Novena edición
CAPÍTULO
13
MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS:
DINÁMICA Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston Johnston,, Jr. Notas: J. Walt Oler Texas Tech University Univers ity
Cinética de partículas: métodos de la energía y la cantidad de movimiento
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e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica Mecá nica vec vectoria toriall para ingeniero ingenieros: s: Dinámica Dinámica Contenido Introducción Trabajo de una fuerza Energía cinética de una partícula. Principio del trabajo y la energía Aplicaciones del principio del trabajo y la energía Potencia y eficiencia Problema resuelto 13.1 Problema resuelto 13.2 Problema resuelto 13.3 Pproblema resuelto 13.4 Problema resuelto 13.5 Energía potencial Fuerzas conservativas Conservación de la energía Movimiento bajo una fuerza central conservativa
Problema resuelto 13.6 Problema resuelto 13.7 Problema resuelto 13.9 Principio del impulso y la cantidad de movimiento Movimiento impulsivo Problema resuelto 13.10 Problema resuelto 13.11 13.11 Problema resuelto 13.12 Impacto Impacto central directo Impacto central oblicuo Problemas en los que interviene la energía y la cantidad de movimiento Problema resuelto 13.14 Problema resuelto 13.15 Problema resuelto 13.16 Problema resuelto 13.17 13-2 © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
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Mecánica Mecá nica vec vectoria toriall para ingeniero ingenieros: s: Dinámica Dinámica Contenido Introducción Trabajo de una fuerza Energía cinética de una partícula. Principio del trabajo y la energía Aplicaciones del principio del trabajo y la energía Potencia y eficiencia Problema resuelto 13.1 Problema resuelto 13.2 Problema resuelto 13.3 Pproblema resuelto 13.4 Problema resuelto 13.5 Energía potencial Fuerzas conservativas Conservación de la energía Movimiento bajo una fuerza central conservativa
Problema resuelto 13.6 Problema resuelto 13.7 Problema resuelto 13.9 Principio del impulso y la cantidad de movimiento Movimiento impulsivo Problema resuelto 13.10 Problema resuelto 13.11 13.11 Problema resuelto 13.12 Impacto Impacto central directo Impacto central oblicuo Problemas en los que interviene la energía y la cantidad de movimiento Problema resuelto 13.14 Problema resuelto 13.15 Problema resuelto 13.16 Problema resuelto 13.17 13-2 © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
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Mecánica Mecá nica vec vectoria toriall para ingeniero ingenieros: s: Dinámica Dinámica Introducción •
•
Anteriormente, los problemas relativos al movimiento de las partículas se resolvieron mediante la ecuación fundamental del movimiento, F ma. El capítulo actual presenta dos métodos adicionales de análisis. Método del trabajo y la energía energía: se relaciona directamente con
la fuerza, la masa, la velocidad y el desplazamiento. •
Método del impulso y la cantidad de movimiento: se
relaciona directamente con la fuerza, la masa, la velocidad y el tiempo.
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13-3
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Trabajo de una fuerza
•
•
El vector diferencial d r es el desplazamiento de las partículas. El trabajo de la fuerza es
dU F d r
F ds cosα F xdxF ydyF zdz •
•
El trabajo es una magnitud escalar, es decir, tiene magnitud y signo, pero no dirección. Las dimensiones del trabajo son longitud x fuerza. Las unidades son 1 J joule 1 N 1 m
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1ft lb 1.356 J
13-4
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Trabajo de una fuerza •
Trabajo de una fuerza durante un desplazamiento finito, U 12
A2
F d r
A1 s2
s2
s1
s1
F cosαds F t ds
A2
F xdx F ydy F zdz
A1 •
El trabajo está representado por el área bajo la curva de F t graficada contra s.
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13-5
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Trabajo de una fuerza •
Trabajo de una fuerza constante en movimiento rectilíneo, U 12 F cosα x
•
Trabajo realizado por la fuerza de la gravedad, dU F xdx F y dy F z dz
W dy y2
U 1 2 W dy y1
W y2 y1 W y •
•
El trabajo del peso es igual al producto del peso W y el desplazamiento vertical ∆ y. El trabajo del peso es positivo cuando ∆ y < 0, esto es, cuando el cuerpo se mueve hacia abajo.
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13-6
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Trabajo de una fuerza •
La magnitud de la fuerza ejercida por un resorte es proporcional a la deformación, F kx k constante del resorte N/m o lb/in.
•
Trabajo de la fuerza ejercida por el resorte , dU F dx kx dx x2
U 12 kx dx 1 kx12 1 kx22 x1 •
•
2
2
El trabajo de la fuerza ejercida por el resorte es positiva cuando x2 < x1, esto es, cuando el resorte está regresando a la posición no deformada. El trabajo de la fuerza ejercida por el resorte es igual al área negativa bajo la curva de F graficada contra x, U 12 1 F 1 F 2 x 2
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13-7
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Trabajo de una fuerza Trabajo de una fuerza gravitacional (suponer que la partícula M ocupa una posición fija O, mientras que la partícula m sigue la trayectoria mostrada), dU Fdr G
Mm 2
dr
r r 2
U 12 G r 1
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Mm r 2
dr G
Mm r 2
G
Mm r 1
13-8
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Trabajo de una fuerza Fuerzas que no funcionan (ds = 0 o cos •
•
•
•
= 0):
reacción en un pasador sin fricción cuando el cuerpo soportado gira alrededor del pasador, reacción en la superficie de fricción cuando el cuerpo se mueve en contacto con toda la superficie, reacción en un rodillo en movimiento a lo largo de su trayectoria, y peso de un cuerpo cuando su centro de gravedad se desplaza horizontalmente.
