ÁLGEBRA
AXIOMAS DE NÚMEROS REALES
AXIOMA DE LOS NÚMEROS REALES
1.1
El sistema de los números reales es un conjunto no vacío denotado por con dos operaciones internas llamadas: (a,b) = a+b 1) Adición (+) : 2) Multiplicación (.) : (a,b) = a.b y una relación de orden “<” (<, se lee “menor “menor que”); el cual satisface los siguientes siguientes axiomas.
I. A1: A2: A3: A4: A5:
II. M1: M2: M3: M4:
M5:
AXIOMAS DE LA ADICIÓN Ley de clausura a, b a + b Ley conmutativa a, b a + b = b+a Ley Asociativa a, b, c (a+b)+ c=a+(b+c ) Existencia y unicidad del elemento neutro aditivo Existe un valor único , denotado por “0” (0, se lee cero) tal que a : a+0=a=0+a Existencia y unicidad del elemento inverso aditivo a , existe un valor único denotado por -a tal que: a : a + (-a) = 0 = (-a) + a
AXIOMAS DE LA MULTIPLICACIÓN Ley de clausura a, b a.b Ley conmutativa a, b a.b = b.a Ley Asociativa: a, b, c ( a . b ) . c = a . ( b . c ) Existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo Existe un valor único , denotado por “1” ( 1, se lee uno ) tal que a : a.1 = a = 1.a Existencia y unicidad del elemento inverso multiplicativo a / a 0; existe existe un valor único único denotado por a - 1 tal que a. a - 1 = 1 = a - 1. A
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III.
D1: D2:
IV.
AXIOMAS DE LEY DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA ADICIÓN a, b, c Distributividad por la izquierda a ( b+c ) =a b+ ac Distributividad por la derecha ( a + b ) c = ac + bc
AXIOMAS DE ORDEN
O1 = Ley de Tricotomía Dados a y b ; se cumple una y solamente una de las siguiente relaciones: a
a=b
b
O2 = Ley Transitiva, a, b, c , se cumple Si; a < b b < c a
V.
AXIOMAS DE LA RELACIÓN DE IGUALDAD DE LOS NÚMEROS REALES a, b, c
1) 2) 3) 4) 5) 6)
VI.
, se cumple
Dicotomía: a=b a b Reflexividad: a=a Simetría: a=bb=a Transitividad: Si : a = b b = c a = c Unicidad de la adición Si: a = b a+c = b+c Unicidad de la multiplicación Si: a = b a.c = b.c
AXIOMAS DEL SUPREMO
Todo conjunto A de números reales (A 0: no vacío) acotado superiormente, tiene una menor cota superior, llamado supremo de A.
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1.2
RECTA REAL (INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA) La recta real es una recta geométrica de infinitos puntos donde cada uno de los puntos establece una correspondencia biunívoca con los números reales, esto nos permite visualizar una relación de orden < (menor que) entre dos o más cantidades, como ilustra la gráfica adjunta. #s negativos
#s positivos
Interv alo abierto
Interv alo cerrado
B
A -
8
a
b
0
c
d
+
8
La relación a < b al graficarla en la recta real nos indica que la cantidad “a” se encuentra a la izquierda de la cantidad “b”. Con respecto a la recta geométrica debemos tener en cuenta lo siguiente: 1. “0” (cero), es el origen de la recta real, no tiene signo. 2. Los números negativos son menores que cero. 3. El cero es menor que cualquier número positivo. 4. El conjunto A denotado por A =x/a < x ó x ] a ; b [ Se lee: “ x pertenece al intervalo abierto “a” coma “b” 5. El conjunto B, denotado por B=x/c x d Donde los extremos c y d están incluidos, se llama “intervalo cerrado” sobre el eje real y se lee: “x pertenece al intervalo cerrado “c” coma “d” ”, se denota como: x [a; d] 6. El valor absoluto de un número real “a” denotado por |a| satisface la siguiente regla de correspondencia.
