MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Coordenadas Polares
Analizamos de la siguiente manera: e
e
e r
1
...(1)
e r e
e r ( )
e ( )
Por definición de límite:
e r ( )
(t)
MECÁNICA DINÁMICA
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Coordenadas Polares
Analizamos de la siguiente manera: e
e
e r
1
...(1)
e r e
e r ( )
e ( )
Por definición de límite:
e r ( )
(t)
MECÁNICA DINÁMICA
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
La posición de la partícula P , en coordenadas polares respecto del origen O , sería:
Coordenadas Polares
Vp P Línea radial
θ(t)
x
o
Nos fijamos en este término, ¿Qué es?
Línea o eje fijo
MECÁNICA DINÁMICA
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Coordenadas Polares
Por ser un arco muy pequeño Magnitud: Por tanto:
e
e
1
e r
e r e
e r ( )
Por otro lado: (Por suma de vectores)
e ( )
L = r x Δθ
e r ( )
(t)
Reemplazando en (I):
MECÁNICA DINÁMICA
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Coordenadas Polares
e
e
1
e r
e r e
e r ( )
e ( )
e r ( )
(t)
MECÁNICA DINÁMICA
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Método alternativo para obtener las derivadas de los vectores unitarios polares
Inscribiendo las coordenadas polares dentro de los ejes cartesianos fijos: y
e
e r 1
cos
1 sen
cos
sen
MECÁNICA DINÁMICA
x
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Método alternativo para obtener las derivadas de los vectores unitarios polares
De modo que:
y
e
e r
Si derivamos el vector er :
1
cos
1
sen
x
sen
cos
MECÁNICA DINÁMICA
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Método alternativo para obtener las derivadas de los vectores unitarios polares y
e
e r
De igual forma para el otro vector:
1
cos
1
sen
x
sen
cos
MECÁNICA DINÁMICA
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Coordenadas Polares
e
e
1
e r
e r e
e r ( )
e ( )
e r ( )
(t)
MECÁNICA DINÁMICA
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Coordenadas Polares
Entonces:
MECÁNICA DINÁMICA
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Coordenadas Polares
En el caso especial de Movimiento Circular: r = cte
P O
MECÁNICA DINÁMICA
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Comparación de los diferentes sistemas coordenados :
vy
y
y
v Δr
vx
ay
y
v
v
ax
Δs
Δr
a
a
a
rp(t)
rp(θ) rp(θ + Δ θ) rp(t + Δt)
θ
x
Coordenadas Rectangulares
x
Coordenadas Normales y Tangenciales MECÁNICA DINÁMICA
x
Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Coordenadas Polares
En el caso especial de Movimiento Circular: r = cte
P O
MECÁNICA DINÁMICA
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Problema 1: Un mecanismo que consiste en un brazo ranurado, está fijado en un pivote O . El pivote O se encuentra a 0.4 m a la izquierda del centro C , sobre el diámetro horizontal de un anillo de radio igual a 0.5 m . El brazo rota a velocidad angular constante de 4 rad/s en sentido antihorario y arrastra una esferita P , dentro de la ranura, sobre el borde circular del anillo . Analizar la cinemática de la esfera P para la posición de θ = 37 o
θ (t)
C
O 0.4m
MECÁNICA DINÁMICA
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Solución:
0.5
0.4
MECÁNICA DINÁMICA
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Solución:
Entonces, reemplazando datos:
MECÁNICA DINÁMICA
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Problema 2: La rotación del brazo OA de 0.9 m alrededor de O puede definirse como θ = 0.15 t 2, donde θ se expresa en radianes y t en segundos. El collarín B desliza a lo largo del brazo, de tal modo que su distancia desde O es r = 0.9 – 0.12 t 2 , donde r está metros. Determine la magnitud de la velocidad y aceleración del collarín cuando el brazo OA ha girado 30º . A
r
B θ
O
MECÁNICA DINÁMICA
MECÁNICA DINÁMICA
Solución:
Podemos hallar el tiempo para el cual θ = 30º = 0.524 rad , de la expresión: eθ
er B
O
θ
Coordenadas Polares
Reemplazamos dicho valor en las expresiones:
r
Entonces, la velocidad del collarín B es:
MECÁNICA DINÁMICA
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Solución: eθ
er
Luego, la aceleración del collarín B, será:
B
O
θ
r
MECÁNICA DINÁMICA
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Problema 3: En el mecanismo mostrado, la distancia d mide 150 pulg; la barra AB tiene 0.7 rad/s de velocidad angular en sentido antihorario y 0.3 rad/s2 de aceleración angular en sentido horario. Utilizando coordenadas polares encontrar la velocidad y la aceleración del punto A en cuando Ө =60° . B A
r
θ
O
d MECÁNICA DINÁMICA
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Datos:
Solución:
Del gráfico tenemos que: ar 30°
60°
Para θ = 60°: Luego: Además tenemos: Por tanto:
MECÁNICA DINÁMICA
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Coordenadas Polares
Problema 4: La partícula P se mueve en una trayectoria como la señalada en la figura.