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13-9
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Energía cinética de una partícula. Principio del trabajo y la energía •
Considerar una partícula de masa m que se somete a una fuerza F dv F t mat m
m
dv ds
ds dt F t ds mv dv •
dv ds
v2
F t ds m v dv 12 mv22 12 mv12
s1
v1
U 12 T 2 T 1
•
mv
La integración de A1 a A2 , s2
•
dt
T 12 mv 2 energía cinética
El trabajo de la fuerza F es igual al cambio en energía cinética de la partícula .
Las unidades de trabajo y energía cinética son las mismas: T
1 mv 2 2
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2
m m kg kg 2 m N m J s s
13-10
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Aplicaciones del principio del trabajo y la energía •
•
Se desea determinar la velocidad de la plomada del péndulo en A2. Considerar el trabajo y la energía cinética. La fuerza P es normal a la trayectoria y no realiza trabajo. T 1 U 12 T 2 1 W 2 v2 0 Wl 2 g v2
•
•
•
2 gl
La velocidad es encontrada sin determinar la expresión para la aceleración y la integración. Todas las cantidades son escalares y se pueden agregar directamente. Las fuerzas que no trabajan son eliminadas del problema.
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13 - 11
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Aplicaciones del principio del trabajo y la energía •
•
•
El principio del trabajo y la energía no se puede aplicar directamente a determinar la aceleración de la plomada del péndulo. El cálculo de la tensión de la cuerda requiere complementar el método del trabajo y la energía con una aplicación de la segunda ley de Newton. Cuando la plomada pasa por A2 ,
F n m an P W
v2
2 gl
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2
W v2 g l
P W
W 2 gl g
l
3W
13-12
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Potencia y eficiencia •
Potencia = tasa a la cual se realiza el trabajo.
dt F v
•
dU F d r dt
Las dimensiones del poder son el trabajo / tiempo o la fuerza * velocidad. Las unidades de poder son J m 1 W (watt) 1 1 N s s
•
o 1 hp 550
ft lb s
746 W
η eficiencia
trabajo de salida trabajo de entrada potencia de salida potencia de entrada
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13-13
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.1 SOLUCIÓN: •
•
Evaluar el cambio en la energía cinética. Determinar la distancia necesaria para igualar el cambio de energía cinética.
Un automóvil que pesa 4 000 lb desciende por una pendiente de 5 o de inclinación a una rapidez de 60 mi/h cuando se aplican los frenos, lo que provoca una fuerza de frenado total constante de 1 500 lb. Determinar la distancia que recorre el automóvil antes de detenerse. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
13-14
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.1 SOLUCIÓN: •
Evaluar el cambio en la energía cinética.
v1 60
mi 5280 ft
h 88 ft s h mi 3600 s
2 T 1 1 mv12 1 4000 32.288 481000 ft lb 2
v2 0 •
2
T 2 0
Determinar la distancia necesaria para igualar el cambio de energía cinética. U 12 1500 lb x 4000 lb sin 5 x 1151lb x T 1 U 12 T 2 481000 ft lb 1151 lb x 0 x 418 ft
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13-15
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.2 SOLUCIÓN: •
•
Dos bloques están unidos por un cable inextensible como se muestra. Si el sistema se suelta desde el reposo, determinar la velocidad del bloque A después de que se ha movido 2 m. Suponer que el coeficiente de fricción entre el bloque A y el plano es k = 0.25, y que la polea no tiene peso ni fricción. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Aplicar el principio de trabajo y la energía por separado a los bloques A y B. Cuando se combinan las dos relaciones, el trabajo de las fuerzas del cable se cancela. Resolver para la velocidad.
13-16
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.2 SOLUCIÓN: •
Aplicar el principio de trabajo y la energía por separado a los bloques A y B. W A 200 kg 9.81 m s2 1962 N F A µ k N A µ k W A 0.251962 N 490 N T 1 U 12 T 2 :
0 F C 2 m F A 2 m 1 m Av 2 2
F C 2 m 490 N 2 m 1 200 kg v 2 2
W B 300 kg 9.81 m s2 2940 N T 1 U 12 T 2 :
0 F c 2 m W B 2 m 1 m B v 2 2
F c 2 m 2940 N 2 m 12 300 kg v 2 © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
13-17
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.2 •
Cuando se combinan las dos relaciones, el trabajo de las fuerzas del cable se cancelan. Resolver para la velocidad. F C 2 m 490 N 2 m 1 200 kg v 2 2
F c 2 m 2940 N 2 m 12 300 kg v 2
2940 N 2 m 490 N 2 m 12 200 kg 300 kg v 2 4900 J
1 500 kg v 2 2
v 4.43 m s
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13-18
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.3 SOLUCIÓN: •
Se utiliza un resorte para detener un paquete de 60 kg que se desliza sobre una superficie horizontal. El resorte tiene una constante k = 20 kN/m y se sostiene mediante cables de manera que se encuentre inicialmente comprimido 120 mm. El paquete tiene una velocidad de 2.5 m/s en la posición que se ilustra y la máxima compresión del resorte es de 40 mm. Determinar a) el coeficiente de fricción cinética entre el paquete y la superficie, y b) la velocidad del paquete cuando éste pasa otra vez por la posición mostrada. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
•
Aplicar el principio de trabajo y la energía entre la posición inicial y el punto en que el resorte está completamente comprimido y la velocidad es cero. La única incógnita en la relación es el coeficiente de fricción. Aplicar el principio del trabajo y la energía para la recuperación del paquete. La única incógnita en la relación es la velocidad en la posición final.
