COORDENADAS COORDENADAS POLARES, CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS 1. Sistemas coordenados La posición de un punto en un sistema coordenado dado, está determinado por sus coordenadas en dicho sistema. Los cinco sistemas coordenados empleados son: los sistemas coordenados cartesianos bi y tridimensionales; el sistema cilindro, el sistema coordenado polar y el sistema coordenado esférico. Estos sistemas clasificados según que se emplean dos o tres dimensiones aparecen indicados junto con sus respectivas coordenadas en la siguiente tabla.
Sistema coordenado Cartesiano Cilíndrico Polar Esférico
Figura
Bidimensional
01 , 02 03 04 05
tridimensional
(x,y)
(x,y,z) (ρ,ɸ,z)
(ρ,ɸ)
(r,ɵ,ɸ)
Colóquense los sistemas coordenados cartesianos bidimensional y polar en un mismo plano, de modo que coincidan sus orígenes y que el eje polar este orientado a lo largo del del eje positivo x del eje cartesiano. Puesto que las coordenadas cartesianas y polares de un punto
P son
(x,y) y
(ρ,ɸ). X = ρ.cosɸ
……(I)
y = ρ.senɸ
……(II)
Fig, 01 Coordenadas cartesianas bidimensionales
Fig, 02 Coordenadas cartesianas tridimensionales (r,ɵ,ɸ)
y
Fi , 04 Coordenad Coordenadas as olares olares Fig, 03 Coordenadas cilíndricas
Fig, 05 Coordenadas esféricas
Demostración de las ecuaciones (I) y (II) Por simple inspección de las figuras 01 y 02 se desprende que X = ρ.cosɸ y = ρ.senɸ
Elevando al cuadrado las igandades dadas y sumando X2+y2 = ρ2
….(III)
Ya que cos 2 ɸ + sen 2 ɸ =1 . Dividiendo (II) por (I) ɸ=tan-1
….(IV)
Colóquense los sistemas tridimensional cartesiano y el cilíndrico en el espacio, de modo que coincidan sus orígenes y su eje z. Puesto que las coordenadas cartesianas y cilíndricas de un punto P son (x,y,z) y (ρ,ɸ ,z) X = ρ.cosɸ (BRANSON, 1973) y = ρ.senɸ
z=z
Demostración de la ecuación (V) Por las figuras 02 y 03 se desprende que X = ρ.cosɸ, y = ρ.senɸ, z = z
Por tanto se sigue que X2+y2 + z2 = ρ2 + z2
Y eliminando z 2 X2+y2 = ρ2
1
(V)
Supóngase el sistema coordenado esférico sobre el sistema coordenado cartesiano. Puesto que las coordenadas cartesianas tridimensionales y las coordenadas esféricas de un punto P son (x,y,z) y (r,ɵ,ɸ), X = r senɵ .cosɸ y = r sen ɵ .senɸ
(VI)
z= r cosɵ
Demostración de la ecuación (VI) En la figuras 05 se observa que la proyección sobre el plano xy de la recta trazada desde el origen del sistema coordenado hasta el punto (r, ɵ,ɸ) son rsenɵ, y que su proyección sobre el eje z es rcos ɵ. Luego, X = r senɵ .cosɸ y = r sen ɵ .senɸ z= r cosɵ
De aquí, al elevar al cuadrado y sumar las iguadades anteriores se obtiene X2+y2 + z2 = r2 (sen2 ɵ .cos2 ɸ + sen 2 ɵ .sen2 ɸ + cos2 ɵ) = r2
Problema 1: transformar las coordenadas cilíndricas (ρ,ɸ,z) de un punto a coordenadas esféricas (r,ɵ,ɸ) Solución: Por las figuras 03 y 05 ρ= r senɵ ɸ= ɸ
z= r cosɵ
Obsérvese que al elevar al cuadrado las igualdades anteriores y sumarlas se obtiene:
