Analisa rangkaian DC

Analisa rangkaian DC Apa itu analisa rangkaian?

Secara umum, analisa rangkaian adalah suatu teknik analisa rangkaian secara matematis (rangkaian adalah komponen-komponen komponen-komponen yang yang saling terhubung). Sering sekali para teknisi dan insinyur menemukan rangkaian yang berisi sumber yang berjumlah lebih dari satu atau suatu rangkaian yang susunan komponenya sangat sulit untuk diselesaikan menggunakan aturan rangkaian seri-paralel. Karena itulah, digunakan analisa rangkaian. Untuk mengilustrasikan bagaimana suatu rangkaian sederhana dapat dianalisa dengan memecah menjadi bagian seri dan bagian paralel, kita mulai dari rangkaian ini:

Untuk menganalisa rangkaian di atas, pertama-tama harus dicari rangkaian ekivalen dari R 2 dan R3 yang disusun paralel, lalu menambahkan dengan R 1 yang disusun seri hingga mendapatkan resistansi totalnya. Lalu, kita dapat memperoleh nilai arus total dengan menggunakan hukum Ohm dengan cara I = E/R, lalu arus yang didapat ini digunakan untuk  mendapatkan tegangan pada masing-masing resistor. Semuanya dalam prosedur yang sederhana. Namun, apabila rangkaian tersebut ditambah sebuah baterai lagi maka akan berubah menjadi:

Resistor R2 dan R3 tidak lagi tersusun paralel satu sama lain, karena baterai B 2 telah dimasukkan ke dalam cabang dari resistor R 3 pada rangkaian. Bila kita cari-cari lagi, kita tidak mungkin bisa menemukan dua resistor yang saling terhubung seri atau paralel secara

langsung. Oleh karena itu, analisa seri-paralel tidak bisa digunakan untuk menganalisa rangkaian seperti ini. Kalau sudah tidak ada lagi resistor yang bisa disederhanakan dengan cara seri-paralel, maka apa yang bisa kita lakukan? Bukan hanya rangkaian ini yang tidak bisa diselesaikan dengan cara seri-paralel, perhatikan  juga rangkaian rangkaian ini:

Ini adalah rangkaian jembatan, apabila rangkaian tidak berada dalam kondisi seimbangnya (rasio R1 /R4 tidak sama dengan R 2 /R5). Bila jembatan itu seimbnag, maka arus yang melewati  –  - R 4 || R 2  –  –  R3 adalah nol, dan jembatan itu bisa diselesaikan dengan cara seri-paralel (R 1  – R5). Namun, apabila rangkaian tidak seimbang, maka arus yang melewati R 3 membuat analisa seri-paralel tidak memungkinkan. R 1 tidaklah seri dengan R 4 karena ada jalur lain bagi elektron untuk lewat melalui R 3. Begitu juga dengan R 2 dengan R 5 tidak bisa dianalisa secara seri-paralel karena alasan yang sama. Begitu pula dengan R 1 tidaklah paralel dengan R2 karena R3 memisahkan titik bawahnya. bawahnya. Meskipun saat ini tidak tampak, inti permasalahan yang sebenarnya adalah adanya banyak  nilai yang tidak diketahui. Paling tidak pada analisa seri-paralel, kita bisa menemukan arus total dengan cara menyederhanakan rangkaian dari resistor. Jadi bagaimana kita menyelesaikan suatu rangkaian dimana nilai yang tidak diketahuinya ada banyak? Jawabannya adalah dengan menggunakan proses matematika yang disebut sistem persamaan (simultaneous equations atau systems of equations,) dimana, nilai-nilai yang tidak  diketahui ini dibuat dalam bentuk variabel-variabel yang dimasukkan ke dalam suatu persamaan-persamaan persamaan-persamaan matematis. Metode Arus Cabang

