Apostila de Cálculo Professor Daniel Viais Neto 1. PRÉ-CÁLCULO Conjuntos Numéricos Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos ou naturais. Temos então o conjunto N = { 0, 1, 2, 3, 4,...} . Os números -1, -2, -3,...são chamados inteiros negativos. A união do conjunto dos números naturais com os inteiros negativos define o conjunto dos números inteiros que denotamos por Z = {...,−3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3,...} .
Os números da forma m n , n ≠ 0, m, n ∈ Z , são chamados de frações e formam o conjunto dos números racionais. Denotamos: m Q = { x ; x = , com m, n ∈ Z, e n ≠ 0} . n Finalmente encontramos números que não podem ser representados na forma m n , n ≠ 0, m, n ∈ Z , tais como
2 = 1,414... ,
3,14159... , e = 2,71... . Estes números formam o conjunto dos
que denotaremos por Q'. Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais resulta o conjunto dos números reais, que denotamos por R = Q ∪ Q ' . π
=
números irracionais
Valor absoluto Definição. O valor absoluto de x , denotado por x , e definido como x
=
x, x ≥ 0 . , 0 x x − <
Interpretação Geométrica. Geometricamente o valor absoluto de x , também chamado módulo de x , representa a distância entre x e 0 . Escreve-se então x
=
x 2 .
Intervalos Intervalos são conjuntos infinitos de números reais como segue:
Intervalo Aberto. { x / a < x < b} , denota-se (a, b) ou ] a, b [ . Intervalo Fechado. { x / a ≤ x ≤ b} , denota-se [ a, b] . Intervalo Fechado à Direita e Aberto à Esquerda. { x / a < x ≤ b} , denota-se (a, b] ou ] a, b] . Intervalo Aberto à Direita e Fechado à Esquerda. { x / a ≤ x < b} , denota-se [a, b) ou [ a, b [ . Intervalos Infinitos. (i) { x / x > a} , denota-se (a,+∞) ou ]a,+∞[ ; (ii) { x / x ≥ a} , denota-se [ a,+∞) ou [ a,+∞ [ ; (iii) { x / x < b} , denota-se ( −∞, b) ou ] − ∞, b [ ; (iv) { x / x ≤ b} , denota-se (−∞, b] ou ] − ∞, b] .
1
Potenciação Seja a um número real e m e n números inteiros positivos, então:
a a
n n
=
⋅a
a b
a.a.a.a ... a (n vezes) m
n =
=
a b
a
a
0
= 1,
m+ n
an ÷ am
,b≠0
n
n n
1 a =a =
a
−n
=
1
,a≠0
a
(a m )n = a m n
a m− n , a ≠ 0
⋅
1
n m a
a =a n
m =
a
n
Produtos notáveis
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(a + b) ⋅ (a − b ) = a 2 − b 2
Fórmula de Bhaskara
Exercícios 1. Calcule o valor das expressões numéricas:
4 7
− 1 5 3
1 − + − + 3 1 12 13 4 1 − − 1 − 1 a) 3
b)
2 9
c)
−3
2
−3
−5 + (− 4 )
d)
− (−2)
2
−
3 27
(−3 + 5) 0 − 2
2. Calcule o valor de y substituindo o valor de x dado. a) y
3
2
= −( x − 1) + (1 − x ) + 1;
x = −1
b) y
=
1 x
+2
x + 12 ; x = 4
3. Desenvolva os seguintes produtos notáveis: a) ( x − 2 )2 + x 2 − 2( x − 1)2
b) (m − 1)2 − (m + 1) ⋅ (m − 1)
4. Resolva as equações: a)
x − 2
4
+
2 x + 8 =5 5
b)
x + 1 x − 2 −
x
x + 1
=
17 x 2 + x
c)
(2 x + 1)2 − 5( x + 1) + 4 = 0
2
Respostas 1. a) -414
b) -0,38
c) 0,124
2. a) 13
d) 7
b) 17/2
3. a) 2
26
x = 6 .
4. a) 6
b) -2m+3
b) 4 c) 0; 1/4
Exponenciais Exemplos: a) 2 x
2 x
64 1 x Solução: 8 = 32
64 1 b) 8 x = 32 =
Solução:
=
⇔
2 x
⇔
(2 3 ) x
=
=
⇔
1 25
2 3 x
⇔
x
c)
( 3)
x
3
=
81
Solução:
( 3)
x
=
3
12 81 ⇔ 3
=
2
x
=
3
3
4
⇔
3
2 =
3
−5
⇔
4 3 ⇔ x =
2
3 x = −5
⇔
x = −
5 . 3
4 8 ⇔ x = . 3 3
Logaritmos Definição. Chamaremos de logaritmo do número x na base a ao expoente y que devemos colocar em a para dar o número x ( x , a > 0, a ≠ 1 ). Em símbolos:
log a x = y
⇔
= x.
a y
Dois casos especiais são os logaritmos decimais (base 10) que podem ser indicados por log x e os logaritmos naturais (base e ≅ 2,718 ) que podem ser indicados por ln x . Exemplos:
Propriedades dos logaritmos:
log 2 16 = 4, pois 24 = 16. b) log 5 1 = 0, pois 50 = 1. 1 1 -3 c) log 3 = −3, pois 3 = . 27 27 d) log 100 = 2, pois 102 = 100. e) ln e = 1, pois e1 = e .
(P1)
a)
log a x. y = loga x + log a y.
(P2) log a
x
=
y
(P3) log a x y (P4) log a x
log a x − log a y.