r2 = ρ2 + z2
2
Los vectores unitarios correspondientes a los cinco sistemas coordenados aparecen en la siguiente tabla
Sistema coordenado Cartesiano Cilíndrico Polar Esférico
Figura
Bidimensional
06 07 08 09
tridimensional
(i,j)
(i,j,k) (ρ,ɸ,k)
(ρ,ɸ)
(R,ɵ,ɸ)
Fig, 07 Vectores unitarios
Fig, 06 Vectores unitarios
cilíndricos
cartesianas
Fig, 09 Vectores unitarios Fig, 08 Vectores unitarios
esféricos
polares
3
Problema 1: expresar los vectores unitarios polares en términos de los vectores unitarios cartesianos y viceversa. Solución: Observando la gráfica, las componentes de ρ y ɸ a lo largo de i y j son: ρ=i cosɸ + j cos( 90-ɸ) =i cosɸ + j sen ɸ ɸ= -i cos( 90-ɸ) + j cosɸ = - isen ɸ + jcosɸ
Recíprocamente las coordenadas de i y j a lo largo de ρ y ɸ I= p cosɸ + ɸ cos( 90-ɸ) = ρ cosɸ - ɸ senɸ j = ρsenɸ + ɸcosɸ
Problema 2: expresar los vectores unitarios cilíndricos (ρ,ɸ,k) en términos de los vectores unitarios cartesianos i,j y k; y viceversa. Solución: Por las figuras 06 y 07, las componentes de ρ, ɸ y k a lo largo de i, j y k son: ρ=i cosɸ + j sen( ɸ) ɸ = - isen ɸ + jcosɸ
k=k Recíprocamente las coordenadas de i y j a lo largo de ρ y ɸ i= ρ cosɸ - ɸ senɸ j = ρsenɸ + ɸcosɸ
k=k
Problema 3 : expresar los vectores unitarios esféricos (R, ɵ,ɸ)en términos de los vectores unitarios cartesianos i, j y k Solución: Observando la gráfica, resolviendo R, ɵ y ɸ según sus componentes a lo largo de i, j y k R= i senɵ cosɸ + j sen ɵ senɸ + k cos ɸ ɵ= i cosɵ cosɸ + j s cosɵ enɸ - k senɵ ɸ= -isenɸ +j cosɸ + 0k
4
En el espacio, la posición de un punto P está determinada también por el vector de posición r trazado desde el origen hasta el punto P. En dos dimensiones, el punto P está determinado por (x,y) ó (ρ,ɸ ) en que de las ecuaciones (I)
y (II)
X = ρ.cosɸ
y = ρ.senɸ Y por (III) y (IV) X2+y2 = ρ2 ɸ=tan-1
El vector posición r que especifica el punto ubicado en (x,y) es r = xi + y j
….(VII)
o en coordenadas cilíndricas
r = rρ
….(VIII)
La distancia del origen al punto es |r|= r =
+
=ρ
Un punto en tres dimensiones está determinado por (x, y, z), (ρ,ɸ,z), (r,ɵ,ɸ) X = ρ.cosɸ , ρ2 = X2+y2 y = ρ.senɸ , ɸ=tan-1
(X)
z=z , z=z
x = r sen ɵ cosɸ , r2 = x2+y2 + z2
y = r sen ɵ senɸ , ɵ=cos-1 z = rcosɵ
, ɸ=tan-1
5
(XI)
El vector de posición, en coordenadas cartesianas esta dado por r = ix + jy + kz
….(XII)
En coordenadas cilíndricas r = ρρ + zk
….(XIII)
En coordenadas esféricas r = rR
….(XIV)
Recuérdese que ρ, R, k como asimismo i, j y k, son vectores unitarios
Problema 4: Encontrar las coordenadas polares de un punto cuyas coordenadas cartesianas son (3,4) Por las ecuaciones III y IV ρ=
+ √ 9 +16
ɸ=tan-1
=
= 5
= tan-1
= 5°
Así, las coordenadas cartesianas (x,y) = (3,4) Y las coordenadas polares
,∅ 5,53° Problema 5: Encontrar las coordenadas cartesianas de un punto cuyas coordenadas cilíndricas son (10,30°,5).