Teknik analisa rangkaian yang pertama adalah metode arus cabang (atau analisa mesh). Dalam metode ini, kita mengumpamakan arah arus pada rangkaian itu, lalu menulis persamaan-persamaan yang mendiskripsikan hubungan-hubungan dari hukum Kirchhoff dan Ohm. Setelah kita mendapatkan semua persamaan dari semua nilai arus yang tidak diketahui, kita dapat menyelesaikan menyelesaikan persamaan serempak (simultaneous equation) dan menemukan nilai semua arus, sehingga nilai tegangan pada semua rangkaian dapat dihitung. Mari kita lihat ilustrasi dari metode ini:

Langkah pertama adalah memilih sebuah node (atau titik sambungan) pada rangkaian yang digunakan sebagai titik referensi dari arus-arus yang tidak diketahui. Kita akan memilih node yang menghubungkan R 1 dengan R2 dan juga R3.

Pada node ini, ada tiga nilai arus yang tidak diketahui yang dinamakan I 1, I 2, dan I3. Anggap saja arah yang dipilih seperti ditunjukkan pada gambar. Arah dari arus ini dipilih secara sembarang, anda tidak perlu kawatir apabila arah arus perumpamaan ini salah, karena dari hasil perhitungan matematis nanti akan diketahui “salah tidaknya” arah perumpamaan yang kita ambil, indikasinya apabila arah yang kita ambil salah yaitu hasil perhitungannya arusnya adalah negatif.

Hukum arus Kirchhoff  (Kirchhoff’s Current Law atau disingkat KCL) menyatakan bahwa  jumlah aljabar arus yang masuk dan keluar pada suatu titik adalah nol, atau jumlah arus yang masuk sama dengan jumlah arus yang sama. Jadi dari sini, ketiga arus (I 1, I2, I3) dapat dituliskan dalam suatu persamaan. Untuk mempermudah, kita akan menyatakan arus yang “masuk” node sebagai tanda positif, dan arus yang “keluar” bertanda negatif: KCL diterapkan pada node yang dipilih menghasilkan persamaan : I1 – I2 + I3 = 0 Langkah selanjutnya adalah menentukan polaritas tegangan dari resistor-resistor berdasarkan arah arus yang kita asumsikan tadi. Ingat bahwa terminal resistor yang dimasuki arus (arah konvensional) merupakan terminal tegangan yang bertanda positif. Polaritas baterai, terminal yang lebih panjang berarti positif sedangkan yang pendek negatif. Arus konvensional mengalir dari terminal positif menuju negatif. Apabila arah arus yang kita umpamakan tadi tidak sesuai dengan arah arus yang ditimbulkan baterai tidak apa-apa, dihiraukan saja dankita tetap konsisten menggunakan arah arus yang kita umpamakan tadi karena tanda yang sebenarnya ditentukan dari hasil perhitungan nantinya.

Hukum tegangan Kirchhoff (Kirchhoff’s Voltage Law atau disingkat KVL) menyatakan bahwa jumlah aljabar semua tegangan pada loop tertutup haruslah sama dengan nol, jadi kita dapat membuat persamaan lagi (dalam bentuk arus I 1, I2, dan I3). Untuk mendapatkan persamaan dari KVL, kita harus menghitung drop-drop tegangan yang terjadi dalam loop, untuk contoh kali ini, kita akan menggunakan voltmeter. Kita akan memulainya dari pojok  kiri atas dan bergerak berlawanan arah jarum jam seperti ditunjukkan pada gambar-gambar ini: Voltmeter menunjukkan -28 V

Voltmeter menunjukkan 0 V

Voltmeter menunjukkan sebuah tegangan positif.