a ; si a 0 |a| = a ; si a 0 7. La distancia entre dos puntos “a” y “b” sobre el eje real es: |a - b| 1.3
TEOREMAS IMPORTANTES EN RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
1. Ecuación de primer grado en una variable a, b, x ; con
a 0. Si ax + b = 0, entonces se cumple que:
2. Ecuación de segundo grado en una variable a, b, c, x ; con a 0 / ax2 + bx + c = 0 se cumple que:
x
b
b2 4ac 2a
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x
b a
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o también: x
b
2a
al símbolo = b 2 – 4 ac, se llama discriminante de la ecuación de segundo grado. 3. Ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas a1, b1, c1, a2, b2, c2 con; a1 b2 a2 b1, donde:
a1 x b1 y c1.......... .() a2 x b2 y c2.......... .() se cumple que:
c1 b1 x
c2 b2 a1 b1
a1 b2 a b1
a2 b2 a1 y
a2 c2 a1 b1
1.4
2
c1
a2 b2 4. a, b
c1 b2 c2 b1
a1 c2 a2 c1 a1 b2 a2 b1
/ a.b=0 a = 0 b=0
OPERACIONES B SICAS EN EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES Adición.- Es la operación matemática, que por medio del signo (+) dos o más cantidades llamadas sumandos se reducen en una sola, denominada suma. La suma de dos números reales está sujeta a las siguientes reglas.
Regla 1.- La suma de dos números reales con el mismo signo está determinada por la suma de sus valores absolutos y el resultado o suma total está afectado por el signo de los sumandos. Ejemplo: a) –3–4 = -7 c) 12 + 30 = 42 b) 5+6 = 11 d) – 12 - 30 = - 42
Regla 2.- La suma de dos números reales de signos diferentes está determinada por la diferencia de sus
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valores absolutos (El mayor menos el menor) y el resultado o suma total se encuentra afectado por el signo del sumando que tenga mayor valor absoluto. Ejemplo: a) – 10 + 5 = - 5 b) – 12 + 2 = - 10 c) 12 - 3 = 9
d) – 3 + 8 = 5 e) 17 – 20 = - 3 f) – 14 + 6= - 8
NOTA.- En la adición de varias cantidades reales con diferentes signos, se agrupan las cantidades positivas y negativas entre sí y luego se procede a la reducción de acuerdo a las reglas dadas. Ejemplo: a) –6+5-4-3+2-9=(-6-4-3-9)+5+2) = -22+7 = -15 b) –12+3-9-5+4 = (-12-9-5)+(3+4) = -26+7 = -19
SUSTRACCIÓN.- Es la operación matemática que por medio del signo menos (-) obtenemos la diferencia sustraendo)
de dos números (minuendo menos
Ejemplo: a) Restar –12 de 5: min uendo : 5
sustraendo: 12 diferencia: 5 (12) 17
b) Restar 8 de –8: min uendo : 8
sustraendo: 8 diferencia: 8 (8) 16
MULTIPLICACIÓN.- Es una adición abreviada, cuya operación matemática por medio del signo por (.) ó (x) nos permite obtener el producto de las cantidades llamadas multiplicando y multiplicador. Esta operación está sujeta a dos reglas respecto a los signos.
Regla 1.- La multiplicación de dos cantidades no nulas del mismo signo es una cantidad positiva Ejm. a) ( - 3 ) ( - 4 )=12 b) ( 12 ) ( 3 ) = 36 c) ( - 8 ) ( - 2 ) = 16
Regla 2.- la multiplicación de dos cantidades no nulas de signos diferentes es una cantidad negativa Ejemplo: www.carpetapedagogica.com
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a) ( - 3 ) (4 )= -12 b) ( 12 ) (-3 ) = -36 Respecto a la ley de signos, vemos que: i) Multiplicación de signos iguales es positivo: (+) (+)=+ (-)(-) = + ii) Multiplicación de signos diferentes es negativo: (-) (+) = - (+)(-) = -
DIVISIÓN.- Es la operación matemática que consiste en determinar cuantas veces un número está contenido en otro por medio del signo operacional entre (), al resultado obtenido se le llama cociente. El número que se divide se llama dividendo y el que divide se llama divisor. Esta operación está sujeta a dos reglas respecto a los signos.
Regla 1.- La división de dos cantidades no nulas del mismo signo es una cantidad positiva (mayor que cero)
Ejemplo: 16 a) 8 2 b)
18 2 9 24 d) 3 8 c)
8 4 2
Regla 2.- La división de dos cantidades no nulas de signo diferente es una cantidad negativa (menor que cero).