= y. log a x. =
log b x (mudança de base). log b a
Exercícios Resolva as seguintes equações: x 2 +1
95 x
x
a)
27
d)
log 2 { 2 + 3. log3[1 + 4. log4 (5 x + 1)] } = 3
e) x = log 5100
g)
log 2 { 2. log 3 [1 + log 4 ( x + 3) ] } = 2
h)
=
b) 2.5
=
c) 83 x
x +1
7
f)
3 x 9
3 =
32 x 4 x −1
=
812 x +9
4 x.6 = 5 3 x−1
Respostas 1. a) 3; 1/3 b) -3,72 c) 3/14
d) 3
e) 2,86
f) -38/7
g) 13
h) 0,988
3
Problemas 1. A soma de um número com o seu quadrado é 90. Calcule esse número. 2. Um pai tinha 24 anos ao nascer o seu filho. O produto das atuais idades de ambos é o triplo do quadrado da idade do filho. Quais as duas idades? 3. A diferença entre os perímetros de dois quadrados é de 32 m e a diferença entre as áreas de 176 m 2. Achar os lados. 4. A despesa de R$ 3.000,00 feita durante uma excursão deve ser dividida por um grupo de estudantes. Como, porém, os rapazes não permitiram que as 5 moças da turma entrassem no rateio, a contribuição de cada um ficou aumentada em R$ 50,00. Quantos rapazes participavam desse grupo? 5. Eu tenho R$ 20,00 a mais que Paulo e Mário R$ 14,00 a menos que Paulo. Ao todo temos R$ 156,00. Quantos reais têm Paulo e Mário? 6. (CEFET-MG) A soma do preço de duas mercadorias é R$ 50,00. A mais cara terá um desconto de 10% e a mais barata sofrerá aumento de 15%, mantendo a soma dos preços no mesmo valor. A diferença entre os dois preços diminuirá em: a) 25%
b) 30%
c) 40%
d) 50%
e) 60%
7. (UEL) Um grupo de jovens participava de uma festa. Às 23h retiraram-se 12 garotas do grupo e o numero de rapazes ficou sendo o dobro do de garotas. Em seguida, retiraram-se 15 rapazes e o numero de garotas ficou sendo o dobro do de rapazes. Inicialmente, o numero de jovens do grupo era: a) 50
b) 48
c) 45
d) 44
e) 42
8. Um homem gastou tudo o que tinha no bolso em três lojas. Em cada uma gastou 1 real a mais do que a metade do que tinha ao entrar. Quanto o homem tinha ao entrar na primeira loja? 9. Se um comerciante misturar 2 kg de café em pó do tipo I com 3 kg de café em pó do tipo II, ele obtém um tipo de café cujo preço é de R$ 4,80 o quilograma. Mas se misturar 3 kg de café em pó do tipo I com 2 kg de café em pó do tipo II, a nova mistura custará R$ 5,20 o quilograma. Os preços do quilograma do café do tipo I e do café do tipo II são respectivamente: a) R$ 5,00 e R$ 3,00
b) R$ 6,40 e R$ 4,30
c) R$ 5,50 e R$ 4,00
d) R$ 5,30 e R$ 4,50
e) R$ 6,00 e R$ 4,00
10. Um pequeno avião a jato gasta sete horas a menos do que um avião a hélice para ir de São Paulo até Boa Vista. O avião a jato voa a uma velocidade média de 660 km/h, enquanto o avião a hélice voa em média a 275 km/h. Qual é a distancia entre São Paulo e Boa Vista? 11. Uma casa tem 3 salas. O chão de uma delas é um quadrado e o das outras são retângulos com a mesma largura do quadrado e comprimentos iguais a 5 m e 4 m. Se as 3 salas juntas têm 36 m 2, qual a área da sala quadrada? 12. Um feirante separou um número inteiro de mangas e mamões. Observou que para cada mamão havia 3 mangas. Fez lotes com 6 mangas e lotes com 4 mamões. Vendeu cada lote por R$ 0,50, arrecadando na venda de todos os lotes o valor de R$ 135,00. Qual o número de mamões vendidos? Respostas 1. 9 ou -10 5. 50,00 e 36,00 9. e
2. 36 e 12 6. c 10. 3300 km
3. 7m e 15m 7. e 11. 9 m2
4. 15 8. 14 12. 360
4
2. FUNÇÕES Definição. Sejam A e B subconjuntos de R . Uma função f : A → B é uma lei ou regra que a cada elemento de A faz corresponder um único elemento de B . O conjunto A é chamado domínio de f e é denotado por D( f ) . B é chamado contradomínio ou campo de valores de f . Escrevemos: f : A → B x → f ( x)
Exemplo: Sejam A = {1,2,3,4} , B = {2,3,4,5} e f : A → B dada pelo diagrama abaixo. Neste caso, f é uma função de A em B .
Contraexemplos: Sejam A = {3,4,5} e B = {1,2} . a) f : A → B dada pelo diagrama a seguir, não é uma função de A em B , pois o elemento correspondentes em B .
4 ∈ A tem dois
b) g : A → B , x → x − 3 não e uma função de A em B , pois o elemento 3 ∈ A não tem correspondente em B .
Definição. Seja f : A → B . (i) Dado x ∈ A , o elemento f ( x) ∈ B é chamado o valor da função f no ponto x ou imagem de x por f . (ii) O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado conjunto imagem de f e é denotado por Im( f ) . Definição. Seja f uma função. O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos ( x, f ( x )) de um plano coordenado, onde x pertence ao domínio de f .