13-19
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.3 SOLUCIÓN: Aplicar el principio del trabajo y la energía entre la posición inicial y el punto en que el resorte está totalmente comprimido. •
T 1 1 mv12 2
1 2
60 kg 2.5 m s2 187.5 J
T 2 0
U 12 f µk W x
µ k 60 kg 9.81m s2 0.640 m 377 J µ k Pmín kx0 20 kN m 0.120 m 2400 N Pmáx k x0 x 20 kN m 0.160 m 3200 N
U 12 e 12 Pmín Pmáx x 12 2400 N 3200 N 0.040 m 112.0 J U 12 U 12 f U 1 2 e 377 J µ k 112 J T 1 U 1 2 T 2 :
187.5 J - 377 J µ k 112 J 0 © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
µ k 0.20 13-20
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.3 •
Aplicar el principio del trabajo y la energía para la recuperación del paquete. 2 2 T 3 1 mv3 1 60kg v3
T 2 0
2
2
U 23 U 23 f U 23 e 377 J µ k 112 J
36.5 J T 2 U 23 T 3 :
0 36.5 J
1 2
60 kg v32 v3 1.103 m s
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13-21
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.4 SOLUCIÓN: •
•
Un vehículo de 2 000 lb parte del reposo en el punto 1 y desciende sin fricción por la pista que se ilustra.
•
Determinar: a) la fuerza que ejerce la pista sobre el vehículo en el punto 2, y
•
b) el valor mínimo seguro del radio de curvatura en el punto 3.
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Aplicar el principio del trabajo y la energía para determinar la velocidad en el punto 2. Aplicar la segunda ley de Newton para encontrar la fuerza normal de la pista en el punto 2. Aplicar el principio del trabajo y la energía para determinar la velocidad en el punto 3. Aplicar la segunda ley de Newton para encontrar el radio mínimo de curvatura en el punto 3, de tal manera que una fuerza normal positiva sea ejercida por la pista. 13-22
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.4 SOLUCIÓN: •
Aplicar el principio del trabajo y la energía para determinar la velocidad en el punto 2. T 1 0
T 2 1 mv22 2
1 W 2 g
v22
U 12 W 40 ft T 1 U 12 T 2 :
0 W 40 ft
v22 2 40 ft g 2 40 ft 32.2 ft s2 •
1 W 2 g
v22 v2 50.8 ft s
Aplicar la segunda ley de Newton para encontrar la fuerza normal de la pista en el punto 2. F n m an : W N m an N 5W
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W v22 g ρ2
W 2 40 ft g g
20 ft N 10000 lb 13-23
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.4 •
Aplicar el principio del trabajo y la energía para determinar la velocidad en el punto 3. T 1 U 13 T 3
0 W 25 ft
v32 2 25 ft g 2 25 ft 32.2 ft s •
1 W 2 g
v32
v3 40.1ft s
Aplicar la segunda ley de Newton para encontrar el radio mínimo de curvatura en el punto 3, de tal manera que una fuerza normal positiva sea ejercida por la pista. F n m an : W m an
W v32 g ρ3
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W 2 25 ft g g
ρ3
ρ3 50 ft
13-24
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.5 SOLUCIÓN: La fuerza ejercida por el cable del motor tiene la misma dirección que la velocidad del montacargas. La potencia enviada por el motor es igual a Fv D , v D = 8 ft/s. El montacargas D y su carga tienen un peso combinado de 600 lb, en tanto que el contrapeso C pesa 800 lb. Determinar la potencia entregada por el motor eléctrico M cuando el montacargas a) se mueve hacia arriba a una rapidez constante de 8 ft/s, y b) tiene una velocidad instantánea de 8 ft/s y una aceleración de 2.5 ft/s 2, ambas dirigidas hacia arriba. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
•
•
En el primer caso, los cuerpos están en movimiento uniforme. Determinar la fuerza ejercida por el cable del motor en condiciones de equilibrio estático. En el segundo caso, ambos cuerpos se están acelerando. Aplicar la segunda ley de Newton a cada cuerpo para determinar la fuerza requerida del cable del motor. 13-25
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.5 •
En el primer caso, los cuerpos están en movimiento uniforme. Determinar la fuerza ejercida por el cable del motor en condiciones de equilibrio estático. Cuerpo libre C : F y 0 :
2T 800 lb 0
T 400 lb
Cuerpo libre D: F y 0 : F T 600 lb 0 F 600 lb T 600 lb 400 lb 200 lb Potencia FvD 200 lb 8 ft s
1600 ft lb s Potencia 1600 ft lb s © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
1 hp 550 ft lb s
2.91 hp 13-26
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.5 •
En el segundo caso, ambos cuerpos se están acelerando. Aplicar la segunda ley de Newton a cada cuerpo para determinar la fuerza requerida del cable del motor. 2
2
a D 2.5 ft s
aC 1 a D 1.25 ft s 2