Voltmeter menunjukkan sebuah tegangan positif 

Setelah meyelesaikan penjejakan mengitari loop yang sebelah kiri, kita menambahkan tegangan-tegangan ini menghasilkan nilai nol: KVL untuk tegangan-tegangan drop pada loop sebelah kiri -28 + 0 + V R2+ VR1 = 0 Tentu saja, kita belum tahu tegangan pada R 1 dan R2, sehingga kita tidak bisa memasukkan nilai ke dalam persamaan. Namun, kita pasti tahu bahwa jumlah ketiga tegangan ini adalah nol, jadi persamaan tersebut adalah benar.Kita melangkah pada tahap berikutnya dan menyatakan tegangan V R2 dan VR1 ini dalam ekspresi arus, I. Menggunakan hukum Ohm, V = IR, kita dapat merubah persamaan di atas menjadi -28 + VR2 + VR1 = 0 Hukum Ohm : V = IR, subsitusikan persamaan ini kedalam persamaan KVL menjadi, -28 + I2R2 + I1R1 = 0 Karena kita tahu nilai resistansi dari resistor R 1 dan R2, maka kita dapat memasukkannya ke dalam persamaan, sehingga didapatkan -28 + 2I2 + 4I1 = 0 Anda pasti bingung mengapa kita memulai manipulasi persamaan ini dengan -28 + V R2 + VR1. Apalagi, kedua variabel ini belum diketahui nilainya (V R2 dan VR1), jadi apakah keuntungan mengekspresikan nilai tegangan yang tidak diketahui ini dengan menyatakannya dalam arus (dikalikan dengan resistansi)? Tujuannya adalah untuk mendapatkan persamaan KVL yang mempunyai ekspresi/variabel yang sama dengan variabel yang tidak diketahui dari persamaan yangg diperoleh dari KCL yaitu variabel I. Karena persamaan-persamaan ini dibutuhkan untuk mendapatkan nilai-nilai dari I 1, I2, dan I3. Karena ada tiga variabel yang tidak diketahui, maka kita harus mempunyai sekurang-kurangnya tiga persamaan (dalam variabel arus) untuk mendaptkan solusinya (bukan dalam variabel tegangan). Dengan menggunakan cara yang sama, kita analisa loop yang sebelah kanan dari rangkaian tersebut. Kita mulai dari node yang dipilih dan bergerak berlawanan arah jarum jam, kita dapatkan persamaan KVL yang lainnya:

Voltmeter menunjukkan sebuah tegangan negatif 

Voltmeter menunjukkan 0 V

Voltmeter menunjukkan + 7 V

Voltmeter menunjukkan sebuah tegangan negatif 

KVL dipakai pada tegangan-tegangan drop dari loop yang sebelah kanan menghasilkan persamaan -VR2 + 0 + 7 – VR3 = 0 Kita ingin menyatakan drop tegangan pada resistor (V R2 dan VR3) dalam bentuk arus dikalikan resistansi (menggunakan hukum Ohm), maka kita dapat persamaan -2I2 + 7 – 1I3 = 0 Sekarang kita mendapatkan tiga buah sistem persamaan matematika (satu persamaan KCL dan dua persamaan KVL) dan tiga variabel yang tidak diketahui nilainya: I1 + I2 – I3 = 0

KCL

-28 + 2I2 + 4I1 = 0

KVL

-2I2 + 7 – 1I3 = 0

KVL

Salah satu metode untuk mendapatkan solusinya mungkin kita bisa menggunakan softwere/program komputer, karena alasan inilah sehingga akan lebih memudahkan apabila ditulis dalam bentuk: 1I1

 – 1I2

+ 1I3

=

0

4I1

+ 2I2

+ 0I3

=

28

0I1

 – 2I2

-1I3

=

-7

Anda dapat menyelesaikan persamaan diatas ini dengan berbagai metode, seperti metode subsitusi, eliminasi, atau metode determinan. Bila anda telah menghitungnya, anda akan mendapatkan solusi: I1 = 5 A I2 = 4 A

I3 = -1 A Jadi, I1 adalah 5 ampere, I 2 adalah 4 ampere, dan I 3 adalah negatif 1 ampere. Tetapi apa yang dimaksud arusnya bernilai negatif? Pada kasus ini berarti arah perumpamaan kita di awal analisa tadi adalah berkebalikan dari arah yang “sebenarnya”. Kembali lagi pada rangkaian yang asli, kita dapat menggambar ulang dan untuk I 3, arah arusnya harus dibuat ulang dan arahhnya dibalik sehingga nilai dari I 3 sekarang adalah positif.

