que os vetores
1,
1 1 +...+
admitir apenas a solução trivial, isto é: Se existir algum dependentes (LD).
0, dizemos que
Em outras palavras, o conjunto dos outros.
1,
1
,
são linearmente independentes (LI) se a
=0
= .. .=
1,
,
= 0
ou que os vetores
1,
,
são linearmente
é LD se, e somente se um destes vetores for combinação linear
,
Prova:
…− ≠ − − ∙… …⋯ − ∙ − ∙ ⋯ ∙ ∙ ⋯− ⋯ ∙ − 1,
Sejam Então
,
1
=
Portanto,
LD e
1 1 +...+
1 1 +...+
1
=
1
Logo,
=
1
+
+1
= 0. Suponha que
0 (para ser LD).
.
+1 +...+
é combinação linear.
Por outro lado, se tivermos
Então,
+...+
1
+
+
1,
, ,
1
1
+
+
,
+
tal que para algum 1
1
+
+1
+1
+
+
=0
1 e, portanto, V é LD.
A Independência Linear tem uma interpretação geométrica útil: 2
i)
∈
∙
1, 2 1 , 2 é LD se e somente se 1 e 2 estiverem na mesma reta quando Seja = com e seus . iniciais colocados pontos na srcem 1 = 2 *são pararlelos:
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ii)
Apostila de Álgebra Linear
Seja = 3 e 1 , 2 , 3 e . 1 , 2 , 3 é LD se estes 3 vetores estiverem no mesmo plano quando colocados com seus pontos iniciais na srcem:
Exemplo: Os vetores v1 (2,2,0) , v2 (0,5, 3) e v3 (0,0,4) são LI ou LD? Solução: Verificando a expressão a1 (2,2,0) a2(0,5, 3)
a3(0,0,4) (0,0,0)
2a1 0 a1 0 2a15 0a 0 a2 2 3a4 0a 0 a3 2 3
Logo, como o sistema admite somente a solução trivial, os vetores são LI. 11.1.
Questões
− −
1) Considere dois vetores ( , ) e ( , ) no plano. Se 0, mostre que eles são LI.
= 0, mostre que eles são LD. Se
−≠
2
2) Para quais valores de o conjunto de vetores {(3,1,0); ( + 2,2,0)} é LD? 3) Verifique se os polinômios seguintes são linearmente dependentes ou independentes. a)
2
2 + 3, 2
2
+ +8e
2
+8 +7
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II Curso Pré-Engenharia b)
Apostila de Álgebra Linear
− − − ∈ℝ − − ∈ℝ− − ∈ℝ − − − 2
1, + 1 e + 2
4) Ache as relações lineares não triviais satisfeitas pelos seguintes conjuntos de vetores. a) (2,1,1), 3, 4,6 e (4, 9,11) b) (2,1), ( 1,3) e (4,2)
3
2
c) (1,0,2,4), 0,1,9,2 e ( 5,2,8, 16) d) (1,4), 3, 1 e (2,5)
4
R4
2
5) Verifique se o conjunto a seguir é LD ou LI: {(1,2 ,
2 ),(2,
,3
2 ),(3,
4 ,7
2 )}.
12. Base de um espaço vetorial Considere um espaço vetorial V. Admita a existência de um subconjunto B desse espaço (não necessariamente um subespaço) tal que B gere V por combinação linear. Notar que para um espaço particular V, B não é único, vários conjuntos B distintos podem gerar V. De fato, o próprio V pode gerar ele mesmo. Porém, é mais simples trabalhar com conjuntos menores, e é de interesse resumir um grande conjunto V em um pequeno conjunto B. Foi verificado acima que dentro de B quaisquer elementos formados por combinações lineares dos outros são “inúteis”. Ou seja, se B for um conjunto LD, existe pelo menos um vetor “inútil”, que pode ser eliminado para tornar B menor e mais simples. O processo pode
continuar até que B se torne LI. Se B é LI, e ainda consegue gerar V (Lembre-se que a eliminação de elementos LD de um conjunto gerador não modifica o conjunto gerado) é denominado base.
Uma base de um espaço vetorial é um conjunto LI gerador deste espaço. É também a maneira mais simples de “resumir” o espaço.
