Aplikasi integral " 8
BAB I
PENDAHULUAN
LATAR BELAKANG
Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika. Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi.
Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi.. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah ʃ , seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan). Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.
Namun disini saya tertarik untuk membahas tentang aplikasi kalkulus integral dalam kehidupan sehari-hari dalam bidang Biologi untuk mencari jumlah Polutan
RUMUSAN MASALAH
1. Bagaimana sejarah integral ?
2. Bagaimana Aplikasi Integral dalam menghitung jumlah polutan ?
3. Bagaimana polutan dalam ekosistem ?
TUJUAN
1. Mengetahui sejarah integral
2. Mengetahui Aplikasi integral dalam menghitung jumlah polutan
3. Mengetahui Polutan dalam ekosistem
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1. Sejarah Integral
Hitung integral merupakan metode matematika dengan latar belakang sejarah yang cukup unik. Banyak ilmuwan, baik matematika maupun non-matematika, yang berminat terhadap perkembangan matematika hitung integral.
Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno. Beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volume piramida terpancung. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.
Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.Persamaan ini kemudianmengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil tak terhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan denganmenggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala,menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.
Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosandalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teoremadasar kalkulus pada tahun 1668. Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnyadituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan,namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanyadilakukan secara terpisah. Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiranini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebutdianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampirbersamaan.
Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang. Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil merekauntuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka.Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya daricatatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newtonkepada beberapa anggota dari Royal Society.Pemeriksaan secara terperincimenunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulaidari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibnizdiberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. AdalahLeibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagaikalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions". Sejak itu,banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembanganlebih lanjut dari kalkulus.Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA danuniversitas zaman modern.
George Friedrich Bernhard Riemann (1826 – 1866) merupakan seorang matematikawan yang pada kala itu merupakan mahasiswa dari salah satu universitas Gottingen yang merupakan pusat matematikawan dunia. Riemann-lah yang memberi kita definisi modern tentang integral tentu, yaitu tentang jumlah Riemann sebagai jumlah luas siku empat (Purcell, 1987).Konsep dasar integral berbatas (integral tentu) atau integral Riemann sesungguhnya telah diperkenalkan oleh Archimedes dalam abad ketiga sebelum Masehi dalam usahanya menghitung luas daerah bidang datar yang dibatasi oleh kurva-kurva kontinu. Namun, pada abad ke-17 Newton dan Liebniz menemukan teorema yang dalam banyak hal mampu menghitung integral tertentu dengan lebih ringkas tanpa melalui pelimitan jumlah Riemann. Teorema ini diberi nama Teorema Dasar Kalkulus (TDK) dan berfungsi sebagai jembatan antara kalkulus diferensial dan kalkulus integral (Anton, 1988).
2.2 Integral Tentu
Integral merupakan invers atau kebalikan dari diferensial. Pada dasarnya integral terbagi atas dua macam, yaitu integral tentu dan integral tak tentu.Integral tentu adalah suatu integral yang dibatasi oleh suatu nilai tertentu yang biasa disebut sebagai batas atas dan batas bawah. Integral ini biasanya digunakan untuk mencari luas suatu area. Bentuk umum dari integral tentu adalah sebagai berikut :
abyx= f(x)
Integral tentu terbagi atas dua macam, yaitu integral tentu sebagai limit jumlah Riemann dan integral berdasarkan teorema dasar kalkulus.Integral tentu dapat digunakan untuk mendefinisikan dan menghitung panjang, luas, volume yang memuat juga konsep volume benda putar, usaha/kerja, momen dan pusat massa. Untuk menyelesaikan persoalan pada konsep integral tentu maka muncul teknik pengintegralan yang bersifat integral parsial dan dengan menggunakan aturan rantai maka muncul aturan substitusi yang mencakup juga substitusi trigonometri (Yeni, 2013).
Andaikan f kontinu pada interval tertutup [a,b] dan andaikan x sebarang titik (variabel) dalam [a,b]. Maka Dxaxftdt=f(x)Pendiferensialan integral tentu menurut Newton dan Leibniz yang dikemukakan dalam Teorema A adalah sebagai berikut :
Andaikan f kontinu pada interval tertutup [a,b] dan andaikan x sebarang titik (variabel) dalam [a,b]. Maka Dxaxftdt=f(x)
Misalkan f (karenanya terintegrasikan) pada [a,b] dan misalkan F sebarang anti turunan dari f pada [a,b]. Makaaxftdt=Fb- F(a)Teorema B (Teorema Dasar Kalkulus Kedua) Purcell (1984)
Misalkan f (karenanya terintegrasikan) pada [a,b] dan misalkan F sebarang anti turunan dari f pada [a,b]. Maka
axftdt=Fb- F(a)
2.3 Aplikasi Integral dalam Biologi
Integral tentu dapat digunakan untuk menghitung luas. Ini tidak mengherankan oleh karena integral tersebut memang diciptakan untuk keperluan tersebut. Akan tetapi integral tersebut dapat digunakan untuk banyak persoalan lainnya. Hampir tiap besaran yang dapat dianggap sebagai hasil pemotongan sesuatu menjadi bagian-bagian lebih kecil, aproksimasi tiap bagian, penjumlahan dan pengambilan limit apabila tiap bagian mengecil, dapat diartikan sebagai suatu integral (Purcell,1987).
