Capítulo 13
Gravímetros
Índice 13.1 Generalidades ........................................................................................................... 2 13.2 Gravímetros relativos ............................................................................................... 2 13.2.1 Principio de funcionamiento.............................................................................. 2 13.2.2 Dificultades constructivas ................................................................................. 3 13.2.3 Método de medición .......................................................................................... 4 13.2.4 Gravímetro marino Askania Gss 3 .................................................................... 4 13.2.5 Gravímetro Lacoste & Romberg ....................................................................... 6 Electrónica agregada ............................................................................................... 7 Indicador electrónico de posición de la masa .......................................................... 8 Balance electrostático .............................................................................................. 8 Nivel electrónico ....................................................................................................... 9 13.2.6 Gravímetros con resortes virtuales ................................................................... 9 13.2.7 Gravímetro marino BGM-3 ............................................................................. 10 13.2.8 Gravímetros de pozo........................................................................................ 11 13.3 Gravímetros absolutos ............................................................................................ 12 13.3.1 Caída libre ....................................................................................................... 12 Análisis de errores .................................................................................................. 13 13.3.2 Gravímetro JILA ............................................................................................. 15 13.3.3 Tiro vertical ..................................................................................................... 17 Ventajas y desventajas ............................................................................................ 18 13.4 Bibliografía ............................................................................................................. 19
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13.1 Generalidades Los sensores de gravedad pueden dividirse en dos categorías: absolutos y relativos. Un gravímetro absoluto mide el valor local de la gravedad cada vez que realiza una medición mientras que un gravímetro relativo mide la diferencia en la gravedad entre dos mediciones. Para fines exploratorios es suficiente emplear instrumentos relativos. Los instrumentos absolutos son más costosos, de mayor tamaño, requieren mayor tiempo para lograr mediciones precisas y requieren de mayor conocimiento y habilidad para su empleo que los instrumentos relativos.
13.2 Gravímetros relativos Los gravímetros relativos poseen similitud constructiva con los sismómetros verticales de largo período. Solamente veremos los gravímetros portátiles basados en el conjunto masa-resorte y, en particular, los que utilizan algún tipo de control o medición electrónica.
Fig. 13.1: gravímetros Worden (izquierda) y Lacoste & Romberg (derecha) de la FCAGLP.
13.2.1 Principio de funcionamiento Un medidor de gravedad o gravímetro se puede ver como una balanza extremadamente sensible. Debe ser capaz de medir cambios en la fuerza de atracción de la masa tan pequeños como una parte en 107 (0.1 mGal) o menores aún, y en un rango de variación mundial del orden de 5000 mGal ( 9.78 m / s 2 en el ecuador y 9.83 m / s 2 en los polos). Para cumplir con estas exigencias se han tenido que desarrollar dispositivos mecánicos muy refinados.
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Fig. 13.2: Gravímetro relativo elemental.
Para analizar el principio de funcionamiento calculemos, en un sistema simple como el de la figura 13.2, la relación de la sensibilidad con el período natural de oscilación. La elongación del resorte debida a la fuerza de atracción mg es: mg (13.1) d [m] k Donde m es la masa [kg], g la aceleración de la gravedad [m/s2] y k la constante del resorte [N/m]. Sabemos que este sistema es un oscilador mecánico cuyo período de oscilación libre es: m m T2 T 2 (13.2) k k 4 2 Entonces, reemplazando en la ecuación (13.1) se tiene que: T2 (13.3) d 2g 4 Para pequeños cambios de g se puede escribir: T2 (13.4) d 2 g 4 Por lo que es posible calcular la sensibilidad como: d T 2 S (13.5) g 4 2 Concluimos entonces que la sensibilidad es proporcional al cuadrado del período. Esto significa que los gravímetros sensibles poseen períodos naturales de oscilación muy largos. 13.2.2 Dificultades constructivas Como acabamos de ver, para lograr instrumentos útiles (muy sensibles) deberán ser construidos con muy largo período propio. Este problema coincide con los que tuvieron los diseñadores de sismógrafos verticales para bajas frecuencias, siendo todavía más delicado en los gravímetros pues se trata de medir señales de cambio muy lento, es decir, deben ser mecánicamente estables y responder desde frecuencias de señal cero (CC). Esto último inhabilita la posibilidad de usar el práctico y confiable sensor electrodinámico para tomar la señal. La elevada sensibilidad necesaria y la obligación de responder a cambios muy lentos hacen que el instrumento sea muy perturbado por efectos no gravitacionales Instrumental Geofísico y Electrónico