Cuerpo libre C : F y mC aC : 800 2T
800 32.2
1.25
T 384.5 lb
Cuerpo libre D: F y m D a D : F T 600
600
2.5 32.2 F 384.5 600 46.6
F 262.1 lb
Potencia FvD 262.1 lb8 ft s 2097 ft lb s Potencia 2097 ft lb s © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
1 hp 550 ft lb s
3.81 hp 13-27
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Energía potencial
•
Trabajo de la fuerza de gravedad W , U 12 W y1 W y2
•
El trabajo es independiente de la trayectoria seguida; depende sólo de los valores inicial y final de Wy. V g Wy
energía potencial del cuerpo respecto a la fuerza de gravedad . U 12 V g •
•
1
V g
2
El nivel de referencia desde el cual es medida la elevación y es arbitraria. Las unidades de trabajo y energía potencial son las mismas: V g Wy N m J
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13-28
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Energía potencial •
•
•
La anterior expresión para la energía potencial de un cuerpo con respecto a la gravedad sólo es válida cuando el peso del cuerpo permanece constante. Para un vehículo espacial, la variación de la fuerza de la gravedad con la distancia desde el centro de la Tierra debe ser considerada. Trabajo de la fuerza gravitacional, U 12
•
GMm r 2
GMm r 1
Energía potencial V g cuando la variación en la fuerza de la gravedad no puede ignorarse, V g
GMm
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r
WR 2 r 13-29
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Energía potencial •
El trabajo de la fuerza ejercida por un resorte depende sólo de las desviaciones iniciales y finales del resorte, U 12 1 kx12 1 kx22 2
•
2
La energía potencial del cuerpo con respecto a la fuerza elástica, V e 1 kx2 2
U 12 V e 1 V e 2 •
Obsérvese que V e sólo es válida si las deformaciones del resorte se miden a partir de su posición no deformada.
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13-30
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Fuerzas conservativas •
•
El concepto de energía potencial puede aplicarse si el trabajo de la fuerza es independiente de la trayectoria seguida por su punto de aplicación. U 12 V x1 , y1 , z1 V x2 , y2 , z2 Esas fuerzas se describen como fuerzas conservativas. Para cualquier fuerza conservativa aplicada en una trayectoria cerrada,
F d r 0 •
Trabajo elemental correspondiente al desplazamiento entre dos puntos vecinos, dU V x, y, z V x dx, y dy, z dz dV x, y, z V V V dx dy dz y z x
F xdx F ydy F z dz
V V V grad V z x y
F
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13-31
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Conservación de la energía •
Trabajo de una fuerza conservativa, U 12 V 1 V 2
•
Concepto de trabajo y energía, U 12 T 2 T 1
•
Se deduce que T 1 V 1 T 2 V 2 E T V constante
T 1 0 V 1 W
•
T 1 V 1 W T 2 1 mv22 2
1 W 2 g
2 g W
V 2 0
•
T 2 V 2 W
Cuando una partícula se mueve bajo la acción de fuerzas conservativas, la energía mecánica total es constante. Las fuerzas de fricción son no conservativas. La energía mecánica total de un sistema implica disminución de la fricción.
La energía mecánica se disipa por la fricción en energía térmica. La energía total es constante. 13-32 © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. •
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Movimiento bajo una fuerza central conservativa •
Cuando una partícula se mueve bajo una fuerza central conservativa, tanto el principio de conservación de la cantidad de movimiento angular r 0 mv0 senφ0 rmv senφ
como el principio de conservación de la energía T 0 V 0 T V 1 mv 2 GMm 1 mv 2 GMm 0 2 2 r 0 r
pueden ser aplicados. •
•
Dada r , las ecuaciones pueden ser resueltas para v y Para los valores mínimo y máximo de r , j 90o. Dadas las condiciones de lanzamiento, las ecuaciones pueden ser resueltas para r mín , r máx , vmín y vmáx.
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13-33
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.6 SOLUCIÓN: •
•
Un collarín de 20 lb se desliza sin fricción a lo largo de una varilla vertical, como se ilustra. El resorte unido al collarín tiene una longitud no deformada de 4 in. y una constante de 3 lb/in.
•
Aplicar el principio de la conservación de la energía entre las posiciones 1 y 2. La energías potenciales elástica y gravitacional en 1 y 2 se evalúan por la información dada. La energía cinética inicial es cero. Resolver para la energía cinética y la velocidad en 2.