Sejauh ini belum banyak contoh penggunaan integral tentu di bidang Biologi yang dapat dibahas. Hal ini, mungkin karena jenis fungsi yang banyak digunakan di bidang biologi masih sedikit dibicarakan (jurnal Biologi, 2013).
2.4 Polutan dalam Ekosistem
Polusi atau pencemaran lingkungan adalah masuknya atau dimasukkannya makhluk hidup,zat energi,dan atau komponen lain ke dalam lingkungan oleh kegiatan manusia atau oleh proses alam sehingga kulitas lingkungan turun sampai ke tingkat tertentu menyebabkan lingkungan menjadi kurang atau tidak dapat berfungsi lagi sesuai dengan peruntukannya. (Undang-Undang Pokok Pengelolaan Lingkungan Hidup Nomor 4 Tahun 1982)
Zat atau bahan yang menyebabkan polusi disebut dengan polutan. Suatu zat yang disebut sebagai polutan, apabila keberadaannya dapat menyebabkan kerugian terhadap makhluk hidup. Kategori suatu zat disebut polutan apabila jumlahnya melebihi keadaan normal, berada pada waktu dan tempat yang tidak tepat. Polutan dapat bersifat merusak sementara dan merusak dalam jangka waktu panjang.
Jenis polusi yang banyak dirasakan saat ini, salah satunya polusi udara. Polutan yang menyebabkan polusi udara ini terbagi menjadi polutan primer dan polutan sekunder. Polutan primer adalah substansi pencemar yang ditimbulkan langsung dari sumber polusi udara. Contohnya, karbon monoksida yang langsung dihasilkan dari pembakaran. Pencemar sekunder adalah substansi pencemar yang terbentuk dari reaksi pencemar-pencemar primer di atmosfer. Contohnya,pembentukan ozon dalam smog fotokimia(http://ciiprutt.blogspot.com/2012/10/limbah-atau-polutan.html).
Menurut (Andhika,2004), adanya polutan dalam suatu lingkungan (ekosistem), dalam waktu singkat, dapat menyebabkan perubahan biokimiawi suatu organisme. Selanjutnya perubahan tersebut dapat mempengaruhi perubahan fisiologis dan respon organisme, perubahan populasi, komposisi komunitas, dan fungsi ekosistem.
Berdasarkan Polutan (Bahan Pencemar),polusi dapat dikelompokkan menjadi polusi karena bahan fisik, kimia, dan biologi.
a. Polusi karena Bahan Fisik
Polusi ini disebabkan bahan pencemar fisik berupa bahan-bahan yang sukar hancur, seperti alumunium, fisik, kaca, dan karet sintetis.
b. Polusi karena Bahan kimia
Polusi ini disebabkan bahan pencemar kimia, seperti zat radoaktif, logam(Hg,Pb, As, Cr dan Cd), detergen, minyak, pupuk organik, dan pestisida.
c. Polusi karena Bahan Biologi
Polusi ini disebabkan pencemar biologi berupa mikroorganisme, misalnya salmonella thyposa, Escherichia coli, dan Entamoeba coli.
BAB III
PEMBAHASAN
Diambil dari Martono (1993) Banyaknya polutan yang memasuki suatu ekosistem dapat bervariasi menurut waktu tergantung pada berbagai faktor. Misalkan, banyaknya limbah suatu pabrik yang dialirkan ke Danau pembuangan dapat bertambah jika produksi pabrik meningkat atau alat penyaring limbah pabrik menjadi tidak efisien.
Berikut merupakan contoh aplikasi integral tentu dengan kasus menghitung jumlah polutan yang masuk ke dalam ekosistem :
Contoh Kasus :
jika banyaknya limbah yang terkumpul di suatu ekosistem setelah satuan waktu dapat kita misalkan t, maka laju populasi pada ekosistem itu sama dengan dxdt, sehingga banyaknya limbah yang terkumpul di dalam ekosistem dari waktu t = a sampai t = b menjadi
t=at=bdxdtdt
Jika suatu pabrik mengganti saringan udara setiap 90 hari dan t hari setelah penggantian saringan udara banyaknya sulfur dioksida yang terlepas ke udara adalah 25t10 dt satuan berat per hari adalah :
09025t10 dt
Jadi, dimisalkan u = t10, maka 10du = dt dan t = 0, t = 90. Masing-masing u=0, u=9, sehingga integral menjadi :
09025t10 dt =250090u12 du
=25023u32
=4500 satuan berat
Jadi banyak limbah yang terkumpul ekosistem adalah 4500 satuan berat
BAB IV
PENUTUP
Kesimpulan
Berdasarkan kasus diatas diperoleh kesimpulan bahwa konsep kalkulus integral, khususnya integral tentu dapat diaplikasikan ke berbagai bidang termasuk biologi. Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus konsep integral dapat digunakan untuk menghitung jumlah polutan yang masuk ke dalam ekosistem.