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como son la temperatura, inclinación, presión atmosférica y campos magnéticos. Por lo que el diseño debe contemplar la eliminación o al menos la compensación de estos efectos. Factores térmicos: habitualmente se eliminan usando componentes de bajo coeficiente de dilatación y alojando al sistema sensible dentro de cámaras térmicas con control automático de temperatura. Se suelen montar dentro de vasos Dewar como una forma de aislarlo del ambiente externo con las resistencias de calefacción en su interior, además esto hace bajar la potencia necesaria de calefacción, redundando en mayor duración de las baterías en campaña. Efectos barométricos: actúan cambiando las condiciones de flotación de las partes mecánicas móviles, se suelen agregar celdas de compensación (boyas). Sensibilidad a la nivelación: está muy relacionada al diseño mecánico, pues, en realidad, implica un cierto grado de sensibilidad lateral. Perturbaciones magnéticas: se eliminan usando materiales no ferrosos en la construcción del resorte y de las partes móviles, por ejemplo, cuarzo como material para palancas y resortes (Worden). En el caso de haber usado algún material ferroso (L&R) se recurre al blindaje de todo el conjunto con láminas de material de elevada permeabilidad magnética (mumetal) que actúa desviando el campo magnético del interior, obligándolo a pasar por las paredes. Por último, un buen gravímetro de campo deberá presentar la suficiente robustez como para soportar los traslados y el trato de campaña. 13.2.3 Método de medición En cuanto al método de medición diremos que, como vimos, se trata de medir el desplazamiento de la masa producido por un cambio en g. Como este desplazamiento es extremadamente pequeño, no resulta práctico realizar su medición en forma directa, se ha intentado mediante luz e interferometría, pero es muy grande el rango de cobertura y son muy elevadas la resolución y linealidad necesarias. Siendo que los valores a medir son prácticamente estacionarios, esto significa que hay tiempo para realizar una medición, entonces se recurre al método de cero o de balance (nulling), que consiste en medir la fuerza necesaria para restaurar el sistema mecánico a la posición original. De esta forma ni la masa ni el resorte cambian demasiado de posición, logrando incluso, disminuir los efectos de histéresis mecánica que suelen presentar los resortes al cambiar su estiramiento un cantidad apreciable. Este método permite, además, restringir con topes el movimiento de la masa, aumentando así la robustez del instrumento. Un modo rudimentario se insinúa en la figura 13.2, una vez producido g se restaura la posición original de la masa girando el tornillo ubicado en el extremo del resorte opuesto a la masa. Este tornillo tiene un paso de mucha precisión (por ejemplo 1 mm / vuelta ) y posee un dial calibrado, la lectura de sus divisiones corresponde directamente al desplazamiento producido en el punto de vinculación al resorte, es decir, al cambio de gravedad que se desea medir. 13.2.4 Gravímetro marino Askania Gss 3 Este instrumento fue concebido para realizar mediciones en forma remota, pues se lo fija en el fondo del mar en una cámara especial y mediante un cable se controla y mide desde un barco cercano.
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Fig. 13.3: Gravímetro marino Askania Gss 3.
Como se esquematiza en la figura 13.3 se basa en una masa tubular (T) suspendida de un resorte que tiene limitado su movimiento a un solo grado de libertad, condición lograda con un conjunto de láminas elásticas (L) que le permiten solamente movimientos verticales. En la parte inferior se fija la bobina de un transductor electrodinámico. La posición de la masa es sensada por un transductor capacitivo de desplazamiento (C) con detector sincrónico (ver capítulo 9) ubicado en la parte superior. El transductor electrodinámico (TED) cuya bobina está formando parte de la masa tubular y su imán es solidario a la caja, actúa aplicando la fuerza necesaria para mantener la masa en la posición de origen. Podemos explicar su funcionamiento estableciendo ecuaciones muy sencillas: al producirse una variación g la masa trata de moverse, el transductor de desplazamiento lo detecta y produce una señal de error que, mediante un amplificador, aplica una corriente al TED para reestablecer el equilibrio, en ese punto vale: F m g Gm i (13.6) Donde Gm es la constante del TED [N/A] y m es la masa del tubo más la bobina del TED [kg]. Luego: G g m i (13.7) m Es decir que las variaciones de g están representadas por las variaciones de la corriente i. Esta corriente, aplicada sobre una resistencia, se convierte en una tensión que es la salida del instrumento, la cual puede ser registrada o transformada en valores digitales usando un conversor analógico digital. Para evitar los problemas de nivelación, todo el conjunto se monta en una plataforma especial giroestabilizada para mantener perfectamente la vertical. Los problemas térmicos se minimizan manteniendo la temperatura constante mediante resistencias de calefacción y un control automático de temperatura. Es un instrumento que permite medir con una resolución de 0.1 mGal en tierra y 1 mGal en el mar. Instrumental Geofísico y Electrónico
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La interpretación de la medición en el mar es más complicada que en tierra pues los datos adquiridos contienen además del valor de g, las componentes producidas por el inevitable movimiento de la caja del instrumento en contacto con el agua. Estas son, en general, de más alta frecuencia y se eliminan mediante filtrado, realizando previamente un análisis espectral, las frecuencias más bajas son las que corresponden al dato de interés. 13.2.5 Gravímetro Lacoste & Romberg Fue descrito por primera vez por Lucien Lacoste en 1934. Es básicamente un sismógrafo vertical de largo período, resuelto con el resorte de longitud cero de su invención que permite, teóricamente, un período de oscilación natural infinito. La masa se encuentra adosada a un brazo o barra horizontal que pivotea a través de una lámina elástica o gozne. Un resorte de longitud cero sostiene el conjunto desde una inclinación de alrededor de 45 grados como se ve en el esquema simplificado de la figura 13.4.