,∅, 10,30°,5, X cos∅10cos30°10 ×0.866, ∅ 10 30° 10×0.5 5, 5. ,,8,66,5,
Solución: puesto que las coordenadas cilíndricas son (
.
Por tanto, las coordenadas cilíndricas son
6
se obtiene
Problema 6: Encontrar las coordenadas esféricas de un punto cuyas coordenadas cartesianas son
3,5,4.
Solución: por (XI), las coordenadas esféricas serán:
+ + √9+25+16√507,07, − − 7,407−0.566 55° 30, ∅− 53−1,666 59° Para comprobar el resultado,
∅ 7,07 59° 55°30 7,07×0.515×0.824 3 Problema 7: Expresar el vector de posición r dado por (VII), en coordenadas polares Solución: por la fig.
cos∅, ∅, Y por el problema 1, los vectores unitarios cartesianos se transforman en vectores unitarios polares; es decir,
Así,
+
cos∅ ∅ ∅, ∅+∅ ∅, toma la forma
∅ ∅∅ ∅+ ∅ ∅+∅cos∅ ∅∅cos∅ ∅+ ∅+∅ ∅cos∅ ∅+∅ , =
=
=
Según lo requerido en dos dimensiones. 7
2. Velocidad y Aceleración en coordenada polares
Fig. 10 En ciertos casos de movimientos en el plano, resulta ventajoso expresar el vector posición en coordenadas polares. Sabemos que en coordenadas polares el r adio vector “r” está relacionado con el ángulo por:
Siendo el ángulo que forma el radio vector r con el eje polar y cuyo valor varía con el tiempo, es decir Cuando estudiamos a la velocidad y aceleración en coordenadas cartesianas estas fueron descompuestas en componentes en la dirección de los ejes x-y. Vamos a descomponer ahora, en dos componentes: una en la direcci ón OP y otra perpendicular a él, que reciben el nombre de componentes RADIAL Y TRANSVERSAL de la velocidad y de la aceleración. En la fig.10 se muestran dos vectores unitarios er y e, el primero tiene la misma dirección y
t.
sentido que OP y el segundo ortogonal al primero, y que será positivo si su giro en torno del polo O tiene el mismo sentido que el giro del radio vector. Los vectores er y e, variables con el tiempo, se pueden expresar en función de los vectores unitarios i y j como se indican en la fig.1 0.
cos + +cos
(1)
Determinación de la velocidad.- componentes transversal y r adial. El vector posición r se puede escribir como
(2)
Para obtener la velocidad, solo será necesario derivar la ecuación (2)
̇ ̇ + ̇
(a)
Como er varia con el tiempo, su derivada se puede obtener a partir de la ecuación (1)
̇ ̇ +cos ̇ ̇ +cos ̇
De la misma manera se obtiene 8
(b)
̇ cos ̇ ̇ ̇ ̇ +cos ̇
(c)
Reemplazando (b) en (a) se tiene
̇ + ̇
(3)
Como er y e son unitarios, las componentes radial V r y transversal V serán
̇
̇
(4)
2.1 Componentes Radial y Transversal de la Aceleración Derivando la ecuación (3) con respecto al tiempo
̇ ̈ +̇ ̇ +̇ ̇ + ̈ +̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̈ + ̇ +(̇ ̇ + ̈ )
Remplazando los valores
y
de
(b) y (c) y reduciendo
(5)
En consecuencia las componentes radial a r y transversal a serán
̈ ̇
2̇ ̇ + ̈
;
(6)
2.2 Movimiento Circular Cuando la trayectoria es una circunferencia con centro en el origen el vector r es constante en consecuencia
̇ ̈ 0 ̇ ̇ + ̈ ̇ ̇ ⇒ ̇ ̇⁄
por lo tanto la velocidad y aceleración serán
Cuando se conoce la ley horaria
(7)
se deduce que
(8)
Derivando dos veces la ley horaria s
̈ ̈ + ̇ ̇ ⇒ ̈ ̈⁄
9
(9)
2.3 Indicaciones Adicionales del Movimiento en Coordenadas Polares En la solución de problemas relacionados con la cinética de la partícula, es necesario poder determinar al ángulo que forma la tangente a la curva con el radio vector r; se puede determinar por la expresión (10)
Fig. 11
⁄
(10)
Sin embargo, si se conocen las componentes V r y V y como la velocidad V tiene la dirección de la tangente a la curva, el ángulo que forma el radio vector “r” con la tangente se puede
evaluar por
Ejemplo 1
Una barra CD que pivotea en torno del punto C de una circunferencia fija, puede deslizar a través de la corredera B la cual esta unidad por pin a la corredera A que desliza sobre la circunferencia; ambas correderas pueden girar entre sí. Si la barra CD gira con velocidad angular constante de en sentido antihorario y el radio de la circunferencia es de . Determinar: la velocidad y aceleración de A.