Coba perhatikan bagaimana arus ditekan menuju baterai B 2. Bisa dianalogikan baterai B 2 mencoba menekan tetapi kalah karena nilai baterai B 1 lebihh besar. Apakah Ini berarti baterai yang lebih kuat akan selalu menang dan mengalirkan arus ke baterai yang lebih lemah? Tidak, ini tergantung dari tegangan relatif dari baterai dan nilai resistansi resistor pada rangkaian itu. Untuk memastikannya secara pasti kita harus menganalisa rangkaiannya secara matematis. Jadi, sekarang kita bisa memperoleh drop tegangan pada masing-masing resistor dengan menggunakan hukum Ohm (V = IR) VR1 = I1R1 = (5 A) (4 Ω) = 20 V VR2 = I2R2 = (4 A) (2 Ω) = 8 V VR3 = I3R3 = (1 A) (1 Ω) = 1 V  Review:

Berikut ini langkah-langkah analisa metode arus cabang: 1. Pilih node/titik dan asumsikan arah arus secara sembarang. 2. Tuliskan persamaan KCL berdasarkan arus masuk atau keluar pada node yang dipilih. 3. Tuliskan polaritas dari tegangan drop pada masing-masing resistor berdasarkan arah arus yang kita umpamakan tadi. 4. Tulis persamaan KVL untuk masing-masing loop pada rangkaian, lalu subsitusikan V = IR pada masing-masing drop tegangan pada resistor.

5. Selesaikan arus cabang yang tidak diketahui itu dari persamaan-persamaan yang didapat. 6. Bila ada solusi (nilai arus) yang negatif, berarti arah arus yang kita asumsikan pada langkah 1 tadi adalah salah atau arahnya terbalik dengan arah arus yang sebenarnya. 7. Hitung drop tegangan pada masing-masing resistor menggunakan hukum Ohm , V = IR. 8. Metode Arus Mesh 9. Metode Arus Mesh, atau juga disebut dengan Metode Arus Loop, hampir sama dengan metode Arus Cabang dalam penggunaan persamaan KVL dan hukum Ohm untuk menghitung arus pada rangkaian. Yang membedakannya dengan metode Arus Cabang adalah metode ini tidak menggunakan KCL, dan biasanya memiliki variabel yang tidak diketahuinya lebih sedikit dari pada metode arus cabang. 10. Arus Mesh, metode konvensional 11. Kita llihat bagaimana metode ini menyelesaikan contoh rangkaian yang sama seperti contoh sebelumnya

12. 13. Langkah pertama pada metode arus mesh adalah mengidentifikasi loop-loop pada rangkaian yang mencakup semua komponen. Pada rangkaian contoh di atas, loop yang pertama terbentuk dari B 1, R1, dan R 2, dan loop yang kedua terbentuk dari B 2, R2, dan R3. Bagian yang tampak aneh dari metode arus mesh adalah kita mengumpamakan arusnya bergerak mengitari masing-masing loop. Pada kenyataannya, nama metode ini didapatkan dari caranya menghubungkan (meshing) arus bersama-sama seperti menghubungkan gear.

14. 15. Arah arus ini dipilih sembarang, sama seperti metode arus cabang, tetapi persamaan yang didapatkan lebih mudah untuk diselesaikan bila ada arus-arusnya memiliki arah yang sama melewati komponen interseksinya (perhatikan bagaimana arus I 1 dan I2

keduanya sama-sama menuju ke bagian bawah dari R 2, dimana R 2 ini merupakan komponen interseksinya). Bila arah yang kita asumsikan salah, maka akan menghasilkan nilai arus yang negatif. 16. Langkah selanjutnya adalah memberi tanda polaritas tegangan pada resistor-resistor sesuai dengan arah arus mesh. Ingat bahwa terminal resistor yang dimasuki arus adalah terminal bertanda positif, dan terminal lainnya bertanda negatif. Polaritas baterai tentu saja mengalirkan arus dari teminal positif menuju terminal negatif, kebetulan pada contoh ini arah arus yang dihasilkan baterai “sama” dengan arah arus perumpamaannya.

