coordenadas polares

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE ALVARADO

PHAYELLI SALGADO MOLINA

INGENIERIA ELECTRONICA

CALCULO VECTORIAL

COORDENADAS POLARES GRAFICACION DE CURVAS PLANAS EN COORDENADAS POLARES

III SEMESTRE

2011 – 2012 04 DE OCTUBRE DEL 2011

H. Y G. ALVARADO, VERACRUZ

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE ALVARADO

PHAYELLI SALGADO MOLINA


CALCULO VECTORIAL

COORDENADAS POLARES GRAFICACION DE CURVAS PLANAS EN COORDENADAS POLARES ING. ALFONSO ROSAS ESCOBEDO III SEMESTRE

2011 – 2012 04 DE OCTUBRE DEL 2011

H. Y G. ALVARADO, VERACRUZ.


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INDICE

Coordenadas polares …………………………………………………………………… 5 Representación de puntos de coordenadas polares ………………………………...6 Conversión de coordenadas …………………………………………………………....7 Conversión de coordenadas polares a rectangulares ……………………………....8 Conversión de coordenadas rectangulares a polares ………………………………8 Ecuaciones polares ……………………………………………………………………...9    

Circunferencia ………………………………………………………………...…10 Línea ………………………………………………………………………………10 Rosa polar ……………………………………………………………………...…11 Espiral de Arquímedes …………………………………………………………..11

Secciones cónicas ………………………………………………………………………12 Extensión a más de 2 dimensiones   

Tres dimensiones ……………………………………………………………….13 Coordenadas cilíndricas ………………………………………………………..13 Coordenadas esféricas ………………………………………………………... .14

Aplicaciones ……………………………………………………………………………...15 Posición y Navegación…………………………………………………………………16 Modelado………………………………………………………………………………… 16 Campos escalares………………………………………………………………………16

Graficación de curvas planas en coordenadas polares ……………………………17 Ecuación Polar de la curva…………………………………………………………….18

Ejemplos Algunas Curvas en Polares..................……………………………………19 Conclusión……………………………………………………………………………… 21 Bibliografia……………………………………………………………………………… 22


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INTRODUCCION

En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos (x, y) estos valores son las distancias dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se intersectan los dos ejes coordenados. Otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordenadas polares, en este sistema se necesitan un ángulo (q) y una distancia (r). Para medir q, en radianes, necesitamos una semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo llamado polo.


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COORDENADAS POLARES

Localización de un punto en coordenadas polares.

El

sistema

de

coordenadas

polares

es

un sistema

de

coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia. De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas ( r , θ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y θ es el ángulo positivo en sentido anti horario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector» mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar». En el caso del origen de coordenadas, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).


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REPRESENTACION DE PUNTOS DE COORDENADAS POLARES

Los puntos (3,60º) y (4,210º) en un sistema de coordenadas polares. En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL. 

El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL.



El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º sobre OL.

Un aspecto importante del sistema de coordenadas polares, que no está presente en el sistema de coordenadas cartesianas, es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes. Se puede decir entonces que en el sistema de coordenadas polares no hay una función biyectiva entre los puntos del espacio y las coordenadas. Esto ocurre por dos motivos: 

Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto ( r , θ) se puede representar como (r , θ ± n ×360°)

o

(−r , θ ± (2n + 1)180°),

donde n es

un número

entero

cualquiera.


6



El

centro

de

coordenadas

está

definido

por

una

distancia

nula,

independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se

encuentra siempre en el polo .5 Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única

representación

de

un

punto,

se

suele

limitar r a

números

no negativos r ≥ 0 y θ al intervalo [0, 360°) o (−180°, 180°] (en radianes, [0, 2π) o (−π, π]).

Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendo

del

marítima utilizan

contexto. las

Por

medidas

ejemplo, en

las

grados,

aplicaciones mientras

de navegación que

algunas

aplicaciones físicas (especialmente la mecánica rotacional) y la mayor parte del cálculo matemático expresan las medidas en radianes.

CONVERSION DE COORDENADAS

Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas. En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo θ del vector de posición sobre el eje x. INGENIERIA ELECTRONICA

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CONVERSIÓN DE COORDENADAS POLARES A RECTANGULARES Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

CONVERSIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A POLARES Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es: (Aplicando el Teorema de Pitágoras) Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos: 

Para r = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real.



Para r ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].

Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas

(arctan denota la inversa de la función tangente):


8

Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:

Muchos lenguajes de programación modernos evitan tener que almacenar el signo del numerador y del denominador gracias a la implementación de la función atan2, que tiene argumentos separados para el numerador y el denominador. En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la función atan puede recibir como parámetro la coordenada x (como ocurre en Lisp).

ECUACIONES POLARES Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva algebraica expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo r como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma ( r (θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función r . Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar r . Si r (−θ) = r (θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si r (180°−θ) = r (θ) será simétrica respecto al eje vertica l (90°/ 270°), y si r (θ−α°) = r (θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo. Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide.


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Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar no tienen restricciones en el dominio y rango de la curva.