Condições:
… …
i) { 1 ,
,
} é LI
ii) 1 , , = (O conjunto gera V) Atenção! Todo conjunto LI de um vetorial V é base de um subespaço gerado por ele.
Exemplo: Prove que B {(1,1),(1, 0)} é base de R 2 Solução: 1,0) i) a (1,1) b (
b , ) (0, 0) a b B0 (0,0) (aa
é LI
b ( yx ( , ) 1,0) ii) a (1,1)
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Apostila de Álgebra Linear b y x a bx B R gera a y
a(ya bx ,) (,)
Exemplo: Prove que {(0,1),(0,2)} Não é base de R
2
2
Solução: i)
b (0,2 ) (0,0 ) a (0,1) (0, a b2 ) (0, 0) a b
2
ℝ ∙ ℝ ∙ ⟹ Mas como
e
não são necessariamente zero, o conjunto é LD.
1,0,0 , 0,1,0 não é base de
Exemplo:
1,0,0 +
, ,0 =
Como o base.
3
0,1,0 =
, ,
ℝ ≠ℝ 3 , isto é,
1,0,0 , 0,1,0
3
=0
não é composto apenas de pontos com a coordenada z nula, os dois vetores não podem ser
=
Exemplo:
, ,
3 . É LI, mas não gera todo
2,2 .
1 0 0 1 0 0 0 0 ; ; ; é uma base de . 0 0 0 0 1 0 0 1
Observação: Existem espaços que não tem base finita, principalmente quando trabalhamos com espaços de funções. Então, precisaremos de um conjunto infinito de vetores para gerar o espaço. Isto não implica que estamos trabalhando com combinações lineares infinitas, mas sim, que cada vetor do espaço é uma combinação linear finita daquela “base infinita”. Ou seja, para cada vetor dado, podemos escolher uma
quantidade finita de vetores da base para escrevê-lo. Por exemplo, o conjunto de todos polinômios de coeficientes reais formam um espaço vetorial. Uma base naturalmente definida é {1, , 2 , 3 ,...} , que é infinita, pois não há restrição para o grau do polinômio. Porém, para formar um polinômio particular é possível utilizar um número finito de elementos da base.
…
Teorema: Sejam 1 , , vetores não nulos que geram um espaço vetorial podemos extrair uma base de . Prova: i) Se
… 1,
,
. Dentre estes vetores
são LI, eles cumprem as condições para uma base e não temos mais nada a fazer.
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II Curso Pré-Engenharia
Apostila de Álgebra Linear
… ∙ … ∙ ≠ −∙ − ∙ −⋯−− − ∙ − − … − … … …− ≤
ii) Se 1 , , são LD, então existe uma combinação linear deles com algum coeficiente diferente de zero, dando o vetor nulo: 1 1 + + =0
0, então:
Por exemplo, seja
1
2
1
1 2 1. = Ou seja, é uma combinação linear de 1 , , 1 e, portanto 1 , , 1 ainda geram . Se 1 , , ainda for LD, podemos prosseguir da mesma forma até chegar a um subconjunto 1 com que ainda geram , ou seja, formaremos uma base. 1, ,
Isto é, de um espaço gerador qualquer é possível retirar elementos “inúteis” até que ele se torne uma
base. Veremos agora uma propriedade curiosa dos espaços vetoriais: o número de elementos de qualquer base de um espaço vetorial particular é constante, independe da base escolhida. Este número é uma propriedade inerente à natureza do espaço.
… …
Prova: Como 1 , , base. Considere agora
…… 1,
,
. Então, qualquer
= , então podemos extrair uma base para . Seja { 1 , , vetores de , com > . 1, 2, ,
,
} com
Teorema: Seja um espaço vetorial gerado por um conjunto de vetores conjunto LI tem no máximo " " vetores.
≤
, esta
Então, existem constantes tais que:
∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙ …⋮∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 1
2
()
= =
=
+ 1+
11
1
21
1
1
1
+
2 +...+
1
22
2 +...+
2
+
1
1,
Consideremos agora uma função linear de
( )0 =
12
2
2 +...+
2
,
dando zero:
2 +...+
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ … ∙ ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙ ∙ ∙
Substituindo ( ) em ( ), temos:
0=
0=
Como
1, 2,
1
11
11
1
,
+
1
+
21
12
2 +...+
2 +...+
1
1
+...+
1
+
1
+
1
1
1
+
+ 2
2 +...+
2
+...+
são LI, então os coeficientes dessa equação devem ser nulos:
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∙∙ ⋮ ∙∙ 11
1 +...