5
Exemplo: O gráfico da função f ( x) = x 2 consiste em todos os pares ( x, y ) ∈ R 2 tais que y = x 2 .
Exercício: Esboce os gráficos das funções f ( x) = x , f ( x ) = x 3 , f ( x ) =
1 x
e f ( x) = 3 x .
Definição. Dadas duas funções f e g , a função composta de g com f , denotada por g f , é definida por o
( g f )( x) = g ( f ( x)) . o
O domínio de g f é o conjunto de todos os pontos x no domínio de f tais que f ( x) esta no domínio de g . Em diagrama, o
Exercícios 1. Dada à função f: R → R , dada por f ( x) = x 2 − 1 , determine a imagem do número real Determine os valores de x tais que f ( x ) = 0 e o valor de x tal que f ( x) = −1.
2 pela função.
2. Seja a função f: R → R e sua lei f ( x) = −9 x + 4 . Determine o número real x de modo que f ( x ) =
3 . 5
3. Dada a função f ( x) = x 2 − 4 x + 10 , obtenha os valores de x cuja imagem seja 7. 4. Sendo f ( x) = 5 x e g ( x ) = x 3 , obter ( g f )(2) e ( g f )( x ) . o
o
5. Sendo f ( x) = 3 x + 2 e g ( x ) = 6 x − 1 , obter ( f g )(−5) e ( f g )( x ) . o
6. Dadas f ( x) = 3 x 2
+ 2 x − 1 e
o
g ( x ) = 2 x + 1 , calcular f ( g ( x)) .
Respostas 1. 1 ; x = −1 e x = 1 ; x 4. a) 1000 , 125 x 3
=
0
2. 17/45 5. 31 , 18 x − 1
3. 1 e 3 6. 12 x 2
+ 16 x +
4 6
3. TIPOS DE FUNÇÕES A seguir vamos relacionar alguns tipos de funções:
Função Constante. É toda função do tipo f ( x) = k , que associa a qualquer número real x um mesmo número real k . A representação gráfica será sempre uma reta paralela ao eixo x , passando por y = k . Exemplo: f ( x) = 2 .
Função do 1º Grau. É toda função que associa a cada número real x , o numero real ax + b, a ≠ 0 . Os números reais a e b são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e linear. Quando a > 0 , a função f ( x) = ax + b é crescente, isto é, à medida que x cresce, f ( x) também cresce. Quando a < 0 , a função f ( x) = ax + b é decrescente, isto é, à medida que x cresce, f ( x) decresce. O gráfico da função f ( x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos coordenados. Exemplos: 1. f ( x) = 2 x + 3
2. f ( x) = −3 x + 1
Função Identidade. É a função f: R → R definida por f ( x) = x . Exercícios 1. O número C de graus Celsius com função do número F de graus Fahrenheit é dado pela expressão C =
5 ( F − 32 ) , determine: 9
a) A temperatura em graus Celsius quando a temperatura em Fahrenheit é de 50 graus; b) A temperatura em graus Fahrenheit quando a temperatura em Celsius é de 25 graus.
2. Obtenha a equação da reta que passa pelos seguintes pontos: a) ( 2,3) e (3,5) ;
b) (1,−1) e ( −1,2) .
3. A fórmula que dá o número do sapato y em função do comprimento x do pé, em centímetros, é dada por 5 x + 28 , calcule: y =
4
a) O número do sapato quando o comprimento do pé é de 24 cm. b) O comprimento do pé de quem calça 40.
7
4. A população da Carolina do Sul (em milhares) era de 4.024 em 2000 e 4.255 em 2005. Suponha que a população y entre o ano t seja linear. Suponha que t = 0 represente o ano 2000 (Fonte: U.S. Census Bureau). a) Escreva um modelo linear para os dados.
b) Faça uma estimativa da população em 2002.
5. Em um determinado país, o imposto de renda é igual a 10% da renda, para ganhos até $ 900,00. Para rendas acima de R$ 900,00, o imposto é de $ 90,00 (10% de $ 900,00) mais 20% da parte da renda que excede $ 900,00. a) Qual o imposto para uma renda de $ 600,00? b) Qual o imposto para uma renda de $ 1.200,00? c) Chamando x a renda e y o imposto de renda, obtenha a expressão de y em função de x .
6. Um supermercado está fazendo uma promoção na venda da alcatra da seguinte forma: um desconto de 15% é dado é dado nas compras de 3 quilos ou mais. Sabendo que o preço do quilo da alcatra é de R$ 18,00, pede-se: a) O gráfico do total pago em função da quantidade comprada; b) A determinação de quais consumidores poderiam ter comprado mais alcatra pagando o mesmo preço.
7. Uma copiadora publicou a seguinte tabela de preços: Número de cópias
Preço por cópia
De 1 a 19 De 20 a 49 50 ou mais
R$ 0,10 R$ 0,08 R$ 0,06
a) Esboce o gráfico da função que associa a cada natural n o custo de n cópias. b) O uso da tabela acima provoca distorções. Aponte-as e sugira uma tabela de preços mais razoável.