Fig. 13.4: Esquema del gravímetro LaCoste & Romberg.
La diferencia constructiva importante respecto del sismógrafo mencionado es que el punto superior de fijación del resorte principal no es fijo a la caja, sino que es desplazable a través de un sistema mecánico de balance y medición compuesto por una ingeniosa combinación de palancas p1, p2, p3 y p4, que se acciona con un tornillo de paso fino con una perilla con dial graduado. Al girar el tornillo se desplaza ligeramente el punto superior de amarre del resorte. La posición de la masa se controla observando un retículo con un microscopio no representado en la figura. Un dial graduado solidario al tornillo provee una lectura que en una cierta escala corresponde al valor g buscado. El período natural de oscilación es de alrededor de 15 s. El amortiguamiento del sistema se logra con un conjunto de copas concéntricas que desplazan el aire entre ellas y se ajusta en fábrica en un 70 % ( h 0.7 ). La nivelación del instrumento se realiza con tres tornillos y observando 2 niveles de burbuja ubicados ortogonalmente. En la figura 13.5 se ve con más detalle su construcción. A pesar de ser un instrumento de construcción totalmente metálica, se usan muy pocos metales ferrosos. Aún así, y para minimizar los efectos de los campos magnéticos externos, todo el conjunto está blindado con doble hoja de mumetal, material de elevada permeabilidad magnética.
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Fig. 13.5: Gravímetro LaCoste & Romberg.
Para disminuir la influencia de la presión atmosférica, todo el conjunto está herméticamente cerrado, además se ha colocado sobre el brazo de la masa una pequeña boya de material muy liviano que compensa la flotación de las partes móviles. La sensibilidad a la temperatura se atenúa colocando todo el mecanismo en una caja aislada térmicamente y calefaccionada con control automático que mantiene la temperatura interior a una temperatura superior a la esperable en ambientes muy calurosos, es fijada en 54 °C. Con estos instrumentos se logran lecturas puntuales con resolución de 0.01 mGal, en un rango de cobertura de unos 7000 mGal, y en otros modelos hasta 0.001 mGal que se logran en varios alcances de 200 mGal que se centran en la zona a medir mediante un dispositivo de balance grueso que suele denominarse reset, no representado en la figura 13.5. En la figura 13.6 se puede ver un registro de mareas terrestres obtenido en el Departamento de Gravimetría de la Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas de la UNLP.
Fig. 13.6: registro de mareas terrestres con el gravímetro L&R en la FCAGLP.
Electrónica agregada Sobre la base de la mecánica bien probada de este instrumento (Lacoste & Romberg), los mismos fabricantes ofrecen como opciones, dispositivos electrónicos que permiten realizar mediciones en forma remota. De esta manera se lo puede usar para medir en el fondo del mar, convenientemente alojado en una cámara ad-hoc, o también como instrumento de observatorio en el registro continuo de mareas terrestres.
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Las opciones ofrecidas son nivel electrónico (tipo líquido o tipo péndulo), balance electrostático de la posición de la masa y medición (analógico o digital) y un indicador electrónico de posición. Las describiremos someramente: Indicador electrónico de posición de la masa A los efectos de sensar la posición de la masa se agrega un transductor capacitivo simétrico con las placas móviles solidarias a la masa y fijas a la caja del instrumento. El circuito electrónico es similar al que hemos descrito en el capítulo 9. El circuito acciona un instrumento de aguja con cero absoluto al centro. Esta forma de controlar la posición de la masa reduce el cansancio del observador pues se trata de girar el tornillo hasta que la aguja del instrumento marque cero en lugar de mirar unas líneas por el ocular de un microscopio. Al disponer de electrónica se logra una elevada sensibilidad en el procedimiento de ajuste del cero. Usando la salida analógica de tensión para conectarla a un registrador de banda de papel o a un Conversor Analógico Digital (CAD), se pueden registrar en forma continua los cambios de g y obtener los datos en forma numérica.
Fig. 13.7: Indicador electrónico de posición de la masa.