17. 18. Dengan menggunakan hukum tegangan kirchhoff (KVL), kita dapat menerapkannya pada masing-masing loop, sehingga menghasilkan persamaan yang berisikan tegangan drop dan polaritasnya. Sama seperti metode arus cabang, kita akan mengganti tegangan drop pada resistor diganti dengan perkalian antara arus mesh dengan resistansi (dalam ohm) . Sedangkan untuk komponen dimana kedua arusnya bertemu bersama, kita akan menuliiskannya dalam bentuk persamaan dengan arus resistor adalah jumlah dari kedua arus mesh. 19. Penjejakan pada loop sebelah kiri dimulai dari titik pojok kiri atas dan bergerak  berlawanan dengan arah jarum jam (titik awal bebas dipilih dari mana saja), mengukur polaritas masing-masing komponen menggunakan voltmeter, kita mendapatkan persamaan berikut ini: 20. -28 + 2 (I1 + I2) + 4I1 = 0 21. Perhatikan bahwa bagian suku tengah dari persamaan itu merupakan jumlahan dari arus mesh (I1 + I2) adalah arus yang mengalir pada resistor R 2. Hal ini dikarenakan arus mesh I1 dan I2 mempunyai arah yang sama (sama-sama masuk termminal yang bertanda positif) melewati R2 sehingga mempunyai tanda yang sama. Dengan melakukan beberapa operasi matematika diperoleh 22. - 28 + 2(I1 + I2) + 4I1 = 0 bentuk persamaan yang asli 23. - 28 + 2I1 + 2I2 + 4I1 = 0 24. - 28 + 6I 1 + 2I2 = 0 adalah betuk persamaan yang paling sederhana 25. Kita sudah mendapatkan satu persamaan dari dua variabel yang tidak diketahui ( I 1 dan I2). Untuk mendapatkan dua variabel yang tidak diketahui ini, kita harus mempunyai minimal dua persamaan. Bila kita menjejaki loop yang lainnya pada rangkaian itu, kita akan mendapatkan persamaan KVL lainnya sehingga cukup untuk memeperoleh solusinya (nilai I1 dan I2). Kita mulai dari pojok atas kiri dari loop sebelah kanan dan bergerak berlawanan arah jarum jam:

26. -2(I1 + I2) + 7 – 1I2 = 0 27. Disederhanakan menjadi 28. -2I1 – 3I2 + 7 = 0 29. Sekarang, dengan dua persamaan ini, kita bisa menggunakannya untuk mendapatkan nilai I1 dan I2: 30. -28 + 6I1 + 2I2 = 0 persamaan KVL 1 31. -2I1 – 3I2 + 7 = 0 persamaan KVL 2 32. Persamaan disusun ulang agar memepermudah perhitungan 33. 6I1 + 2I2 = 28 34. -2I1 + -3I2 = -7 35. Anda bisa menyelesaikannya dengan banyak cara. Bisa cara eliminasi, subsitusi, atau menggunakan metode determinan matriks. Maka solusinya adalah 36. I1 = 5 A 37. I2 = -1A 38. Setelah mendapat solusinya kita kembalikan ke rangkaian awal:

39. 40. Nilai negatif 1 ampere untuk I 2 menunjukkan bahwa arah arus I 2 yang kita umpamakan tadi adalah arah yang salah, karena arah yang sebenarnya merupakan kebalikan dari arah yang kita asumsikan tadi. Maka, dengan mengubah arah arus I 2, nilainya menjadi positif 1 ampere:

41. 42. Setelah arah arus I2 diubah,maka polaritas tegangan R 2 dan R3  juga berubah. Kita dapat menghitung drop tegangan pada masing-masing resistor. Dari gambar di atas, kita dapat menghitung.