Respostas 1. a) 10 b) 77 4. a) y = 46,2t + 4024
2. a) y = 2 x − 1 b) 4116,4 milhares
3. a) 37
b) y = 0,5 − 1,5 x 5. a) $ 60 b) $ 150
b) 26,4 cm
Função Quadrática. A função f: R → R definida por f ( x) = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 é chamada função do 2º grau ou função quadrática. A representação gráfica da função do 2º grau é uma curva denominada parábola, cujos principais aspectos são: •
Concavidade: é dada pelo sinal de a . a a
0 : concavidade voltada para cima. < 0 : concavidade voltada para baixo. >
Interseção com o eixo x : são as raízes da equação ax 2 fórmula de Bhaskara. •
+ bx + c =
•
Interseção com o eixo y : é o ponto correspondente a x
=
•
Vértice: corresponde ao ponto V = ( xv , yv ) , onde xv
=
•
Eixo de simetria: é a reta x
=
−b
2a
0 . Estas raízes são encontradas utilizando a
0 e, portanto y = c . −b
2a
e yv
=
−∆
4a
,
∆ =
b
2
− 4ac .
.
8
Tipos de Parábola.
Exemplo: f ( x) = x 2 − 6 x + 8
Função
Polinomial.
É
a
função
definida
por
f ( x) = a n x
n
+ a n −1 x
n −1
+ L + a1 x + a 0 ,
onde
a n , a n −1 ,..., a1 , a0 , a n ≠ 0 são números reais chamados coeficientes e n , inteiro não negativo, determina o grau da função. O domínio é sempre o conjunto dos números reais. p( x) , onde Função Racional. É a função definida como o quociente de duas funções polinomiais, isto e f ( x) = q( x) p ( x ) e q( x) são polinômios e q( x) ≠ 0 . O domínio da função racional é o conjunto dos reais excluindo os valores de x tais que q( x) = 0 . O que é pior do que um “raio” cair em sua cabeça? Cair um “diâmetro”. O que o “m.m.c.” estava fazendo na escada? Ele estava esperando o “m.d.c.”. Qual o animal que tem 3,14 olhos? O Piolho.
9
Exercícios 1. Dada à função do 2º grau f ( x) = x 2 − x − 2 , verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. a) f tem concavidade para cima; d) f intercepta o eixo y no ponto
(0,−2) ;
1 9 ,− ; 2 4
b) As raízes de f são –1 e 2;
c) V =
e) f (−1)
f) f (1) =
= −2 ;
2. Uma bala de canhão lançada para cima na vertical está a uma altura h( x)
=
2.
-16 x2 + 80 x metros após x segundos.
a) Faça o gráfico da altura h em função do tempo x . b) Qual a altura da bala após 3 segundos? c) Em quais valores do tempo, a altura da bala será de 64 metros? d) Para qual valor do tempo à bala irá atingir o solo? e) Quando a bala atingirá a altura máxima? Qual é essa altura?
3. O dono de um restaurante verificou que, quando o preço da dose de vodca era R$ 10,00, o número de doses vendidas era de 200 por semana. Verificou também que, quando o preço caía para R$ 7,00, o número de doses passava para 400 por semana. a) Obtenha a função de demanda admitindo seu gráfico linear. b) Encontre o preço da dose de vodca que maximiza o lucro semanal, considerando seu custo igual a R$ 4,00.
4. O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por E = t 2 − 8t + 210 , onde o consumo E é dado em kWh e ao tempo associa-se t = 0 a janeiro, t = 1 a fevereiro, e assim sucessivamente. a) Determine os meses em que o consumo é de 195 kWh. b) Qual o consumo de energia no mês de agosto?
Respostas 1. a) V 2. b) 96 m 3. a) q = −66,67 p + 866,67
b) V c) 1 e 4 segundos b) R$ 8,50
c) V d) 5 segundos 4. a) abril e junho
d) V e) 2,5 segundos; 100 m b) 203 kWh
e) F
f) F
Função Exponencial. Chamamos de função exponencial de base a , a função g de R em R que associa a cada x real o número real a x , sendo a um número real, 0 < a
≠ 1.
Função Logarítmica. Dado um número real a (0 < a ≠ 1) , chamamos função logarítmica de base a a função de R+* em R que associa a cada x o número
log a x .
10
Função Seno. Definimos a função seno como a função f de R em R que a cada x ∈ R faz corresponder o número real y = senx . O domínio da função seno é R e o conjunto imagem é o intervalo [−1,1] .
Função Cosseno. Definimos a função cosseno como a função f de R em R que a cada x ∈ R faz corresponder o número real y = cos x . O domínio da função cosseno é R e o conjunto imagem e o intervalo [−1,1] .
Funções: Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante.
Tabela de valores.
Função\Arco
0º (0)
Seno
0
Cosseno
1
Tangente
0
π π π 45º 60º 6 4 3
30º
1
2 3 2 3 3
2 2 1
2 2
3 1
2
2 3
π 2
90º
180º (π )
3π 2
270º
1
0
-1
0
-1
0
Não existe
0
Não existe
11
Exercícios 2. Uma substância radioativa esta em um processo de desintegração, de modo que no instante t a quantidade não desintegrada é aproximadamente M (t ) = M (0).2 −3t . Qual o valor de t para que a metade da quantidade inicial M (0) se desintegre? 3. (FGV) Daqui a t anos o valor do automóvel será V = 2000.(0,75) t reais. A partir de hoje, daqui a quantos anos ele valerá a metade do que vale hoje? Adote log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48 . 1. O montante de uma aplicação financeira no decorrer dos anos é dado por M ( x) = 50.000 (1,2) x , onde x representa o ano após a aplicação, e x = 0 o momento em que foi realizada a aplicação. a) Calcule o montante após 1 e 5 anos da aplicação inicial. b) Qual o valor aplicado inicialmente? Qual o percentual de aumento do montante em um ano? c) Após quanto tempo (aproximadamente) o montante será de R$ 214.991,00?
