ECUACIONES ECUACIONES DE KREMSER KREMSER – BROWN BROWN – SOUDERS SOUDERS FORMA ALTERNA PARA SU OBTENCIÓN
R0, R S
E 1, E S
x 0, X0
y 1, Y 1
Y1
Y2 A 1 A A 1mX 0 A 2 1
Balance Etapa 2 1
ES Y3 R S X1 ES Y2 R S X 2 Y2
ES Y3 RS X1 RS ES m
Si se divide entre ES,
Y2
2 Y3 A Y2 A 1 A A 1mX 0 / A 1 Y2 A 1
Np
RNp , R S
ENp+1, E S
x Np , XNp
yNp+1, Y Np+1
Balance Etapa 1 ES Y2 RS X0 ES Y1 RS X1 X1 Y1 m Y1
ES Y2 RS X0 RS ES m
Si se divide divide entre entre ES,
Y1
Y3 mAX1 Y3 AY1 A 1 A 1
Y2 mAX 0 A 1
Y3 A 2 1 A 2 A 1mX 0 Y2 A 3 1 Generalizando y aplicando a la etapa Np
YNp
YNp 1 A Np 1 A Np A 1mX 0 A Np 1 1
Balance Columna Completa ES YNp 1 Y1 R S XNp X0 YNp 1 Y1 A YNp mX 0 Reemplazando YNp por su expresión,
YNp 1 Y1
YNp 1 A Np 1 A mX 0 A Np 1 A A Np 1 1
Multiplica Multiplicando ndo y dividiendo dividiendo por (A – 1)
Ing. Pedro J. Bejarano Jiménez. Ingeniería Química – Universidad Nacional Nacional de Colombia
YNp 1 Y1
A Np 1 A YNp 1 mX 0 A Np 1 1 Despejando Np,
YNp 1 mX 0 1 1 log 1 Y mX A A 1 0 Np
emprender un cálculo a menos que modifique el resultado por más de un 10%, entonces se observa que puede simplificarse el lado de la mano izquierda de la ecuación de Kremser escribiendo
NP + 1 NP Para solventes puros, Xo = 0, el numerador del lado de la mano derecha llega a ser
log A
En la Figura 5.16 Treybal representa las dos últimas ecuaciones. Esta Figura permite visualizar los efectos de la variación del factor de absorción (o su inverso), o del número de platos teóricos, sobre la separación que puede obtenerse. (Ver pg. 4). Puede comprobarse que la última de las ecuaciones de Kremser es equivalente a la siguiente:
YNp 1 mx 0 1 Y mX 0 1
ln A 1 Np 1
ln A
Se trata en realidad de una ecuación demasiado simple que puede utilizarse para diseñar absorbedores de gas para una operación isotérmica con alimentos diluidos. Sin embargo, de acuerdo con el método de ingeniería y el deseo básico de hacer cálculos solamente si se gana alguna información significativa a partir de ese esfuerzo, sería deseable revisar la ecuación de Kremser y evaluar el significado de cada término. Se hace esto para evaluar el orden de magnitud de los diferentes términos en la ecuación. Primero se considera el lado de la mano izquierda de la ecuación, esto es, el término NP+1. Existe interés por obtener estimativos aproximados únicamente de los ítems que son costosos. Se espera que absorbedores relativamente costosos contendrán de 10 a 20 platos teóricos (el costo de un absorbedor de gas con solamente 2 o 3 platos probablemente será despreciable comparado con un horno, un compresor de gas, una columna de destilación con 10 a 20 platos, etc.). Si se decide no
YNP 1
Y1
ln A 1
+ 1
1
Las reglas empíricas indican que
A 1.4
YNP 1
y
Y1
100
por lo tanto,
A - 1 YN 1 + 1 40 + 1 P
Y1
y si se aplica el criterio de orden de magnitud (1«40), puede escribirse
YN 1 Y 1 + 1 ln A - 1 N Y1 Y1
ln A 1
P
P
El denominador del lado de la mano derecha de la ecuación, ln(A), puede escribirse como
ln(1 + )
1