5 0,/ 10
Solución
Determinemos el radio vector en función del ángulo que forma con un diámetro CE de la circunferencia (eje polar) de la figura
0,2cos ̇ 0,2sen ̇ ̈ 0,2cos ̇ 0,2sen θ ̈ 0,2 5 r ̇ 0,2 5
(i)
(iI)
10
Las ecuaciones I y II permiten determinar las componentes para cualquier valor de
siendo su rapidez
+ 1 ⁄ ̈ ̇ 0,25 0,25 10 2̇ ̇ + ̈ 25+,2cos0 10
(III)
(iv )
Las ecuaciones III y IV determinan la aceleración para cualquier valor de siendo su modulo a2 = 100sen2 + 100cos2
⇒
a = 10/s2
Ejemplo 2
Un brazo ranurado AB gira en torno al punto 0, mientras que la corredera C se mueve dentro de él. La posición de C después de la cuerda que esta fija en D y permanece tensa. El brazo tiene una velocidad angular constante (anti horaria) de 4rad/s. Si
r = 0 cuando = 0, determinar la velocidad y
aceleración de la corredera cuando = 30° Solución
Por ser r = 0 cuando = 0 se deduce que la longitud de la cuerda es L = 0 .4m. El triángulo BOD es isósceles luego BD = 2L sen ( /2) r + CB = L = CB + BD
⇒
r = BD
(1)
Reemplazando en (1)
0.8 /2
(2)
De (2)
̇ Cuando
=
= 0.4 cos ( /2)
;
r ̇ = 0.2 sen (/2) 2
30°
̇ 0.8 15° 0.270 ̇ 0,4 15° 4 1.545/ ;
r ̇ = 0.2 sen 15°(4)2 = - 0.828 m/s 2
Reemplazando datos en las ecuaciones 1.31 y 1.32 se tiene
V = 1.545er + (0.207) (4)e
= 1.545er + 0.828e 11
(3)
V = 1.753 m/s
[0,8280,20716] +21,5454 4,14 +12,36 ⇒ 13,03⁄ Ejemplo 3
El bloque C desliza a lo largo de una barra ranurada OA y el bloque D se desliza en la canaleta lisa horizontal. Los bloques C y D están articulados entre sí que les permite girar uno con respecto al otro. Si D se mueve con velocidad constante V0 hacia la derecha, determinar: a) La velocidad y aceleración angular del brazo OA en función de h, V 0 y . b) Si h=0,6 m, V0=20m/s y =20° determinar el valor de la velocidad y aceleración angular en ese instante; y c) la aceleración de C
Solución
a) Descomposición VO en dos componentes V r y V
; ; ℎ⁄ ̇ ̇ ⁄ ̇ ⁄ℎ
(1)
Derivando (1)
̈ 2 cos/ℎ ̇
(2)
̈ 2cos/ℎ
(3)
Reemplazando (1) en (2)
Las ecuaciones (1) y (3) nos dan la solución pedida. b) determinaremos las derivadas de “r” con respecto al tiempo
̇ ℎ ̇ ⁄ ̈ ̇ ⁄ℎ 12
(4) (5)
ℎ ℎ ℎ 0 ℎ 2 2 ℎ + ℎ 0 c) C no tiene aceleración lo cual es lógico pues tiene la misma aceleración de D. Reemplazando en (1) y (2) los datos:
20 ′20 0,6 3,8999 / 20°20° 220 83, 5 47 / 0,6 3, 8 99 / 83,547 /
La barra tendrá una velocidad angular de angular de
en sentido horario y una aceleración
en sentido antihorario.