2. As vendas S (em milhares de dólares) da Starbucks de 1996 a 2005 podem ser modeladas pela função exponencial S (t ) = 182,34 (1,272) t , em que t é o tempo em anos, com t = 6 correspondendo a 1996 (Fonte: Starbucks Corp).
a) Use o modelo para estimar as vendas nos anos de 2009 e 2013. b) Em que ano a venda, segundo o modelo acima, foi de 5.293 milhares de dólares.
Respostas: 1. 1/3
2. 2,5 anos
3. c) 8 anos
4. a) 17.625,32 e 46.140,84 milhares
b) 2004
Função inversa. Seja y = f ( x ) uma função de A em B . Se, para cada y ∈ B , existir exatamente um valor x ∈ A tal que y = f ( x) , então podemos definir uma função g: B → A tal que x = g ( y ) . A função g definida desta maneira e chamada função inversa de f e denotada por f −1 . Graficamente, podemos determinar se uma função admite inversa. Passando uma reta paralela ao eixo dos x , esta deve cortar o gráfico em apenas um ponto.
Exercícios 1. Em cada um dos itens, determine a fórmula da inversa. Fazer os gráficos da função dada e de sua inversa. a) y
=
3 x + 4
b) y
=
1 x − 2
2. Mostrar que a função f ( x) =
x + 2
2 x − 1
c) y
=
x − 1, x ≥ 1
d) y = x 2
− 4, x ≤
0
coincide com sua inversa, isto é, f ( f ( x )) = x .
x, x < 1 3. Seja f ( x) = x 2 , 1 ≤ x ≤ 9 , verifique que f tem uma função inversa e encontre f −1 ( x ) . 27 x , x > 9
12
4. LIMITES Noção intuitiva. Exemplo: Seja y
=1−
1 . x
Esta função tende para 1 quando x tende para o infinito. Basta observar as tabelas e o gráfico para constatar que: y → 1 quando x → ±∞ . Denota-se
lim
x → ±∞
(1 − 1 x ) = 1
Expressões indeterminadas.
Propriedades dos Limites Infinitos.
13
5. CONTINUIDADE Definição. Dizemos que uma função f é contínua no ponto a se as seguintes condições forem satisfeitas: (i) f é definida no ponto a ;
(ii)
lim f ( x) existe;
(iii)
x → a
lim f ( x) = f (a) .
x → a
Alguns esboços de gráficos de funções que não são contínuas em a :
Exercícios: Calcule os limites abaixo:
1.
x
2
−9
lim x + 3
lim
2.
x → −3
5.
lim x x →1−
6.
−1
lim
13.
lim x x → 2
x 9. 1 − 3 x → +∞
1
lim x − 3
lim (3 x
3
+
2
− 3 x +
2 x
2
− 5 x
x − 2 2
− 5 x + 6
14.
lim (3 x
2
lim x x → 2
lim x
2
2
− 5 x + 6
− 12 x +
4.
20
10 2
8.
−1
− 4 x + 1)
15.
lim
(4 − x) 2 − 16
x →0
4
2
+ 7 x + 2)(1 − x + 4 x − 2 x
3
)
18.
x
3
+
4 x 2 − 1)
4 x + 1 2 −9
lim x x →3−
4 x 3 − 1 12. lim 10 x 2 + 3 x + 1 x
→ +∞
3
lim (3 x x → +∞
4 x − 6 11. lim 2 x − 2 x + 9 x
x → +∞
5
x
x →1
→ +∞
5
3.
7.
− 3 x + 2 x − 3 x + 4
x → +∞
4
2 x + 3 10. lim 5 x − 1 x
x → 3 −
17.
6 x
x → −1
10 2
3
− 2 x + x
→ −∞
16.
1 4 2 − + 2 x x x → +∞
lim
( x 3 + 2 x − 1)( x 3 − 5 x 2 + 2)(−4 x 2 + x) lim (7 x 2 + 2 x)(−2 x 2 + 1) x 4 x → −∞
Respostas: 1. -6
2. 10
3. 1/8
4. + ∞
10. 0,4
11. 0
12. - ∞ 13.
+∞
5. - ∞
6. -1
7. não existe
8. - ∞
9. - ∞
14.
15. 8
16. 2
17. 1/2
18. 2/7
+∞
14
6. A RETA TANGENTE Vamos definir a inclinação de uma curva y = f ( x) para depois encontrar a equação da reta tangente à curva num ponto dado. Seja y = f ( x) uma curva definida no intervalo (a, b) . Sejam P = ( x1 , y1 ) e Q = ( x2 , y 2 ) dois pontos distintos sobre da curva. Seja s a reta secante que passa por P e Q . Considerando o triangulo retângulo PMQ , temos que a inclinação da reta s (coeficiente angular) é tgα =
∆ y ∆ x
. Dessa
forma, quando Q move-se sob a curva em direção a P haverá uma variação do coeficiente angular da reta s e quando o ponto Q estiver cada vez mais próximo de P , o coeficiente angular varia cada vez menos, tendendo para um valor limite
constante. Este valor limite é o coeficiente angular da reta tangente, dado por: m( x1 ) =
Ou ainda, tomando x 2
∆ y
y 2
− y1
2
− x1
lim ∆ x lim x =
∆ x →0
x2 → x1
, quando o limite existe.
= x1 + ∆ x temos:
m( x1 ) =
lim x 0
f ( x1 + ∆ x ) − f ( x1 ) ∆ x
∆ →
Sendo assim, temos que a equação da reta tangente à curva y y − y1
=
, quando o limite existe.