Ejemplo: 12 4 3 18 9 b) 2
15
3 5 27 d) 9 3
a)
c)
Respecto a ley de los signos, en la división de dos cantidades reales no nulas, se observa que:
ii) División de signos diferentes, es negativo: i) División de signos iguales, es positivo:
1.5
OBSERVACIONES FUNDAMENTALES EN LAS OPERACIONES CON FRACCIONES 1) Adición de fracciones homogéneas a c d e a c d e
b
b
b
b
b
2) Adición de fracciones heterogéneas a c e adf cbf ebd
b
d
f
bdf
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3) Multiplicación de fracciones.- Se multiplican los numeradores denominadores entre sí: a c e g aceg
b
d
f
h
y
bdfh
4) División de fracciones.- Se invierte la segunda fracción y se multiplican los numeradores y denominadores entre sí: a c a d ad
b
d
b
c
bc
5) Fracción de fracción.- Se obtiene una fracción equivalente cuyo numerador es el producto de los extremos y el denominador es el producto de los medios. a ad b c (medios) b c bc a d (extremos) d 6) Posición relativa de un signo en una fracción a a a a
b
b
b
b
POTENCIACIÓN.- Es la multiplicación repetida de una cantidad en un número finito de veces; el resultado final se le llama potencia. Está sujeta a las siguientes reglas respecto a las cantidades negativas.
Regla 1.- Toda cantidad negativa afectada por un exponente par (bajo un paréntesis) es positivo
Ejemplo:
a) (-2)4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16 b) (-7)2 = (-7)(-7) = 49 c) (-8)2 = (-8)(-8) = 64 d) (-3)6 = 729
Regla 2.- Toda Cantidad negativa afectada por un exponente impar bajo un paréntesis o sin paréntesis siempre es negativo.
Ejemplo: a) b) c) d)
(-6)3 = (-6)(-6)(-6) = -216 –63 = - (6)(6)(6) = -216 (-4)3 = (-4)(-4)(-4) = -64 –43 = - (4)(4)(4) = -64
En resumen, respecto a los signos en potenciación debemos considerar a) (-)PAR = + b) (-)IMPAR = -
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RADICACIÓN.- Es la operación inversa a la potenciación que nos permite encontrar un número llamado raíz, tal que elevado al índice del radical reproduce el radicando o cantidad subradical. n
a r rn a
Ejemplo:
8 2
(2)3
b)
16 4
(4)2 = 16
c)
16 4
a)
d)
3
3
8 2
(4)2
(2)3
8
16
8
Respecto a los números reales podemos hacer la siguiente clasificación:
+ (Reales positivos)
Racionales ( Q+ ) Enteros ( Z+ ) Fraccionarios ( F+ ) Irracionales ( I+ )
(#s reales) 0 (cero real)
+
(Reales negativos)
1.6
Racionales ( Q- ) Enteros ( Z- ) Fraccionarios ( F- ) Irracionales ( I- )
PRINCIPALES CONJUNTOS NUMÉRICOS
A.- El conjunto de los Números naturales, denotado por N, donde: N = 1, 2, 3, ........
B.- El conjunto de los Números enteros, denotado por Z, donde: Z = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... C.- El conjunto de los Números racionales, denotado por Q, donde: Q = x/x=
p q
, p y q son enteros
(q 0) D.-El conjunto de los Números irracionales, denotado por I, donde:
I = x/x tiene representación decimal infinita no periódica
E.- El conjunto de los Números Reales, denotados por , donde: = x/x es racional ó irracional
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F.- El conjunto de los Números Complejos, denotado por C, donde: C = x / x = a + b i; a b i es la unidad imaginaria donde: i = 1 ; tal que: i2 = -1
G.-El conjunto de los Números enteros positivos denotados por Z+, donde:
Z+ = 1, 2, 3,............
H.-El conjunto de los Números Enteros positivos incluido el cero , denotado por
Z0+ = 0, 1, 2, 3, 4, 5,........ Asimismo ampliando se tendrían los siguientes conjuntos:
Q+,
, Q -,
+
-
,
+ 0 ,
0
-
, Q0 -, etc.
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