Balance electrostático Aprovechando las posibilidades de producir pequeñas fuerzas electrostáticas entre las placas de un capacitor al aplicarle una tensión se han desarrollado circuitos que, adosados al gravímetro, permiten medir g con mucha definición (1 μGal en un rango de 3 mGal) midiendo la tensión aplicada necesaria para restaurar la posición de la masa.
Fig. 13.8: Circuito para balance electrostático.
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Con el objeto de lograr una buena linealidad, en lugar de aplicar una tensión variable a las placas del capacitor, se aplican pulsos de amplitud y frecuencia fijos controlando el ancho del pulso de manera que la fuerza aplicada es proporcional a la media. El sistema provee 3 salidas: 1. lectura directa digital: se fija el valor central de g con el tornillo micrométrico y el sistema de balance electrónico permite medir con lectura directa dentro de un rango de unos 3 mGal con resolución de 1 μGal. 2. la salida filtrada permite conectarla a un registrador analógico para el seguimiento de las mareas terrestres, la transferencia es la de un pasabajos con corte en 0.1 Hz (10 segundos) y pendiente de 60 dB/déc. 3. la salida directa refleja el movimiento real del brazo y la masa, se pueden registrar ondas telesísmicas de muy baja frecuencia. Nivel electrónico Los niveles de burbuja tienen desventajas al estar fijados en la tapa externa del instrumento, para poder leerlos están expuestos a los cambios de temperatura. En días muy fríos pueden presentar pequeños movimientos respecto a su calibración en un ambiente cálido. También la incidencia de luz solar produce calentamientos diferenciales que ocasionan gradientes en la densidad del líquido interior causando errores. Para eliminar estos inconvenientes y, además, permitir la lectura remota, se han desarrollado niveles electrónicos. Describiremos un modelo ofrecido por LaCoste & Romberg. Se basa en sensar la posición de un péndulo en cuyo extremo libre se ubica un transductor capacitivo que es a la vez el amortiguador del conjunto. El principio de funcionamiento es el bien conocido del conjunto masa-resorte, se comporta como un sismógrafo horizontal, con transductor capacitivo, el que proporciona una adecuada respuesta a las señales estacionarias (pasabajos). Está ubicado en el interior del instrumento, dentro de una caja termostatizada.
Fig. 13.9: Nivel electrónico a péndulo.
La frecuencia natural está en alrededor de los 4 Hz, permite resolver 0.5 segundos de arco. La electrónica asociada entrega una salida sobre un instrumento de aguja con cero al centro de muy fácil lectura. 13.2.6 Gravímetros con resortes virtuales En lugar de usar resortes es posible, mediante levitación magnética, lograr el mismo efecto sin las desventajas propias del resorte físico. En este caso se habla de resortes virtuales cuyo diseño se esquematiza en la figura 13.10 (izquierda). En este
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sistema una medición de la gravedad se logra midiendo el voltaje necesario para hacer levitar la masa de prueba a un punto de balance o “nulling”.
Fig. 13.10: diseño de un resorte virtual (izquierda) y gravímetro marino BGM-5 (derecha).
Estos acelerómetros magnéticos son similares a los geófonos sísmicos pero con sensibilidades varios órdenes de magnitud mayores. Esta es la estrategia empleada por los instrumentos de Bell BGM-3 y BGM-5 al igual que varios diseños criogénicos. Los instrumentos Bell operan a temperatura ambiente, son relativamente robustos y adecuados para trabajar en plataformas dinámicas en aire y mar. De todas formas no tienen la exactitud suficiente como para trabajos de alta precisión (como los gravímetros de pozo y terrestres) y los instrumentos suelen ser voluminosos mientras que los dispositivos criogénicos son únicos por su alta precisión. Esto se debe a que operan a temperaturas cercanas al cero absoluto y su ruido termodinámico es prácticamente nulo. Gravímetros superconductores de alta precisión se emplean actualmente en observatorios gravimétricos pero no son equipos de campo. 13.2.7 Gravímetro marino BGM-3 El gravímetro marino BGM-3, manufacturado por Bell Aerospace, consiste de un acelerómetro inercial montado sobre una plataforma giroestabilizada y de un sistema de manejo de datos. El sensor BGM-3 se esquematiza en la figura 13.11. El acelerómetro es una masa de prueba envuelta por una bobina restringida a moverse verticalmente entre dos imanes permanentes.
Fig. 13.11: configuración del acelerómetro BGM-3 (izquierda) y sistema del sensor (derecha).