Ejemplo 4
La varilla AC se desliza en la barra acanala OD, en
tal
forma
perpendiculares.
que
siempre
Asimismo
la
permanecen varilla
AC
permanece siempre en contacto con un tope B fijo a Tierra. Determinar: a) La velocidad y aceleración del punto A de la varilla en función de . b) Si la ley de variación de es estado en radianes y t en segundos, determinar la velocidad y aceleración de AC cuando .
,,
60°
3
Solución
Ubiquemos el eje polar coincidiendo con OB tomando como polo B. El ángulo EBA es igual a
.
3 ; 53 ′3′ 3 +3′′
13
(1) (2) (3)
a)
3′ +5 3 3 +3 5 +3 6 +3 5 6 5 +3
(4)
(5)
b) Cuando
60°
/33 →0.59
Reemplazando (4) en (5)
360°3,54 + [53,54360°3,54] 9,2 +12,39 → 15,43 / 660°3,54 +360°653,54 9,47/ 660°3,54 56+360°644,16/ 9,47 +44,16 →45,16/ Ejemplo 5
El brazo AB al girar en torno a A hace que el perno P deslice sobre la ranura parabólica de ecuación
4
(estando e
constante de
20/
en metros) con rapidez
. En el instante en que
1,
determinar: la velocidad y aceleración angular del brazo AB.
Solución
0 2
Como la rapidez es constante velocidad estará dada por la
y solo existe aceleración normal, la dirección de la
14
siendo la segunda derivada
2.
De la figura adjunta se tiene en el punto
2 2 + 5 20→ 2; 4 2/ 4/ 2 y Como en el punto (1,3): ecuación es:
1 3 e
2, el radio de la curvatura calculado por la
5√ 5 5√ 5 1+4 |2| |2| 2 Calculamos la aceleración normal
8 √ 5 / Las componentes cartesianas de la aceleración normal serán:
√ 852√ 5 3,2 / √ 851√ 5 1,6 / 3 0.9486 0.3162 3,16. Determinaremos el ángulo que forma el brazo con el eje
Conociendo las componentes cartesianas de la velocidad y aceleración se pueden determinar las componentes transversal y radial de la aceleración a partir de los siguientes gráficos:
2420.0326240.9486 3,16 / 24 3,16 / 3,21,6 2,53 / 15
3,16 3,16→ 1 / 2 + 2,53 23,161+3,16 2,53→ 1,2 / 1 / 1,2 /
La velocidad y la aceleración de la barra son de
y
en sentido horario.
2.4 Velocidad y Aceleración en Coordenadas Cilíndricas
Fig. 12 Para definir la posición de una partícula en coordenadas cilíndricas, es necesario expresar el
, ""
vector posición en función de las variables expresar
,, ,
y
.
Si designamos por
y
que se indica en la figura, es decir
a las componentes de la velocidad referidas a un triedro
, R + +
derecho definido por los vectores unitarios coordenadas será:
y
; la velocidad en este sistema de
(1)
Análogamente la aceleración la escribiremos como:
R + +
(2)
Los vectores unitarios serán positivos si cumplen las condiciones que a continuación se indican:
R
Si tiene la dirección y sentido del vector OA. Cuando gira en torno del eje
ángulo .
en el mismo sentido en que se incrementa el
Cuando tiene el mismo sentido que el vector unitario “K” en consecuencia es
constante.