1
1 +...
1
Apostila de Álgebra Linear
=0 =0
Temos então um sistema linear homogêneo com
≤
…
equações e
incógnitas
1,
,
…
< , ,ele, admite uma solução não trivial, ou seja, existe uma solução com algum Portanto são LD. 1 12.1.
Questões
e, como não nulo.
1) Quais são as coordenadas de x = (1,0,0) em relação à base β = {(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1)}?
13. Dimensão
A dimensão de um espaço vetorial é definida como o número de vetores de uma base de denotada por . Se não possui base, = 0.
e é
Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos e o número de bases para cada espaço vetorial é infinito.
Exemplo: Exemplo: Exemplo: Exemplo: Exemplo:
ℝ ℝ ℝ 2
= 2, pois toda base do
2
tem dois vetores, como { 1,0 ; 0,1 } ou { 1,1 ; 0,1 }.
= .
2,2 = 4. ,
=
.
=
+ 1 (polinômios de grau n).
Exemplo: dim 0 = 0, pois a srcem é apenas um ponto.
Observação: Quando um espaço vetorial V admite uma base finita, dizemos que V é um espaço vetorial de dimensão finita.
Teorema: Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado de modo a formar uma base de V. Prova: Seja i) ii)
=
e
1,
,
vetores LI, com
.
… …∈ … ∉ … … ≤ … … ∉ … … …
Se 1 , , = , então = e o conjunto forma uma base. Se existe +1 tal que +1 , isto é, +1 não é uma combinação linear de 1 , , , 1, , então { 1 , , , +1 } é LI. Se 1 , , , +1 = , então { 1 , , , +1 } é a base procurada. Caso contrário, existe +2 1 , , , +1 e { 1 , , , +1 , +2 } é LI. Se 1 , , , +1 , +2 = ,
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nossa prova está concluída. Se não, prosseguimos analogamente. Como não poderemos ter mais do que n vetores LI em V, então após um número finito de passos teremos obtido uma base de V.
Teorema: Se
= , qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V.
Prova: Se não formasse uma base, poderíamos completar o conjunto até formá-la e dessa forma teríamos uma base com mais do que n vetores em V, o que é um absurdo.
≤
Teorema: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, então e . Além disso:
− ∩
dim
+
=
+
dim (
≤
)
ℝ
Para permitir uma interpretação geométrica, consideramos o espaço tridimensional 3 . A dimensão de qualquer subespaço S de 3 só poderá ser 0,1,2 ou 3. Portanto, temos os seguintes casos:
ℝ ℝ − ∩
i) ii) iii) iv)
= 0, então = {0}. Ou seja, o subespaço é a srcem (apenas um ponto); = 1, então S é uma reta que passa pela srcem; = 2, então S é um plano que passa pela srcem; = 3, então S é o próprio 3 .
13.1.
Questões
1) Ilustre com um exemplo a proposição: “se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita então dim + = + dim ( ) ”. 2) Escreva uma base para o espaço vetorial das matrizes 2 × 2. Qual a dimensão desse espaço?
3) Resolva a questão anterior espaço de matrizes × ? considerando o espaço das matrizes 3 × 3. E qual seria a dimensão de um 4) Seja V o espaço das matrizes 2 × 2, e seja W o subespaços gerado por
− − − − ℝ 1 4
5 , 1 1 , 2 1 5 5 2
Encontre uma base e a dimensão de W. 5) Considere o subespaço de
− 3
=
2,2,1,1 e
4
4
gerado pelos vetores
= (1,0,0,0).
4 1 , 7 5
= (1, 1,0,0),
7 1
2
= (0,0,1,1),
− ℝ
a) O vetor (2, 3,2,2) pertence a [ 1 , b) Exiba uma base para [ 1 , c)
1
− − − −
1, 2, 3, 4
=
2 , 3 , 4 ]? Justifique.