El principio físico del diseño del sensor se basa en un balance entre la fuerza de gravedad que actúa sobre la masa de prueba y la fuerza electromagnética inducida en la bobina. Este balance de fuerzas mantiene a la masa de prueba en una posición constante: mg NBI (13.8) mg I NB Instrumental Geofísico y Electrónico
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Siendo N el número de vueltas de la bobina y B la densidad de flujo magnético. La corriente que circula por la bobina varía de forma proporcional a los cambios en la aceleración vertical. En el mar, estas aceleraciones son la suma de la gravedad terrestre y la aceleración vertical que actúa sobre el barco. Los cambios en la posición de la masa de prueba son detectados por un sistema de lazo cerrado de segundo orden que regula la corriente en la bobina y lleva a la masa a la posición de balance. La salida del acelerómetro es una corriente proporcional a las aceleraciones verticales en el rango de 0 a 200 gales. Sumando a la salida un valor constante de 880 gales el sistema puede responder al rango de aceleraciones verticales normalmente encontradas en mar. La corriente es filtrada con un filtro RC con una constante de tiempo de 4.5 s para prevenir la interferencia de altas frecuencias. Por último, la señal analógica filtrada es convertida a digital y enviada al sistema de manejo de datos (ver figura 13.11). 13.2.8 Gravímetros de pozo Los gravímetros de pozo (Borehole Gravity Meters o BHGM) fueron diseñados a fines de 1950 en respuesta a la necesidad de la industria petrolera de obtener datos de gravedad de pozo lo suficientemente precisos como para estimar densidades en función de la profundidad: g (dg / dz )z (13.9) 4 Gz Donde G es la constante de gravitación universal, la densidad promedio de la formación y z la diferencia de altura entre dos puntos de medición. El primer instrumento en medir gravedad en pozo fue desarrollado por Esso y empleaba un sensor de filamento vibrante. La frecuencia de vibración se vinculaba a la tensión sobre el filamento y la frecuencia variaba a medida que cambiaba la gravedad. Este instrumento poseía resolución de 0.01 mgal con un tiempo de lectura de 20 minutos. Se encontraba termostáticamente controlado para operar hasta 125 °C, pero únicamente podía operar con desviaciones de la vertical menores a 4 grados.
Fig. 13.12: interior del BHGM de L&R (izquierda) y su funcionamiento interno (derecha).
Poco tiempo después L&R miniaturizó y adaptó su gravímetro terrestre modelo G para operar dentro de pozo. El BHGM de L&R puede realizar mediciones con una resolución de 5 a 20 gal y con cuidado hasta 1 gal. Por lo tanto puede detectar contactos de fluidos detrás de las cañerías ya que la mayor parte de los contactos de agua-gas y gas-petróleo se resuelven entre 2 a 5 gal y la mayoría de los contactos
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petróleo-agua entre 0.7 y 3 gal. La herramienta de L&R se controla termostáticamente y puede operar hasta 125 °C. Sólo puede acceder a pozos con cañerías de por lo menos 5 ½ pulgadas de diámetro y únicamente puede realizar mediciones con desviaciones menores a 14 grados de la vertical (lo cual limita severamente el acceso a muchos pozos petroleros).
13.3 Gravímetros absolutos Existen muchos métodos para medir de forma directa la gravedad, pero son pocos los que logran la exactitud necesaria en geofísica y geodesia. Dentro de los gravímetros absolutos los más comunes son los de caída libre, tiro vertical y los péndulos. Hoy en día ya no se emplean los péndulos por su baja exactitud por lo que el método nunca es empleado para mediciones de alta precisión. Estudiaremos únicamente los gravímetros de caída libre y tiro vertical. 13.3.1 Caída libre Los primeros gravímetros de caída libre fueron diseñados en 1951 por Volet en el BIPM (Bureau International des Poids et Mesures) y desde entonces su desarrollo avanzó rápidamente. El principio de funcionamiento se basa en medir el tiempo que tarda en caer una masa de prueba una cierta distancia. Para lograr las precisiones requeridas se necesitan mediciones muy precisas de intervalos de tiempo muy cortos, lo que fue posible con la introducción de relojes de cuarzo en la década de 1950. Los primeros instrumentos de caída libre consistían en un interferómetro de luz blanca de Michelson, un sistema de registración fotográfico, un reloj de cuarzo y un cuerpo que era soltado en caída libre, generalmente una barra de 1 m de largo de cuarzo, acero o invar. El valor final de la gravedad era obtenido promediando 10 a 100 caídas de la barra a lo largo de varios metros. Estos primeros instrumentos tenían una resolución mayor a 1 mGal. En 1963 el empleo de retrorreflectores de esquina como masa de prueba, interferómetros láser y relojes atómicos mejoró sustancialmente la sensibilidad de los instrumentos de caída libre. Un segundo retrorreflector fijo era utilizado como referencia. Los retrorreflectores siempre reflejan un rayo láser en la misma dirección que el rayo de incidencia, independientemente de su orientación. Un divisor o “splitter” (figura 13.13) separa el rayo en un rayo de referencia y un rayo de medición, ambos formando parte del brazo de un interferómetro de Michelson. Cada rayo se refleja de vuelta directamente desde su respectivo retrorreflector y pasa nuevamente por el divisor donde se superponen para producir franjas de interferencia en un fotodetector. La frecuencia de las franjas es proporcional a la velocidad de la caída de la masa. Para principios de 1970 se mejoró notablemente la sensibilidad de los instrumentos de caída libre y las mejores mediciones se encontraban en el rango de 0.01 a 0.05 mGal. Para 1980 los péndulos fueron reemplazados por gravímetros de caída libre para mediciones absolutas de gravedad. Con el tiempo la distancia de caída fue disminuyendo y se incrementó el número de repeticiones (drops) logrando, de esta forma, que el instrumento sea más portable. Actualmente los únicos gravímetros de caída libre comerciales son manufacturados por Micro-g Solutions, Inc. y tienen una resolución de 1 Gal lo que
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iguala la sensibilidad de los mejores gravímetros relativos de resorte. Sus principales desventajas son el tamaño (son instrumentos voluminosos), su velocidad (requieren tiempos de días a semanas para lograr máxima exactitud) y su costo (son mucho más costosos que los gravímetros relativos).