Originalmente las reglas empíricas fueron desarrolladas por diseñadores experimentados. Un diseñador pudo haber optimizado el diseño de 10 sistemas absorbedor-despojador y haber encontrado que la optimización conducía siempre a valores cercanos a L = 1.4mG y recuperaciones óptimas por encima del 99%. Entonces, cuando se encontró con el onceavo problema, el diseñador simplemente puso por escrito la respuesta. Sin embargo, hoy la mayoría de reglas empíricas (o heurísticas de diseño) son desarrolladas por parte de estudiantes graduados quienes corren de 500 a 1000 casos de estudio en un computador para un problema particular e intentan luego generalizar los resultados. Por supuesto, el hecho de que la generalización de estudios de optimización por computador sea posible, implica que los cálculos de optimización son muy insensibles a cambios en la mayoría de parámetros de diseño y de costo. Si las ecuaciones de diseño y de costo son insensibles, el método de ingeniería indica que debe ser factible simplificar las ecuaciones. Por lo tanto, el uso de argumentos relativos al orden de magnitud para simplificar problemas debe permitir la derivación de reglas empíricas. La ventaja de una derivación de este tipo es que las suposiciones utilizadas en el análisis indicarán claramente las limitaciones potenciales de la regla empírica. A continuación se presentan dos de tales reglas: 1. Es deseable recuperar más del 99% de todos los materiales valiosos (como un primer ensayo normalmente se utiliza un 99.5% de recuperación). 2. Para un absorbedor isotérmico, con solutos en bajas concentraciones, escoja L tal que LS=1.4mGS.
Ing. Pedro J. Bejarano Jiménez. Ingeniería Química – Universidad Nacional de Colombia
Ahora, de la expansión de la series de Taylor, puede escribirse:
ln A = ln(1 + ) = A - 1 0.4 Con estas simplificaciones y si se reemplaza ln por log, se obtiene
YN 1 Y1
2.3 ln A - 1 NP =
P
0.4
Dentro de un 10% de error, se nota que 2.3/0.4 = 6, además que (2.3 log 0.4)/0.4 = - 2. Por lo tanto, una versión simplificada de la ecuación de Kremser llega a ser
NP + 2 = 6 log
YNP 1 Y1
Ahora se tiene una ecuación de diseño que puede resolverse sin calculadora. Para un 99% de recuperación esta última ecuación predice 10 platos, contra un valor exacto de 10.1. Para una recuperación del 99.9% se obtienen 16 platos contra 16.6 a partir de la ecuación exacta. Adicionalmente al número de platos del absorbedor deben calcularse la altura y el 2 diámetro .
ANÁLISIS DE LAS ECUACIONES DE KREMSER YNp 1 Y1 YNp 1 mX 0
Lim A Np 1 A
A 1
A
Np 1
1
Lim (N 1) A Np 1 p
A 1
(Np 1) A
Np
Np Np 1
se concluye que:
YNp 1 Y1 YNp 1 mX 0
Np Np 1
El lado izquierdo de la ecuación representa el cambio real en la composición del gas que fluye a través de una columna a la que corresponden Np platos teóricos, dividido entre el cambio que ocurriría si el gas alcanza el equilibrio con el líquido que entra; por ejemplo, en una columna con un número infinito de platos. Se trata, entonces, de una medida de la recuperación del soluto. Planteadas así las cosas, cuando A = 1puede lograrse un alto grado de recuperación usando un gran número de platos, empleando una relación líquido a gas elevada o mediante una combinación adecuada de estas dos alternativas. Si A<1, la absorción fraccional del soluto está completamente definida aún para un número infinito de etapas. Si Np = , Y
Np 1
A N 1 1 A
A
p
YNp+1 La anterior es una forma de las ecuaciones de Kremser, utilizada para estimar la relación entre la extensión de la absorción y el número de platos teóricos. Si A = 1 se produce una indeterminación. Sin embargo, aplicando L’hopital
Y1
X0
YNp 1 Y1 XNp X0
X Np
LS GS
*
2
El desarrollo de esta ecuación simplificada, así como los comentarios sobre las reglas empíricas son tomados de las secciones 3.3 y 3.4 de la referencia: Douglas J. M., Conceptual Design of Chemical Processes. McGraw-Hill Inc. 1988.