Si el collarín se suelta desde la posición de reposo 1, determinar su velocidad después que se ha movido 6©in. hasta la posición 2. Inc. All rights reserved. 2010 The McGraw-Hill Companies,
13-34
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.6 SOLUCIÓN: •
Aplicar el principio de la conservación de la energía entre las posiciones 1 y 2. Posición 1: V e 12 kx12 12 3 lb in.8 in. 4 in.2 24 in. lb V 1 V e V g 24 in. lb 0 2 ft lb T 1 0
Posición 2: V e 12 kx22 12 3 lb in.10 in. 4 in.2 54 in. lb V g Wy 20 lb 6 in. 120 in. lb V 2 V e V g 54 120 66 in. lb 5.5 ft lb T 2 1 mv22 2
1 20 2 32.2
v22 0.311v22
Conservación de la energía: T 1 V 1 T 2 V 2
0 2 ft lb 0.311v22 5.5 ft lb v2 4.91ft s © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
13-35
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.7 SOLUCIÓN: •
•
Un objeto de 0.5 lb se empuja contra el resorte y se suelta desde el reposo en A. Ignorando la fricción, determinar la deformación mínima del resorte para la cual el objeto se desplazará alrededor del aro y permanecerá en contacto con él todo el tiempo. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Puesto que el objeto debe permanecer en contacto con el aro, la fuerza ejercida sobre él debe ser igual o mayor que cero. Estableciendo en cero la fuerza ejercida por el aro, resolver para la velocidad mínima en D. Aplicar el principio de conservación de la energía entre los puntos A y D. Resolver para la deformación del resorte necesaria para producir la velocidad requerida y la energía cinética en D.
13-36
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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.7 SOLUCIÓN: •
Estableciendo en cero la fuerza ejercida por el aro, resolver para la velocidad mínima en D. F n man : W man
2 mg m v D r
2 v D rg 2 ft 32.2 ft s 64.4 ft 2 s2 •
Aplicar el principio de conservación de la energía entre los puntos A y D. V 1 V e V g 1 kx2 0 2
1 2
36 lb ft x2 18 x2
T 1 0 V 2 V e V g 0 Wy 0.5 lb 4 ft 2 ft lb 2 T 2 1 mv D 2
1
0.5 lb
2 64.4 ft 2 s2 0.5 ft lb
2 32.2 ft s
T 1 V 1 T 2 V 2
0 18 x2 0.5 2 © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
x 0.3727 ft 4.47 in. 13-37
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.9 SOLUCIÓN: •
Un satélite es lanzado en dirección paralela a la superficie de la Tierra con una velocidad de 36 900 km/h desde una altura de 500 km. Determinar a) la altura máxima alcanzada por el satélite, y b) el error máximo permisible en la dirección de lanzamiento si el satélite va a entrar a una órbita a 200 km de la superficie terrestre.
•
•
Para el movimiento bajo una fuerza central conservativa, los principios de conservación de la energía y la conservación del momento angular se pueden aplicar de manera simultánea. Aplicar los principios a los puntos de la altitud mínima y máxima para determinar la altitud máxima. Aplicar los principios hasta el punto de inserción en órbita y el punto de altitud mínima para determinar la inserción de error máximo admisible de la órbita de ángulo.
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13-38
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.9 •
Aplicar los principios de conservación de la energía y la conservación del momento angular de los puntos de la altitud mínima y máxima para determinar la altitud máxima. Conservación de la energía: T A V A T A V A
1 2
mv 02
GMm r 0
1 2
mv 12
GMm
Conservación de la cantidad de movimiento angular: r 0mv0 r 1mv1
v1 v0
Combinando, 2 1 v 2 1 r 0 2 0 2 r 1
r 1
r 0 r 1
GM r 0 1 r 0 r 1
1
r 0 r 1
2GM r 0v02
r 0 6370 km 500 km 6870 km v0 36900 km h 10.25 106 m s
GM gR 2 9.81m s2 6.37 106 m r 1 60.4 106 m 60400 km
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2 398 1012 m3 s2 13-39
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.9 •
Aplicar los principios hasta el punto de inserción en órbita y el punto de altitud mínima para determinar la inserción de error máximo admisible de la órbita de ángulo. Conservación de la energía: T 0 V 0 T A V A
1 2
mv02
GMm r 0
2 12 mvmáx
GMm r mín
Conservación de la cantidad de movimiento angular: r 0 mv0senφ0 r mín mvmáx
vmáx v0senφ0
r 0 r mín
Combinando y resolviendo para sen 0, senφ0 0.9801 error permisible 11.5 ϕ0 90 11.5
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13-40
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Principio del impulso y la cantidad de movimiento •
De la segunda ley de Newton,
F
d dt
mv
mv cantidad de
movimiento lineal
F dt d mv t 2
F dt mv2 mv1
t 1 •
•
Las dimensiones del impulso de una fuerza son fuerza*tiempo.
t 2
t 1
mv1 Imp12 mv2
Las unidades para el impulso de una fuerza son N s kg m s2 s kg m s
de la fuerza F F dt Imp12 impulso
•
La cantidad de movimiento final de la partícula puede obtenerse al sumar vectorialmente su cantidad de movimiento inicial y el impulso de la fuerza durante el intervalo de tiempo.
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13-41
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Movimiento impulsivo •
Una fuerza que actúa sobre una partícula durante un breve intervalo lo suficientemente grande para causar un cambio significativo en la cantidad de movimiento se conoce como fuerza impulsiva.