Determine el vector aceleración, magnitud y dirección, además dibuje dicho vector con su correspondiente dirección en el punto correspondiente de la trayectoria cuando Ө = 30° (v 0 = constante ). y
v 0 R = b cos 3θ P
R
O
A
θ
b
MECÁNICA DINÁMICA
x
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Datos:
Solución: y
Para θ = 30° : O
P
30° 30°
A
x
v 0
Luego:
Por otro lado:
Reemplazando:
MECÁNICA DINÁMICA
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Coordenadas Polares
Problema 5: El cable AB, conectado a un motor que va enrollándolo sobre un eje-cilindro de acero (“winche”), arrastra ( tracciona) al vagón de la figura mostrada, a quien le imprime una velocidad de 5 pies/s. Para la posición de Ө = 60° , se pide: a) La velocidad de B y la velocidad angular del cable de tracción. b) La aceleración de B y la aceleración angular del cable AB. B
R 12 pies
θ
A MECÁNICA DINÁMICA
MECÁNICA DINÁMICA
Solución:
Coordenadas Polares
Entonces:
5 pies/s 60°
B
Del gráfico, tenemos que: Por tanto: Luego:
Del gráfico vectorial: Entonces:
MECÁNICA DINÁMICA
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Coordenadas Polares
Problema 6: La manivela OA de 15 cm, de un mecanismo oscilante de retroceso rápido gira en sentido antihorario, con una velocidad constante de 10 rad/s. Para las posiciones indicadas, hallar la aceleración angular del brazo BD. D A 15 cm
B
ω
= 10 rad/s
θ
O
32.5 cm MECÁNICA DINÁMICA
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**Gráfica de todas las posiciones del seguidor A y de la barra AD:
MECÁNICA DINÁMICA
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Videos demostrativos de dos prototipos desarrollados en MDI:
Prototipo 1
Prototipo 2
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Coordenadas Polares
Antes de resolver debemos analizar el movimiento del mecanismo:
O
B A D
MECÁNICA DINÁMICA
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Coordenadas Polares
Antes de resolver debemos analizar el movimiento del mecanismo: Podemos darnos cuenta que la barra BD está subiendo y bajando en un movimiento oscilante. La distancia BD no cambia en el tiempo. Debido al movimiento del pin A (hacia adentro y hacia afuera), la distancia BA sí cambia.
B A D
MECÁNICA DINÁMICA
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Coordenadas Polares
Antes de resolver debemos analizar el movimiento del mecanismo: El movimiento de la barra OA es MCU , por lo tanto la distancia OA no cambia en el tiempo, es constante e igual a 15 cm. O
Debido al acoplamiento del pin A con la barra OA, el movimiento del pin sobre la barra AD está limitado por la barra OA y no al revés.
A
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Coordenadas Polares
Para θ ( AOC )= 60º
Primero debemos completar nuestros datos. Del gráfico tenemos que: Podemos hallar ф por su tangente: En el triángulo ABC , aplicamos ley de senos: D
A 42º
15 θ
B
ф
10 rad / s
O
18º
32.5cm MECÁNICA DINÁMICA
θ
60º
15 cos 60º
15 sen60º C
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Para θ ( AOC )= 60º
Aislamos la barra OA de nuestro sistema y la analizamos: La barra OA se mueve con MCU, con radio cte = 15cm
D
48º
Hallamos la velocidad del punto A:
A 42º
15 cm e
e r
O
ф
MECÁNICA DINÁMICA
θ
10 rad / s
60º
C
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Para θ ( AOC )= 60º
Aislamos la barra OA de nuestro sistema y la analizamos: - Ahora hallamos las aceleraciones del pin A: Recordemos: En el 1º término, como el radio no cambia en el tiempo, = 0 ; lo que nos deja:
42º 48º
A 42º
La cual tiene dirección radial hacia adentro.