YNp 1 Y1 XNp X0
m
YNp 1 mX 0 XNp X0
Ing. Pedro J. Bejarano Jiménez. Ingeniería Química – Universidad Nacional de Colombia
X
YNp 1 Y1
L S A YNp 1 mX 0 mG S
L tal que A > 2, se obtendrán absorbedores pequeños y baratos, pero columnas de destilación muy costosas.
Luego la remoción del soluto está definida por el factor de absorción, A, y el término nunca puede ser igual a 1. Es decir, la remoción del soluto nunca puede ser completa.
Sobre la base de estos argumentos simples, se concluye que es deseable seleccionar L tal que
Si A > 1 y se cuenta con el número suficiente de platos, es posible cualquier grado de absorción o de recuperación del soluto.
YNp 1 Y1
Lim A Np 1 A
YNp 1 mX 0 Lim
Np
1
1
Np
A
Np 1
1
1 N
A p 1 1
A
Np 1
Ya se ha establecido que para absorbedores isotérmicos que manejan alimentos diluidos, puede usarse la ecuación de Kremser para calcular el número de platos requerido para una recuperación especificada, como una función de A. Un gráfico de esta ecuación de Kremser se muestra en la Fig. 5.16 de la 2a. edición del Treybal (pg. 146). En él puede observarse que si se escoge L de manera tal que A < 1, nunca se conseguirá aproximarse a la recuperación completa de soluto aunque se utilice un número infinito de platos (costo de capital infinito). Si el soluto es muy valioso o si es tóxico (tal como el HCN), en verdad será deseable obtener recuperaciones muy elevadas. Entonces, puede concluirse que nunca se seleccionará una velocidad de flujo del líquido tal que A < 1. También puede verse en el gráfico que si se selecciona A = 2, se obtiene una recuperación esencialmente completa (cerca del 99%) tan solo con cinco platos. Debe recordarse que grandes velocidades de flujo corresponden a alimentaciones diluidas a la columna de destilación. Por lo tanto, elevadas relaciones de reflujo, altas velocidades de vapor, columnas de gran diámetro, rehervidores y condensadores grandes y grandes demandas de vapor y de agua de enfriamiento. De aquí, si se selecciona
1 < A < 2 Por supuesto, A = 1.5 se encuentra justo en la mitad del intervalo. Sin embargo, si se inspecciona la forma de la curva cerca de A = 1.5 y se consideran recuperaciones altas, se aprecia que puede obtenerse una mejor combinación entre la disminución del número de platos requerido en el absorbedor (costo de capital) y el aumento de los costos de capital y de operación de la columna de destilación disminuyendo L. Entonces, como una primera suposición, parece razonable escoger L tal que
A = 1.4 , que es una regla empírica común. Nota 1: No sobra aclarar que las condiciones establecidas en el artículo de Nguyen son válidas para las ecuaciones de Kremser. Nota 2: No debe olvidarse que R y E se reemplazan en algunas ecuaciones por L y G, respectivamente.
BIBLIOGRAFÍA Douglas J. M., Conceptual Design of Chemical Processes. McGraw-Hill. 1988. Mickley, Sherwood & Reed, Applied Mathematics in Chemical Engineering, 2a. Ed., Cap. 9, pp 332 (1957). Sherwood, T. R. et al. Mass Transfer. McGraw-Hill. 1975. Treybal, R. E. Operaciones de Transferencia de Masa. 2a Ed. McGraw-Hill. México, D.C. 1988.
PBJ/pbj – II-2012
Ing. Pedro J. Bejarano Jiménez. Ingeniería Química – Universidad Nacional de Colombia
