COORDENADAS POLARES Y GRAFICAS POLARES 1. INTRODUCCION: En las primeras lecciones de geometría Analítica, hemos representado la ecuación de una recta o curva por una sola ecuación en dos variables x, y que la llamamos ecuación rectangular F(x,y) = 0 y la grafica es la colección de puntos (x,y) en el sistema de coordenadas rectangulares ( o cartesianas), que se genera por la intersección de dos ejes perpendiculares llamados EJE de las ABSCISAS y EJE de las ORDENADAS. En este capítulo estudiaremos el segundo sistema conocido como SISTEMA DE COORDENADAS POLARES que se genera por la longitud de una semirrecta dirigida
⃗ , llamado RADIO VECTOR y una ángulo orientado en sentido atihorario ̅ , llamado EJE POLAR y el radio vector r, cuyos lados son una semirrecta fija obteniéndose así las coordenadas polares de un punto P en el plano.
2. SISTEMA DE COORDENADAS POLARES El sistema de coordenadas polares se construye el siguiente modo: Fijamos un punto O, que lo llamamos POLO, y desde O trazamos t razamos una semirrecta horizontal fija que la llamamos, EJE POLAR OX. Para localizar el punto P se procede del siguiente modo: Desde el EJE POLAR hacemos girar una semirrecta en sentido antihorario hasta ubicar el punto P, generándose así el radio vector r y la medida de , llamando ANGULO POLAR.
La longitud de r y la medida de en radianes, genera la pareja ordenada llamando COORDENADAS POLARES del punto P.
De esta manera el punto P del plano queda bien definido por donde r es la distancia dirigida del punto al polo, y es el ángulo orientado cuyos lados son el eje polar (lado inicial) y el radio vector r (lado final).
Ejemplo: Las coordenadas polares del punto P1 son
donde la distancia dirigida de O a P es r = 3 y el ángulo orientado en sentido
antihorario es
De manera similar tenemos: Las coordenadas polares de P2 son
Las coordenadas polares de P3 son Las coordenadas polares de P4 son Las coordenadas polares de P5 son convenimos Nota: convenimos
que el ángulo puede ser positivo o negativo, según sea su orientación antihorario u horario respectivamente y el radio vector puede ser r o – r. r.
3. ELEMENTO DEL SISTEMA DE COORDENADAS POLARES El sistema de coordenadas polares tiene los siguientes elementos:
̅ 2) El eje polar : 1) El polo
3) Eje a 90°
̅ : radio vector 5) = ángulo polares de P. 6) : coordenadas polares de P. 7) es positivo, cuando se mide en 4)
sentido antihorario y negativo cuando se mide en sentido horario.
4. LA ROSETA POLAR La roseta polar es un conjunto de circunferencias concéntricas de centro en el POLO y rectas concurrentes que pasan por el polo formado por los radios vectores. Cada circunferencia concéntrica tiene radio de longitud múltiplo entero del radio más más pequeño tomado como unidad de medida.
Ejemplo: Ubicar los puntos;
, ,
,
Solución: En primer lugar, dibujar la roseta polar:
Para ubicar el punto
, procedemos del siguiente modo:
1. Se busca el ángulo
2. Sobre el radio vector correspondiente a
, se cuenta la longitud r = 3
se procede del siguiente modo:
Para ubicar el punto
1. Se busca el ángulo
2. Sobre el radio vector correspondiente a
se cuenta la longitud r = 4
3. El opuesto de r =4, es – r = -4, luego el punto B se ubica en la prolongación
opuesta al punto Para ubicar
, es decir ( ) ( )
, procedemos del siguiente modo:
1. Se busca el ángulo
,
(sentido horario) que coincide con el ángulo
(sentido antihorario)
2. Sobre el radio vector correspondiente a
Para ubicar el punto
se cuenta una longitud r = 5.
se procede del siguiente modo:
1. Se busca el ángulo
(sentido horario)
2. sobre el radio vector correspondiente a
se cuenta una longitud r = 5
3. Como deseamos el opuesto: -r = -5 , entonces ent onces el punto punto
respecto al polo. ( ) ( )
Es decir
es el opuesto al
ECUACIONES POLARES DE LA RECTA, CIRCUNFERENCIA Y CÓNICAS (parábola, elipse e hipérbole)
Ecuación Polar de la Recta Proposición: La ecuación polar L de una recta no pasa por el polo es: P(r,)
P>0
P = r.cos ( - ῳ) 0° ≤ ῳ ≤ 360°
P: Longitud de la perpendicular ῳ: ángulo de la normal
̅
̅
COROLARIO 1.