•
Cuando actúan fuerzas impulsivas sobre una partícula, mv1
•
•
F t mv2
Cuando una pelota de beisbol es golpeada por un bate, el contacto se produce en un intervalo de tiempo corto, pero la fuerza es suficientemente grande para cambiar el sentido del movimiento de la pelota. no impulsivas son aquellas en las Las fuerzas que F t es pequeño y, por lo tanto, se puede despreciar.
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13-42
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.10 SOLUCIÓN: •
Aplicar el principio del impulso y la cantidad de movimiento. El impulso es igual al producto de las fuerzas constantes y al intervalo de tiempo.
Un automóvil que pesa 4 000 lb desciende por una pendiente de 5 o a una rapidez de 60 mi/h cuando se aplican los frenos, lo que provoca una fuerza de frenado total constante de 1 500 lb. Determinar el tiempo que se requiere para que el automóvil se detenga.
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13-43
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.10 SOLUCIÓN: Aplicar el principio del impulso y la cantidad de movimiento. •
mv1 Imp12 mv2
Teniendo componentes paralelos a la pendiente, mv1 W sen5t Ft 0
4000 88 ft s 4000sen5t 1500t 0 32.2 t 9.49 s
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13-44
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.11 SOLUCIÓN: •
Aplicar el principio del impulso y la cantidad de movimiento en términos de las ecuaciones componentes horizontal y vertical.
Una pelota de beisbol de 4 oz se lanza con una velocidad de 80 ft/s. Después de que la pelota es golpeada por el bate, adquiere una velocidad de 120 ft/s en la dirección mostrada. Si el bate y la bola están en contacto 0.015 s, determinar la fuerza impulsiva promedio ejercida sobre la pelota durante el impacto. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
13-45
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.11 SOLUCIÓN: •
Aplicar el principio del impulso y la cantidad de movimiento en términos de las ecuaciones componentes horizontal y vertical.
mv1 Imp1 2 mv2
componente x de la ecuación: mv1 F xt mv2 cos 40
4 16
80 F x 0.15
32.2 F x 89 lb
4 16 32.2
120 cos 40
componente y de la ecuación: 0 F yt mv2sen 40
y
x
F y 0.15
4 16
32.2 F y 39.9 lb
120 cos 40
F 89 lb i 39.9 lb j , © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
F 97.5 lb 13-46
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.12 SOLUCIÓN: •
Un paquete de 10 kg cae desde una rampa en un carro de 25 kg a una velocidad de 3 m/s. Si el carro está al inicio en reposo y puede rodar libremente, determinar a) la velocidad final del carro, b) el impulso ejercido por el carro sobre el paquete, y c) la fracción de la energía inicial perdida en el impacto. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
•
Se aplica el principio del impulso y la cantidad de movimiento al sistema paquete-carro para determinar la velocidad final. Se aplica el mismo principio al paquete sólo para determinar el impulso ejercido sobre éste desde el cambio en su cantidad de movimiento.
13-47
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.12 SOLUCIÓN: •
Se aplica el principio del impulso y la cantidad de movimiento al sistema paquete-carro para determinar la velocidad final. y
x
m p v1 Imp1 2 m p mc v2
componentes de x:
m p v1 cos30 0 m p mc v2
10 kg 3 m/s cos30 10 kg 25 kg v2 v2 0.742 m/s
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13-48
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.12 •
Se aplica el mismo principio al paquete sólo para determinar el impulso ejercido sobre éste desde el cambio en su cantidad de movimiento. y
x
m p v1 Imp1 2 m p v2
componentes de x:
m p v1 cos30 F xt m p v2
10 kg 3 m/s cos30 F xt 10 kg v2
F xt 18.56 N s
componentes de y: m p v1sen30 F yt 0 10 kg 3 m/ssen30 F yt 0
F yt 15 N s
Imp1 2 F t 18.56 N si 15 N s j © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
F t 23.9 N s
13-49
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.12
Para determinar la fracción de energía perdida, T 1 1 m p v12 2
T 1
1 2
10 kg 3 m s2 45 J
m p mc v22 12 10 kg 25 kg 0.742 m s2 9.63 J
T 1 T 2 T 1
1 2
45 J 9.63 J 45 J
0.786
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13-50
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Impacto •
Impacto: Colisión que se produce entre dos
cuerpos durante un intervalo de tiempo, en el cual dichos cuerpos ejercen grandes fuerzas entre sí. Normal común a las superficies en contacto durante el impacto.
•
Línea de impacto:
•
Impacto central:
Impacto central directo
Impacto en el que los centros de masa de los dos cuerpos se encuentran en la línea de impacto; de lo contrario, es un impacto excéntrico.
Impacto central oblicuo
Impacto en el que las velocidades de dos cuerpos se dirigen a lo largo de la línea de impacto.
•
Impacto directo:
•
Impacto oblicuo:
Impacto en el cual uno o ambos cuerpos se mueven a lo largo de una línea que no sea la línea de impacto.