= f ( x ) no ponto
P = ( x1 , y1 ) é dada por:
m( x1 )( x − x1 ) .
7. DERIVADA Definição. A derivada de uma função y = f ( x) é a função denotada por f ' ( x ) , tal que seu valor em qualquer x ∈ D ( f ) é dado por f ' ( x )
=
lim
f ( x + ∆ x) − f ( x) ∆ x
∆ x→0
, se esse limite existir.
Dizemos que uma função é derivável (ou diferenciável) quando existe a derivada em todos os pontos de seu domínio.
Notações:
f ' ( x) (lê-se f linha de x )
ou
dy dx
(Lê-se derivada de y em relação à x ).
15
Tabela de Derivadas.
Exercícios 2
1. Encontre a reta tangente e a reta normal à curva y
= − x + 3 x + 10 no ponto x = −1 . Esboce o gráfico.
2. Encontre a reta tangente e a reta normal à curva y
=
x
− 1 no
3. Encontre a reta tangente e a reta normal à curva y = − x 2
ponto x
+ 5 no
=
ponto x
4 . Esboce o gráfico.
=
3 . Esboce o gráfico.
16
4. Encontre y ' . 3 x 2 + 5 x − 1 a) y = x − 1
b) y
=
3
3 x 2 + 6 x − 2
c) f ( x) = x 2
+
1 x
2
Respostas
1 29 5 x + 11 , n: y = − x + 5 5 1 9 3. t: y = −6 x + 14 , n: y = x + 6 2 1. t: y
1 = −4 x + 17 4 3 x 2 − 6 x − 4 4. a) y ' = ( x − 1) 2 2 c) f ' ( x) = 2 x − 3 2. t: y = x , n: y
=
−2 1 2 b) y ' = (3 x + 6 x − 2) 3 (6 x + 6 ) 3
x
8. DERIVADAS SUCESSIVAS Definição. Seja f uma função derivável. Se f ' também for derivável, então a sua derivada é chamada derivada segunda de f e é representada por f " ( x) (lê-se f duas linhas de x ). Se f " é uma função derivável, sua derivada, representada por f ' ' ' ( x) , é chamada derivada terceira de f ( x) . A derivada de ordem n ou n-ésima derivada de f , representada por f (n) ( x) , é obtida derivando-se a derivada de ordem n − 1 de f . Exemplo: Se f ( x) = 3 x 5
+ 8 x
2 , então 4 f ' ( x) = 15 x
f ( 4) ( x ) = 360 x , f (5) ( x ) = 360 , f
(6) ( x )
=
+ 16 x ,
f ' ' ( x ) = 60 x
3
+ 16 ,
2 f ' ' ' ( x) = 180 x ,
0 ,..., f ( n ) ( x) = 0, n ≥ 6 .
Exercícios 1. Determine f ' ' (1) sabendo que f ( x) = 100 x 5 − 130 x 4 2. Seja f ( x ) =
+
2 x 3 − x 2 + 2 x + π .
2 x − 4 . Encontre f " (−1) . 3 x − 1
3. Encontre a derivada de ordem n das seguintes funções: a) f ( x) = senx
b) f ( x) =
1 (1 − x) 2
c) f ( x) =
1 3 x 3
Respostas 1. 450
3. 1,5
3. b) f ( n) ( x ) =
(n + 1)! (1 − x) n + 2
(−1) n (n + 2)! n) ( c) f ( x) = 6 x n + 3
17
9. DIFERENCIAL Seja y = f ( x) uma função.
Acréscimo de x. ∆ x = x2 − x1 Variação de y. ∆ y
= f ( x2 ) − f ( x1 )
Definição. Sejam y = f ( x) uma função derivável e ∆ x um acréscimo de x . Definimos: a) a diferencial da variável independente x , denotada por dx , como dx b) a diferencial da variável dependente y , denotada por dy , como dy
= ∆ x ;
= f ' ( x) ⋅ ∆ x .
Interpretação geométrica. Consideremos o gráfico da função y = f ( x) derivável. Observamos que, quando ∆ x torna-se
∆ y ≅
muito pequeno, o mesmo ocorre com a diferença
∆ y −
dy , ou seja,
dy , desde que o valor de ∆ x considerado seja pequeno.
Exercícios 1. Calcule o valor aproximado dos itens abaixo usando diferenciais. a) 3 65,5
b)
(1,97) 6
c)
50
d)
4 17,92
e)
49,28
f)
(3,02) 4
2. Avalie o erro em módulo decorrente do uso de diferenciais para calcular os valores acima. 3. Ao usarmos diferenciais para estimar o valor de (1,98) 3 cometemos um erro de 23,92.10 −3 ? 4. Uma caixa em forma de cubo deve ter um revestimento externo com espessura de 0,25 centímetros. Se o lado da caixa é de 2 metros, usando diferencial, encontrar a quantidade de revestimento necessária. Respostas 1. a) 4,03125
b) 58,24
c) 7,071
d) 2,06
e) 7,02
3. Não
f) 83,16
4. 60.000 cm³
10. TAXA DE VARIAÇÃO Seja y
= f ( x) uma função derivável.
Taxa média de variação de y em relação à x :
∆ y
=
f ( x + ∆ x) − f ( x)
∆ x
Taxa instantânea de variação de y em relação à x :
∆ x
f ' ( x) =
lim
∆ x → 0
.
f ( x + ∆ x ) − f ( x ) ∆ x
.