43. VR1 = (4 Ω) (5 A) = 20 V (tanda positifnya berada di terminal sebelah kanan) 44. VR3 = (1 Ω) (1 A) = 1 V (tanda positif berada di terminal sebelah kiri) 45. Nilai VR1 dan VR3 sudah kita dapatkan, namun apa yang terjadi dengan resistor R 3? 46. Arus mesh I1 arahnya menuju kebawah R 2, sedangkan arah arus mesh I 2 arahnya ke atas R2. Untuk mendapatkan nilai arus yang mengaliri R 2, kita harus melihat bagaimana arus mesh I 1 dan I2 berinteraksi (pada kasus ini I 1 dan I2 mempunyai arah yang berlawanan), maka kita harus menjumlahkannya secara aljabar. Karena arah arus I1 ke bawah sebesar 5 ampere, dan I 2 ke atas sebesar 1 ampere, maka arah arus yang mengalir pada R2 adalah 4 ampere ke arah bawah.

47. 48. Berarti, drop tegangan pada R 2 dapat dihitung 49. VR2 = (2 Ω) (4 A) = 8 V (tanda positifnya berada di terminal sebelah atas) 50. Keuntungan utama dari analisa Mesh ini adalah kita akan mendapatkan persamaan yang lebih sedikit dari pada analisa cabang. Keuntungan ini akan lebih terasa bila kita mempunyai rangkaian seperti pada gambar berikut ini:

51. 52. Bila kita menggunakan analisa arus cabang, kita akan mempunyai lima variabel yang tidak diketahui yaitu I 1, I2, I3, I4, dan I5. Berarti sekurang-kurangnya anda harus memiliki lima persamaan untuk mendapatkan solusinya. Lima persamaan ini diperoleh dari dua persamaan KCL dan tiga persamaan KVL (dua persamaan KCL pada node, dan tiga persamaan KVl pada tiap loop):

53. 54. I1 + I2 + I3 = 0 KCL pada node 1 55. -I3 + I4 – I5 = 0 KCL pada node 2 56. EB1 + I2R2 + IR1 = 0 KVL loop kiri 57. -I2R2 + I4R4 + I3R3 = 0 KVL loop tengah 58. -I4R4 + VB2 – I5R5 = 0 KVL loop kanan 59. Lebih baik anda tidak perlu menghabiskan banyak waktu untuk menyelesaikan persamaan-persamaan ini. Persamaan ini terlalu banyak dan memakan terlalu banyak  waktu untuk diselesaikan. Namun, apabila anda menggunakan analisa mesh, anda akan memperoleh persamaan yang lebih sedikit.

60. 61. - EB1 + R2(I1 + I2) + I1R1 = 0 KVL loop kiri 62. - R2(I2 + I1) – R4(I2 + I3) – I2R3 = 0 KVL loop tengah 63. R4(I3 + I2) + EB2 + I3R5 = 0 KVL loop kanan 64. Dengan persamaan yang lebih sedikit ini, maka anda dapat menghitungnya lebih mudah, nyaman, dan lebih cepat. 65. Rangkaian lain yang bisa diselesaikan dengan analisa mesh adalah jembatan Wheatstone yang tidak seimbang. Seperti contoh berikut ini:

66. 67. Karena rasio dari R 1 /R4 dan R2 /R5 adalah tidak sama, maka jembatan ini tidak  seimbang. Sehingga resistor R 3 akan dialiri arus dan ada drop tegangan pada R 3. Seperti pada pembahasan sebelumnya, rangkaian ini tidak bisa dianalisa menggunakan metode seri-paralel. 68. Kita dapat menggunakan metode arus cabang pada rangkaian ini, tetapi dengan menggunakan metode arus cabang maka akan dihasilkan enam variabel arus yang tidak diketahui (yaitu I1 sampai I6) sehingga persamaan yang dihasilkan pun terlalu banyak dan membutuhkan waktu yang lama untuk mendapatkan solusinya. Maka kita dapat menggunakan analisa mesh yang menghasilkan variabel dan persamaan yang lebih sedikit. 69. Langkah pertama analisa mesh adalah menentukan arus mesh pada semua bagian rangkaian. Perhatikan gambar rangkaiannya, ada dua tempat (loop) yang berisi arus mesh:

70. 71. Arah arusnya bisa dipilih sembarang. Namun, dua arus mesh saja tidak cukup, karena I1 ataupun I2 tidak/belum menjangkau baterai. Berarti kita harus menambah arus mesh yang ketiga, yaitu I3:

72. 73. Disini, kita memilih loop arus I 3 bergerak dari bagian bawah baterai, melalui R 4, melalui R1, dan kembali ke bagian atas baterai. Sebenarnya jalur ini bukan satu-

satunya jalur yang bisa dipilih untuk I 3, tetapi jalur ini dipilih karena sepertinya jalur ini adalah yang sederhana. (Sebagai contoh: jalur lain yang bisa anda pilih untuk I 3 adalah dari terminal negatif baterai menuju R 5, lalu keR2, dan kembali ke terminal positif baterai) 74. Selanjutnya kita harus menetukan polaritas dari drop tegangan pada resistor-resistor, berdasarkan arah arus yang telah kita umpamakan tadi.

75. 76. Perhatikan gambar, ada hal penting disini: pada resistor R 4, polaritas tegangan akibat arus-arus yang melewatinya tidaklah sama. Ini dikarenakan arus mesh (I 2 dan I3) melewati R4 tidak dalam arah yang sama. Namun, masalah ini bukanlah penghalang penggunaan analisa mesh, tetapi ini akan menimbulkan sedikit kerumitan. Lanjut ke tahap berikutnya. 77. Persamaan KVL untuk loop bagian atas sebelah kanan, bergerak searah jarum jam, diperoleh: 78. 50I1 + 100(I1 + I2) + 150(I1 + I3) = 0 79. Lalu kita keluarkan variabel yang berada dalam kurung menjadi 80. 50I1 + 100I1 + 100I2 + 150I1 + 150I3 = 0 81. Disederhanakan menjadi 82. 300I 1 + 100I2 + 150I3 = 0 ini adalah bentuk paling sederhana 83. Persamaan KVL untuk loop kanan bagian bawah tidak mudah ditentukan, karena ada dua arus yang arahnya saling berlawanan, yaitu pada R 4. Karena arahnya yang berlawanan, maka tanda I 2 dan I3 juga berlawanan. Bergerak berlawanan arah jarum  jam: 84. 100(I1 + I2) + 300(I2 - I3) + 250I2 = 0 ini adalah bentuk aslinya, 85. Keluarkan variabel yang berada dalam kurung, menjadi 86. 100I1 + 100I2 + 300I2 – 300I3 + 250I2 = 0 87. Lalu disederhanakan menjadi 88. 100I 1 + 650I2 – 300I 3 = 0

89. Coba perhatikan persamaan bentuk aslinya. Kita lihat nilai R 4 yaitu 300 Ω dikalikan dengan perbedaan antara I 2 dan I3 yaitu (I2  –  I3). Ini menunjukkan bagaimana merepresentasikan efek dari dua arus mesh yang memiliki arah yang berlainan, melewati suatu komponen. Tetapi anda bebas menentukan, anda ingin menulis 300(I 2I3) atau ingin menulis 300(I 3-I2) tergantung arah arus mesh yang anda ambil (sama atau berlawanan arah jarum jam), yang pasti tanda I 2 dan I3 adalah berlawanan. Analogi ini juga berlaku untuk R 1 (pada persamaan KVL bagian kanan atas), dimana drop tegangannya adalah 150(I 1+I3), karena I1 dan I3 keduanya sama-sama mempunyai arah dari bawah menuju atas R 1, sehingga drop tegangan yang dihasilkan adalah bersama (tanda yang sama). 90. Jadi, kita sudah mempunyai dua persamaan. Kita masih membutuhkan satu persamaan lagi untuk memperoleh solusinya. Persamaan ketiga ini sudah tentu diperoleh dari loop yang sebelah kiri. Untuk mendapatkan persamaannya kita mulai penjajakan dari baterai lalu bergerak searah jarum jam(tidak sama dengan arah arus mesh nya tidak apa-apa), menghasilkan: 91. 24 – 150(I3 + I1) – 300(I3 – I2) = 0 92. Keluarkan variabel dari dalam kurung 93. 24 – 150I3 – 150I1 – 300I3 + 300I2 = 0 94. Disederhanakan 95. -150I1 + 300I2 – 450I3 = -24 96. Karena kita sudah mempunyai tiga buah persamaan, kita bisa mendapatkan nilai I 1, I2,dan I3. 97. 300I1 + 100I2 + 150I3 = 0  – 300I3 = 98. 100I1 + 650I2 0  – 450I3 = 99. -150I1 + 300I2 -24 100. Solusinya adalah: 101. I1 = -93.793 mA 102. I2 = 77.241 mA 103. I3 = 136.092 mA 104. Tanda negatif pada I 1, ini berati arah arus yang kita asumsikan tadi salah. Jadi, arah arus yang sebenarnya pada rangkaian adalah :