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13-51
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Impacto central directo •
•
•
•
Cuerpos que se mueven en la misma línea recta, v A > v B . Después del impacto los cuerpos sufren un periodo de deformación, al final del cual están en contacto y en movimiento a una velocidad común. Un periodo de restitución se presenta cuando los cuerpos recuperan su forma original o permanecen deformados. Para determinar las velocidades finales de los dos cuerpos, la cantidad de movimiento total del sistema de los dos cuerpos se conserva, m B v B m Av A m B v B m B v B
•
Se requiere una segunda relación entre las velocidades finales.
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13-52
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Impacto central directo e coeficient e de restitución
Periodo de deformación: m Av A Pdt m Au
•
Rdt u v Pdt v u A
A
•
•
•
•
•
Periodo de restitución:
m Au Rdt m AvA
0 e 1
u v B
Un análisis similar de la partícula B conduce a
e
La combinación de las relaciones conduce a la segunda relación deseada entre las velocidades finales.
v A e v A v B v B
Impacto perfectamente plástico, e = 0:
m Av A m B v B m A m B v
v A v v B
= 1: Energía total y cantidad de movimiento ©conservado. 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Impacto perfectamente elástico, e
u v B
v A v A v B v B 13-53
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica Mecá nica vec vectoria toriall para ingeniero ingenieros: s: Dinámica Dinámica Impacto central oblicuo •
•
•
•
Ningún componente tangencial de impulsos; el componente tangencial de la cantidad de movimiento de cada partícula se conserva. El componente normal de la cantidad de movimiento total de las dos partículas se conserva. Los componentes normales de las velocidades relativas antes y después del impacto están relacionados por el coeficiente de restitución.
v A t v A t
Se desconoce la magnitud y dirección de las velocidades finales. Se requieren cuatro ecuaciones.
v B t v B t
n m B v B n m A v A n m B v B n m A v A
v B n v A n e v A n v B n
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13-54
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica Mecá nica vec vectoria toriall para ingeniero ingenieros: s: Dinámica Dinámica Impacto central oblicuo •
Bloque obligado a moverse a lo largo de la superficie horizontal.
•
•
Los impulsos de las fuerzas internas F y F a lo largo del eje n y de la fuerza externa F ext ejercida por la superficie horizontal y la vertical a lo largo de la superficie y dirigido a lo largo de la vertical a la superficie. Velocidad final de la pelota en dirección desconocida, y magnitud y velocidad de magnitud desconocida. Son necesarias tres ecuaciones.
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13-55
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica Mecá nica vec vectoria toriall para ingeniero ingenieros: s: Dinámica Dinámica Impacto central oblicuo
•
•
•
•
La cantidad de movimiento tangencial de la bola se conserva. La cantidad de movimiento total horizontal del bloque y la pelota se conserva.
v B t v B t m B v B x m A v A m B v B x m A v A
v B n v A n e v A n v B n El componente normal de las velocidades relativas del bloque y la pelota está relacionado por el coeficiente de restitución. Nota: La validez de la última ú ltima expresión no resulta de la relación anterior por el coeficiente de restitución. Es necesaria una derivación d erivación similar, similar, pero por p or separado. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
13-56
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problemas en los que interviene la energía y la cantidad de movimiento •
•
Tres métodos para el análisis de la cinética de los problemas: - Aplicación directa de la segunda ley de Newton - Método de trabajo y energía - Método del impulso y de la cantidad de movimiento Seleccionar el método más adecuado para el problema o parte de un problema en cuestión.
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13-57
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.14 SOLUCIÓN: •
•
Una pelota es lanzada contra una pared vertical sin fricción. Inmediatamente antes de que la pelota golpee la pared, su velocidad tiene una magnitud v y forma un ángulo de 30o con la horizontal. Si se sabe que e = 0.90, determinar la magnitud y dirección de la velocidad de la pelota cuando ésta rebota en la pared.
•
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Resolver la velocidad de la pelota en componentes normales y tangenciales a la pared. El impulso ejercido por la pared es normal a la pared. El componente de la cantidad de movimiento tangencial de la pelota se conserva. Suponer que la pared tiene una masa infinita para que la velocidad de la pared antes y después del impacto sea nula. Aplicar el coeficiente de la relación de restitución para encontrar el cambio en la velocidad relativa normal entre la pared y la pelota, es decir, la velocidad normal de la pelota. 13-58
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.14 SOLUCIÓN: •
Resolver la velocidad de la pelota en componentes normales y tangenciales a la pared. vn v cos 30 0.866v
•
vt v sen30 0.500v
El componente de la cantidad de movimiento tangencial de la pelota se conserva. vt vt 0.500v
t •
n
Aplicar el coeficiente de la relación de restitución con cero velocidad de la pared. 0 vn e vn 0 vn 0.9 0.866v 0.779v
v 0.926v
tan 1
v 0.779v λn 0.500v λt
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0.779 32.7 0 . 500 13-59
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.15 SOLUCIÓN: •
•
La magnitud y dirección de las velocidades de dos pelotas idénticas sin fricción antes de que choquen entre sí son como se ilustra.
•
Resolver las velocidades de las pelotas en componentes normal y tangencial al plano de contacto. El componente tangencia de la cantidad de movimiento para cada pelota se conserva. El componente total normal de la cantidad de movimiento del sistema de las dos pelotas se conserva.