CIRCUNFERENCIA

Un círculo con ecuación r (θ) = 1. La ecuación general para una circunferencia con centro en ( r 0, φ) y radio a es

En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para una circunferencia con centro en el polo y radio a , se obtiene:8

LÍNEA Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación

Donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan m donde m es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial θ = φ perpendicularmente al punto ( r 0, φ) tiene la

ecuación


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ROSA POLAR

Una rosa polar con ecuación r (θ) = 2 sin 4θ. La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple,

Para cualquier constante φ0 (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones producirán una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k es par. Si k es racional pero no entero, se producirá una forma similar a una rosa pero con los pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa.

ESPIRAL DE ARQUÍMEDES

Un brazo de la espiral de Arquímedes con ecuación r (θ) = θ para 0 < θ < 6π. INGENIERIA ELECTRONICA

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La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta por Arquímedes, la cual puede expresarse también como una ecuación polar simple. Se representa con la ecuación

Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral, mientras que b controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0.

Los dos brazos están conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva es una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas, en ser descritas en tratados matemáticos. Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una ecuación polar. Otros ejemplos de espirales son la espiral logarítmica y la espiral de Fermat.

SECCIONES CÓNICAS

Elipse, indicándose su semilado recto. Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (de modo que el semieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar) es dada por:


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Donde e es la excentricidad y

es el semilado recto (la distancia perpendicular a

un foco desde el eje mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuación define una hipérbola; si e = 1, define una parábola; y si e < 1, define una elipse. Para la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un círculo de radio .

EXTENSION A MAS DE 2 DIMENSIONES TRES DIMENSIONES El sistema de coordenadas polares puede extenderse a tres dimensiones con dos sistemas de coordenadas diferentes: el sistema de coordenadas cilíndricas y el sistema de coordenadas esféricas. El sistema de coordenadas cilíndricas añade una coordenada de distancia, mientras que el sistema de coordenadas esféricas añade una coordenada angular.

COORDENADAS CILÍNDRICAS

Un punto representado en coordenadas cilíndricas. El sistema de coordenadas cilíndricas es un sistema de coordenadas que extiende al sistema de coordenadas polares añadiendo una tercera coordenada que mide la altura de un punto sobre el plano, de la misma forma que el sistema de coordenadas cartesianas se extiende a tres dimensiones. La tercera coordenada se suele representar por h , haciendo que la notación de dichas coordenadas sea (r , θ, h ).


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Las coordenadas cilíndricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

COORDENADAS ESFÉRICAS

Un punto representado en coordenadas esféricas. Las coordenadas polares también pueden extenderse a tres dimensiones usando las coordenadas (ρ, φ, θ), donde ρ es la distancia al origen, φ es el ángulo con respecto al eje z (medido de 0º a 180º), y θ es el ángulo con respecto al eje x

(igual que en las coordenadas polares, entre 0º y 360º) Este sistema de coordenadas es similar al sistema utilizado para denotar la altitud y la latitud de un punto en la superficie de la Tierra, donde se sitúa el origen en el centro de la Tierra, la latitud δ es el ángulo complementario de φ (es decir, δ = 90° − φ), y la

longitud l viene dada por θ − 180°.


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Las coordenadas esféricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

Las coordenadas polares en el espacio tienen especial interés cuando los ángulos determinan la función, como en el caso de la hélice.

N DIMENSIONES Es posible generalizar estas ampliaciones de forma que se obtenga un sistema de representación para 4 o más dimensiones. Por ejemplo, para 4 dimensiones se obtiene

APLICACIONES Las coordenadas polares son bidimensionales, por lo que solamente se pueden usar donde las posiciones de los puntos se sitúen en un plano bidimensional. Son las más adecuadas en cualquier contexto donde el fenómeno a considerar esté directamente ligado con la dirección y longitud de un punto central, como en las figuras de revolución, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc. Los ejemplos vistos anteriormente muestran la facilidad con la que las coordenadas polares definen curvas como la espiral de Arquímedes, cuya ecuación en coordenadas cartesianas sería mucho más intrincada. Además muchos sistemas físicos, tales como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o los fenómenos originados desde un punto central, son más simples y más intuitivos de modelar usando coordenadas polares. La motivación inicial de la introducción del sistema polar fue el estudio del movimiento circular y el movimiento orbital.


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POSICIÓN Y NAVEGACIÓN Las coordenadas polares se usan a menudo en navegación, ya que el destino o la dirección del trayecto pueden venir dados por un ángulo y una distancia al objeto considerado. Las aeronaves, por ejemplo, utilizan un sistema de coordenadas polares ligeramente modificado para la navegación.