Fig. 13.13: Principio del interferómetro de Michelson empleado en el método de caída libre.
Al soltar una masa de prueba desde un estado inicial en reposo, la ecuación de movimiento que describe su caída en un campo gravitatorio g es: (13.10) mz mg Integrando dos veces esta ecuación diferencial ordinaria se obtiene: 1 (13.11) z (t ) gt 2 v0t z0 2 Donde las constantes de integración son la altura inicial de la masa z0 y la velocidad inicial v0. Para el caso más simple de velocidad y posición inicial nulas: 2z (13.12) g 2 t A partir de esta expresión podemos concluir que el valor absoluto de la gravedad puede ser determinado midiendo el tiempo que demora la masa en caer una distancia vertical z. El principio de caída libre determina valores absolutos de gravedad. Análisis de errores A partir de la forma diferencial (13.12) podemos realizar un análisis de errores: 1) Error absoluto dg: 2 4z dg 2 dz 3 dt (13.13) t t 2) Error relativo dg/g: dg dz dt (13.14) 2 g z t A modo de ejemplo, suponiendo un tiempo de caída de 1 s y una distancia de 5 m, si se desea lograr una precisión en la medición absoluta de 1 mGal, la precisión relativa será dg / g 1/ 980000 106 . Entonces, la precisión absoluta en el “timing” tendrá que ser de 0.5 s y la longitud de la caída se deberá conocer con una precisión de 5 m.
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Estos requerimientos en las precisiones en las mediciones de los tiempos y posiciones se pueden lograr mediante interferometría láser.
Fig. 13.14: principio de funcionamiento de un gravímetro de caída libre con “timing” a tres alturas fijas.
Los gravímetros comerciales de caída libre permiten medir con exactitudes en el rango de 1 a 10 Gales, es decir, precisiones relativas de hasta 10-9. Cuando se trabaja con este grado de exactitud se deben realizar correcciones por muchos efectos que perturban el valor medido de g, a saber: Mareas: atracción directa de mareas, mareas terrestres y carga oceánica. Marea polar (Pole-tide): el movimiento polar produce una aceleración centrífuga variable en el tiempo. Presión atmosférica. Gradiente de gravedad: a lo largo de una distancia de 1 m la gravedad varía del orden de 0.3 mGal, valor que es órdenes de magnitud mayor a la exactitud indicada. Cambios en los niveles de aguas subterráneas. En la práctica no es posible iniciar el “timing” para z0 v0 0 . En lugar de ello se inicia en un determinado punto de la trayectoria de la masa, en cuyo caso z0 y v0 también son incógnitas por lo que son necesarias al menos 3 pares de mediciones (ti , zi ) . En caso de tener exactamente 3 mediciones como en la figura 13.14 los parámetros de estado inicial se eliminan empleando la siguiente expresión: ( z z )(t t ) ( z2 z1 )(t3 t1 ) g2 3 1 2 1 (13.15) (t3 t1 )(t2 t1 )(t3 t2 ) En la práctica se suele realizar un número mayor de mediciones para obtener un problema sobredeterminado. También es necesario realizar un mayor número de mediciones para poder modelar el gradiente vertical de la gravedad que, como ya mencionamos, es del orden de 0.3 mgal / m y se incorpora como otra incógnita adicional. Gran parte del desarrollo de los gravímetros de caída libre fue realizado por el Joint Institute for Laboratory Astrophysics (JILA) y son muy pocos los lugares en el mundo que los producen. A continuación describiremos con mayor detalle el funcionamiento del modelo desarrollado por el JILA.