105. 106. 107. 108. 109. 110. 111.

IR1 = I3 – I1 = 136.092 mA – 93.793 mA = 42.299 mA IR3 = I1 – I2 = 93.793 mA – 77.241 mA = 16.552 mA IR4 = I3 – I2 = 136.092 mA – 77.241 mA = 58.851 mA I3 > I1 > I2 IR5 = I2 = 77.241 mA Hitung drop tegangan pada masing-masing resistor

112. 113. VR1 = IR1R1 = (42.299 mA)(150 Ω) = 6.3448 V 114. VR2 = IR2R2 = (93.793 mA)(50 Ω) = 4.6897 V 115. VR3 = IR3R3 = (16.552 mA)(100 Ω) = 1.6552 V 116. VR4 = IR4R4 = (58.851 mA)(300 Ω) = 17.6552 V 117. VR5 = IR5R5 = (77.241 mA)(250 Ω) = 19.3103 V Contoh yang lain: 118. 119. Temukan jalur baru untuk arus I 3 sehingga arah arus I 3 tidak berlawanan dengan arah I 1 dan I2 (sehingga arus I3 tidak “bertabrakan” dengan arus I2 di resisitor R4). Lalu tentukan nilai I1, I2, dan I3. Hitung arus yang melewati masing-masing resistor lalu Bandingkan hasilnya dengan contoh sebelumnya. Solusi: 120.

121. 122. Buat jalur I3 melewati R5, R3, dan R1 seperti ditunjukkan pada gambar: 123. Maka diperoleh bentuk asli persamaannya : 124. 50I1 + 100(I1 +I2 + I3) + 150(I1 + I3) = 0 125. 300I2 + 250(I2 + I3) + 100(I1 + I2 + I3) = 0 126. 24 – 250(I2+I3) – 100(I1+I2+I3) – 150(I1+I3)=0 127. Dengan menyederhanakan persamaan diatas,diperoleh persamaan: 128. 300I1 + 100I2 + 250I3 = 0 129. 100I1 + 650I2 + 350I3 = 0 130. -250I1  – 350I2  – 500I3 = -24 131. Perhatikan bahwa polaritas yang berlawanan pada R 4 berhasil dihindari. 132. Setelah dihitung diperoleh 133. I1 = -93.793 mA 134. I2 = -58.851 mA 135. I3 = 136.092 mA 136. Arus yang melewati masing-masing resistor adalah 137. IR1 = I1 + I3 = -93.793 mA + 136.092 mA = 42.299 mA 138. IR2 = I1 = -93.793 mA 139. IR3 = I1 + I2 + I3 = -93.793 mA -58.851 mA + 136.092 mA = -16.552 mA 140. IR4 = I2 = -58.851 mA 141. IR5 = I2 + I3 = -58.851 mA + 136.092 mA = 77.241 mA 142. Ternyata meskipun jalur I 3 yang kita ambil berbeda dengan contoh sebelumnya, nilai arus yang melewati masing-masing resistor adalah sama dengan hasil pada contoh sebelumnya. Karena arus yang melewati masing-masing resistor adalah sama, maka tegangan dan polaritasnya juga akan sama.