15 cm
e
O
ф MECÁNICA DINÁMICA
e r
10 rad / s
60º
C
D
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Para θ ( AOC )= 60º
Aislamos la barra OA de nuestro sistema y la analizamos: Entonces, la aceleración del pin A (en el sistema de la barra OA) es:
42º 48º
A 42º
15cm e
O
ф MECÁNICA DINÁMICA
10 rad / s
e r
60º
C
D
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Para θ ( AOC )= 60º
Regresamos a nuestro sistema inicial (barra BA): Escribimos los nuevos datos calculados
42º 48º
A 42º
e
15
e r
B
O
Ф =18º
32.5cm
10 rad / s
60º
15 cos 60º MECÁNICA DINÁMICA
15 sen60º
C
D
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Para θ ( AOC )= 60º
Regresamos a nuestro sistema inicial (barra BA): Nos fijamos en la velocidad del pin A. Descomponiendo: 42º 48º
A 42º
e
15
e r
B
O
Ф =18º
32.5cm
10 rad / s
60º
15 cos 60º MECÁNICA DINÁMICA
15 sen60º
C
D
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Para θ ( AOC )= 60º
Regresamos a nuestro sistema inicial (barra BA): Podemos también descomponer la aceleración: a 48º
A
42º
a r
42º
e
15
e r
B
O
Ф =18º
32.5cm MECÁNICA DINÁMICA
15 sen60º
10 rad / s
60º
15 cos 60º
C
D
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Para θ ( AOC )= 60º
Regresamos a nuestro sistema inicial (barra BA): Reemplazando datos en (I): a 48º
A
42º
a r
42º
e
15
e r
B
O
Ф =18º
32.5cm MECÁNICA DINÁMICA
15 sen60º
10 rad / s
60º
15 cos 60º
C
D
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Coordenadas Polares
Para θ = 180º
Al girar en sentido antihorario, la distancia BA será de: 32.5 – 15 = 17.5 cm
Primero completamos nuestros datos:
0
A
B e
10 rad s
er
e r
17.5cm
180º
O e
15cm
Esta posición corresponde a:
B
A
θ
O
MECÁNICA DINÁMICA
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Coordenadas Polares
Para θ = 180º OA se sigue moviendo en MCU , por lo tanto su
Analizamos la barra OA:
0
A
B e
10 rad s
er
e r
17.5cm
velocidad tangencial es la misma del caso anterior. Lo mismo para su aceleración, que sólo es normal.
180º
O e
15cm
Esta posición corresponde a:
B
A
θ
O
MECÁNICA DINÁMICA
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Para θ = 180º
En la barra BA, la velocidad:
Ahora analizamos la barra BA
0
A
B e
10 rad s
er
e r
17.5cm
180º
O e
15cm
En cuanto a la aceleración, hemos dicho que no hay aceleración tangencial respecto a OA, por lo tanto aθ es igual cero.
MECÁNICA DINÁMICA
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Coordenadas Polares
Para θ = 90º
El brazo AB, ahora mide:
Completamos nuestros datos:
Luego, aplicamos ley de senos en BOA:
A
B
10 rad s
D 15 cm
24.8º
O
A
90º
32.5 cm
B
Esta posición corresponde a: MECÁNICA DINÁMICA
O
θ
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Para θ = 90º
Analizamos la barra OA: a
v
B
1500cm/ s
A
2
En A, tenemos los mismos valores de aceleración (no hay componente tangencial) y velocidad.
150cm/ s 24.8º
10 rad s
D e r
24.8º
e
O
A
15 cm
90º
32.5 cm
B
MECÁNICA DINÁMICA
O
θ
MECÁNICA DINÁMICA
Coordenadas Polares
Para θ = 90º
Ahora analizamos la barra BA: a
1500cm/ s
2
Podemos velocidad:
descomponer
la
v
v
150cm/ s v r
e
B
Además, sabemos que:
A
24.8º
10 rad s
15 cm
e r
24.8º
O
90º
32.5 cm
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Luego, la otra componente será:
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Coordenadas Polares
Para θ = 90º
Ahora analizamos la barra BA: a
v
v
a
B
a r
A
10 rad s
Despejando: 15 cm
e r
2
Descomponemos la aceleración:
150cm/ s v r
e
1500cm/ s
24.8º
24.8º
24.8º
O
90º
32.5 cm
MECÁNICA DINÁMICA
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Coordenadas Polares
Problema 4 (Software): En el mecanismo mostrado, la barra OA mide 15cm y rota en sentido antihorario a razón de 10 rad/s de modo constante. El seguidor A, como se ha observado y explicado en clase se desliza sobre la barra AD.
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Coordenadas Polares
a) Graficar Graficar la variación de la velocidad relativa del seguidor A con respecto al brazo BD versus el ángulo β, a escala, con incrementos de 90 o para β de cero a 360 o
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b) Graficar la variación de la velocidad angular de la barra BD versus el ángulo β, a escala, con incrementos de 90 o para β de cero a 360 o
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c) Graficar Graficar la variación de la aceleración de Coriolis versus el ángulo β, a escala, con incrementos de 30 o para β de cero a 90 o
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Coordenadas Polares
d) Graficar la variación de la aceleración angular de la barra BD versus el ángulo β, a escala, con incrementos de 45o para β de cero a 360 o
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Coordenadas Polares
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Coordenadas Polares
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Coordenadas Polares
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Coordenadas Polares
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Coordenadas Polares
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