MODELADO Los Sistemas son Busterniano simetría

radial poseen unas características

adecuadas para el sistema de coordenadas polares, con el punto central actuando como polo. Un primer ejemplo de este uso es la ecuación del flujo de las aguas subterráneas cuando se aplica a pozos radialmente simétricos. De la misma manera, los sistemas influenciados por una fuerza central son también buenos candidatos para el uso de las coordenadas polares. Algunos ejemplos son las antenas radioeléctricas, o los campos gravitatorios, que obedecen a la ley de la inversa del cuadrado (véase el problema de los dos cuerpos). Los

sistemas

radialmente

asimétricos

también

pueden

modelarse

con

coordenadas polares. Por ejemplo la directividad de un micrófono, que caracteriza la sensibilidad del micrófono en función de la dirección del sonido recibido, puede representarse por curvas polares. La curva de un micrófono cardioide estándar, el más común de los micrófonos, tiene por ecuación r = 0,5 + 0,5 sin θ.

CAMPOS ESCALARES Un problema en el análisis matemático de funciones de varias variables es la dificultad para probar la existencia de un límite, ya que pueden obtenerse diferentes resultados según la trayectoria de aproximación al punto. En el origen de coordenadas, uno de los puntos que tienen más interés para el análisis (por anular habitualmente funciones racionales o logarítmicas), este problema puede solventarse aplicando coordenadas polares. En otros puntos es posible realizar un cambio de sistema de referencia y así aplicar el truco.


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Al sustituir las coordenadas cartesianas x, y, z... por sus correspondientes equivalencias en coordenadas polares, el límite al aproximarse al origen se reduce a un límite de una única variable, lo que resulta fácil de calcular por ser el seno y el coseno funciones acotadas y r un infinitésimo. Si el resultado no muestra dependencia angular, es posible aseverar que el límite es indistinto del punto y trayectoria desde el que se ha aproximado.

GRAFICACIÓN DE CURVAS PLANAS EN COORDENADAS POLARES.

Las dos coordenadas polares r y θ se puede convertir en la coordenadas

cartesianas x, y y utilizando las funciones trigonométricas seno y coseno: Mientras que las dos coordenadas cartesianas x, y y se puede convertir en coordenadas polares r. Esto le da al θ en radianes en el intervalo ( -π, π]. En grados sería de −180 ° a 180

°. Estas fórmulas asumen que el polo es el origen cartesiano (0,0), que el eje polar es el cartesiano x eje, y que la dirección de la cartesiana y eje tiene acimut + π / 2 radianes = 90 °. La función arctan es la inversa de la tangente de la función, que se supone para rendir un ángulo en el rango (- π / 2, + π / 2). El valor de θ anterior es el valor principal de la función de número complejo arg a rg

la salvedad de que no define un valor en el origen cuando x e y son iguales a cero. El valor por encima de cero es un valor conveniente que se elige a menudo. Muchos lenguajes de programación tienen una función que calcule la correcta coordenada angular θ dado x y y, sin la necesidad de realizar un análisis de caso que el anterior. Por ejemplo, esta función es llamada por atan2 (y, x) en el lenguaje de programación C, y (atan y x) en Common Lisp .


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En ambos casos, el resultado es un ángulo en radianes en el intervalo (- π, π]. Si se desea un ángulo en el intervalo [0, 2π) se puede obtener mediante la adición de 2π en el valor si es negativo.

representar el punto P(x, y)mediante otro sistema denominado coordenadas

ECUACIÓN POLAR DE UNA CURVA La ecuación que define una curva algebraica expresada en coordenadas polares es conocida como una ecuación polar. En muchos casos, como una ecuación sólo se puede especificar mediante la definición de r como una función de θ. La curva

resultante se compone de puntos de la forma ( r (θ), θ) y puede ser considerado como el gráfico de la función polar r. Las diferentes formas de simetría se deduce de la ecuación de una función polar r . Si r (- θ) = r (θ) la curva será simétrica respecto de la horizontal (0 ° / 180 °) de rayos, si r (π - θ) = r (θ) será simétrica respecto a la vertical (90 ° / 270 °) de rayos, y si r (θ - α) = r (θ) será simétrico rotacionalmente α en sentido anti -horario

alrededor del polo. Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polares, muchas curvas pueden ser descritas por una ecuación simple y no polar, mientras que su forma cartesiana es mucho más compleja. Entre las más conocidas de estas curvas son las polares se levantó, espiral de Arquímedes, lemniscata, Limaçon y cardioide. Para el círculo, línea, y polares aumentaron a continuación, se entiende que no hay restricciones sobre el dominio y el rango de la curva.


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EJEMPLOS DE CURVAS EN POLARES


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CONCLUSION

Después de llevar a cabo esta investigación, llegue a la conclusión de que las coordenadas polares son de gran utilidad en nuestro perfil profesional. Ya que estas sirven para encontrar diferentes puntos en un plano. Lo cual esto hace que el día de mañana sea más fácil en un ámbito laboral.


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BIBLIOGRAFIA Bibliografía: Libro: Cálculo Tomo II Autor: Roland E. Hostetler Robert P. Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano Libro: Cálculo con Geometría Analítica Autor: Swokowski Earl W. Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares http://www.mitecnologico.com/sistemas/Main/Graficaci%F3nDeCurvasPlanasEnCoordenadasPola res http://s3.amazonaws.com/ppt-download/curvasplanas-110115152751-phpapp01.pdf


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coordenadas polares

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