18
Exercícios 1. O deslocamento (em metros) de um objeto movendo-se ao longo de uma reta é dado por s t ≥ 0 onde t é medido em segundos. a) Encontre a velocidade média no período de tempo b) Quando o objeto atinge a velocidade de 5 m / s ? c) Qual a aceleração no instante t = 1,5 s ?
=
3 t
2
− 4,5t − 7t ,
[2,4] .
2. À distância percorrida (em m) por um móvel em linha reta é dada por S (t ) = t 2 + 4t + 4 onde t ≥ 0 é dado em segundos. Determine: a) a velocidade média entre t = 1 s e t = 3 s. b) a velocidade em t = 3 s. c) em que instante a velocidade é de 12 m/s. 3. Um ponto em movimento tem equação S (t ) = 2t 3 + 3t 2 + t , onde t é o tempo em segundos e S o espaço em metros. Determine a aceleração quando t = 3 s e em que instante a aceleração é de 30 m/s 2. 4. O produto interno bruto (PIB) de certo país (em milhões de dólares) é descrito pela função f (t ) = −2t 3 + 45t 2 + 20t + 6000, (0 ≤ t ≤ 11) , onde t = 0 corresponde ao início de 1990 . a) Qual a taxa de variação do PIB no início de 1995 ? E no começo de 1997 ? E no começo de 2000 ? b) Qual a taxa média de variação do PIB no período 1995 − 2000 ?
Respostas 1. a) -6m/s 3. a) 42 m/s2
b) 4s b) 2 s
2. a) 8 m/s c) 0m/s2 b) 10 m/s 6. a) 320, 356 e 320 milhões de dólares/ano
c) 4 s b) 345 milhões de dólares/ano
11. ESBOÇO DE GRÁFICOS
Exercícios: Faça um estudo completo e esboce o gráfico das funções abaixo. 1. f ( x) = x 3 − x 2
+1
2. f ( x) = x 3 − x 2 − 16 x − 20
3. f ( x) = x 4
+
4 x3
4. f ( x) = 3 x 5
− 5 x
19
3
12. PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO Exercícios 1. Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada à margem de um rio de 500 metros de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 2000 metros abaixo da central. O custo da obra através do rio é de R$ 640,00 por metro, enquanto, em terra, custa R$ 312,00. Qual é a forma mais econômica de se instalar a rede de água potável?
2. Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões a e b , com um lado comum a . Se cada pasto deve medir 400 m2 de área, determinar as dimensões a e b , de forma que o comprimento da cerca seja mínimo. 3. A direção da Trappee, fabricante do famoso molho picante Texas, estima que seu lucro (em dólares) pela produção e venda diária de x caixas (cada caixa contendo 24 garrafas) de molho picante é dado por P( x) = −0,000002 x 3 + 6 x − 400 . Qual é o maior lucro possível que a Trappee pode obter em 1 dia? 4. Suponha que a função receita seja R ( x) = 60 x e a função custo seja C ( x) = 2 x 3 − 12 x 2 a quantidade x que deve ser vendida para maximizar o lucro. Qual o lucro máximo?
+ 50 x + 40 .
Obtenha
5. Um terreno retangular deve ser cercado de 2 formas. Dois lados opostos devem receber cercas reforçadas que custa R$ 4,50 o metro, enquanto os outros dois lados restantes recebem uma cerca padrão de R$ 3,00 o metro. Qual a maior área que pode ser cercada com R$ 1.800,00? Respostas 1. 279,17 m
2.
40 3 m; 10 3 m 3
3. 3600
4. 4,38; 65,96
5. 15.000 m2
13. INTEGRAL INDEFINIDA Definição. Uma função F ( x) é chamada uma primitiva da função f ( x) em um intervalo I (ou simplesmente uma primitiva de f ( x) ), se para todo x ∈ I , temos F ' ( x) = f ( x ) . Exemplos: 1. f ( x) = x 2
⇒ F ( x) =
2. f ( x) = cos 2 x ⇒
x 3
3
F ( x) =
; F ( x) = sen2 x
2
x 3
3
+ 1;
F ( x) =
x 3
+ c é uma primitivas de
+2
3
são primitivas de f .
f para todo c ∈ R .
20
Proposição. Seja F ( x ) uma primitiva da função f ( x) . Então, se c é uma constante qualquer, a função G ( x) = F ( x) + c também é primitiva de f ( x) . Definição. Se F ( x) é uma primitiva de f ( x) , a expressão F ( x) + c é chamada integral indefinida da função f ( x) e é denotada por
∫ f ( x)dx = F ( x) + c .
De acordo com esta notação o símbolo
∫
é chamado sinal de integração, f ( x) função integrando e f ( x) dx
integrando. O processo que permite achar a integral indefinida de uma função é chamado integração. O símbolo dx que aparece no integrando serve para identificar a variável de integração. Além disso, da definição da integral indefinida decorre que: a) ∫ f ( x)dx = F ( x) + c
⇔
F ' ( x) = f ( x) ;
b) ∫ f ( x)dx representa uma família de funções (a família de todas as primitivas da função integrando).
Proposição. Sejam f , g : I → R e K uma constante, então: a)
∫ K f ( x) dx = K ∫ f ( x) dx ;
b)
∫ ( f ( x) + g ( x))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx .
Tabela de integral.
Exercícios Resolva as integrais abaixo:
1. ∫ (3 x 2
+5+
x ) dx
2.