La ecuación polar de una recta que pasa por el polo (0, ) es
:
=α
Ejemplos:
x
2.
La ecuación polar de una recta que es perpendicular al eje polar es:
: ± p = r. cos
ῳ=0
p > 0
x
Ejemplos:
L: 2 = r cos
Si p tiene signo positivo, la recta se encuentra a la derecha del polo.
3.
L: -2 = r cos
Si p tiene signo negativo, negativo, entonces la recta recta se encuentra a la izquierda del polo.
La ecuación polar de la recta que es paralela al eje polar es:
L: ± p = r. cos
p > 0
Ejemplos:
L: 2 = r cos
L: -3= sen
Si p tiene signo positivo, entonces le recta está Si p tiene signo negativo, negativo, entonces la recta recta está arriba del eje polar. abajo del eje polar.
Ecuación Polar De Una Circunferencia PROPOSICIÓN.- La ecuación polar de una circunferencia con centro en C(p,α) y radio a, a > 0 es:
p: distancia del polo al centro de C α: ángulo entre el eje polar y el eje OC
COROLARIO 1. La ecuación polar de una circunferencia de centro centro en el polo es r = a; a: radio radio de la circunferencia. 2. La recta polar de una circunferencia que pasa por el polo y su centro está sobre el eje polar es:
r = ± 2 cos
Si el signo es +, el centro está a la derecha del polo. Si el signo es -, el centro está a la izquierda del polo.
3. La ecuación polar de una circunferencia que pasa por el polo y su centro está sobre el eje a 90° es:
r = ± 2 sen
Si el signo es +, el centro está a la derecha d erecha del polo. Si el signo es -, el centro está a la izquierda del polo.
Ejemplos:
r = 4 Cos
r = -4Cos
r=2
r = 4 Sen
r = -4 Sen
Ecuaciones Polares De Las Cónicas
PROPOSICIONES.- Sea
̅ | ||̅ |
la excentricidad de una cónica cuyo foco está en el
polo y sea |p| la distancia del polo a la directriz L. Si el eje focal coincide con el eje polar, po lar, entonces la ecuación polar de la cónica es de la forma.
Si tomamos el signo +, la directriz está a la derecha del polo. Si tomamos el signo -, la directriz está a la izquierda del polo. Si el eje focal coincide con el eje a 90°, la ecuación polar de la cónica es de la forma :
En ambos casos e > 0 Si e = 1, la cónica es una parábola Si e < 1, la cónica es una elipse Si e > 1, la cónica es una hipérbola
. Si tomamos el signo +, +, entonces la directriz está arriba del eje polar. . Si tomamos tomamos el signo -, entonces la directriz está debajo del eje polar.
Ecuación Polar y Función Polar
Una ecuación de la forma F(r, ) = 0, es una ecuación polar que expresa la relación entre ry .
Ejemplos:
2) r – 2 – 2 cos = 0 2
1) r – 4 – 4 sen = 0
Puntos de Intersección de Dos Curvas
Sea r = f ( ) ˄ r = g ( ) dos curvas. Si existe la intersección entre f ( ) y g ( ), entonces los puntos de intersección se hallan resolviendo la ecuación f ( ) = g ( ).
Ejemplo: Hallar los puntos de intersección, si existe, entre las curvas
r (1- cos ) = 4, r (1+cos ) = 4 Solución
1+ cos = 1- cos 2 cos = 0 Cos = 0 = = r = 4 = r = 4
En r = Si Si
Los puntos de intersección entre son A (4, ), B (4, )