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Fig. 13.15: Gravímetro absoluto de caída libre Micro-G Solutions FG-5.
13.3.2 Gravímetro JILA Este sistema fue desarrollado por Faller en 1983 en el JILA, Boulder. Se caracteriza por una distancia pequeña de caída (0.2 m) y una cámara adicional para reducir los efectos de la fricción del aire. También cuenta con un “super-string” instalado para absorber aceleraciones microsísmicas. Como se observa en la figura 13.16 un láser emite un rayo de luz con una longitud de onda nm. La distancia recorrida por el rayo desde el divisor al retrorreflector fijo de ida y vuelta es 2L1 , mientras que la distancia recorrida desde el divisor de ida y vuelta al retrorreflector en caída libre es 2 L2 (t ) . L1 es independiente del tiempo mientras que L2 (t ) variará con el tiempo a medida que el retrorreflector caiga. El detector registra una combinación de la luz proveniente de cada retrorreflector. La diferencia de fase entre ambos rayos es el número de onda k 2 / multiplicado por la diferencia entre las distancias recorridas por cada rayo (2L2 (t ) 2L1 ) . Es por ello que la diferencia de fase entre ambos rayos resulta: L (t ) L1 4 2 (13.16)
Analizando esta expresión se observa que si 2( L2 (t ) L1 ) es un número entero de veces significa que los dos rayos están en fase lo cual resulta en interferencia constructiva y la señal detectada posee mayor amplitud. Si 2( L2 (t ) L1 ) es un múltiplo de / 2 entonces los rayos se encuentran desfasados 180° y la señal detectada es mínima (interferencia destructiva). Teniendo presente lo recién discutido se procede a soltar el retrorreflector móvil y a registrar la señal detectada en función del tiempo. Se emplea un discriminador de cruce por cero (zero-crossing) para obtener un pulso cada vez que la señal cruce el cero, Instrumental Geofísico y Electrónico
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es decir, cada vez que los rayos estén desfasados 180°. Aproximadamente cada 3000 pulsos se registra el tiempo por lo que se terminan conociendo tiempos correspondientes a distancias de 3000 / 2 1 mm . Para una caída del orden de los 20 cm se miden 200 valores de z y t que pueden ser ajustados por mínimos cuadrados a la curva: 1 (13.17) z v0t gt 2 2 De esta forma se obtiene g. Se requieren 0.2 s para cada caída y el proceso total de soltar la masa, calcular g y volver a levantar el retrorreflector demora 4 s. Por lo que se pueden realizar hasta 15 tiradas por minuto.
Fig. 13.16: Esquema de funcionamiento del gravímetro JILA (izquierda) y franjas de interferencia (derecha).
Las principales fuentes de errores en este gravímetro son: Incerteza en . Contador electrónico y errores de “timing” Aceleración del suelo. Fuerzas no gravitacionales: fuerzas EM, resistencia del aire, etc. El objetivo es obtener precisiones del orden de 1 gal que corresponden a un movimiento vertical de 3 mm. Incerteza en Actualmente no es una fuente de error apreciable ya que existen láseres con frecuencias que son estables hasta 10-11. Se puede trabajar con uno de ellos o calibrar periódicamente el láser. Conteo electrónico y errores de “timing”. Tampoco es un problema hoy en día. Se requiere conocer el “timing” con una precisión de: (13.18) 1109 0.2 s 2ns
exactitud de g
tiempo de caída
Incluso se puede tener errores mayores si son constantes durante la caída. Aceleración del suelo. Esto puede ser un problema. La aceleración típica del suelo (denominada microsísmica) producida por las interacciones de los océanos con el fondo oceánico es del orden de 10-6 y tiene sus máximos de energía en períodos del orden de los 6 s. Esta aceleración afecta al retrorreflector fijo y puede resultar en errores de g. Su efecto en el láser y el detector no es relevante porque ambos rayos viajan a través del láser y el detector en el mismo sentido y es la diferencia entre las trayectorias de los rayos la que se mide. Como 6 s > 0.2 s (el tiempo que dura la caída), la aceleración no es promediada a lo largo de una caída.
