BAB VI
INTEGRAL LIPAT DUA DAN TIGA
y
yi + (yi D
(i
y1
X
x1 x1 + (xi
Gambar di atas adalah daerah D pada bidang xy dan (i adalah elemen
kecilnya. , jika diambil jumlah elemen buah, maka daerah D seluruhnya
dinyatakan dengan :
Limit ini bila ada dilambangkan :
(Integral lipat dua = double integral)
Dalam penyelesaiannya :
Dalam hal ini pertama diintegralkan terhadap y sementara x dianggap
konstan, selanjutnya di integrasikan terhadap x.
x1 = batas kiri dan, x2 = batas kanan
y1 = batas bawah, y2 = batas atas
Contoh : Hitunglah integral :
Solusi : y = x2
1. Dxy
Jika terhadap x lebih dulu diintegral, maka :
Untuk : y = x2 diperoleh : x = batas kiri dan batas kanan : x = 1.
Untuk y dimana batas bawah y = 0 dan batas atas y = x2 = 1.
Sehingga bentuk integral yang baru dengan batas baru dituliskan :
Contoh : Buat sketsa dari daerah Dxy oleh f(x,y) = xy dalam bidang xy yang
dibatasi oleh : y = x2 ; x = 2 dan y = 1. Hitung integralnya.
Solusi :
Dari sketsa dapat dilihat
x1 = 1 dan x2 = 2
y1 = 1 dan y2 = x2
jadi bentuk integralnya :
Transformasi dari integral lipat dua.
Dalam menghitung integral lipat atas suatu daerah D sering lebih mudah jika
dipakai koordinat lain dari pada koordinat kartesian.
Misalnya : Titik (x,y) pada bidang xy ke titik (u,v) pada bidang uv dan
daerahnya dari D menjadi D1, maka persamaan transforamsi : x = f(u,v) dan y
= f(u,v).
Maka :
Dimana :
Contoh : Transformasi koordinat kartesian (x,y) ke dalam koordinat polar
(r, ().
Solusi : Persamaan transformasi koordinat
x = r cos (
y = r sin (
Jadi :
Sehingga :
maka :
Contoh : Hitung , dimana D adalah daerah dalam bidang xy yang dibatasi
: x2 + y2 = 4 dan x2 + y2 = 9
Solusi :
x2 + y2 = r2 , maka r12 = 4 ; ( r1 = 2
r22 = 9 ; ( r2 = 3
x2 + y2 = r2 persamaan lingkaran dengan pusatnya pada (0,0)
r1 = 2 dan r2 = 3
(1 = 0 dan (2 = 2 (
Jadi :
Besaran Fisika Sebagai Integral Lipat Dua.
Titik pusat dan momentum Inersia Luasan.
Jika : f(x,y) = 1 ;
Maka titik pusat suatu daerah datar dengan luas :
atau :
Momen inersia daerah D terhadap sumbu-sumbu koordinat :
Momen inersia polar (momen inersia terhadap garis yang lewat titik dan
tegak lurus bidang luasan) suatu daerah datar D :
Contoh :
Carilah titik pusat luasan yang dibatasi oleh parabola : y = 6x – x2 dan
garis y = x
Solusi :
Titik potong : y = 6x – x2 dan y = x
adalah
6x – x2 = x ( x = 0 dan x = 5
Maka :
Jadi :
maka koordinat titik pusat : (5/2, 5).
Integral Lipat Tiga
Perhatikan gambar (v = (x (y (z = lemen volume
Untuk (v dalam jumlah n buah dinyatakan V yaitu :
Cara penyelesaian integral lipat tiga serupa dengan cara penyelesaian
intgeral lipat dua.
Contoh :
Hitunglah :
Solusi :
Hitunglah :
Solusi :
Transformasi dari Integral Lipat Tiga
Untuk tranformasi integral lipat tiga ditinjau x = x (u,v,w) ; y = y
(u,v,w) dan z = z (u,v,w) maka Jakobiannya adalah :
dan
Transformasi pada Koordinat Silinder
Dalam hal ini :
x = r cos ( ; y = r sin (
z = z
maka :
Jadi :
Transformasi pada Koordinat Bola
Pada koordinat bola :
x = r sin ( cos (
y = r sin ( sin (
z = r cos (
maka :
Maka : dv = dx dy dz = r2 sin ( dr d( d(
Jadi :
Besaran Fisika Sebagai Integral Lipat Tiga
Titik pusat dan momen inersia suatu volume. Tinjau f(x,y,z) = ((x,y,z)
adalah massa benda menempati volume v. Maka massa M = ( ( ( ( dv.
Perhatikan gambar :
L = sumbu ; r = jarak
Maka momen inersia terhadap L.
Hal-hal khusus :
Jika :
Momen massa M terhadap bidang :
maka koordinat pusat massa (x,y,z) adalah :
Contoh :
Cari koordinat titik pusat volume di dalam silinder : ( = 2 cos (,
yang dibatasi di atas oleh parabolaid : z = (2 dan di bawah oleh
bidang z = 0.
Solusi :
Dalam hal ini r = ( = jari-jari, maka
dari gambar maka :
Volume :
Maka :
Karena sumbu simetri :
Jadi koordinat pusat massa :
Contoh :
Tentukan massa dan pusat massa suatu tabung pejal S, dengan menganggap
kerapatan sebanding terhadap jarak dari alas (( = k z) dengan k =
konstanta dan f(x,y,z) = kz.
Solusi :
Perhatikan gambar : x2 + y2 = a2
Dari gambar dapat dilihat bahwa massa
benda tersebut dapat dinyatakan :
Sumbunya sb z, maka :
maka :
Jadi : massanya :
pusat massanya :
Soal – soal :
1. Hitunglah
2. Hitunglah fungsi terhadap daerah yang dibatasi oleh garis-garis :
y = 1 ; y = 2 dan x = y , x = 0
3. Dengan memakai transformasi : x + y = u dan y = uv, tunjukkan bahwa :
4. hitunglah
5. Hitunglah volume dari D yang dibatasi oleh silinder z = 4 – x2 dan
bidang-bidang x = 0, y = 0 dan z = 0, y = 6
6. Dengan menggunakan koordinat silinder, hitunglah volume daerah D yang
terletak di dalam , di atas z = 0, di bawah 2z = y
7. Hitunglah integral lipat tiga pada daerah D dalam oktav pertama
yang dibatasi oleh kerucut : dan dan bola
8. Carilah titik pusat luasan yang dibatasi parabola-parabola : dan
9. Cari koordinat titik pusat volume di dalam silinder , yang dibatasi
di atas oleh paratalaid dan di bawah oleh bidang z = 0
-----------------------
y
D
0
r1
r2
x
(
2(
(
0
1
2
3
r
D1
y
0
y = x
x
y = 6x – x2
(5, 5)
5
D
x
z
0
x
y
(z
(v
(y
(x
P(x,y,z) ( (r,(,z)
z
x
r
y
(
P(x,y,z) ( (r,(,()
z
x
y
r
(
(
(M
r(xk,yk,zk)
z
z = (2
x
y
S
z
x
y
z = h
x2 + y2 = a2
y
x
y = x2
1
0
1
2
1
y
x
z
