ÁREA EN COORDENADAS POLARES -
Área Área de una una regió egión n pol polar ar:: El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar se asemeja al del área de una región en el sisema de !oordenadas re!angulares "o !aresianas# pero en lugar de re!ángulos se usan se!ores !ir!ulares !omo elemenos $ási!os del área% En la &gura o$s'r(ese )ue el área de un se!or !ir!ular de radio r es * +r , siempre )ue ese dado en radianes%
El área de un se!or !ir!ular es A. * + r,
Consid'rese la fun!ión dad por r.f "+#/ donde f es !oninua 0 no negai(a en el iner(alo 1 2 + 2 3% La región limiada por la gráfi!a de f 0 las re!as radiales + . 1 0 + . 3 se muesra en la figura% Para en!onrar el área de esa región se 4a!e una pari!ión de iner(alos 1/ 3 en n su$iner(alos iguales%
A !oninua!ión/ se apro5ima el área de la región por medio de la suma de las áreas de los n/ se!ores !omo se muesra en la siguiene &gura% Radio del i-esimo se!or . f "+# Angulo !enral del i-esimo se!or . 3- 16n .7+ 8omando 8omando el limie !uando n iende al in&nio
A.96, 3 ;f"+#<, % Lo !ual lle(a al siguiene eorema: 8eorema: Área en !oordenadas polares Si f es !oninua 0 no negai(a en el iner(alo ;1/ 3 3 ? 1 2 , π / enon!es el área de la región limiada "o a!oada# por la grá&!a r . f "+# enre las re!as radiales + . 1 0 + . 3 esá dada por: A.96, 3 ;f"+#<, .96, 3 ;r<, d+ E@EPLO: En!onrar el área de una región polar% En!onrar el área de un p'alo de la !ur(a rosa dada por r . B!os B+
3
¿
A . 96,
π / 6
∫
¿
!osB+#,
− π / 6
. 6, π / 6
∫
1+ cos6 θ / 2 d θ
− π / 6
. 6 . 6 " .B
π
[ θ +sen 6 θ / 6 ]−/ / π 6
π 6
π / 6 + π / 6 ¿
6
E@EPLO ,: allar el área limiada por una sola !ur(a% allar el área de la región !omprendida enre los laFos inerior 0 e5erior del !ara!ol r.9-,sen +
1
¿
A . 96,
5 π / 6
∫
-,sen+#,d+
¿
π / 6
1−¿
¿
. 96,
5 π / 6
∫
¿
sen+ G
π / 6
sen,+#d+ 1−¿
¿
. 96,
5 π / 6
∫
¿
sen+ G
π / 6
sen,+#d+ 1−¿
¿
. 96,
5 π / 6
∫
¿
sen+ G
(
1−cos 2 θ 2
) #d+
π / 6
3 −¿
¿
. 96,
5 π / 6
∫
¿
sen+ - ,sen ,+#d+
π / 6
.96,
[ 3 θ + 4 cos θ− sen 2 θ ] .
π
5 π / 6
π / 6
3 √3
-
2
PHN8OS DE IN8ERSECCION DE JRAKICAS POLARES De$ido a )ue un puno en !oordenadas polares se puede represenar de diferenes maneras/ 4a0 )ue ener !uidado al deerminar los punos de inerse!!ión de las grá&!as demosradas en la &gura Si/ !omo se 4a!e !on e!ua!iones re!angulares/ se raa de 4allar los punos de inerse!!ión resol(iendo las dos e!ua!iones en forma simulanea se o$iene r.9-,!os+ 0 r. 9 r. 9-,!os+ Primera e!ua!ión 9.9-,!os+ susiu!ión de r.9 de la segunda e!ua!ión en la primera e!ua!ión
Cos+ . = Simplifi!a!ión% + .
π
6,/ B
π
6, despejar +
Los punos de inerse!!ión !orrespondienes son "9/ π 6,# 0 "9/B π 6,#% Sin em$argo/ en la &gura se (e ) 4a0 un er!er puno de inerse!!ión )ue no apare!ió al resol(er simuláneamene las dos e!ua!iones polares% "Esa es una de la las raFones por las )ue es ne!esario raFar una grá&!a !uando se $us!a el área de una región polar%# La raFón por la )ue el er!er puno no se en!onró es )ue no apare!e !on las mismas !oordenadas en am$as grá&!as% En la grá&!a de r.9/ el puno se en!uenra en las !oordenadas "9/ π #/ mienras )ue la grá&!a de r.9 ?,!os+/ el puno se en!uenra en la !oordenadas "-9/=#% El pro$lema de 4allar los punos de inerse!!ión de dos gra&!as polares se puede !omparar !on el pro$lema de en!onrar punos de !olisión de dos sa'lies !u0as or$ias alrededor de la ierra se !oran/ !omo se ilusra en la &gura% Los sa'lies !on !olisionan mienras lleguen a los punos de inerse!!ión en momenos diferenes "(alores de +#% Las !olisiones solo o!urren en los punos de inerse!!ión )ue sean punos simuláneosM/ punos a los )ue llegan al mismo iempo "(alor de +#% Noa: Pueso )ue el polo puede represenarse mediane "=/ +#/ donde + es !ual)uier ángulo/ el polo de$e (eri&!arse por separado !uando se $us!an punos de inerse!!ión%
E@EPLO B% allar el área de la región enre dos !ur(as allar el área de la región !omn a las dos regiones limiadas por las !ur(as siguienes% r. -!os+
!ir!unferen!ia%
r. ,-,!os+ !ardioide% Solu!ión: De$ido a )ue am$as !ur(as son sim'ri!as respe!o al eje 5/ se puede ra$ajar !on la miad superior del plano "p semiplano superior#/ !omo se ilusra en la &gura% La región som$reada en gris se en!uenra enre la !ir!unferen!ia 0 la re!a radial +., π 6B% Pueso )ue la !ir!unferen!ia iene !oordenadas "=/ π 6,# en el polo/ se puede inegrar enre π 6, 0 , π 6B para o$ener el área de esa región% La región som$reada en rojo esá limiada por las re!as radiales +., π 6B 0 +. π 0 la !ardioide% Por ano el área de esa segunda región se puede en!onrar por inegra!ión enre , π 6B 0 π % La suma de esas dos inegrales da el área de la región !omn )ue se en!uenra so$re la re!a radial + . π %
Por ulimo mulipli!ando por , se !on!lu0e )ue el área oal es π