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Una forma de eliminar el problema es promediando datos de varias caídas. Pero para obtener una exactitud de 1109 con errores aleatorios del orden de 1106 se requerirían 1/ 1103 1106 tiradas lo cual demandaría del orden de 1000 horas. 2
Para reducir el tiempo de promediado se emplea un resorte de gran longitud y se suspende al retrorreflector fijo del resorte. El período de oscilación natural del resorte es del orden de los 60 s >> 6 s, por lo que el retrorreflector al final del resorte no se mueve demasiado como efecto de la microsísmica. Pero para lograr que un resorte tenga un período de oscilación de 60 s, teniendo en cuenta que: m T 2 (13.19) k Se obtiene una longitud necesaria para el resorte: gT 2 (13.20) l 103 602 / 62 cm 1 km 2 (2 ) La longitud l es la longitud del estiramiento del resorte cuando se encuentra en equilibrio, por lo que el resorte debería ser incluso más largo. Es por ello que se emplea un “super string”, un dispositivo electrónico que simula un resorte mecánico de 1 km. El “super-string” reduce el número de caídas necesarias en un factor de aproximadamente 400. Fuerzas no gravitacionales. Las fuerzas electromagnéticas solían ser un problema ya que el retrorreflector en caída libre era liberado eliminando un campo magnético. Al anular el campo se inducían corrientes en el retrorreflector que interactuaban con otros campos EM y perturbaban la caída. Actualmente se libera a la masa mediante dispositivos mecánicos. La resistencia del aire es un problema y su efecto debe ser eliminado. Para bajarlo a un nivel aceptable (1 Gal) algunos instrumentos emplean una cámara de alto vacío (del orden 10-10 veces la presión atmosférica) pero esta baja presión produce problemas de tipo mecánico. Es por ello que en el instrumento JILA se disminuye la presión a 10-5 - 10-5 mm de mercurio y luego se emplea una cámara en caída libre que se mueve solidaria con el retrorreflector en su caída. A medida que el retrorreflector cae se sigue su movimiento con un interferómetro láser a través de un agujero en el fondo de la cámara. La posición del retrorreflector relativa a la cámara también es sensada ópticamente mientras cae el retrorreflector. Entonces la cámara es llevada hacia abajo mecánicamente a la velocidad necesaria para que la posición del retrorreflector no cambie en relación a la de la cámara. Por lo tanto la cámara empuja el aire remanente fuera del camino. Esto también provee del mecanismo de liberación de la masa. Inicialmente el retrorreflector se encuentra en reposo en la cámara. El movimiento se inicia moviendo de forma rápida la cámara hacia abajo con lo que el retrorreflector queda libre y comienza a caer. Exactitud Los instrumentos JILA y sus derivados son exactos al nivel de 1 Gal para tiempos de promediado de unos pocos días a un par de semanas. 13.3.3 Tiro vertical En lugar de soltar una masa desde el reposo se puede lanzar a la misma verticalmente y medir el tiempo que tarda en volver al punto de lanzamiento. Para el Instrumental Geofísico y Electrónico
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estudio de este problema se aplica la misma ecuación de movimiento que en el caso anterior pero esta situación particular presenta una simetría que permite cancelar el efecto de la fricción del aire. Supongamos que se tienen dos niveles de medición z1 y z2. Cuando la masa asciende cruza primero el nivel z1 y luego el nivel z2 (ver figura 13.17). Cuando la masa desciende primero pasa por el nivel z2 y luego z1.
Fig. 13.17: Principio del gravímetro de tiro vertical con “timing” a dos alturas fijas.
Suponiendo conocida la diferencia de alturas z z2 z1 entre ambos niveles, y midiendo la diferencia de tiempo de paso entre ambas alturas se puede determinar el valor de la gravedad. Llamaremos t1 al tiempo que demora la masa desde que cruza z1 al ascender hasta que vuelve a cruzar z1 al descender. Llamaremos t2 al tiempo que transcurre desde que pasa por z2, asciende y desciende nuevamente hasta z2. El tiempo que tardará en llegar de z1 al ápice de la trayectoria será t1 / 2 . Como en ese punto la velocidad es nula se cumple: t (13.21) 0 v1 g 1 2 Donde v1 es la velocidad de ascenso en z1. Despejando v1: t v1 g 1 (13.22) 2 Dado que el tiempo que emplea la masa en ir de z1 a z2 es t1 t2 / 2 , tenemos que: t t2 g t1 t2 z v1 1 (13.23) 2 2 2 Empleando la ecuación (13.22) para despejar v1 se obtiene la expresión de g: 8z g (13.24) 2 2 t1 t2 En la práctica se realizan mediciones en más niveles para obtener una situación sobredeterminada. 2
Ventajas y desventajas Comparando los instrumentos de tiro vertical con los de caída libre podemos mencionar las siguientes ventajas de los primeros:
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El efecto de la fricción del aire se cancela al primer orden ya que el sentido de esta fuerza se opone a la dirección de movimiento y apunta hacia abajo cuando la masa sube y hacia arriba cuando la masa baja. De todas formas el instrumento se encuentra al vacío y los efectos del aire remanente son pequeños. “Timing biases”: no son tan críticos ya que se miden intervalos de tiempo. Un “timig-bias” se refiere al tiempo que demora el instrumento en registrar el tiempo de paso de la masa luego del paso de la misma. La principal desventaja es que lanzar la masa deforma y sacude la totalidad del instrumento en una forma no modelable que produce errores en g.
13.4 Bibliografía
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