16
Los vectores
R ,
están contenidos en un plano paralelo al x-y estando definido
R x
La posición de la partícula P queda definida por su vector posición
R +
(3)
Para determinar la velocidad y aceleración bastará con derivar la expresión (3) con respecto
R R ̇ ; ̇ ̇ ; ̇ 0 ,
al tiempo, en donde las derivadas de los vectores
son las mismas que se obtuvieron
en el estudio de coordenadas polares, siendo nula la del vector
.
(4)
De (3)
̇R + ̇ +̇
(5)
Reemplazando (4) en (5)
̇R + ̇ +̇
(6)
Siendo
̇ ; ̇ , ̇ 0 ̈ + ̇ ̇ + ̇ + ̈ ++ ̇ ̇ ++̇ (7)
La ecuación (7) nos indica que las coordenadas polares son un caso particular de las coordenadas cilíndricas con
.
(8)
Reemplazando (4) en (8) y simplificando se tiene:
( ̈ ̇ ) +(2 ̇ ̇ + ̈ ) +̈ Siendo las componentes:
( ̈ ̇ ) ; 2 ̇ ̇ + ̈ ; ̈ Ejemplo 6
La partícula A se mueve dentro del tubo liso con velocidad constante de
5/
. Determinar: la velocidad y aceleración
de la partícula cuando del eje
0,25
, si el tubo gira en torno
con una velocidad angular constante de
17
90 ..
.
Solución
De los gráficos podemos deducir las componentes radial y transversal de la velocidad y aceleración.
5cos30° 4,33 /; 5sin30° 2,5 / 0;0 2 90/609,425/, =0,259,4253.36/ 4,33 +3,36 2,5 → 6,02 / ( ̈ ̇ ) 00,259,42 22,21 / 2 ̇ ̇ + ̈ 24,339,425 81,62 / 22,21 81,62 → 84,59 /
La velocidad angular será
por lo tanto la componente
transversal será de
.
Ejemplo 7
Una partícula inicia su movimiento en el punto O con la siguiente ley horaria
10
10 1 /.
(estando en centímetros y
en segundos) sobre una circunferencia de radio igual a contenidos en el plano Q, el cual gira en torno al eje velocidad angular constante de
con
Sabiendo que la partícula inicia su movimiento cuando
0 , 0 0,
determinar la velocidad y aceleración de
3 → 10 10
la partícula cuando
.
Determinemos R y z para usar coordenadas cilíndricas.
1010 10 101cos 18
10 10 Derivando con respecto al tiempo
10 ;10cos 10cos; 10 3 3 3 0,141cos3 0.989 1,2,3 101+0,989 19,89 100,141 1,41⁄ 1010,989 9,89 100,989 9,89 ⁄ 100,41 1,41 / Aplicando las ecuaciones 1.40 y 1.42
1,41 +19,89 9,89 → 22,25 / [99,8919,891] +21,411 1,41 29,78 +2,82 1,41 → 29,95 / 2.5 Velocidad y aceleración en coordenadas esféricas
Fig.13 El vector posición que permite determinar la posición de la partícula en coordenadas esféricas son los parámetros “r” ,
∅ y
siendo “r” la distancia de P al origen ,
19
es la
medida del ángulo diedro formado por los planos x-z y OPA y los ejes oz y “r”.
Los ángulos
∅ y
cumplen las siguientes condiciones:
∅
∅, ,
, que se consideraran positivos si
Si tienen la misma dirección y sentido que el vector OP Si tienen el sentido en que se incrementa el ángulo
perpendicular al vector
es el ángulo formado por
serán positivos si tienen los sentidos que se indican en la figura 13.
Definiremos un tema de vectores unitarios
∅
∅.
Este vector es
y está contenido en el plano definido por Oz y OL.