2
∫ (1 − t )(t
+
2)dt
3. ∫ (9t 2
+
1
3 t
)dt
4. ∫ (
1 x
+
x x
3
)dx
21
5. ∫ x 3 x dx
6. ∫ (
e t
2
+
t +
1 )dt t
7. ∫ (2 t − 2 e t + cos 2t )dt
8.
∫
dx 3 x
9. A secretaria da Universidade Kellogg estima que o número total de estudantes matriculados na divisão de Educação Continuada crescerá à taxa de N ' (t ) = 2000(1 + 0,2t ) −3 / 2 estudantes/ano daqui a t anos. Se o número atual de matrículas é 1000 , encontre uma expressão que forneça o número total de matrículas daqui a t anos. Qual será o número de matrículas daqui a 5 anos? 10. Estima-se que as vendas anuais (em milhões de unidades) de notebooks cresçam de acordo com a função f (t ) = 0,18t 2 + 0,16t + 2,64 (0 ≤ t ≤ 6) onde t é medido em anos, com t =0 correspondendo a 1997. Quantos notebooks serão vendidos durante o período de 6 anos, que vai do início de 1997 ao final de 2002? Respostas 1. x 3
+ 5 x +
3 2 2 x
3
2. 2t − t 2
+c
2 9 5. x 2 + c 9
+
t 3
3
−
t 4
4
5
+c
1 2 3 6. e t + t 2 + ln t + c 2 3
9. 6.858 matrículas
3. 3t 3
−
2 t
+c
4. 2 x +
2 t t sen2t 7. − 2e + + c 8. ln 2 2
10. 31,68 milhões de unidade
−
1 2 x 2
2 x 2 15
+c
+c
14. INTEGRAL DEFINIDA Definição. Seja f uma função definida no intervalo [a, b] . A integral definida da função f de a até b é denotada b
∫
por f ( x)dx , onde os números a e b são chamados limites de integração ( a inferior e b superior). a
Quando a função f é contínua e não negativa em [ a, b] , a definição da integral definida coincide com a definição da área. Sempre que utilizamos um intervalo [a, b] , supomos a < b . Assim, em nossa definição não levamos em conta os casos em que o limite inferior é maior que o limite superior.
Definição. b
a
∫
(a) Se a > b , então f ( x)dx a
=−
∫ f ( x)dx , se a integral à direita existir.
b b
∫
(b) Se a = b e f ( a ) existe, então f ( x)dx = 0 . a
Teorema. Se f é contínua sobre [a, b] , então f é integrável em [a, b] . Proposição. Se a < c < b e f é integrável em [ a, c ] e em [c, b] , então f é integrável em [ a, b] e b
c
b
a
a
c
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx . 22
15. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO Teorema. Se f é contínua sobre [a, b] e se F e uma primitiva de f neste intervalo, então b
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) .
a
Exercícios Calcular as integrais definidas.
2 1. ∫ x(1 + x 3 )dx −1
0
2.
∫
( x 2
2
9
dx 3. ∫ 6 1 x
− 4 x + 7)dx
−3
4. ∫ 2t t dt 4
5.
2 2 5 x (1 − x ) dx 0
∫
Respostas 1. 81/10
2. 48
3. 31/160
4. 844/5
5. -0,571
16. CÁLCULO DE ÁREAS O cálculo de área de figuras planas pode ser feito por integração. Vejamos as situações que comumente ocorrem.
Caso I. f ( x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b] . Exemplo: Encontre a área limitada pela curva y = 4 − x 2 e o eixo dos x .
2 A =
2 ∫ (4 − x )dx = −2
32 u.a. 3
Caso II. f ( x) ≤ 0, ∀ x ∈ [a, b] . Exemplo: Encontre a área limitada pela curva y = x 2
2 A =
∫ ( x −2
2
− 4 e o eixo dos x .
− 4) dx = −
32 3
=
32 u.a. 3
23
Caso III. f ( x) ≥ g ( x), ∀ x ∈ [ a, b] . Exemplo: Encontre a área da região S limitada pelas curvas y = x + 6, y = x 3 e y
= − x
2.
Devemos dividir a região em duas subregiões S 1 e S 2 .
0 A1
=
∫ [(6 + x) − (− x 2)]dx = 12 u.a.
−4
2 A2
=
3 ∫ [(6 + x) − x ]dx = 10 u.a.
0 ∴ ATotal =
22 u.a.
Exercícios Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas. Esboce a região.
1. y = x 2 , y
4. y = x 2 + x, y
=
4 x 2 , y = x 2 + 3
2
2. y
=
3 − x
5. y
= − x
= 18 − x
2
+ 6 x − 5,
y
3. y = x 2 =
2 x − 5
y = −2 x 2 6. y = 4 − x 2 , y = x 2 − 14 − 6 x − 7,
+ 6 x + 8
Respostas 1. 72
2. 4
3. 108
4. 32/3
5. 32/3
6. 72
17. BIBLIOGRAFIA - FLEMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A - 6ª ed. Pearson Education do Brasil, São Paulo, 2007. - MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Cálculo funções de uma e várias variáveis. Saraiva, São Paulo, 2003. - SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, E. M. Cálculo Básico para Cursos Superiores. Atlas, São Paulo, 2004. - STEWART, J. Cálculo Vol. 1 - 5ª ed. Pioneira Thomson Learning, São Paulo, 2006.
“Jamais considere seus estudos como uma obrigação, mas como uma oportunidade invejável para aprender a conhecer a influência libertadora da beleza do reino do espírito, para seu próprio prazer pessoal e para proveito da comunidade à qual seu futuro trabalho pertencer.” Albert Einstein. Einstein. Einstein.
24