2 , 3 , 4 ]. Qual a dimensão?
4 ? Por quê?
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14. Mudança de base
… ∈ ′ …
Sejam = { , , dimensão . Dado u v x u1 1 ...x (i) yw v y w1 1 ...
} e = { , , } duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial V de , podemos escrevê-lo como:
n n
n
Devemos relacionar Já que {
… 1,
n
… ′ … 1
=
.
=
} é base de V, podemos escrever os vetores
u1 au a u... w1 a11 21 2 1 w au a u a u... 2 121 22 2 2 (ii) ... un... wn anu1a1 un 2 2 a nn
1
com
n
como combinação linear dos vetores
:
n
n
n
Substituindo (ii) na segunda equação de (i), temos:
v y w1
=
1
...yw
y1 ( a11 u1
n
a21 u2
n
a...u1
n
) + ... + yn ( a1un 1a 2un 2
n
(a11 y1 ... a1 y u 1nn) ...a y( a...y u 11 n
Mas v x u1
1
...x u
n n
nnn n
)
a...unnn
)
, e, como as coordenadas em relação a uma base são únicas, temos:
x1 1 a 11 y ... 1 a n yn ↔ ... xn na 1 y1 ...nnn a y
1
11
… ⋮ =
1
1
…⋱ ⋮ …
1
… … ⋮ ……⋱ ⋮ ′ ′ ′ ′
A matriz dos coeficientes está atuando como uma matriz de mudança de base, pois transforma o vetor
′
1
=
1
em outro
=
, numa segunda base. Assim: 11
1
=
1
Esta é a matriz de mudança de base da base
Uma vez obtida
para a base .
, podemos encontrar as coordenadas de qualquer vetor
multiplicando a matriz pelas coordenadas de conhecidas).
em relação à base
em relação à base
(ambas as bases supostamente
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′ ′ =
′ − − ′ ′ −− −− Observação: Note que a matriz
Questão: Calcule
de
é obtida de (ii) transpondo a matriz dos coeficientes.
= (5, 8) para
= { 2, 1 ; 3,4 } e
Solução 1:
i) Inicialmente, procurando
, então colocamos
′
= { 1,0 ; 0,1 }.
em função de :
w1 = 1, 0 = a11 2, 1 + a21 3, 4 = 2a11 + 3a21 , a11 + 4a21 w2 = 0, 1 = a12 2, 1 + a22 3, 4 = 2a12 + 3a22 , a12 + 4a22
4
3
−
1
2
11
= 11 ;
12
=
11
;
21
= 11 ;
22
= 11
Dessa forma,
I
3 4 11 11 a22 1 2 11 11
a 11 a21
a12
ii) 5, 8
I 5,8
3 4 11 5 4 11 1 2 3 1 11 11
1) 1(3, 4) ; Isto é, (5, 8) 4(2, 1) Solução 2: Basta resolver o sistema: (5, 8) a(2,
b(3,4)
2a 3b 5 a 4 a 4b 8 b 1
Observação: O cálculo feito da matriz de mudança de base só é vantajoso quando se trabalha com vários vetores, para não ter que resolver um sistema de equações a cada vetor. 14.1.
A inversa da matriz de mudança de base
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II Curso Pré-Engenharia
Apostila de Álgebra Linear
′ ′ ′ ′
Um fato importante é que a matriz para encontrar 14.2.
′
=
.
′ − ′ 1
=
. Dessa forma, podemos usá-la
Questões
1 1) Se [ ]
pois
é invertível e
1
0
1
− − ′ −
= 0 1
01
11 , ache [ ] onde [ ] = 2 3 .
′ ′ ′ ′ − ′
2) Se α é base de um espaço vetorial, qual é a matriz de mudança de base [
] ?
3) Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 × 2 triangulares superiores. Sejam 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 que = e = . , , , , 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
e
duas bases de V tais
a) Ache [ ] .
b) Mostre que
1
=
.
4) Uma elipse em uma base cartesiana está rotacionada em um ângulo de 45° e sua base é formada pelos vetores {(1,0); (0,1)}. Ache a matriz de mudança de base para uma nova base onde os vetores sejam respectivamente ( 1,1) e (2,2).
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