Si tiene un giro en torno del eje Oz , es el mismo sentido en que se
incrementa , está definido por
∅
, por lo tanto es perpendicular al
plano formado por las semirrectas Oz y OL ; en consecuencia paralelo al plano x-y Por necesitar conocer las derivadas de estos vectores con respecto al tiempo vamos a expresarlos en función de los vectores unitarios “i”, “j”, “k” en forma similar al procedimiento usado al estudiar el movimiento en coordenadas polares .En la figura 14 se
∅
ha descompuesto al vector unitario cuyos valores son:
en los vectores a y b paralelos a los ejes Oz y OL
∅
A su vez el vector b se ha descompuesto en los vectores c y d
Fig. 14
∅ ; ∅ ∅ +∅ +∅
En consecuencia el vector
será igual a
20
Fig. 15 El vector
∅
mostrado en la figura 15 se ha descompuesto en los vectores m y n en donde a
su vez el vector m se ha descompuesto en los vectores p y q.
El vector
∅
∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ +∅ ∅ mostrado en la figura 1.17 se descompondrá en los vectores t y s que se indican
a continuación
Fig.16
+ El vector posición r será
r
Para determinar la velocidad y aceleración bastara derivar con respecto al tiempo la ecuación (4)
. +.
De (1)
. ∅.∅ +.∅ +∅.∅ + .∅ ∅.∅ . ∅.∅ +∅ ∅ +.∅ + 21
Los términos entre paréntesis representan a
. .∅ +.
∅
que se indican en (2) y (3)
6
Reemplazando (6) en (5)
. +∅. + .
1.44
Siendo
.
∅ r∅. r.∅
1.45
Antes de derivar la expresión (1.44) determinaremos las derivadas con respecto al tiempo
∅ .∅ ∅.∅cos .∅ ∅.∅ + . cos∅cos ∅.∅
de
Factorizando
.∅ ∅.∅cos +∅ + ∅ +.∅ +cos Considerando las expresiones (1) y (3) la expresión anterior se puede escribir
.∅ ∅. +.∅
7
Finalmente derivando la ecuación (3)
. . cos . .cos + Como se quiere que las derivadas queden en función de los vectores unitarios
8 ∅
es
necesario transformar la ecuación (8) , para lo cual multiplicaremos la expresión (1) por
∅ cos∅ ∅ ∅ +∅ +∅ ∅ ∅∅ +∅ ∅ ∅ y la ecuación (2) por
9 10
Sumando (9) y (10)
∅ +∅ ∅ ∅+∅+ ∅+∅ ∅ +∅ ∅ + 11 Reemplazando (11) en (8)
. .∅ .
12
La aceleración se obtiene a partir de la expresión (13)
. +.. +.∅∅. +∅.. +.∅. +∅. +∅∅..∅. +.∅. 22
Reemplazando en esta expresión los valores de tendrá
.
En la expresión anterior se
.∅. + . . ∅∅)∅ (. . . .∅) +(2 +2 ∅ ∅+2 .∅.∅+. ∅ 14 ∅, ∅,
A los coeficientes de los valores unitarios
.,.∅ .
se les denomina componentes
Ejemplo 8
Se tiene una antena telescópica en funcionamiento .El eje
′ 2 / 1,5 / 45° , 1,2
OB gira en torno al eje de
con velocidad angular constante
, mientras que el brazo extensible OA gira
con velocidad constante que el ángulo
. En el instante en
y la velocidad con que
se extiende OA es constante e igual a
0,9 /
. Se pide
determinar la velocidad y aceleración del extremo A de la antena. Solución:
La solución se obtiene aplicando las expresiones (1.44 y 1.46), sabiendo que
∅0
. 0,9 / ∅ ∅. 1,21,5 1,8 / .∅21,2 45° 1,7 / 1,21,51,22 45° 5,1/ ∅ 20,91,51,2245°cos45°0,3/ 20,9245°+21,21,5245° 7,64 / 0,9 +1,8∅ +1,7 → 2,63 / 5,1 +0,3∅ +7,64 → 9,81 /
23
