MOVIMIENTO CURVILÍNEO Supon Suponga gamos mos que que el movi movimie mient nto o curv curvil ilín íneo eo tien tiene e luga lugarr en el plan plano o XY, XY, situamos un origen, y unos ejes, y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el móvil. Las magnitudes que describen un movimiento curvilíneo son:
Vector posición r en un instante t .
Como la posición del móvil cambia con el tiempo. n el instante t el el móvil se encuentra en el punto !, o en otras palabras, su vector posición es r y y en el instante t' se se encuentra encuentra en el punto !", su posición viene dada por el vector vector r ".". #iremos que el móvil se $a despla%ado r=r’-r en en el intervalo de tiempo t=t't . #ic$o vector tiene la dirección de la secante que une los puntos ! y !".
Vector velocia
l vector velocidad media, se de&ine como el cociente entre el vector despla%amiento r entre el tiempo que $a empleado en despla%arse t . l vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector despla%amiento, la secante que une los puntos ! y !" de la &igura.
l vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.
Como podemos ver en la &igura, a medida que $acemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos !, con los puntos ! ', ! (....., tiende $acia la tangente a la trayectoria en el punto !. n el instante t , el móvil se encuentra en ! y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dic$o punto.
Vector aceleración
n el instante t el móvil se encuentra en ! y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dic$o punto. n el instante t' el móvil se encuentra en el punto !" y tiene una velocidad v". l móvil $a cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector di&erencia v=v’-v. Se de&ine la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad y el intervalo de tiempo t=t'-t , en el que tiene lugar dic$o cambio. Y la aceleración a en un instante
)esumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son
La primera &ila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje X, la segunda &ila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje *.
!or tanto" poe#os consierar un #ovi#iento curvil$neo co#o la co#posición e #ovi#ientos rectil$neos a lo lar%o e los e&es coorenaos. Co#ponentes tan%encial ' nor#al e la aceleración Las componentes rectangulares de la aceleración no tienen signi&icado &ísico, pero si lo tienen las componentes de la aceleración en un nuevo sistema de re&erencia &ormado por la tangente a la trayectoria y la normal a la misma. +allar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante es un problema de geometría, tal como se ve en la &igura.
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Se dibujan los ejes $ori%ontal X y vertical Y. Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en dic$o instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dic$o sistema de re&erencia. Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial. Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección tangencial y sobre la dirección normal. Se determina el ngulo entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se calcula el valor num-rico de dic$as componentes: at =a cos y an=a sen
E&e#plo(
l vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v/0t1 (2i3/4t(152 & m6s. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t ( s. #ibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dic$o instante. '. #adas las componentes de la velocidad obtenemos las componentes de la aceleración 0t 1( m6s, m6s( v x a x 0 ( m6s( v y 4t 15 m6s, ay '(t (. Los valores de dic$as componentes en el instante t ( s son 7 m6s, m6s( v x a x 0 ( v y '8 m6s, ay (7 m6s 0. #ibujamos el vector velocidad y el vector aceleración
7. Calculamos el ngulo que &orman el vector velocidad y el vector aceleración !or el producto escalar: v9av9a9cos Calculando el ngulo que &orma cada vector con el eje X, y restando ambos ngulos 5. Se calculan las componentes tangencial y normal de la aceleración at =a9cos (7.' m6s( an=a9sen(. m6s( !odemos $allar la aceleración tangencial en cualquier instante, a partir del producto escalar del vector aceleración a y el vector velocidad v. v)ava9cosθ=v·at • •
La aceleración normal, se obtiene a partir del módulo de la aceleración a y de la aceleración tangencial at
;tra &orma de obtener las componentes tangencial y normal de la aceleración, es la de escribir el vector velocidad v como producto de su módulo v por un vector unitario que tenga su misma dirección y sentido utv6v. La derivada de un producto se compone de la suma de dos t-rminos
l primero, tiene la dirección de la velocidad, es la componente tangencial de la aceleración
l segundo, se puede demostrar que tiene la dirección perpendicular a la tangencial, es la componente normal de la aceleración.
siendo ρ el radio de curvatura de la trayectoria. demostraremos para el movimiento circular uni&orme.
)elación
que
n la &igura, se muestra el radio de curvatura y el centro de curvatura de una trayectoria cualesquiera en el instante t . Se dibuja la dirección del vector velocidad v en el instante t , la dirección del vector velocidad v3v en el instante t+dt . Se tra%an rectas perpendiculares a ambas direcciones, que se encuentran en el punto C denominado centro de curvatura. La distancia ente entre la posición del móvil en el instante t , y el centro de curvatura C es el radio de curvatura ρ. Como la velocidad es un vector, y un vector tiene módulo y dirección.
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MOVIMIENTO CIRCUL*R >quí,vamos a de&inir las magnitudes características del movimiento circular, anlogas a las ya de&inidas para el movimiento rectilineo.Se de&ine movimiento circular como aqu-l cuya trayectoria es una circun&erencia.?na ve% situado el origen ; de ngulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes:
!O+ICI,N *NUL*R , @. n el instante t el móvil se encuentra en el punto !.Su posición angular viene dada por el ngulo al&a, que $ace el punto !,el centro de la circun&erencia C y el ;rigen de ngulos ;. n el instante tAel móvil se encuentra en la posición !Adada por el ngulo /teta2A.l móvil se $abr despla%ado #/teta2/teta2Aen el intervalo de tiempo : #t tA1 t comprendido entre : t" y t
VELOCI* *NUL*R , @. Se denomina al cociente entre el despla%amiento y el tiempo. @ #/teta2 6 #t Como ya se e
ngular en un instante dado se obtiene calculando la velocidad >ngular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero. @ lim B#/teta26#t d/teta26dt #t1111D
*CELER*CION *NUL*R, al&a. Se denomina velocidad angular media al cociente entre el despla%amiento y el tiempo: al&a #@6#t. La aceleración angular en un instante,se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero: al&a lim #@ 6 #t d@ 6 dt #t111D
Suma de vectores
Propiedad conmutativa v + w = w + v
Propiedad asociativa (v + w) + u = w + (v + u) Existe elemento neutro, el vector 0 cuyo punto de aplicaión y punto final coinciden, por lo que su intensidad vale 0 v + 0 = v
Existe elemento opuesto (-v), de igual intensidad y dirección, pero sentido opuesto, de forma que al sumarlos se obtiene el vector 0 v + (-v) = 0
Cantidades vectoriales y escalares
Vector aceleración y vector aceleracion