Las velocidades normales relativas de las pelotas están relacionadas por el Suponiendo que e = 0.9, coeficiente de restitución. determinar la magnitud y Resolver las dos últimas ecuaciones de dirección de la velocidad de cada manera simultánea para las velocidades pelota después del impacto. normales de las pelotas después del impacto. 13-60 © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. •
•
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.15 SOLUCIÓN: Resolver las velocidades de las pelotas en componentes normal y tangencial al plano de contacto. v A t vAsen30 15.0 ft s v A n v A cos30 26.0 ft s •
v B n vB cos60 20.0 ft •
v B t vB sen60 34.6 ft s
El componente tangencia de la cantidad de movimiento para cada pelota se conserva. v A t v A t 15.0 ft
•
s
s
v B t v B t 34.6 ft
s
El componente total normal de la cantidad de movimiento del sistema de las dos pelotas se conserva. n m B v B n m A v A n m B v B n m A v A n m v B n m 26.0 m 20.0 m v A
v A n v B n 6.0 © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
13-61
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.15 •
Las velocidades normales relativas de las pelotas están relacionadas por el coeficiente de restitución. v A n v B n e v A n v B n 0.90 26.0 20.0 41.4
•
Resolver las dos últimas ecuaciones de manera simultánea para las velocidades normales de las pelotas después del impacto. v A n 17.7 ft
v B n 23.7 ft
s
s
17.7λt 15.0λn v A
n
15.0 40.3 17 . 7
23.2 ft s tan 1 v A
v B 23.7λt 34.6λn t
34.6 55.6 23.7
41.9 ft s tan 1 v B
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13-62
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.16 SOLUCIÓN: •
•
•
La pelota B cuelga de una cuerda inextensible. Una pelota idéntica A se suelta desde el reposo cuando apenas toca la cuerda y adquiere una velocidad v0 antes de chocar con la pelota B. Suponiendo un impacto perfectamente elástico (e = 1) y ninguna fricción, determinar la velocidad de cada pelota inmediatamente después del impacto.
•
•
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Determinar la orientación de la línea de impacto de la acción. El componente de la cantidad de movimiento de la pelota A tangencial al plano de contacto se conserva. La cantidad de movimiento total horizontal del sistema de dos pelotas se conserva. Las velocidades relativas a lo largo de la línea de acción antes y después del impacto están relacionadas por el coeficiente de restitución. Resolver las dos últimas expresiones de la velocidad de la pelota A a lo largo de la línea de acción y la velocidad de la pelota B, que es horizontal. 13-63
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.16 SOLUCIÓN: senθ
θ 30
r
2r
0.5
•
•
Determinar la orientación de la línea de impacto de la acción. El componente de la cantidad de movimiento de la pelota A tangencial al plano de contacto se conserva.
mv A F t mv A mv0sen30 0 m v A t
•
v A t 0.5v0 La cantidad de movimiento total horizontal (componente x) del sistema de dos pelotas se conserva.
mv A T t mv A mv B
0 m v A t cos30 m v A n sen30 mv B 0 0.5v0 cos30 v A n sen30 v B 0.5 v A n v B 0.433v0 © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
13-64
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.16 •
Las velocidades relativas a lo largo de la línea de acción antes y después del impacto están relacionadas por el coeficiente de restitución. v B n v A n e v A n v B n v B sen30 v A n v0 cos 30 0 0.5v B v A n 0.866v0
•
Resolver las dos últimas expresiones de la velocidad de la pelota A lo largo de la línea de acción y la velocidad de la pelota B, que es horizontal. v A n 0.520v0
0.693v0 v B
0.5v0λt 0.520v0λn v A 0.721v0 v A
0.52 46.1 0.5
β tan 1
α 46.1 30 16.1
0.693v0 v B © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
13-65
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.17 SOLUCIÓN: •
•
Un bloque de 30 kg se deja caer desde una altura de 2 m sobre el plato de 10 kg de una balanza de resorte. Suponiendo que el impacto es perfectamente plástico, determinar el desplazamiento máximo del plato. La constante del resorte es k = 20 kN/m.
•
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Aplicar el principio de la conservación de la energía para determinar la velocidad del bloque en el instante del impacto. Dado que el impacto es perfectamente plástico, el bloque y el plato se mueven juntos a la misma velocidad después del impacto. Determinar si la velocidad requerida para la cantidad de movimiento total del bloque y el plato se conserva. Aplicar el principio de la conservación de la energía para determinar la deformación máxima del resorte. 13-66
e N d o i v c i e ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 13.17 SOLUCIÓN: •
Aplicar el principio de la conservación de la energía para determinar la velocidad del bloque en el instante del impacto. T 1 0
V 1 W A y 30 9.81 2 588 J 2
T 2 1 m A v A 2 2
1 2
30 v A 22
V 2 0
T 1 V 1 T 2 V 2
0 588 J •
1 2
30 v A 22 0
v A 2 6.26 m
s
Determinar si la velocidad requerida para la cantidad de movimiento total del bloque y el plato se conserva. m A v A 2 m B v B 2 m A m B v3
30 6.26 0 30 10 v3
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v3 4.70 m s
13-67
